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2014年高考数学一轮复习经典教案2导数及其应用


导数及其应用
考纲导读 1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度,加速度,光滑曲线切线的斜率等) ;掌握函 数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念. 2. 熟记八个基本导数公式(c, x m (m 为有理数), sin x, cos x, e x , a x , ln x, loga x 的导数);掌握两个 函数和、差、积、商的求导法则,了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数. 3.理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分 条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值. 知识网络

导数的概念

导数

导数的求法

和、差、积、商、复合函数的导数 函数的单调性

导数的应用

函数的极值 函数的最值

高考导航 导数的应用价值极高,主要涉及函数单调性、极大(小)值,以及最大(小)值等,遇到有 关问题要能自觉地运用导数.

第 1 课时
基础过关

变化率与导数、导数的计算

1.导数的概念:函数 y= f (x) 的导数 f ?(x) ,就是当 Δ x ? 0 时,函数的增量 Δ y 与自变量的 增量 Δ x 的比
?y 的 ?x

,即 f ?(x) =





2.导函数:函数 y= f (x) 在区间(a, b)内 内

的导数都存在,就说 f (x) 在区间( a, b ) , 记作 f ?(x) 或 y?x , 函数 f (x )

, 其导数也是(a ,b )内的函数, 叫做 f (x ) 的

的导函数 f ?(x) 在 x ? x0 时的函数值

,就是 f (x ) 在 x0 处的导数.

3.导数的几何意义:设函数 y= f (x) 在点 x0 处可导,那么它在该点的导数等于函数所表示曲 线在相应点 M ( x0 , y0 ) 处的 .
-1-

4.求导数的方法 (1) 八个基本求导公式
(C)? =



( x n )? =

;(n∈Q)

(sin x)? =
(e x )? =

, (cos x)? = ,
(a x )? =

(ln x)? =

, (loga x)? =

(2) 导数的四则运算
(u ? v)? = (uv)? = [Cf ( x)]? =

, ( u )? = v

(v ? 0)

(3) 复合函数的导数 设 u ? ? (x) 在点 x 处可导, ? f (u) 在点 u ? ? (x) 处可导, 则复合函数 f [? ( x)] 在点 x 处可导,且 f ?(x) y = 典型例题 例 1.求函数 y= x 2 ? 1 在 x0 到 x0+Δ x 之间的平均变化率.
2 解 ∵Δ y= ( x0 ? ?x) 2 ? 1 ? x0 ? 1 ? 2 ( x0 ? ?x) 2 ? 1 ? x0 ? 1 2 ( x0 ? ?x) 2 ? 1 ? x0 ? 1

? x ,即 y ? ? y u ? u ? . x

?

2 x0 ?x ? (?x) 2 ( x0 ? ?x) ? 1 ?
2 2 x0

?1

,?

?y ? ?x

2 x0 ? ?x
2 ( x0 ? ?x) 2 ? 1 ? x0 ? 1

.

变式训练 1. 求 y= x 在 x=x0 处的导数.?
x0 ? ?x ? x0 ( x0 ? ?x ? x0 )( x0 ? ?x ? x0 ) ?y ? lim ? lim ?x?0 ?x ?x?0 ?x?0 ?x ?x( x0 ? ?x ? x0 ) lim



? lim

1 x0 ? ?x ? x0

?x ?0

?

1 2 x0

.

例 2. 求下列各函数的导数: (1) y ?
x ? x5 ? sin x x2 ;

(2) y ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3); (4) y ?
3 2

x x (3) y ? ? sin ?1 ? 2 cos2 ?; ? ? 2? 4?
1

1 1? x

?

1 1? x

.

解 (1)∵ y ?

x 2 ? x5 ? sin x x
2

?x

?

? x3 ?

sin x x2

,

-2-

∴y′ ? ( x 2 )? ? ( x3 )? ? ( x?2 sin x)? ? ? x (2)方法一 方法二
2

?

3

3 2

?

5 2

? 3x 2 ? 2 x ?3 sin x ? x ? 2 cos x.
3 2 2

y=(x +3x+2) (x+3)=x +6x +11x+6,∴y′=3x +12x+11.

? y? = ?( x ? 1)( x ? 2)? ( x ? 3) ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)?

