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四川省雅安市雅安中学2015届高三数学开学考试试题 理


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四川省雅安市雅安中学 2015 届高三数学开学考试试题 理
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中.只有 一个是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {1,2,3} ,且集合 A 的元素中至少含有一个奇数,则满足条件的集合 A 有 A.8 个 B.7 个 C.6 个 D.5 个 2.下列说法错误的是 A.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内; B.过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直; C.如果共点的三条直线两两垂直,那么它们中每两条直线确 定的平面也两两垂直; D.如果两条直线和一个平面所成的角相等,则这两条 直线一定平行. 3. (2 x ? 1) 的展开式中含 x 的奇次方项的系数和等于
4

开始

i ? 1, S ? 0

A. 44

B.25

C. 41

D. 40

i ? i ?1

4.若 a, b, c 为实数,则下列命题正确的是
2 2 A.若 a ? b ,则 ac ? bc

i 是奇数




S ? 2 ?i ?1
2

B.若 a ? b ? 0 ,则 a ? ab ? b
2



1 1 ? C.若 a ? b ? 0 ,则 a b

S ? 10
否 输出 i 结束

b a ? D.若 a ? b ? 0 ,则 a b
5.阅读右侧程序框图,如果输出 i ? 5 ,那么在空白 矩形框中应填入的语句为 A. S ? 2 ? i C. S ? 2 ? i ? 2 B. S ? 2 ? i ? 1 D. S ? 2 ? i ? 4

6.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积是

A.4+2 6

B.4+ 6

C.4+2 2

D.4+ 2
1

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? ? ? ? 0 | ta ? b | 的最小 a b 60 t 7.已知向量 是与单位向量 夹角为 的任意向量,则对任意的正实数 ,
值是

A.0

1 B. 2

3 C. 2

D.1

8.下列命题正确的是 ①若

f (3x ) ? 4x log2 3 ? 2 ,则 f (2) ? f (4) ? ... ? f (28 ) ? 180 ;
(

k? ,0 ) ②函数 f ( x) ? tan 2 x 的对称中心是 2 (k ?Z ) ;
③“ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ” ;
3 2
3 2

x,x ,x ④设常数 a 使方 程 sin x ? 3 cos x ? a 在闭区间[0,2 ? ]上恰有三个解 1 2 3 ,
7? ? x ? x ? x 3 2 3 则 1
A.①③ 9.函数 是 A. B.②③ C.②④ D.③④

f ? x?

的零点与

g ? x ? ? 4x ? 2 x ? 2

的零点之差的绝对值不超过 0.25, 则

f ? x?

可以

f ? x ? ? e x ?1 f ? x ? ? 4x ?1

B.

f ? x ? ? ( x ?1)2

C.

1 f ( x) ? ln( x ? ) 2 D.

10. 若存在 为函数

x0 ? N? , n ? N? , f ( x0 ) ? f ( x0 ? 1) ? ......? f ( x0 ? n) ? 63 成立, ( x , n) 使 则称 0
的一个“生成点”.已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1, x ? N ? 的“生成点”坐标满足二次函

f ? x?

2 数 g ( x) ? ax ? bx ? c ,则使函数 y ? g ( x) 与 x 轴无交点的 a 的取值范围是

0?a?
A.

2? 3 16

B.

2? 3 2? 3 ?a? 16 16 0?a? 2? 3 2? 3 或a ? 16 16

a?
C.

2? 3 8

D.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡相应位置上. 11.若 ( x ? i)i ? y ? 2i( x, y ? R) ,则复数 x ? yi ? .

2

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?x ? y ? 5 ? 0 ? ?x ? y ? 0 ?x?3 12.已知 x 、 y 满足约束条件 ? ,则 z ? 2 x ? 4 y 的最小值是

.

13.2014 年某地春季高考有 10 所高校招生,如果某 3 位同学恰好被其中 2 所高校录取,那么 录取方式有 种. 14.有两个等差数列 2,6,10,…,190 及 2,8,14,…,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大 的顺序组成一个新数列,则这个新数列的各项之和为 . 15.在下列命题中

f ( x) ? x ?
①函数

a ( x ? 0) x 的最小值为 2 a ;

②已知定义在 R 上周期为 4 的函数 f ( x ) 满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,则 f ( x ) 一定为偶函数; ③定义在 R 上的函数 f(x)既是奇函数又是以 2 为周期的周期函数,则 f(1)+f(4)+f(7)=0
3 2 ④已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) , 则 a ? b ? c ? 0 是 f ( x ) 有极值的必要不充分条

件; ⑤已知函数 f ( x) ? x ? sin x ,若 a ? b ? 0 ,则 f (a) ? f (b) ? 0 . 其中正确命题的序号为 (写出所有正确命题的序号). 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a , b, c ,若 (2a ? c) cos B ? b cos C . (Ⅰ)求角 B 的大小;

