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辽宁省沈阳二中2012-2013学年高一10月月考数学试题


高一数学

说明:1、测试时间:120 分钟

总分:150 分

2、客观题涂在答题纸上,主观题答在答题纸的相应位置 上

第Ⅰ卷

(60 分)

一 选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的) 1、集合 A ? ? ( x , y ) | y ? ? x ? 3 ? , B ? ?( x , y ) | y ? x ? 1 ? , 则 A ? B ? ( A.{1,2} B. { x ? 1, y ? 2 } C. {( 1, 2)} ) B.
f ( x ) ? x与 g ( x ) ? (
x ?1
2



D. ? ( x , y ) | (1, 2 )?

2、下列函数 f ( x ) 与 g ( x ) 表示同一函数的是 ( A、 f ( x ) ? x 与 g ( x ) ? 1
0

3

x )

3

C、 f ( x ) ?

x?

x ? 1, g ( x ) ?

x ? x
2

D、 f ( x ) ?

x ?1

, g (x) ? x ? 1

3、若函数 y ? f ( x ) 的定义域是 ? ? 2, 2 ? ,则函数 g ( x ) ? A.[-1,1] B. [-1,1)

f (2 x) x

的定义域是( D. (-1,1) ( )



C . [ ? 1, 0 ) ? (0,1]

2 4、如图所示,当 a b ? 0 时,函数 y ? a x 与 f ( x ) ? a x ? b 的图象是

5.函数 f ( x ) 是定义域为 R 的偶函数,当 x ? 0 时 f ( x ) ? ? x ? 1 ,则当 x ? 0 时, f ( x ) 的 表达式为( ) B. f ( x ) ? ? x ? 1 D. f ( x ) ? x ? 1
M ? {x | x ? m ? 1 6 ,m ? N}

A. f ( x ) ? ? x ? 1 C. f ( x ) ? x ? 1 6 . 已 知 集 合



N ? {x | x ?

n 2

?

1 3

,n? N}



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P ? {x | x ?

p 2

?

1 6

, p ? N } ,则 M , N , P 的关系为(

) D. N
5
P

A. M ? N

P

B. M

P

N

C. M

N ? P

M

7.已知偶函数 f ( x ) 在区间 ? 0 , ? ? ) 单调递减,则满足 f ( 2 x ? 1) ? f ( ) 的 x 取值范围是
3

( A[1 3

) ,
4 3



B (-

1 3



4 3


?b
2

C(

1 3

,

4 3



D [
(a ? b)

1 3



4 3


2? x 2 ? ? x ? 2?

8.定义两种运算: a ? b ? 是( )函数. A .偶函数 C.既奇又偶函数

a

2

,a ? b ?

2

,则 f ? x ? ?

B.奇函数 D.非奇非偶函数

9、定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 在 区 间 ? 0, ? ? ? 是 增 函 数 ,则下列关系正确的是( A f ( ? 2) ? f (1) ? f ( ?3) C f ( ? 3) ? f ( ? 2 ) ? f (1) http://www.1haoti.com/shiti/zhongxue_sx/g1 B f ( ? 3) ? f (1) ? f ( ? 2 ) D f (1) ? f ( ? 3) ? f ( ? 2 )



10.函数 f ( x ) 定义域为 R,且对任意 x、 y ? R , f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) 恒成立.则下列 选项中不恒成立的是( .... A. f (0 ) ? 0 ) B. f ( 2 ) ? 2 f (1) C. f ( ) ?
2 1 1 2 f (1)

D. f ( ? x ) f ( x ) ? 0

11. 若函 数 y ? x ? 4 x ? 2 的定义域为 ?0 , m ? , 值域为 ?? 6 , ? 2 ? , m 的取值范围是 则 ( )
2

A. ? 0 , 4 ?

B. ? 2 , 4 ?

C. ? 0 , 2 ?

D. ? 2 , 4 ?

( 12、 函数 f ( x ) ? 4 x ? m x ? 5 在 区 间 ? ? 2, ? ? ? 上 是 增 函 数 , f 1 则 )
2

的取值范围是 (



A. f (1) ? 2 5

B. f (1) ? 2 5

C. f (1) ? 2 5

D. f (1) ? 2 5

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第Ⅱ卷

(90 分)

二 填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.函数 y ?
? 2 x ? x ? 1 的单调增区间是_______.
2

14.已知集合 A=?x?
? ?

? ?

? 4 ∈N,x∈N ?6-x

? ? ?,则集合 A 的子集的个数是_______. ? ?

15. 对 a,b ? R,记 max ?a , b ? ? ? 最小值是 .