=( x ?1)? ( x ? 2) ? ( x ?1)( x ? 2)??(x+3)+(x+1) (x+2) ? =(x+2+x+1) (x+3)+(x+1) (x+2)=(2x+3) (x+3)+(x+1) (x+2)=3x +12x+11.?
x x 1 (3)∵y= ? sin ? ? cos ? ? sin x, ? ? 2?
1 2
2

2?

2

∴ y? ? ? sin x ? ? (sin x)? ? cos x. ? ?
1 ?2 ? 1 2

?

(4) y ?

1 1? x

?

1 1? x

?

1? x ?1? x (1 ? x )(1 ? x )

?

2 , 1? x

∴ y? ? ?

? 2 ? 2 ? ? 2(1 ? x)? ? . ? ? (1 ? x)2 (1 ? x)2 ?1? x ?

变式训练 2:求 y=tanx 的导数. 解 y′ ? ? ?
? sin x ? (sin x)? cos x ? sin x(cos x)? cos 2 x ? sin 2 x 1 ? ? . ? ? cos 2 x cos 2 x cos 2 x ? cos x ?

例 3. 已知曲线 y= x3 ? . ? (1)求曲线在 x=2 处的切线方程;? (2)求曲线过点(2,4)的切线方程. 解 (1)∵y′=x ,∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k= y? |x=2=4. ?
1 3 4 4 与过点 P(2,4)的切线相切于点 A? x0 , x0 ? ? , ? ? 3? 3 ? 3
2

1 3

4 3

∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0. (2)设曲线 y= x3 ? 则切线的斜率 k= y? |
1 3

x? x 0

=x .
2 0

1 4 2 4 2 ∴切线方程为 y ? ? x0 ? ? ? x0 ( x ? x0 ), 即 y ? x ? x ? x ? . ? 3 ?
2 3

?3

3?

0

3

0

3

2 3 ∵点 P(2,4)在切线上,∴4= 2 x0 ? x0 ? ,

2 3

4 3

3 2 3 2 2 2 即 x0 ? 3x0 ? 4 ? 0,? x0 ? x0 ? 4 x0 ? 4 ? 0, ∴ x0 ( x0 ? 1) ? 4( x0 ? 1)( x0 ? 1) ? 0,

∴(x0+1)(x0-2) =0,解得 x0=-1 或 x0=2, 故所求的切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0. 变式训练 3:若直线 y=kx 与曲线 y=x -3x +2x 相切,则 k=
3 2

2

.

-3-

答案

2 或?

1 4 1 (a,b∈Z),曲线 y ? f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y=3. x?b

例 4. 设函数 f ( x) ? ax ?

(1)求 f (x) 的解析式; (2)证明:曲线 y ? f (x) 上任一点的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围三角形的面积为定值,并 求出此定值. (1)解
f ?( x) ? a ? 1 , ( x ? b) 2

1 ? 9 ? ?2a ? 2 ? b ? 3, ?a ? 4 , ?a ? 1, ? ? 于是 ? 解得 ? 或? 1 ?b ? ?1, ?a ? ?b ? ? 8 . ? 0, ? ? (2 ? b) 2 3 ? ?

因为 a,b ? Z,故 f ( x) ? x ? (2)证明 由 f ?( x ) ? 1 ?
0

1 . x ?1
? ?
0 0

在曲线上任取一点 ? x , x ? ?

1 ? ?. x0 ? 1 ? ?

1 知,过此点的切线方程为 ( x0 ? 1) 2

y?

x02 ? x0 ? 1 ? 1 ? ? ?1 ? ? ( x ? x0 ) . x0 ? 1 ( x0 ? 1) 2 ? ? ? x ?1 ? x0 ? 1 ,切线与直线 x=1 交点为 ?1, 0 ? . ? x ?1 ? x0 ? 1 ? 0 ?
0 0 0

令 x=1,得 y ?

令 y=x,得 y ? 2 x ?1 ,切线与直线 y=x 的交点为 (2x ?1,2x ?1) . 直线 x=1 与直线 y=x 的交点为(1,1). 从而所围三角形的面积为
1 x0 ? 1 1 2 ? 1 2 x0 ? 1 ? 1 ? 2 x0 ? 2 ? 2 . 2 x0 ? 1 2 x0 ? 1

所以,所围三角形的面积为定值 2. 变式训练 4:偶函数 f(x)=ax +bx +cx +dx+e 的图象过点 P(0,1) ,且在 x=1 处的切线方程 为 y=x-2,求 y=f(x)的解析式.? 解 ∵f(x)的图象过点 P(0,1) ,∴e=1. ①?
4 3 2

又∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x).? 故 ax +bx +cx +dx+e=ax -bx +cx -dx+e.? ∴b=0,d=0. ∴f(x)=ax +cx +1.? ∵函数 f(x)在 x=1 处的切线方程为 y=x-2,∴可得切点为(1,-1).? ∴a+c+1=-1.
3 4 2 4 3 2 4 3 2

②?