3 3 ??? ? ??? ? a ? 3 ? ABC BA ? AC 2 (Ⅱ)若 , 的 面积为 ,求 的值.
17.(本小题满分 12 分) 某用人单位招聘员工依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核.规定:只能通过前一轮考 核后才能进入下一轮的考核,否则将被淘汰;三轮考核都通过才算通过. 小王三轮考核通过的

1 3 3 概率分别为 3 , 4 , 5 ,且各轮考核通过与否相互独立.
(Ⅰ)求小王通过该招聘考核的概率; (Ⅱ)若小王通过第一轮考核,家长奖励人民币 1200 元;若小王通过第二轮考核,家长再奖 励人民币 1000 元;若小王通过第三轮考核,家长再奖励人民币 1400 元.记小王得到奖励的金 额为 X ,求 X 的分布列和数学期望.

18.(本小题满分 12 分) 已知单调递增的等比数列

?an ? 满足: a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项.
3

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?an ? 的通项公式;

bn ? an log 2 an , sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,求 sn ? n ? 2n?1 ? 50 ? 0 成立的正整数 n 的最

19. (本题满分 12 分) 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=BC=CA=AA1, 侧棱 AA1⊥平面 ABC,O、D、E 分别是棱 AB、A1B1、

A1 C1 E

D

B1

AF ?
AA1 的中点,点 F 在棱 AB 上,且

1 AB 4 .

(Ⅰ)求证:EF∥平面 BDC1; (Ⅱ)求证:平面 OCC1D⊥平面 ABB1 A1; (Ⅲ)求二面角 E-BC1-D 的余弦值.

A

F C

O

B

20. (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x, 其中a 为常数. (Ⅰ)当 a ? ?1 时,求 f ( x ) 的单调区间;

0??
(Ⅱ)当

1 ?e a 时,若 f ( x ) 在区间 (0, e) 上的最大值为 ? 3 ,求 a 的值;

ln x 1 ? 2 是否有实数解. (Ⅲ)当 a ? ?1 时,试推断方程 | f ( x) | = x

4

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21. (本题满分 14 分)

?1? mx g ( x) ? ? ? f ( x) ? 2 4 x ? 16 , ?2? 已知函数
(Ⅰ)判断函数 f ( x ) 的单调性;

| x ? m|

,其中 m ? R 且 m ? 0 .

??2, 2? 上的最值; (Ⅱ)当 m ? ?2 时,求函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间
? f ( x), x ? 2 h( x) ? ? , x ??2, ??? g ( x ), x ? 2 ? (Ⅲ)设函数 当 m ? 2 时 , 若对于任意的 1 , 总存在唯一的

x2 ? ? ??, 2?

,使得

h( x1 ) ? h( x2 ) 成立,试求 m 的取值范围.

5

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三、解答 题:
cos C 16、解(1)∵ (2a ? c) cos B ? b cos C , 由正弦定理得: (2sin A ? sin C ) cos B ? sin B? ,

∴ 2sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B ? sin( B ? C ) ? sin A

∵ 0 ? A ? ? ,∴ sin A ? 0
B?

∴ 2cos B ? 1 ,

cos B ?

1 2

又 0 ? B ??

?
3 ; ??????????????????????????????? 6 分



1 ? 3 3 3 3 ? 3c sin ? 3 2 (2)方法一:∵ a ? 3 , △ABC 的面积为 2 ,∴ 2

∴c?2, ? 8 分

b2 ? 22 ? 32 ? 2 ? 2 ? 3cos
22 ? ( 7) 2 ? 32 2? 2? 7

?
3

?7

,即 b ? 7 ,

???????????????? 9 分

cos A ?

?

7 14 ,

??????????????????? ???10 分

7 ??? ? ???? ? 2 ? 7 ? (? ) ? ?1 BA ? AC ? bc cos( ? ? A ) 14 ∴ .

????????????????12 分

??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?2 BA ? AC ? BA ( BC ? BA ) ? BA ? BC ? BA 方法二:
??? ? ??? ? ??? ?2 1 ? BA ? BC ? cos? BA, BC ? ? BA ? 2 ? 3 ? ? 22 ? ?1 2 ????????????12 分 1 3 3 3 ? ? ? 17、解(1)设“小王通过招聘考核”为事件 A,则 P(A)= 3 4 5 20
3 所以小王通过招聘考核的概率为 20

????????????????????4 分 ????????? ??5 分

(2) X 的可能取值为 0 元,1200 元,2200 元,3600 元

6

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1 2 P( X ? 0) ? 1 ? ? 3 3, 1 3 1 P( X ? 1200) ? ? (1 ? ) ? 3 4 12 ,
1 3 3 1 P( X ? 2200) ? ? ? (1 ? ) ? 3 4 5 10