?a, a ? b ?b , a < b

a ,函数 f(x)= mx

?x

2

, 2 x ? 3 ,? x ? 1

? ?x ? R ? 的

16、某 工厂8年来某产 品总产量y与时间t年的函数关系如下图,则: ①前3年中总产量增长速度越来越慢; ②前3年总产量增长速度增长速度越来越快; ③第3年后,这种产品年产量保持不变. ④第3年后,这种产品停止生产; 以上说法中正确的是____ ___. 三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17、 (本小题满分 10 分) 2 已知集合 A={x|x -3x-10≤0},B={x|m+1≤x≤2m-1},若 A∪B=A,求实数 m 的取 值范围. 18 、 (本小题满分 12 分)
?4 ? x 2 , ? 已知函数 f ( x ) ? ? 2 , ?1 ? 2 x , ? x ? 0, x ? 0, x ? 0.

(Ⅰ)求 f [ f ( ? 2 )] 的值;
2 (Ⅱ)求 f ( a ? 1) ( a ? R )的 值;

(Ⅲ)当 ? 4 ? x ? 3 时,求函数 f ( x ) 的值域。

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19、 (本小题满分 12 分) 如图,用长为 1 米的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架,若半圆半径为 x, 求此框 架 围成的面积 y 与 x 的函数式 y=f (x ),并写出它的定义域.

20. (本小题满分 12 分)
ax x ?1
2

已知函数 f ( x ) ?

( a 为 常 数 且 a ? 0 ) , 定 义域为 - 1 , 1 ) (

(1) 证明函数 f ( x ) 是奇函数; (2) 若 a ? 1, 试判断并证明 f ( x ) 在 ( - 1 , 1 ) 上的单调性

21(本小题满分 12 分) 定义在 R 上的函数 f ( x ) , f (0 ) ? 0 ,当 x ? 0 时, f ( x ) ? 1 ,且对任意实数 a , b , 有 f ( a ? b ) ? f ( a ) ? f (b ) , (1) 求证: f ( 0 ) ? 1 ; (2)求证:对 任意的 x ∈R,恒有 f ( x ) >0;

(3)证明: f ( x ) 是 R 上的增函数; (4)若 f (x ? 2) ? f (2 x ? x )2 ?1 ,求 x 的取值范围。 、

22、 (本小题满分 12 分) 已知函数 y ? x ? 2 a x ? 1 ( a 为常数)在 ? 2 ? x ? 1 上的最小值为 h ( a ) , 试将 h ( a ) 用 a 表
2

示出来,并求出 h ( a ) 的最大值.

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数学答案: 一、选择题: 1 2 C B 二、填空题:

3 C

4 D

5 C

6 B

7 B

8 B

9 C

10 D

11 B

12 A

?m+1≤2m-1, ? 当 B≠ ? 时,则?-2≤m+1, ?2m-1≤5. ?
解得 2≤m≤3. 综上可知,m∈(-∞,3].

②当 x ? 0 时, f ( 0 ) ? 2 ③当 0 ? x ? 3 时,∵ f ( x ) ? 4 ? x
2

∴? 5 ? x ? 4

故当 ? 4 ? x ? 3 时,函数 f ( x ) 的值域是 ( ? 5, 9 ]

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2 0 、 ( 1 ) 任 意 的 x ?( - 1 , 1 ) , f (? x ) ? ? f ( x )是 奇 函 数 。

a (? x) (? x) ? 1
2

? ?

ax x ?1
2

? ? f (x)

( 2 ) 任 取 x1 , x 2 , 使 得 ? 1 ? x1 ? x 2 ? 1, 则 ? x ? x 2 ? x 1 ? 0 ? y ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? ( x1 x 2 ? 1)( x 1 ? x 2 ) ( x1 ? 1)( x 2 ? 1)
2 2 2

,
2

? ? 1 ? x1 ? x 2 ? 1 ? x1 x 2 ? 1 ? 0 , x1 ? 1 ? 0 , x 2 ? 1 ? 0 ? ( x1 x 2 ? 1)( x 1 ? x 2 ) ( x1 ? 1)( x 2 ? 1)
2 2

? 0

? ? y ? 0 , f ( x ) 在 ( ? 1, 上 是 减 函 数 . 1)

2 2 2 22、∵y=(x-a) +1-a , ∴抛物线 y=x -2ax+1 的对称轴方程是 x ? a .

(1)当 ? 2 ? a ? 1 时,,当 x ? a 时,该函数取最小值 h ( a ) ? 1 ? a ;
2

(2) 当 a ? ? 2 时, , 当 x ? ? 2 时,该函数取最小值 h ( a ) ? 4 a ? 5 ; (3) 当 a>1 时, , 当 x ? 1 时,该函数取最小值 h ( a ) ? ? 2 a ? 2 综上,函数的最小值为
a ? ?2, ? 4 a ? 5, ? 2 h ( a ) ? ?1 ? a , ? 2 ? a ? 1, ? ?2 a ? 2, a ? 1. ?

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