③? ④?
5 2 9 2

∵ f ?(1) =(4ax +2cx)|x=1=4a+2c,∴4a+2c=1.
5 2 9 2

由③④得 a= ,c= ? .?∴函数 y=f(x)的解析式为 f ( x) ? x4 ? x2 ? 1.

-4-

小结归纳

1.理解平均变化率的实际意义和数学意义。 2.要熟记求导公式,对于复合函数的导数要层层求导. 3.搞清导数的几何意义,为解决实际问题,如切线、加速度等问题打下理论基础.

第 2 课时
基础过关

导数的概念及性质

1. 函数的单调性 ⑴ 函数 y= f (x) 在某个区间内可导,若 f ?(x) >0,则 f (x ) 为 为 .(逆命题不成立) . ;若 f ?(x ) <0,则 f (x )

(2) 如果在某个区间内恒有 f ?( x) ? 0 ,则 f (x)

注:连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的. (3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法: ① 确定函数 f (x) 的 ② 求 f ?(x) ,令 ; ,解此方程,求出它在定义区间内的一切实根;

③ 把函数 f (x) 的间断点(即 f (x) 的无定义点)的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序 排列起来,然后用这些点把函数 f (x) 的定义区间分成若干个小区间; ④ 确定 f ?(x) 在各小开区间内的 内的增减性. 2.可导函数的极值 ⑴ 极值的概念 设函数 f (x) 在点 x 0 附近有定义, 且对 x 0 附近的所有点都有 为函数的一个极大(小)值.称 x 0 为极大(小)值点. ⑵ 求可导函数极值的步骤: ① 求导数 f ?(x) ; ② 求方程 f ?(x) =0 的 ; (或 ) 则称 f ( x0 ) , , 根据 f ?(x) 的符号判定函数 f (x) 在各个相应小开区间

③ 检验 f ?(x) 在方程 f ?(x) =0 的根左右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附近为负,那 么函数 y= f (x) 在这个根处取得 = f (x) 在这个根处取得 3.函数的最大值与最小值: ⑴ 设 y= f (x ) 是定义在区间[a ,b ]上的函数,y= f (x) 在(a ,b )内有导数,则函数 y= f (x) 在[a ,b ]上 有最大值与最小值;但在开区间内 有最大值与最小值. . ;如果在根的左侧附近为负,右侧为正,那么函数 y

-5-

(2) 求最值可分两步进行: ① 求 y= f (x) 在(a ,b )内的 ② 将 y= f (x) 的各 最小值. (3) 若函数 y= f (x) 在[a ,b ]上单调递增, f (a) 为函数的 则 若函数 y= f (x ) 在[a ,b ]上单调递减,则 f (a ) 为函数的 典型例题 例 1. 已知 f(x)=e -ax-1.? (1)求 f(x)的单调增区间;? (2)若 f(x)在定义域 R 内单调递增,求 a 的取值范围;? (3)是否存在 a,使 f(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增?若存在,求 出 a 的值;若不存在,说明理由. 解: f ?(x) =e -a.? (1)若 a≤0, f ?(x) =e -a≥0 恒成立,即 f(x)在 R 上递增.? 若 a>0,e -a≥0,∴e ≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).? (2)∵f(x)在 R 内单调递增,∴ f ?(x) ≥0 在 R 上恒成立.? ∴e -a≥0,即 a≤e 在 R 上恒成立.? ∴a≤(e )min,又∵e >0,∴a≤0.? (3)方法一
x x x x x x x x x x

值;

值与 f (a) 、 f (b) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为

,f (b) 为函数的 , f (b) 为函数的

; .

