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空间向量的线性运算(选修2-1)人教B版


空间向量的线性运算

复习回顾:平面向量 既有大小又有方向的量。 1、定义: 几何表示法:用有向线段表示 字母表示法: 用小写字母表示,或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。 相等向量:长度相等且方向相同的向量
B A D C

2、平面向量的加法、减法与数乘运算

b a
向量加法的三角形法则

b a
向量加法的平行四边形法则

a b a
向量减法的三角形法则

λa λa

(λ >0) (λ<0)

向量的数乘

3、平面向量的加法、减法与数乘运算律
a+b = b+a (a + b) + c = a + (b + c)

加法交换律: 加法结合律: 数乘分配律:

λ (a + b) = λ a+λb

推广

⑴首尾相接的若干向量之和,等于由起始向 首尾相接的若干向量之和, 量的起点指向末尾向量的终点的向量. 量的起点指向末尾向量的终点的向量.即:
A1 A2 + A2 A3 + A3 A4 + L + An ?1 An = A1 An
A1
A2
An

An ?1

A1

An?1

A2
A3

An

A3

A4

A4

⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形, 首尾相接的若干向量构成一个封闭图形, 则它们的和为零向量. 则它们的和为零向量.即:
A1 A2 + A2 A3 + A3 A4 + L + An ?1 An + An A1 = 0

F2

F1=10N F2=15N F3 F1 F3=15N

空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法 减法 数乘 运算 运 算 律 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘: λ a,λ 为正数,负数,零 加法交换律 a + b = b + a 加法结合律

空间向量
具有大小和方向的量

( a + b ) + c = a + (b + c ) 数乘分配律

λ ( a + b ) = λ a+ λ b

思考:空间任意两个向量是否可能异面? 思考:空间任意两个向量是否可能异面?
B

b

O

A

思考:它们确定的平面是否唯一? 思考:它们确定的平面是否唯一?

a
结论:空间任意两个向量都是共面向量, 结论:空间任意两个向量都是共面向量,所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题, 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题,平面向量中有 关结论仍适用于它们。 关结论仍适用于它们。

C

a b
O

+
A

b

B

OB = OA + AB

a

CA = OA ? OC

λa
λa

( >0) λ (λ <0)

空间向量的加减法 空间向量的数乘

空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:λ a, λ为正数,负数,零 运 算 律
加法交换律 a + b = b + a 加法结合律

空间向量
具有大小和方向的量

加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:λ a, λ为正数,负数,零 加法交换律 a + b = b + a 成立吗? 加法结合律 数乘分配律

( a + b ) + c = a + (b + c ) 数乘分配律

λ ( a + b ) = λ a+ λ b

λ ( a + b ) = λ a+ λ b

加法结合律: 加法结合律:

(a + b) + c =a + (b + c);

a b c

a b c

平面向量
概念 定义 表示法 相等向量

空间向量
具有大小和方向的量

加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:λ a,λ 为正数,负数,零 数乘:λ a,λ 为正数,负数,零 运 算 律
加法交换律 a + b = b + a 加法结合律 加法交换律 a + b = b + a 加法结合律

( a + b ) + c = a + (b + c ) 数乘分配律

( a + b ) + c = a + (b + c )
数乘分配律

λ ( a + b ) = λ a+ λ b

λ ( a + b ) = λ a+ λ b

推广

⑴首尾相接的若干向量之和,等于由起始向 首尾相接的若干向量之和, 量的起点指向末尾向量的终点的向量. 量的起点指向末尾向量的终点的向量.即:
A1 A2 + A2 A3 + A3 A4 + L + An ?1 An = A1 An
A1
A2
An

An ?1

A1

An?1

A2
A3

An

A3

A4

A4

⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形, 首尾相接的若干向量构成一个封闭图形, 则它们的和为零向量. 则它们的和为零向量.即:
A1 A2 + A2 A3 + A3 A4 + L + An ?1 An + An A1 = 0

例1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量 ABCDABCD 表达式,并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB + BC ( 2 ) AB + AD + AA 1 1 ( 3) ( AB + AD + AA 1 ) 3 1 ( 4 ) AB + AD + CC 1 2
A D B C A1 D1 B1 C1

D1 A1 B1

C1

a
D A C B D B C

A

平行六面体:平行四边形ABCD ABCD平移向量 a ABCD 到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. A 记做ABCD-A1B1C1D1 ABCDABCD

