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创新设计2016


2.2.4

平面与平面平行的性质

【课时目标】 1.会用图形语言、文字语言、符号语言准确地描述平面与平面平行的性 质定理.2.能运用平面与平面平行的性质定理,证明一些空间面面平行关系的简单命题.

1.平面与平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,________________________________. (1)符号表示为:________________? a∥b. (2)性质定理的作用: 利用性质定理可证________________,也可用来作空间中的平行线. 2.面面平行的其他性质 α ∥β (1)两平面平行, 其中一个平面内的任一直线平行于____________________, 即 a? α ? ________,可用来证明线面平行; (2)夹在两个平行平面间的平行线段________; (3)平行于同一平面的两个平面________.

? ? ? ? ?

一、选择题 1.下列说法正确的是( ) A.如果两个平面有三个公共点,那么它们重合 B.过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行 C.在两个平行平面中,一个平面内的任何直线都与另一个平面平行 D.如果两个平面平行,那么分别在两个平面中的两条直线平行 2.设平面 α ∥平面 β ,直线 a? α ,点 B∈β ,则在 β 内过点 B 的所有直线中( ) A.不一定存在与 a 平行的直线 B.只有两条与 a 平行的直线 C.存在无数条与 a 平行的直线 D.存在惟一一条与 a 平行的直线 3.如图所示,P 是三角形 ABC 所在平面外一点,平面 α ∥平面 ABC,α 分别交线段 PA、 PB、PC 于 A′、B′、C′,若 PA′∶AA′=2∶3,则 S△A′B′C′∶S△ABC 等于( )

A.2∶25B.4∶25 C.2∶5D.4∶5 4.α ,β ,γ 为三个不重合的平面,a,b,c 为三条不同的直线,则有下列命题,不正 确的是( ) a∥c? a∥γ ? ? ? ?? a∥b; ② ?? a∥b; ① ? b∥c? b∥γ ? ? ③
? α ∥c? ?? α ∥β ;④ β ∥c? ?

α ∥γ ? ? ?? α ∥β ; β ∥γ ? ?
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? α ∥c?

a∥c

?? α ∥a; ⑥ ? ?

? α ∥γ ? ? a∥γ ?

?? a∥α .

A.④⑥B.②③⑥ C.②③⑤⑥D.②③ 5.设 α ∥β ,A∈α ,B∈β ,C 是 AB 的中点,当 A、B 分别在平面 α 、β 内运动时, 那么所有的动点 C( ) A.不共面 B.当且仅当 A、B 分别在两条直线上移动时才共面 C.当且仅当 A、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面 D.不论 A、B 如何移动,都共面 6.已知平面 α ∥平面 β ,P 是 α ,β 外一点,过点 P 的直线 M 与 α ,β 分别交于点 A, C,过点 P 的直线 n 与 α ,β 分别交于点 B,D,且 PA=6,AC=9,PD=8,则 BD 的长为( ) 24 A.16B.24 或 5 C.14D.20 二、填空题 7.分别在两个平行平面的两个三角形, (1)若对应顶点的连线共点,那么这两个三角形具有______关系; (2)若对应顶点的连线互相平行,那么这两个三角形具有________关系. 8. 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的三个顶点 A1、 C1、 B 的平面与底面 ABCD 所在平面的交线为 l, 则 l 与 A1C1 的位置关系是________. 9.已知平面 α ∥β ∥γ ,两条直线 l、M 分别与平面 α 、β 、γ 相交于点 A、B、C 与 D、 DE 2 E、F.已知 AB=6, = ,则 AC=________. DF 5

三、解答题 10.如图所示,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,面对角线 AB1、BC1 上分别有两点 E、F,且 B1E=C1F.求证:EF∥平面 ABCD.

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11.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,M 是 A1C1 的中点,平面 AB1M∥平面 BC1N,AC∩平面

BC1N=N.
求证:N 为 AC 的中点.

能力提升 12.如图所示, 在底面是平行四边形的四棱锥 P-ABCD 中,点 E 在 PD 上,且 PE∶ED=2∶ 1,在棱 PC 上是否存在一点 F,使 BF∥平面 AEC?并证明你的结论.

13.如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,A1B1 的中点是 P,过点 A1 作与截面 PBC1 平行的截面,能否确定截面的形状?如果能,求出截面的面积.

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1.在空间平行的判断与证明时要注意线线、线面、面面平行关系的转化过程:

2.强调两个问题 (1)一条直线平行于一个平面,就平行于这个平面内的一切直线,这种说法是不对的,但 可以认为这条直线与平面内的无数条直线平行. (2)两个平面平行,其中一个平面内的直线必定平行于另一个平面,但这两个平面内的直 线不一定相互平行,也有可能异面.