由题意知 e -a≤0 在(-∞,0]上恒成立.?
x

x

∴a≥e 在(-∞,0]上恒成立.∵e 在(-∞,0]上为增函数.? ∴x=0 时,e 最大为 1.∴a≥1.同理可知 e -a≥0 在[0,+∞)上恒成立.? ∴a≤e 在[0,+∞)上恒成立.∴a≤1,∴a=1.? 方法二 由题意知,x=0 为 f(x)的极小值点.∴ f ?(0) =0,即 e -a=0,∴a=1.
3 0 x x x

变式训练 1. 已知函数 f(x)=x -ax-1.? (1)若 f(x)在实数集 R 上单调递增,求实数 a 的取值范围;? (2)是否存在实数 a,使 f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出 a 的取值范围;若不存 在,说明理由;? (3)证明:f(x)=x -ax-1 的图象不可能总在直线 y=a 的上方.? (1)解 由已知 f ?(x) =3x -a,∵f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数,?
2 2 2 3

∴ f ?(x) =3x -a≥0 在(-∞,+∞)上恒成立,即 a≤3x 对 x∈R 恒成立.? ∵3x ≥0,∴只需 a≤0,又 a=0 时, f ?(x) =3x ≥0,? 故 f(x)=x -1 在 R 上是增函数,则 a≤0.? (2)解 由 f ?(x) =3x -a≤0 在(-1,1)上恒成立,得 a≥3x ,x∈(-1,1)恒成立.?
2 2 3 2 2

-6-

∵-1<x<1,∴3x <3,∴只需 a≥3.当 a=3 时, f ?(x) =3(x -1),? 在 x∈(-1,1)上, f ?(x) <0,即 f(x)在(-1,1)上为减函数,∴a≥3.? 故存在实数 a≥3,使 f(x)在(-1,1)上单调递减.? (3)证明 ∵f(-1)=a-2<a,∴f(x)的图象不可能总在直线 y=a 的上方. 例 2. 已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,曲线 y=f(x)在点 x=1 处的切线为 l:3x-y+1=0,若 x= 时, y=f(x)有极值. (1)求 a,b,c 的值;? (2)求 y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值. 解 (1)由 f(x)=x +ax +bx+c,得 f ?(x) =3x +2ax+b,? 当 x=1 时,切线 l 的斜率为 3,可得 2a+b=0
2 2 当 x= 时,y=f(x)有极值,则 f ?? ? =0,可得 4a+3b+4=0 ? ? 3 ?3?
3 2 2 3 2

2

2

2 3

①? ②?

由①②解得 a=2,b=-4.由于切点的横坐标为 x=1,∴f(1)=4.? ∴1+a+b+c=4.∴c=5.? (2)由(1)可得 f(x)=x +2x -4x+5,∴ f ?(x) =3x +4x-4,? 令 f ?(x) =0,得 x=-2,x= .? 当 x 变化时,y,y′的取值及变化如下表: x y′ y 8 -3 (-3,-2) + 单调递增 ↗ 13 -2 0
2? ? ? ? 2, ? 3? ?
3 2 2

2 3

2 3

?2 ? ? ,1? ?3 ?

1

单调递减 ↘

0
95 27

+ 单调递增 ↗
95 . 27

4

∴y=f(x)在[-3,1]上的最大值为 13,最小值为
4 2

变式训练 2. 函数 y=x -2x +5 在区间[-2,2]上的最大值与最小值. 解 先求导数,得 y′=4x -4x,令 y′=0,即 4x -4x=0.解得 x1=-1,x2=0,x3=1.? 导数 y′的正负以及 f(-2),f(2)如下表:? x y′ y 13 -2 (-2,-1) ↘ -1 0 4 (-1,0) + ↗ 0 0 5 (0,1) ↘ 1 0 4 (1,2) + ↗ 13 2
3 3

从上表知,当 x=±2 时,函数有最大值 13,当 x=±1 时,函数有最小值 4. 例 3. 已知函数 f(x)=x e 解
2 -ax 2 -ax

(a>0),求函数在[1,2]上的最大值.
-ax 2 -ax -ax 2

∵f(x)=x e (a>0),∴ f ?(x) =2xe +x ·(-a)e =e (-ax +2x).
-ax 2

令 f ?(x) >0,即 e (-ax +2x)>0,得 0<x<

2 .? a

-7-

2 2 ∴f(x)在(-∞,0), ? ,?? ? 上是减函数,在 ? 0, ? 上是增函数.? ? ? ? ? ?a ? ? a?

