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高中物理奥赛 之 备用例题


例1

一环形圆管沿一直径截成两部分,一半竖立在铅垂面内,管口连线在一

水平面上。向管内装入与管壁相切的小滚珠,左、右侧第一个滚珠都与圆管截面相切。 已知单个滚珠重W,共有2n个。求从右边起第k个和第(k+1)个滚珠之间的压力Nk。 假设系统中处处无摩擦。 y 解 研究第k个珠子, 其受力如图。

由∑Fx = 0得

α
NK

1

β N k W

NK?1 cosα +W cos β ? Nk cosα = 0
由几何关系知 α = θ , 2

θ

2n 2n-1

θ=

π
2n

K +1

所以 α =

π
4n

β

NK-1 x 如何利用这一递

(2K ?1)π 有 β = K-1)θ + = ( 又 2 4n
cos β 所 以 NK ? NK?1 = ?W = cosα ? (2K ?1)π ? cos ? ? 4n ? ? cos ?W

θ

推关系?

π

4n

?(2K ?1)π ? cos ? cos β ? 4n ? ?W ? 由 NK ? NK?1 = ?W = π cosα cos 3π 4n 5π cos cos 4n ?W ; 4n ?W ; 对第K=3个珠: 3 ? N 2 = 对第K=2个珠: 2 ? N 1= N N π π cos cos 4n 4n 7π 9π cos cos 4n ?W ; 4n ?W ; 对第K=4个珠: ? N = 对第K=5个珠: ? N = N N
4 3

cos

π

5

4

4n

cos

π

4n

对第K-1个珠: K?1 ? N K?2 = N 各式相加得:

cos

(2K ? 3)π ?(2K ?1)π ? cos ? 4n ? 4n ? ?W ? ?W ; 对第K个珠: K ? NK?1 = N π π cos cos 4n 4n
现在需着重研究第 一个珠子——找出 N1 !!!

NK ? N1 =

W cos

π

?[cos

3π 5π (2K ?1)π + cos +L + cos L ] 4n 4n 4n

(2i ?1)π = ? ∑cos . π 2 4n cos 4n W
K

4n

( K ≤ 2n)

对第1个珠子:

N1

由∑Fx = 0得: 1 cos N
于是有: 所以

π
4n

=W cos

π
4n

α
1 N

y

N1 =W
W cos

NK =W +

π

? ∑cos
2

K

(2i ?1)π 4n

α
W

x (2i ?1)π ? cos π π ∑ 4n 2 cos cos 4n 4n K 此式能否求和 W (2i ?1)π = ? cos π ∑ 4n ? 1 cos 4n iπ π π cos( ? ) × 2sin K K W (i ?1)π ? W ? iπ 2n 4n 4n = ? ∑?sin ? sin = ?∑ π π 1 ? 2n π 1 π 2n ? ? 2cos sin cos 2sin 4n 4n 4n 4n Kπ W sin 2n =
K

π 4n cos 4n + W =W ?

sin

π

2n

另解 研究前(1—K)个珠子

O 1 NK W1 K WK r 2n

由∑MO= 0得: K θ NK (R ? r)cos = ∑M(W)i 2 1 K 其中 ∑M(G)i=Wx1 +Wx2 +L +WxK L

1

θ

2 θ x2 = (R ? r)cos(3× ) 2 …………………………

x1 = (R ? r)cos

θ

2

R

2n-1

xK = (R ? r)cos[(2K ?1) ] 2 θ θ 3θ (2 K ? 1) ] 所以N K ( R ? r ) cos = W ( x1 + x2 + LL + xK ) = W ( R ? r )[cos + cos + LL + cos 2 2 2 2 K (2i ? 1) = W ( R ? r )∑ cos . 2 1 K (2i ?1)θ 题后总结 cos ∑ π 2 于是 NK =W ? 1 而 , θ= 都是隔离法但却又不同! θ 2n cos 2 对三角变换有较高的要求! Kπ W sin 2n 代入化简即得 N =
K

θ

sin

π

2n

例2 三个完全相同的圆柱体,如图叠放在水平桌面上。将C叠放上去之前,A、 B两柱体之间接触而无挤压。假定桌面和柱体之间的静摩擦系数为?。 . 柱体和柱体之 间的静摩擦系数为?. 若系统处于平衡,?0和?必须满足什么条件? 解 研究A、C两柱体,其受力如图。 由平衡条件列出方程: 对圆柱C : N1 f1 C N2 A N1 x f2 P y f1 B y N1 x f1

?Fy = 2×

对柱体A :

3 1 N1 + 2× f1 - P = 0 2 2 3 1 ∑Fy = N2 ? P ? N1? f1 = 0 2 2 3 1 ∑Fx = f1 + f2 ? N1 = 0 2 2 ∑MA = f1R ? f2R = 0

由以上四方程解出: P 1 3 f1 = f2 = , N1 = P N2 = P , 2(2 + 3) 2 2 要不滑动, , f2 ≤ ?N2 必须满足: f1 ≤ ?0N1

P

试一试 利用静摩擦角解答本题 ,可行否?方便否?

