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6、高一数学必修4平面向量测试题


必修 4 第二章平面向量教学质量检测
一.选择题 1.以下说法错误的是( ) A.零向量与任一非零向量平行 C.平行向量方向相同 2.下列四式不能化简为 AD 的是(

B.零向量与单位向量的模不相等 D.平行向量一定是共线向量 )

( A. AB+CD)+BC;
C. MB+AD-BM;

( B. AD+MB)+( BC+CM);
D. OC-OA+CD; )

3.已知 a =(3,4), b =(5,12), a 与 b 则夹角的余弦为(

A.

63 65

B. 65

C.

13 5

D. 13 ) D.4
?
? ??

4. 已知 a、b 均为单位向量,它们的夹角为 60° ,那么|a+ 3b| =( A. 7 B. 10
? ??

C. 13
?

? ??

5.已知 ABCDEF 是正六边形,且 AB = a , AE = b ,则 BC =( (A)
? ?



1 2

( a ? b ) (B)

?

?

1 2

( b ? a ) (C) a + 1 b (D) 2
? ?
? ??

?

?

?

?

1 2

(a ? b )
? ??

?

?

? ??

?

?

6.设 a , b 为不共线向量, AB = a +2 b , BC =-4 a - b , CD =
? ?

-5 a -3 b ,则下列关系式中正确的是
? ??
? ??




? ??
? ??

? ??

? ??

? ??

? ??

(A) AD = BC (B) AD =2 BC
? ? ?

(C) AD =- BC (D) AD =-2 BC
? ? ?

7.设 e1 与 e 2 是不共线的非零向量,且 k e1 + e 2 与 e1 +k e 2 共线,则 k 的值是( (A) 1 (B) -1
? ??
? ??



(C) ? 1
? ??

(D) 任意不为零的实数
? ??

8.在四边形 ABCD 中, AB = DC ,且 AC · BD =0,则四边形 ABCD 是( (A) 矩形 (B) 菱形 (C) 直角梯形 (D) 等腰梯形
? ??



? ??

9. 已知 M (-2, 、 (10, 7) N -2) 点 P 是线段 MN 上的点, PN =-2 PM , P 点的坐标为 , 且 则 ( (A) (-14,16) (B) (22,-11) (C) (6,1) (D) (2,4)
? ? ? ? ? ?



10.已知 a =(1,2) b =(-2,3) , ,且 k a + b 与 a -k b 垂直,则 k=( (A) ? 1 ?



2 (B)

2 ? 1 (C)

2 ? 3 (D) 3 ? 2


? ? ? ? 11、若平面向量 a ? (1, x ) 和 b ? (2 x ? 3, ? x ) 互相平行,其中 x ? R .则 a ? b ? (

A.

?2 或 0;

B. 2 5 ;

C. 2 或 2 5 ;

D. 2 或 10 .

12、下面给出的关系式中正确的个数是(



? ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ① 0 ? a ? 0 ② a ? b ? b ? a ③ a 2 ? a ④ ( a ? b ) c ? a (b ? c ) ⑤ a ? b ? a ? b

(A) 0
二. 填空题

(B) 1

(C) 2

(D) 3

13.若 AB ? (3, 4 ), A点的坐标为(-2,-1),则B点的坐标为 14.已知 a ? (3, ?4), b ? (2, 3) ,则 2 | a | ?3a ? b ? 15、已知向量 a ? 3, b ? (1, 2) ,且 a .



?

?

?