①当 0<

2 <1,即 a>2 时,f(x)在(1,2)上是减函数,? a
-a

∴f(x)max=f(1)=e . ②当 1≤
2 ≤2,即 1≤a≤2 时,? a
?a ?

2 2 f(x)在 ?1, ? 上是增函数,在 ? ,2 ? 上是减函数,? ? ? ? ? ? a? 2 -2 -2 ∴f(x)max=f ? ? =4a e . ? ? ?a?

③当

2 >2 时,即 0<a<1 时,f(x)在(1,2)上是增函数,? a
-2a

∴f(x)max=f(2)=4e .? 综上所述,当 0<a<1 时,f(x)的最大值为 4e ,? 当 1≤a≤2 时,f(x)的最大值为 4a e ,? 当 a>2 时,f(x)的最大值为 e . 变式训练 3. 设函数 f(x)=-x(x-a) (x∈R),其中 a∈R.? (1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)当 a≠0 时,求函数 f(x)的极大值和极小值.? 解: (1)当 a=1 时,f(x)=-x(x-1) =-x +2x -x,? f(2)=-2, f ?(x) =-3x +4x-1,?
f ?(2) ? -12+8-1=-5,?
2 2 3 2 2 -a -2 -2 -2a

∴当 a=1 时,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为? 5x+y-8=0.? (2)f(x)=-x(x-a) =-x +2ax -a x,?
f ?(x) =-3x +4ax-a =-(3x-a)(x-a),?
2 2 2 3 2 2

令 f ?(x) =0,解得 x=

a 或 x=a.? 3

由于 a≠0,以下分两种情况讨论.? ①若 a>0,当 x 变化时, f ?(x) 的正负如下表:? x
f ?(x)

(-∞, ↘

a ) 3

a 3

( +
4 3 a 27

a ,a) 3

a 0 0

(a,+∞) ↘

0
?

f(x)



因此,函数 f(x)在 x=

a a 处取得极小值 f( ) ,? 3 3

-8-

且 f(

a 4 )=- a3 ; ? 27 3

函数 f(x)在 x=a 处取得极大值 f(a),且 f(a)=0.? ②若 a<0,当 x 变化时, f ?(x) 的正负如下表:? x
f ?(x)

(-∞,a) ↘

a 0 0

(a, + ↗

a ) 3

a 3

( -

a ,+∞) 3

0 4 3 a 27

f(x)



因此,函数 f(x)在 x=a 处取得极小值 f(a),且 f(a)=0;? 函数 f(x)在 x= 且 f(
a a 处取得极大值 f( ),? 3 3

a 4 )=- a3 . 27 3

例 4. 某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总公司交 a 元 (3≤a≤5) 的管理费, 预计当每件产品的售价为 x 元 (9≤x≤11) 一年的销售量为(12-x) 时, 万件.?(1)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式;? (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值 Q(a). 解 (1)分公司一年的利润 L(万元)与售价 x 的函数关系式为:L=(x-3-a)(12-x) ,x∈ [9,11].? (2) L?(x) =(12-x) -2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).? 令 L? =0 得 x=6+ a 或 x=12(不合题意,舍去).? ∵3≤a≤5,∴8≤6+ a≤
2 3 2 3 28 .? 3 2 3
2 2 2

在 x=6+ a 两侧 L′的值由正变负.? 所以①当 8≤6+ a<9 即 3≤a< 时,Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9) =9(6-a).? ②当 9≤6+ a≤
2 3 2 3 28 9 ,即 ≤a≤5 时,? 2 3 2 3 2 3
2

2 3

9 2

2

Lmax=L(6+ a)=(6+ a-3-a)[12-(6+ a)] =4(3- a) .?
? ?9(6 ? a ), ? 所以 Q (a ) ? ? 3 ?4? 3 ? 1 a ? , ? ? ? ? 3 ? ? 3? a ? 9 , 2

1 3

3

9 ? a ? 5. 2

答 若 3≤a< ,则当每件售价为 9 元时,分公司一年的利润 L 最大,最大值 Q(a)=9(6-a) (万元) ;若 ≤a≤5,则当每件售价为(6+ a)元时,分公司一年的利润 L 最大,最大值
9 2

9 2

2 3

-9-

Q(a)= 4? 3 ? a ? (万元). ? ?
? 1 3 ?