2.2.4 知识梳理 1.那么它们的交线平行 (1)

平面与平面平行的性质答案

? ? α ∩γ =a? (2)线线平行 β ∩γ =b? ?
α ∥β

2.(1)另一个平面 a∥β (2)相等 (3)平行 作业设计 1.C [由两平面平行的定义知:一平面内的任何直线与另一平面均无交点,所以选 C.] 2.D [直线 a 与 B 可确定一个平面 γ , ∵B∈β ∩γ ,∴β 与 γ 有一条公共直线 b. 由线面平行的性质定理知 b∥a,所以存在性成立. 因为过点 B 有且只有一条直线与已知直线 a 平行, 所以 b 惟一.] 3.B [面 α ∥面 ABC,面 PAB 与它们的交线分别为 A′B′,AB,∴AB∥A′B′, 同理 B′C′∥BC, 易得△ABC∽△A′B′C′, A′B′ 2 PA′ 2 4 S△A′B′C′∶S△ABC=( ) =( ) = .] AB PA 25 4.C [由公理 4 及平行平面的传递性知①④正确.举反例知②③⑤⑥不正确.②中 a,b 可以相交,还可以异面;③中 α ,β 可以相交;⑤中 a 可以在 α 内;⑥中 a 可以在 α 内.] 5.D [

如图所示, A′、 B′分别是 A、 B 两点在 α 、 β 上运动后的两点, 此时 AB 中点变成 A′B′
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中点 C′,连接 A′B,取 A′B 中点 E.连接 CE、C′E、AA′、BB′、CC′. 则 CE∥AA′,∴CE∥α . C′E∥BB′,∴C′E∥β . 又∵α ∥β ,∴C′E∥α . ∵C′E∩CE=E. ∴平面 CC′E∥平面 α . ∴CC′∥α .所以不论 A、B 如何移动,所有的动点 C 都在过 C 点且与 α 、β 平行的平 面上.] 6.B [当 P 点在平面 α 和平面 β 之间时,由三角形相似可求得 BD=24,当平面 α 和 24 平面 β 在点 P 同侧时可求得 BD= .] 5 7.(1)相似 (2)全等 8.平行 [由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的.] DE AB DF 5 9.15 [由题可知 = ? AC= ·AB= ×6=15.] DF AC DE 2 10.证明 方法一 过 E、F 分别作 AB、BC 的垂线,EM、FN 分别交 AB、BC 于 M、N,连 接 MN. ∵BB1⊥平面 ABCD, ∴BB1⊥AB,BB1⊥BC,

∴EM∥BB1,FN∥BB1, ∴EM∥FN, ∵AB1=BC1,B1E=C1F, ∴AE=BF,又∠B1AB=∠C1BC=45°, ∴Rt△AME≌Rt△BNF, ∴EM=FN. ∴四边形 MNFE 是平行四边形, ∴EF∥MN. 又 MN? 平面 ABCD,EF?平面 ABCD, ∴EF∥平面 ABCD. 方法二

过 E 作 EG∥AB 交 BB1 于 G,连接 GF, B1E B1G C1F B1G ∴ = ,B1E=C1F,B1A=C1B,∴ = , B1A B1B C1B B1B ∴FG∥B1C1∥BC. 又∵EG∩FG=G,AB∩BC=B, ∴平面 EFG∥平面 ABCD. 又 EF? 平面 EFG, ∴EF∥平面 ABCD. 11.证明 ∵平面 AB1M∥平面 BC1N,
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平面 ACC1A1∩平面 AB1M=AM, 平面 BC1N∩平面 ACC1A1=C1N, ∴C1N∥AM,又 AC∥A1C1, ∴四边形 ANC1M 为平行四边形, 1 1 ∴AN 綊 C1M= A1C1= AC, 2 2 ∴N 为 AC 的中点. 12.解

当 F 是棱 PC 的中点时,BF∥平面 AEC,证明如下: 取 PE 的中点 M,连接 FM,则 FM∥CE,① 1 由 EM= PE=ED, 知 E 是 MD 的中点, 设 BD∩AC=O, 则 O 为 BD 的中点, 连接 OE, 则 BM∥OE, 2 ② 由①②可知,平面 BFM∥平面 AEC,又 BF? 平面 BFM, ∴BF∥平面 AEC. 13.解 能.取 AB,C1D1 的中点 M,N,连接 A1M,MC,CN,NA1,

∵A1N∥PC1 且 A1N=PC1, PC1∥MC,PC1=MC, ∴四边形 A1MCN 是平行四边形, 又∵A1N∥PC1,A1M∥BP, A1N∩A1M=A1,C1P∩PB=P, ∴平面 A1MCN∥平面 PBC1, 因此,过点 A1 与截面 PBC1 平行的截面是平行四边形. 连接 MN,作 A1H⊥MN 于点 H, ∵A1M=A1N= 5,MN=2 2, ∴A1H= 3. 1 ∴S△A1MN= ×2 2× 3= 6. 2 故 S?A1MCN=2S△A1MN=2 6.

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