? ? ? b ,则 a 的坐标是_________________。

16、Δ ABC 中,A(1,2),B(3,1),重心 G(3,2),则 C 点坐标为________________。 17.如果向量 与 b 的夹角为θ ,那么我们称 ×b 为向量 与 b 的“向量积” , ×b 是一个向 量,它的长度| ×b|=| ||b|sinθ ,如果| |=4, |b|=3, ·b=-2,则| ×b|=____________。 三、简答题 18、设平面三点 A(1,0) ,B(0,1) ,C(2,5) . (1)试求向量 2 AB + AC 的模; (3)试求与 BC 垂直的单位向量的坐标. (2)试求向量 AB 与 AC 的夹角;

19.已知向量

=

, 求向量 b,使|b|=2|

|,并且

与 b 的夹角为



20. 已知平面向量 a ? ( 3 ,?1), b ? ( ,

1

3 2

2

). 若存在不同时为零的实数 k 和 t,使

x ? a ? (t 2 ? 3)b, y ? ? k a ? t b, 且 x ? y.
(1)试求函数关系式 k=f(t) (2)求使 f(t)>0 的 t 的取值范围.

21.如图,

=(6,1),

,且



(1)求 x 与 y 间的关系; (2)若

,求 x 与 y 的值及四边形 ABCD 的面积。

22.已知向量 a、b 是两个非零向量,当 a+tb(t∈R)的模取 最小值时, (1)求 t 的值 (2)已知 a、b 共线同向时,求证 b 与 a+tb 垂直

参考答案
一、 选择题:1C、2C、3A、4C、5D、6B、7C、8B、9D、10A、11C、12C、

二. 填空题 13 (1,3) 16 (5,3) 三. 解答题(65 分): 18、 (1)∵ ∴ ∴ , . AB =(0-1,1-0)=(-1,1) AC =(2-1,5-0)=(1,5) .14 17

? 28 15 ( ? 6 5 , 3 5 )或( 6 5 , 3 5 )
2 35

5

5

5

5

2 AB + AC =2(-1,1)+(1,5)=(-1,7) . |2 AB + AC |= ( ? 1) ? 7 = 50 .
2 2

2 2 (2)∵ | AB |= ( ? 1) ? 1 = 2 .| AC |= 1 ? 5 = 26 ,

2

2

AB · AC =(-1)×1+1×5=4.
∴ cos ? =

AB ? AC | AB | ? | AC |



4 2 ? 26



2 13 13



(3)设所求向量为 m =(x,y) ,则 x2+y2=1. ① 又

BC =(2-0,5-1)=(2,4) ,由 BC ⊥ m ,得 2 x +4 y =0. ②

? ? 2 5 2 5 ?x ? ?x ? - ? ? 5 5 由①、②,得 ? 或? 5 5 ? ? y?? . y? . ? ? 5 5 ? ?

∴ (

2 5 5

,-

5 5

)或(-

2 5 5



5 5

)即为所求.

19 . 由 题 设 ,得

, 设

b= . ∴ ,

, 则 由

解得 sinα =1 或



当 sinα =1 时,cosα =0;当 故所求的向量 或
2

时, 。



20.解: (1)? x ? y,? x ? y ? 0.即[( a ? t ? 3)b] ? (? k a ? t b) ? 0.

? a ? b ? 0, a ? 4, b ? 1,? ?4k ? t (t 2 ? 3) ? 0,即k ?
1
(2)由 f(t)>0,得 4

2

2

1 4

t (t 2 ? 3).

t (t 2 ? 3) ? 0,即t (t ? 3 ) ? (t ? 3 )0, 则 ? 3 ? t ? 0或t ? 3.

21.解:(1)∵
∴ 由 (2) 由

, ,得 x(y-2)=y(4+x), x+2y=0.
=(6+x, 1+y), 。

∵ ∴当

, ∴(6+x)(x-2)+(1+y)(y-3)=0, 又 x+2y=0, 时, 时, 同向, , 。





当 故

22.解: (1)由 ( a ? tb) ?| b | t ? 2 a ? bt ? | a |
2 2 2

2

当t ? ?

2a ? b 2|b|
2

??

|a| |b|

cos ? (? 是 a与 b的夹角) a+tb(t∈R)的模取最小值 时

(2)当 a、b 共线同向时,则 ? ? 0 ,此时 t ? ?

|a| |b|

∴ b ? ( a ? tb) ? b ? a ? tb ? b ? a ? | a || b |?| b || a | ? | a || b |? 0
2

∴b⊥(a+tb)


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