3

变式训练 4:某造船公司年造船量是 20 艘, 已知造船 x 艘的产值函数为 R(x)=3 700x+45x -10x (单位:万元) ,成本函数为 C(x)=460x+5 000(单位:万元) ,又在经济学中,函数 f(x)的 边际函数 Mf(x)定义为 Mf(x)=f(x+1)-f(x). (1)求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x); (提示:利润=产值-成本)? (2)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大??

2

3

(3)求边际利润函数 MP(x)的单调递减区间,并说明单调递减在本题中的实际意义是什么? 解: (1)P(x)=R(x)-C(x)=-10x +45x +3 240x-5 000(x∈N ,且 1≤x≤20);? MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x +60x+3 275 (x∈N ,且 1≤x≤19).? (2) P?(x) =-30x +90x+3 240=-30(x-12)(x+9),? ∵x>0,∴ P?(x) =0 时,x=12,? ∴当 0<x<12 时, P?(x) >0,当 x>12 时, P?(x) <0,? ∴x=12 时,P(x)有最大值.? 即年造船量安排 12 艘时,可使公司造船的年利润最大.? (3)MP(x)=-30x +60x+3 275=-30(x-1) +3 305.? 所以,当 x≥1 时,MP(x)单调递减,? 所以单调减区间为[1,19] ,且 x∈N .? MP(x)是减函数的实际意义是:随着产量的增加,每艘利润与前一艘比较,利润在减少. 小结归纳
* 2 2 2 2 * 3 2 *

研究可导函数 f (x) 的单调性、极值(最值)时,应先求出函数 f (x) 的导函数 f ' ( x) ,再找出 f ' ( x) =0 的 x 取值或 f ' ( x) >0( f ' ( x) <0)的 x 的取值范围.

导数及其应用单元检测题
一、选择题 1.曲线 y=e 在点(2,e )处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ?A. e ?
9 4
2 x 2


e ? 2
2

B.2e

2

C.e

2

D.

2.如果函数 y=f(x)的图象如图所示,那么导函数 y= f ?(x) 的图象可能是 (

)

- 10 -

3.设 f(x)=x (2-x),则 f(x)的单调增区间是 ?A.(0, )
4 3

2



)?
4 3

B.( , +∞)
x

4 3

C.(-∞,0)?

D.(-∞,0)∪( ,+∞)? ( )? D.a>- ?
1 e

4.设 a∈R,若函数 y=e +ax,x∈R 有大于零的极值点,则 ?A.a<-1?
3 2

B.a>-1

1 ?C.a<- ? e

5.已知函数 y=f(x)=x +px +qx 的图象与 x 轴切于非原点的一点,且 y 极小值=-4,那么 p、q 的值 分别为 ?A.6,9 ( B.9,6
2

)? C.4,2 D.8,6? ( C.25 ( )? )? D.42?

6.已知 x≥0,y≥0,x+3y=9,则 x y 的最大值为 A.36 B.18
2 x

7.下列关于函数 f(x)=(2x-x )e 的判断正确的是 ①f(x)>0 的解集是{x|0<x<2};? ②f(- 2 )是极小值,f( 2 )是极大值;? ③f(x)没有最小值,也没有最大值.? ? A.①③ B.①②③ C.②

D.①②? )?

8.函数 f(x)的图象如图所示,下列数值排序正确的是 ( ?A.0< f ?(2) < f ?(3) <f(3)-f(2)? ?B.0< f ?(3) <f(3)-f(2) < f ?(2) ? ?C.0<f(3)< f ?(2) <f(3)-f(2)? ?D.0<f(3)-f(2)< f ?(2) < f ?(3) ?

9.若函数 f(x)=x -ax +1 在(0,2)内单调递减,则实数 a 的取值范围为 ?A.a≥3
3

3

2



)?

?B.a=3
2 2

?

C.a≤3

D.0<a<3? ( )?

10.函数 f(x)=x -ax -bx+a ,在 x=1 时有极值 10,则 a、b 的值为 ?A.a=3,b=-3,或 a=-4,b=11? ?C.a=3,b=-3? 11.使函数 f(x)=x+2cosx 在[0, ?A.0
3

B.a=-4,b=11? D.以上都不正确?
? ]上取最大值的 x 为 2

( D.
? 2

)?

B.

? ? 6

C.

? 3

12.若函数 f(x)=x -3bx+3b 在(0,1)内有极小值,则 ?A.0<b<1 ?B.b<1 ?C.b>0

( ? D.b<
1 2

)?

