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湖北省武汉市第二中学2015-2016学年高一下学期期末考试数学(理)(解析版)


湖北省武汉市第二中学 2015-2016 学年高一下学期期末考试 数学(理)

一、选择题:共 12 题
1.已知集合

,

,

,则 A. 【答案】B 【解析】本题主要考查集合的基本运算.依题意, 且不重合,即 求得 ,则集合 A、B 表示的直线平行 B. C. 或 D. 或 6

,代入两直线不重合,复合题意,故选 B.

2.已知直线 l:ax+y-2-a=0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则 a 的值是

A.1 【答案】D

B.-1

C.-2 或-1

D.-2 或 1

【解析】由题意得 a+2=

,解得 a=-2 或 a=1.

3.如果实数

满足: B.

,则下列不等式中不成立的是 C. D.

A. 【答案】B

【解析】本题主要考查不等式的性质.由 A. 对于 C. 得 正确; 对于 B. 等价于 即 得 ,由 即

,利用绝对值不等式的性质,得 与 ,故 C 正确;由 矛盾, 故 B 错误; ,平方

,故 D 正确,综上,不等式中不成立的是 B.故选 B.

4.在等比数列

中, B. 或 C.



等于 D.

A. 或 【答案】A

1

【解析】 本题主要考查等比数列的性质.依题意, 根据等比数列的性质得 则 , 是方程 的两根,解得 或 得

,

或 .故选 A.

5.在三角形 ABC 中,

, B.2

, C.0

,则满足条件的三角形有( D.与 有关

)个

A.1 【答案】B

【解析】本题主要考查正弦定理的应用.根据正弦定理, 则满足条件的三角形有 2 个,故选 B.

,由



6.

是不同的直线, ② ④ B.2

是不同的平面,以下结论成立的个数是

① ③ A.1 【答案】A

C.3

D.4

【解析】本题主要考查空间点线面的位置关系.根据公理 4 可得①正确;对于② , ,则 与 平行或异面或相交,故②错误;对于③ , , , 得 与 平行或

相交,故③错误;对于④ 正确的只有①,故选 A.

则 与 相交或平行,故④错误;综上,

7. 过圆

内一点

的最长弦与最短弦分别为

、 ,则直线



的斜率之和为 A. 【答案】B 【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系及直线的斜率.把圆的方程化为标准方程得: (x?3)2+(y?4)2=25, 得圆心坐标为(3,4), 则过(2,5)的最长弦 AB 所在直线的斜率为 , B. C. D. 或

又最长弦所在的直线与最短弦所在的直线垂直,故过(2,5)最短弦 CD 所在的直线斜率为 1,则直线 AB 与 CD 的斜率之和为?1+1=0.故选 B.

2

8. 已知等差数列

的前 项和为 ,公差

,当

取最小值时, 的最大值为 10,则数列

的首项 的取值范围是 A. 【答案】B 【解析】本题主要考查等差数列的性质.依题意,当 取最小值时, 的最大值为 10,则 ,即 ,求得 ,故选 B. B. C. D.

9.已知某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积是

A. 【答案】C

B.

C.

D.

【解析】根据几何体的三视图,该几何体是如图所示的四棱锥,且该四棱锥的底面是边 长为 2cm 的正方形 ABCD,高为 故选 C. cm.则该四棱锥的体积为 .

3

10.设实数

满足

,如图所示,则

的最大值为

A. 【答案】A

B.

C.

D.

【解析】 由图象知 y?10?2x, 则 xy?x(10?2x)=2x(5?x))

, 当且仅当 x= ,

y=5 时,取等号,经检验( ,5)在可行域内,故 xy 的最大值为 ,故选 A.

11. 三棱锥

的顶点 在平面 ABC 内的射影为 P,给出下列条件,一定可以判断 P 为 )个 两两垂直; ③ ; ④

三角形 ABC 的垂心的有( ① ; ②

A.1 【答案】B

B.2

C.3

D.4

【解析】本题主要考查线面垂直.由①

可得





,得 ⊥

,得 P 为三角形 ABC 的外心;对于②,若 平面 ⊥ 可得 ,则 ⊥ ,由 ⊥ ⊥平面 ,可得 ⊥ ,即可证得

两两垂直,则 ⊥平面 ;

,可得

, 同理可证 ⊥平面

, 则 P 为三角形 ABC 的垂心; 对于③, 由

,只有当点 与点 重合时,点 P 为三角形 ABC 的垂心;对于④,利

用②可得 P 为三角形 ABC 的垂心;综上,一定可以判断 P 为三角形 ABC 的垂心的有② ④,共 2 个,故选 B.

12.在

中,角

所对的边分别为

.若

,且

,则

的最大值是
4

A. 【答案】B

B.

C.

D.

【解析】本题主要考查正弦定理.根据正弦定理, 即 = = ,得 = ,故 ,又 则 = 最大值是 .

得 即 = ,则

,

二、填空题:共 4 题
13.数列

前 10 项的和为

.

【答案】 【解析】 本题主要考查数列的前 n 项和. 为 , 则数列 .故填 . 前 10 项的和

14.三棱锥

中,正三角形 ABC 的边长为 ,则 .

,

,二面角

的平

面角的大小为 【答案】

【解析】 本题主要考查二面角及余弦定理.取 AB 的中点 , 在等腰 在正三角形 中,求得 ,且二面角

中, 求得

, , ,

的平面角的平面角 =

利用余弦定理可得 ,故填 .

15.若数列

的前 项之积等于

,

,则数列

的通项公式为______.