P 3 P 1 ≤ ?0 × P , ≤ ?× P 2 2(2 + 3) 2 2(2 + 3) 1 1 ?0 ≥ , 所以 ?≥ . 3(2 + 3) 2+ 3


例3 如图,半径为r、质量为m的三个相同刚性球两两接触放在水平桌面上,用一 个高为1.5r的圆柱形刚性圆筒(上下无底)将此三球套在筒内,圆筒的半径取适当值, 使得各球间以及球与筒壁间均保持接触但无相互作用力。现取一个质量亦为m、半径为 R的第四个球,放在三个球的上方正中。设四个球的表面、圆筒的内壁均由相同材料构 成,其间的静摩擦系数均为 ? = 3 (约为0.775).问:R 取何值时,用手轻轻向上提 15 起圆筒即能将四个球一起提起来? D 解 研究系统已被提起的平衡状态 只需研究球A和D 球就行了! 对A球: 其受力如图

B

A

由 F 直 = 0得 f1 + f2 cosθ ? mg ? N2 sinθ = 0 ① ∑ 竖

由∑F = 0得 N2 cosθ ? N1 + f2 sinθ = 0 水平

② ③ ④ ⑤

由∑MA = 0得
对D球: 其受力如图

f1r ? f2r = 0

N2

θ

D
θ

f2 A N 1

f1

由 F 直 = 0得 3N2 sinθ ? 3 f2 cosθ ? mg = 0 ∑ 竖
对所有的四个球:

mg

f2 N2 mg

由 Fy = 0得 ∑

3 f1 = 4mg

f1 + f2 cosθ ? mg ? N2 sinθ = 0 N2 cosθ ? N1 + f2 sinθ = 0
f1r ? f2r = 0

① ② ③ ④ ⑤ N2 B

D

3N2 sinθ ? 3 f2 cosθ ? mg = 0
3 f1 = 4mg
由③、 ⑤得

A

4mg ⑥ 3 ⑥代入④(或者①) 得 4 1 1 ⑦ N2 = mg cotθ + mg ? 3 3 sinθ ⑥、⑦代入② 得 1 4 1 ⑧ N1 = mg cotθ + mg ? 3 3 sinθ 为使各物体间无滑动,需满足: f1 ≤ ?N1 ; f1 = f2 =
N1 1 1 4 + cosθ = + cotθ = ; sinθ ? f1 sinθ 4 1 N2 1 1+ 4cosθ ≤ = + cotθ = . ? f 2 4sinθ 4sinθ 1 ≤

θ
mg

D
θ

f2 A N1

f1

f2 N2 mg

f2 ≤ ?N2 .
⑨ ⑩



N1 1 1 4 + cosθ = + cotθ = ; ? f1 sinθ 4 sinθ 1 N2 1 1+ 4cosθ ≤ = + cotθ = . ? f 2 4sinθ 4sinθ 1 由于 4 + cosθ ≥ (1+ 4cosθ ) 4 所以只要⑩成立⑨必定成立。 1 ≤
θ和R是对应的,通过确定θ 就能确定R.
将? = 3 代入⑩ 代入⑩: 15 ≤ 1+ 4cosθ 15 3 4sinθ

⑨ ⑩ B

D

A

N2
θ

D O
θ

f2 A N1

f1

11

mg f2 N2 C mg

11 11 解 11式得: ≤ cos?1 θ ,或者cosθ ≥ 16 16 2 r OA 由几何关系知 cosθ = = 3 DA R + r 2r 2r ? ? 由此可得R = ? r≤ ? r= ? 32 3 ?1? r 11 3 ? cosθ 3× ? 33 ? 16

O B

r A

为使D球不从中空处掉下去,R还需满足

C

r 2 R > ? r = ( ?1)r cos300 3 综上可知 2 32 3 ( ?1)r R ≤ ( < ?1)r 33 3

O B

r A

题后总结 列平衡方程时: 必须注意方程的独立性 还须考虑方程的简便性

例4 如图所示,三个质量都是m的刚性小球A、B、C位于光滑的水平桌面上(图 中纸面),A、B之间,B、C之间分别用刚性轻杆相连,杆与A、B、C的各连接处皆为 “铰链式”的.已知杆AB与BC的夹角为 π ? α α < π 2 , .DE为固定在桌面上一块挡板, 它与AB连线方向垂直.现令A、B、C一起以共同的速度v沿平行于AB连线方向向DE运 动,已知在C与挡板碰撞过程中C与挡板之间无摩擦力作用,求碰撞时当C沿垂直于DE 方向的速度由v变为0这一极短时间内挡板对C的冲量的大小. D B A C E


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