- 11 -

二、填空题 13.若 f(x)=x +3ax +3(a+2)x+1 没有极值,则 a 的取值范围为 14.如图是 y=f(x)导数的图象,对于下列四个判断:? ①f(x)在[-2,-1]上是增函数;? ②x=-1 是 f(x)的极小值点;? ③f(x)在[-1,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数;? ④x=3 是 f(x)的极小值点.? 其中判断正确的是 .? .? .?
3 2

.?

15.函数 f(x)的导函数 y= f ?(x) 的图象如右图,则函数 f(x)的单调递增区间为 16.已知函数 f(x)的导函数为 f ?(x) ,且满足 f(x)=3x +2x f ?(2) ,则 f ?(5) = 三、解答题 17.已知函数 f(x)=x - x +bx+c.? (1)若 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,求 b 的取值范围;?
3 2

1 2

2

(2)若 f(x)在 x=1 处取得极值,且 x∈[-1,2]时,f(x)<c 恒成立,求 c 的取值范围.?

2

18.设 p:f(x)=(x -4)(x-a)在(-∞,-2)和(2,+∞)上是单调增函数;q:不等式 x -2x>a 的解集 为 R. 如果 p 与 q 有且只有一个正确,求 a 的取值范围.?

2

2

19.已知函数 f(x)=x(x-1)(x-a)在(2,+∞)上是增函数,试确定实数 a 的取值范围.?

- 12 -

20.已知定义在 R 上的函数 f(x)=-2x +bx +cx(b,c∈R),函数 F(x)=f(x)-3x 是奇函数,函数 f(x)在 x=-1 处取极值.? (1)求 f(x)的解析式;? (2)讨论 f(x)在区间[-3,3]上的单调性.?

3

2

2

21.如图所示,P 是抛物线 C:y= x 上一点,直线 l 过点 P 并与抛物线 C 在点 P 的切线垂直,l 与抛物线 C 相交于另一点 Q,当点 P 在抛物线 C 上移动时, 求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程,并求点 M 到 x 轴的最短距离. ?

1 2

2

22.已知某质点的运动方程为 s(t)=t +bt +ct+d,下图是其运动轨迹的一部分,若 t∈[ ,4] 时,s(t)<3d 恒成立,求 d 的取值范围.?
2

3

2

1 2

- 13 -

导数及其应用单元检测题答案
一、选择题 1.答案?D?? 2.答案?A?? 3.答案? A?? 4.答案?A?? 5.答案?A?? 6.答案?A?? 7.答案 D

8.答案?B?? 9.答案?A?? 10.答案?B?? 11.答案?B?? 12.答案?A?? 二、填空题 13.答案 [-1,2]? 14.答案 ②③ 15.答案 [-1,0]和[2,+∞)? 16.答案 6?

三、解答题 17.解 (1) f ?(x) =3x -x+b,因 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,则 f ?(x) ≥0.即 3x -x+b≥0,? ∴b≥x-3x 在(-∞,+∞)恒成立.设 g(x)=x-3x .? 当 x= 时,g(x)max=
1 6 1 1 ,∴b≥ .? 12 12
2 2 2 2

(2)由题意知 f ?(1) =0,即 3-1+b=0,∴b=-2.? x∈ [-1,2] f(x)<c 恒成立, 时, 只需 f(x)在 [-1, 上的最大值小于 c 即可.因 f ?(x) =3x -x-2, 2] 令 f ?(x) =0,得 x=1 或 x=- .∵f(1)=- +c,? f(- ) ?
2 3 22 1 ? c, f (?1) ? ? c, f(2)=2+c.? 27 2
2 2 2 2

2 3

3 2

∴f(x)max=f(2)=2+c,∴2+c<c .解得 c>2 或 c<-1, 所以 c 的取值范围为 (-∞, ∪ -1) (2, +∞) . 18.解 命题 p:由原式得 f(x)=x -ax -4x+4a,? ∴ f ?(x) =3x -2ax-4,y′的图象为开口向上且过点(0,-4)的抛物线.? 由条件得 f ?(?2) ≥0 且 f ?(2) ≥0,? 即?
?4a ? 8 ? 0 ∴-2≤a≤2.? ?8 ? 4a ? 0.
- 14 2 3 2