【答案】 【解析】本题主要考查数列求通项.依题意, 时, ,当 . 时, = = = = ,故 ,当

5

16.动直线

与圆 .

及直线

分别交于 P、Q 两点,则

的最

小值为 【答案】

【解析】本题主要考查三角函数和与差的三角公式.设点 ,点 ,当 ,则 时, = 有最小值 . =

,依题意,则 =

三、解答题:共 6 题
17.三角形 ABC 三边长分别为

,最大角 C 是最小角 A 的两倍.

(1)求

(用 表示);

(2)求正整数 的值. 【答案】(1)根据大角对大边及大边对大角可知, 所对角为 , 弦定理得: (2)由正弦定理得: 由 得: . 及 得 . . 所对角为 ,由余

【解析】本题主要考查正弦定理及余弦定理.(1)根据大角对大边及大边对大角可知, 所 对角为 , 定理得: 所对角为 ,由余弦定理得: 及 得 .由 得: . .(2)由正弦

18.求证:两条平行线与同一个平面所成角相等.

已知: 求证:

,平面 . 与平面 所成角相等. ,平面 .

【答案】已知: 求证:

与平面 所成角相等. 都在平面 内,由线面角的定义可知,它们与平面 所成角都是 ; ,由线面角的定义可知,它们与平面 所成角都是 ; 都与平面 平行,它们与平面 所成角都是 ; 都与平面 垂直,由线面角的定义可知,它们与平面 所成角都是 与平面 斜交,设其交点分别为 、 ,分别过 . , .
6

证明:如果 如果 如果 如果 如果

上的点作 的垂线,

如图所示, 连接 因为

、 , 由线面角的定义可知 , 又

与平面 所成角分别为 所以 , 所以

, .

综上,两条平行线与同一个平面所成角相等. 【解析】本题主要考查直线与平面所成的角.分情况讨论:①直线 们与平面 所成角都是 ;② 与平面 斜交,分别过 用三角形相似证得 都在平面 内,它

都与平面 平行,它们与平面 所成角都是 ;③直线 上的点作 的垂线 ,从而证得结论. , .如图所示,连接 、 ,利

19.已知数列

的首项

,且

.

( )求证:数列 ( )求数列 【答案】( )证明: 因此数列

是等比数列; 的前 项和 . ,

是等比数列,且公比为 2. 是首项为 4, 公比为 2 的等比数列, 因此 ; . ,① ,②

( )由( )及题设可知, 数列 ,于是 ∴ 则 ∴ ②-①得

. 【解析】本题主要考查等比数列的判定、错位相减法求和. (1) ( )由(1)得数列 ,从而证得数列 是等比数列; ,故

是等比数列,且公比为 2 的等比数列,求得 ,然后利用错位相减法求得数列 的前 项和 .

20. 在长方体

中,

与平面

交于 H 点,E 是

的中点,

.

7

(1)求证:

平面

; 的重心. 交 于 ,为 且 的中点, 连接 ,所以 交 于 , 是 的中

(2)证明:H 为三角形 (1)连接 【答案】 证明: 点,连接 以 又 所以 , (2)在矩形 线 与平面

,在长方体中, , ,所以 为 . 平面 中, , 平面

为平行四边形,所

的中点, 为

的中点,

,所以 且

平面 平面

. ,所以 为直 中,三角形 相



的公共点,所以 点就是 点。又在矩形 ,又 的重心. ,所以 ,又 为三角形

似于三角形 为三角形

的中线,所以

【解析】本题主要考查线面平行的判定及三角形重心的判定.(1)连接 为 得 的中点,连接 ,又 交 , 于 , 平面 ,又 是 的中点,连接 , 平面 为三角形 ,由



于 , ,从而证 平面

,从而证得

.(2)由三角形相似证得 角形 的重心.

的中线,从而证得 为三

8

21. 已知圆 的方程为

,圆内一点

,过 C 且不过圆心的动直线 交圆 于 P、

Q 两点.圆心 到直线 的距离为 . (1)用 表示 的面积 ,并写出函数 的定义域.

(2)求 的最大值,并求此时直线 的方程. 【答案】(1)由平面几何知识得 . (2) =
2 2 2 当且仅当 9- = ,即 = 时,SDOPQ 取得最大值 .

,

当直线 的斜率不存在时, 的方程为 =2, 设 的方程为 ,解得 或 . 或

. 的距离为 由

,则圆心到直线

此时直线 的方程为



【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系及基本不等式.(1)由平面几何知识得 , , .(2) =

利用基本不等式求得最大值,利用取最大值时斜率 的值,从而求得此时 直线 的方程.

22.已知圆 与直线

相切,圆心在 轴上,且该圆被直线

截得的弦长为

. (1)求圆 的方程; (2)过点 之积为 作斜率为 ,求 的直线 与圆 交于 的值. , 两点,若直线 与 的斜率

【答案】(1)设圆 的方程为 圆心到直线 圆 被 的距离为 . 截得弦长为 ,所以 相切,所以 ,

. .

又圆 与直线 由以上两式可得:

9

从而圆的方程为 (2)设 的方程为

. ,代入圆的方程并整理得: , 恒成立.



, , .

所以

.





,则 ,

.





【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系及平面向量数量积.(1)设圆 的方程为 ,求得圆心到直线 的值,从而求得圆 的方程;(2)设 的方程为 , 求得 , 的距离为 .,利用弦长公式求得 和 ,代入圆的方程并整理得: 恒成立.利用根与系数的关系结合直线 的值.

的值,利用平面向量数量积公式求得

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