例1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量 ABCDABCD 表达式,并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB + BC ( 2 ) AB + AD + AA 1 1 ( 3) ( AB + AD + AA 1 ) 3 1 ( 4 ) AB + AD + CC 1 2
解: ) AB + BC= AC ; (1
A D B A1 G C D1 B1 M C1

( 2 ) AB + AD + AA 1 = AC + AA 1 = AC + CC 1 = AC 1

始点相同的三个不共面向量之和,等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量

F2

F1=10N F2=15N F3 F1 F3=15N

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, ABCDABCD 求满足下列各式的x的值。

(1) AB1 + A1 D1 + C1C = x AC
( 2) 2 AD1 ? BD1 = x AC 1 (3) AC + AB1 + AD1 = x AC 1
A A1

D1 B1

C1

D B

C

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, ABCDABCD 求满足下列各式的x的值。

(1) AB1 + A1 D1 + C1C = x AC

解(1) AB1 + A1 D1 + C1C
= AB1 + B1C1 + C1C
A1

D1 B1

C1

= AC ∴ x = 1.
A

D B

C

( 2) 2 AD1 ? BD1 = x AC 1 (3) AC + AB1 + AD1 = x AC 1

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, ABCDABCD 求满足下列各式的x的值。

( 2) 2 AD1 ? BD1 = x AC 1 (3) AC + AB1 + AD1 = x AC 1
( 2 ) 2 AD 1 ? BD 1

= AD1 + AD1 ? BD1
= AD1 + ( BC1 ? BD1 ) = AD1 + D1C1 = AC1
A1 D1 B1 C1

∴ x = 1.
A

D B

C

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, ABCDABCD 求满足下列各式的x的值。

(3) AC + AB1 + AD1 = x AC 1

(3) AC + AB1 + AD1
= ( AD + AB) + ( AA1 + AB) + ( AA1 + AD)
= 2( AD + AB + AA1 ) = 2AC1
D1 A1 B1 C1

∴ x = 2.
A

D B

C

分别是四面体ABCD的棱 的棱AB,CD的中点, 的中点, 例3 M,N分别是四面体 分别是四面体 的棱 的中点 求证: 求证: 1

MN =

A

2

( AD + BC )

证明: 证明:显然

MN = MA + AD + DN

① ②

M D N B C


MN = MB + BC + CN
由已知得

+② ∴

MA = ? MB,

DN = ?CN

2MN = AD + BC
MN = 1 ( AD + BC ) 2

在空间四边形ABCD ABCD中 分别是BC CD边的中点 BC、 边的中点, 练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简 A

1 (1) AB + ( BC + BD) 2 1 (2) AG ? ( AB + AC ) 2
D G

B

M

C

在空间四边形ABCD ABCD中 分别是BC CD边的中点 BC、 边的中点, 练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简 A

1 (1) AB + ( BC + BD) 2 1 (2) AG ? ( AB + AC ) 2
D G

(1)原式=AB + BM + MG = AG
(2)原式
1 = AB + BM + MG ? ( AB + AC ) 2 1 = BM + MG + ( AB ? AC ) 2 =BM + MG+ MB = MG

B

M

C

在立方体AC 是面AC 的中心,求下列各式中的x,y. 练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y. A E B C

D

(1)AC = x(AB+ BC+ CC )
' ' '

(2)AE= AA + xAB+ yAD

A

D

B

C

在立方体AC 是面AC 的中心,求下列各式中的x,y. 练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y. A E B C

D

(1)AC = x(AB+ BC+ CC )
' ' '

(2)AE= AA + xAB+ yAD

A

D

B

C

在立方体AC 是面AC 的中心,求下列各式中的x,y. 练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y. A E B C

D

(2)AE= AA + xAB+ yAD
'

A

D

B

C

小结

类比思想

数形结合思想

平面向量
概念 定义 表示法 相等向量

空间向量
具有大小和方向的量

加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:λ a,λ 为正数,负数,零 数乘:λ a,λ 为正数,负数,零 运 算 律
加法交换律 a + b = b + a 加法结合律 加法交换律 a + b = b + a 加法结合律

( a + b ) + c = a + (b + c ) 数乘分配律

( a + b ) + c = a + (b + c )
数乘分配律

λ ( a + b ) = λ a+ λ b

λ ( a + b ) = λ a+ λ b

作业
空间四边形 ABCD 中, = a ,BC=b , AB AD = c , 试用a , b, c来表示 CD, , BD. AC
思考题:考虑空间三个向量共面的充要条件.


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