命题 q: x 2 ? 2 x ? ( x ? 1) 2 ? 1 ? a ? ∵该不等式的解集为 R,∴a<-1.? 当 p 正确 q 不正确时,-1≤a≤2;? 当 p 不正确 q 正确时,a<-2.? ∴a 的取值范围是(-∞,-2)∪[-1,2].? 19.解 f(x)=x(x-1)(x-a)=x -(a+1)x +ax? ∴ f ?(x) =3x -2(a+1)x+a? 要使函数 f(x)=x(x-1)(x-a)在(2,+∞)上是增函数,只需 f ?(x) =3x -2(a+1)x+a 在(2,+∞) 上满足 f ?(x) ≥0 即可.? ∵ f ?(x) =3x -2(a+1)x+a 的对称轴是 x=
?a ?1 ? a ?1 ?2 ? ?2 ? ∴a 的取值应满足: ? 3 或? 3 ? ? f ?(2) ? 0 ? f ?( a ? 1 ) ? 0 ? ? 3 ?
2 2 2 3 2

a ?1 ,? 3

解得:a≤ .∴a 的取值范围是 a≤ . 20.解 (1)∵函数 F(x)=f(x)-3x 是奇函数,? ∴F(-x)=-F(x),化简计算得 b=3.? ∵函数 f(x)在 x=-1 处取极值,∴ f ?(?1) =0.? f(x)=-2x +3x +cx, f ?(x) =-6x +6x+c? ∴ f ?(?1) =-6-6+c=0,c=12. ∴f(x)=-2x +3x +12x,? (2) f ?(x) =-6x +6x+12=-6(x -x-2).? 令 f ?(x) =0,得 x1=-1,x2=2,? x
f ?(x)
2 2 3 2 3 2 2 2

8 3

8 3

-3

(-3,-1) -

-1 0 -7

(-1,2) + ↗

2 0 20

(2, 3) 3 ↘ 9

f(x)

45



∴函数 f(x)在[-3,-1]和[2,3]上是减函数,? 函数 f(x)在[-1,2]上是增函数. 21. 解 设 P(x0,y0) ,则 y0= x , ,?
2 0

1 2

∴过点 P 的切线斜率 k=x0,? 当 x0=0 时不合题意,∴x0≠0.? ∴直线 l 的斜率 kl=- ? ?
1 2
2

1 k

1 ,? x0 1 ( x ? x0 ) .? x0
- 15 -

∴直线 l 的方程为 y- x ? ?
0

此式与 y= x 联立消去 y 得?
2

1 2

x+

2

2 x ? x02 ? 2 ? 0. x0

设 Q(x1,y1),M(x,y).∵M 是 PQ 的中点,?
x0 ? x1 1 ? ?x ? 2 ? ? x ? 0 ∴? 2 1 1 ? y ? ? ( ? ? x ) ? 1 x 2 ? 1 ? x0 ? 1 0 0 2 ? x0 x0 2 x0 2 ?

消去 x0,得 y=x + ∴y=x +
2

2

1 2 +1 (x≠0)就是所求的轨迹方程.由 x≠0 知 x >0,? 2x2

1 1 +1≥2 x 2 · 2 ? 1 ? 2 ? 1. 2x 2x2
2

上式等号仅当 x =

1 1 ,即 x=± 4 时成立,? 2 2x2

所以点 M 到 x 轴的最短距离是 2 +1. 22. 解
s?(t ) =3t +2bt+c.?
2

由图象可知,s(t)在 t=1 和 t=3 处取得极值.? 则 s?(1) =0, s?(3) =0.? 即?
?3 ? 2b ? c ? 0 ?b ? ?6 , 解得 ? 27 ? 6b ? c ? 0 ? ?c ? 9
2

∴ s?(t ) =3t -12t+9=3(t-1)(t-3).? 当 t∈[ ,1)时, s?(t ) >0.? 当 t∈(1,3)时, s?(t ) <0.? 当 t∈(3,4)时, s?(t ) >0.? 则当 t=1 时,s(t)取得极大值为 4+d.? 又 s(4)=4+d,? 故 t∈[ ,4]时,s(t)的最大值为 4+d.? 已知 s(t)<3d 在[ ,4]上恒成立,? ∴s(t)max<3d .即 4+d<3d .? 解得 d> 或 d<-1.∴d 的取值范围是{d|d> 或 d<-1}.
4 3 4 3
2 2 2

1 2

1 2

1 2

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

- 16 -


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