1 3 3 3 P( X ? 3600) ? ? ? ? 3 4 5 20 ??????????????????????9 分
所以, X 的分布列为

X
P

0

1200

2200

3600

2 3

1 12

1 10

3 20

2 1 1 3 E ( X ) ? 0 ? ? 1200 ? ? 2200 ? ? 3600 ? ? 860 3 12 10 20 数学期望为 (元) ??12 分
18、解(1)设等比数列 代入

?an ? 的首项为 a1 ,公比为 q ,以题意有: 2(a3 ? 2) ? a2 ? a4

a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,得 a3 ? 8



3 ? ? a1q ? a1q ? 20 ? 2 ? ? a3 ? a1q ? 8

??????????????????????????? 3 分

?a ? 32 ?a1 ? 2 ? 1 或? ? 1 ?q ? 2 ?q ? ? 2 ??????????????????????? 5 分 解之得:
又∵ ∴ (2) ∴ ∴

?an ? 单调递增,∴ a1 ? 2, q ? 2,
??????????????????????????????? 6 分 ??????????????????????? 7 分

an ? 2n

bn ? 2n log2 2n ? n ? 2n

sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? ?? n ? 2n ??? ① 2sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ? ?? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1 ??②
sn ? n ? 2n?1 ? 2 ? 22 ? 23 ??? 2n ?
n? 2
n ?1

∴②-①得: = ?2
n ?1

2(2n ? 1) ? 2 ?1

? n ? 2n?1 ? 2

????????????????????????????9 分
7

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sn ? n ? 2n?1 ? 50 ? 0 得 ?2n?1 ? 52 ? 0 ,∴ 2 n ?1 >52.
n ?1

又当 n ? 4 时, 2 当 n ? 5 时, 2 故使 19、
A1
n ?1

? 25 ? 32 <52

? 26 ? 64 ﹥52
z

sn ? n ? 2n?1 ? 50 ? 0 成立的正整数 n 的最小值为 5
D C1 E H
A F C x O B

????????????12 分
B1

B1 G

A1

D C1

E

y

A

F C

O

B

AF ?
(Ⅰ)证明:如图 1,连接 OA1,O 为 AB 的中点,且 所以,AF=FO,又 E 为 A A1 的中点 所以,EF∥OA1 2分 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1B1∥AB 且 A1B1=AB 因为,O、D 分别为 AB、 A1B1 中点 所以,OB∥A1D 且 OB=A1D 所以,OBDA1 为平行四边形 所以,OA1∥BD 3分

1 AB 4

所以,EF∥BD,又 EF ? 平面 BDC,BD ? 平面 BDC 所以,EF∥平面 BDC1. 4分 (Ⅱ)证明:如图 1,因为,AA1⊥平面 ABC,OC ? 平面 ABC 所以,AA1⊥OC 5分 因为,AB=BC,O 为 AB 中点 所以,OC⊥AB,又 AB、AA1 ? 平面 ABB1 A1,AB ? AA1=A 所以,OC⊥平面 ABB1 A1,又 OC ? 平面 OCC1D 所以,平面 OCC1D⊥平面 ABB1 A1. 8分 (Ⅲ)解法一,如图 2 建立空间直角坐标系 O—xyz,设 AB=2 6分



A(0, ?1,0), A1 (0, ?1, 2), E(0, ?1,1)
9分

C1 ( 3,0,2), B(0,1,0), D(0,0,2)

???? ? ??? ? ??? ? BC ? ( 3, ? 1,2), BE ? (0, ? 2,1), BD ? (0, ?1,2) 1 所以, ?? n ? ( x1, y1, z1 ) 设平面 EBC1 的法向量为 1
8

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?? ???? ? ? ?n1 ? BC1 ? 3x1 ? y1 ? 2 z1 ? 0 ? ? ?? ??? n ? BE ? ?2 y1 ? z1 ? 0 ? 则? 1 ?? n ? (? 3,1,2) 取 1 10 分

?? ? n ? ( x2 , y2 , z2 ) 设平面 DBC1 的法向量为 2 ?? ? ???? ? ? ?n2 ? BC1 ? 3x2 ? y2 ? 2 z2 ? 0 ? ??? ? ??? n ? BD ? ? y1 ? 2 z1 ? 0 ? 则? 2 ?? n ? (0,2,1) 取 1 11 分
?? ?? ? cos ? n1 , n2 ??
所以,

4 10 ? 5 2 2? 5

10 故,所求二面角 E-BC1-D 的余弦值为 5 .
(Ⅲ)解法二,如图 1,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中 因为,O、D 分别为 AB、 A1B1 的中点 所以,OD 平行且等于 AA1,AA1 平行且等于 CC1, 所以,CODC1 为平行四边形 所以,C1D∥CO,由(Ⅱ)知,OC⊥平面 ABB1 A1 所以,C1D⊥平面 ABB1 A1 所以,面 C1DB⊥平面 ABB1A1 9分 过 E 作 EG⊥BD 于 G,过 G 作 GH⊥B C1 于 H,连接 EH 所以,EG⊥平面 BDC1 所以,EG⊥GH,EG⊥BC1 所以,BC1⊥平面 EGH 所以,BC1⊥EH 所以, ?GHE 为所求二面角 E-BC1-D 的平面角 设 AB=2,连接 DE 所以,BE= BD= 5 ,DE= 2

12 分

10 分

1 1 3 5 4 5 S?BDE ? 4 ? ? 1 ? 1 ? ? 5 ? EG EG ? BG ? 2 2 5 ,所以, 5 所以, ,所以,

GH BH 30 ? GH ? C D ? 3, C B ? 2 2 C D C B 5 1 1 因为, 1 ,又 1 ,所以
所以, EH ? 3 11 分

cos ?GHE ?


GH 10 10 ? EH 5 所求二面角 E-BC1-D 余弦值为 5 .

12 分
9

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 20、解: (Ⅰ)由已知知道函数 f ( x ) 的定义域为 {x | x ? 0} 1分

当 a ? ?1 时, f ( x) ? ? x ? ln x ,所以
/

f / ( x) ? ?1 ?
/

1 1? x ? x x

2分

当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 所以, f ( x ) 的单调增区间为 (0,1) ,减区间为 (1, ??) . 4分

f / ( x) ? a ?
(Ⅱ)因为,

1 1 x?? / a x ,令 f ( x) ? 0 解得

5分

由 f ( x) ? 0 解得
/

0? x??

1 1 ? ?x?e / a ,由 f ( x) ? 0 解得 a

从而 f ( x ) 的单调增区间为

1 1 (0, ? ) ( ? , e) a ,减区间为 a

6分

1 1 f ( x) max ? f (? ) ? ?1 ? ln(? ) ? ?3 a a 所以,
解得, a ? ?e .
2

8分

f ( x)max ? f (1) ? ?1 , (Ⅲ)由(Ⅰ)知当 a ? ?1 时,
所以, | f ( x) | ≥1 9分

g ( x) ?


ln x 1 1 ? ln x ? g / ( x) ? x 2 ,则 x2
/ /

当 0 ? x ? e 时, g ( x) ? 0 ;当 x ? e 时, g ( x) ? 0 从而 g ( x) 在 (0, e) 上单调递增,在 (e, ??) 上单调递减

1 1 g ( x) max ? g (e) ? ? ? 1 e 2 所以,

11 分

ln x 1 ? 2 所以, | f ( x) | ? g ( x) ,即 | f ( x) | ? x ln x 1 ? 2 没有实数根. 所以,方程 | f ( x) | = x
f ?( x) ?

13 分

21、解:(Ⅰ)依题意,

m(4 ? x 2 ) m(2 ? x)(2 ? x) ? 4( x 2 ? 4) 2 4( x 2 ? 4) 2

1分
10

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? ? ① 当 m ? 0 时, f ( x) ? 0 ? ?2 ? x ? 2, f ( x) ? 0 ? x ? ?2 或 x ? 2

所以 f ( x) 在 [?2, 2] 上单调递增;在 (??, ? 2), (2, ? ?) 上单调递减
? ? ② 当 m ? 0 时, f ( x) ? 0 ? ?2 ? x ? 2, f ( x) ? 0 ? x ? ?2 或 x ? 2

2分

所以 f ( x) 在 [?2, 2] 上单调递减;在 (??, ? 2), (2, ? ?) 上单调递增. (Ⅱ)当 m ? ?2, ? 2≤x≤2 时,
?1? g ( x) ? ? ? ?2?
| x ? m|

3分

?1? ?? ? ? 2?

x?m

?1? ? 2m ? ? ? ? 2 ? 在 [?2, 2] 上单调递减

x

4分

由(Ⅰ)知, f ( x) 在 [?2, 2] 上单调递减

5分
x

mx ?1? F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 2 ? 2m ? ? 4 x ? 16 ? 2 ? 在 [?2, 2] 上单调递减 所以

6分

∴F ( x)max ? F (?2) ? 4 ? 2m ? F ( x)min

m m ? 2m? 2 ? 16 16
8分
h( x1 ) ? f ( x1 ) ?

7分

m ? F (2) ? 2m?2 ? 16 .

(Ⅲ)当 m≥2 , x1 ?[2, ? ?) 时,

mx1 4 x12 ? 16

,

由(Ⅰ)知 h( x1 ) 在 [2, ? ?) 上单调递减,
m? ? h( x1 ) ? ? 0, ? ? 16 ? 从而 h( x1 ) ? (0, f (2)] ,即

9分

11


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