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2012高一数学 1.3.1 单调性与最大课件 新小值第二课时课件 新人教A版必修1


第2课时 函数的最大值、最小值

1.通过对一些熟悉函数图象的观察、分析,理 解函数最大值、最小值的定义. 2.会利用函数的单调性求函数的最值.

自学导引
1.最大值的概念:一般地,设函数y=f(x)的定 义域为I,如果存在实数M满足: f(x)≤M (1)对于任意的x∈I,都有________; f(x0)=M (2)存在x0∈I,使得_________.那么,称M是函 数y=f(x)的最大值. 2.最小值的概念:一般地,设函数y=f(x)的定 义域为I,如果存在实数M满足: f(x)≥M (1)对于任意的x∈I,都有________ ; f(x0)=M (2)存在x0∈I,使得________.那么,称M是函数 y=f(x)的最小值.

自主探究
1.函数最大值或最小值的几何意义是什么? 答:函数最大值或最小值是函数的整体性质, 从图象上看,函数的最大值或最小值是图象最高点 或最低点的纵坐标. a 2. 试探究函数 f(x)=x+x(a>0), x∈(0, +∞)
的单调性.

a a 答:任取 0<x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=x1+ -x2- x1 x2 ?x1-x2??x1x2-a? = .由于 x1-x2 及 x1x2 的符号已定,从 x1x2 而 f(x1)-f(x2)的符号取决于 x1x2-a 的符号.由于 x1, x2 只能取 f(x)的某个单调区间上的值,因此考虑 x1= x2 这一极端情形,即 x1x2-a=x2-a=0,解得 x1=x2 1 = a,从而将定义域(0,+∞)分为两个区间(0, a) 及[ a,+∞),由此讨论函数的单调性即可.

任取 0<x1<x2< a,则 x1-x2<0,0<x1x2<a,所 a a 以 x1x2-a<0, 于是 f(x1)-f(x2)=x1+ -x2- = x1 x2 ?x1-x2??x1x2-a? >0,即 f(x1)>f(x2). x1x2 所以函数 f(x)在(0, a)上单调递减. 同理可知, 函数 f(x)在[ a, +∞)上单调递增.

注意:(1)在给定的区间内, 当某个代数式的符号无法确定时 (如本题中x1x2-a),可取极端情 况(如x1=x2)入手分析,以此为界 分类讨论. a (2)函数 y=x+ x (a>0)是一个常用且重要的函
数,其图象如图所示,记住这个函数的图象和性质 会给解题带来方便.

预习测评
1.函数f(x)在[-2,2]上的图象 如图所示,则此函数的最小值、最 大值分别是 ( ) A.f(-2),0 B.0,2 C.f(-2),2 D.f(2),2

解析:由函数最值的几何意义知,当x=-2 时,有最小值f(-2);当x=1时,有最大值2. 答案:C

2.函数y=ax+1(a<0)在区间[0,2]上的最大值与 最小值分别为 ( ) A.1,2a+1 B.2a+1,1 C.1+a,1 D.1,1+a 解析:a<0,所以一次函数在区间[0,2]上是减函数, 当x=0时,函数取得最大值为1;当x=2时,函数取得 最小值为2a+1. 答案:A 3.函数y=2x2+1,x∈N*的最小值为________. 解析:∵x∈N*,∴y=2x2+1≥3. 答案:3

k 4.若函数 y=x(k>0)在[2,4]上的最小值为 5, 则 k 的值为________.
k 解析:因为 k>0,所以函数 y=x在[2,4]上是 k k 减函数,所以当 x=4 时,y= 最小,由题意知 4 4 =5,k=20.

答案:20

要点阐释
一、函数的最大(小)值的理解 1.定义中M首先是一个函数值,它是值域的一 个元素.如f(x)=-x2(x∈R)的最大值为0,有f(0)=0, 注意对(2)中“存在”一词的理解. 2.对于定义域内全部元素,都有f(x)≤M(或 f(x)≥M)成立.“任意”是说对每一个值都必须满足不 等式.

3.这两个条件缺一不可,若只有(1),M不是最 大(小)值,如f(x)=-x2(x∈R),对任意x∈R,都有 f(x)≤1成立,但1不是最大值,否则大于0的任意实 数都是最大值了.最大(小)值的核心就是不等式 f(x)≤M(或f(x)≥M),故也不能只有(2). 二、求函数最值的方法 1.求函数最大(小)值的常用方法有: (1)值域:求出函数f(x)的值域,即可求其最值 (注意必须确保存在函数值里的最值); (2)单调性法.通过研究函数的单调性来求函数 的最值;

(3)特殊函数法.利用特殊函数[如一次函数、二 a 次函数、反比例函数、函数 y=x+x(a>0)等]的单调性 来求其最值.

2.当一般的求最值方法难以奏效时,不妨研究 函数的单调性试一试,单调性法是求有些非常规函 数最值的有效方法. (1)一般地,若y=f(x)与y=g(x)有相同的定义域, 且在定义域内有相同的单调性,则函数y=f(x)+g(x) 与它们也有相同的单调性.

(2)函数y=f(x)的最大值和最小值也可用下 列符号表示:用y大或ymax表示y=f(x)的最大值; 用y小或ymin表示y=f(x)的最小值,而用f(x)|x=x0 表示当x=x0时y=f(x)的函数值.

典例剖析
题型一 利用图象求函数最值 【例1】 如图为函数y=f(x),x∈[-4,7]的图象, 指出它的最大值、最小值及单调区间.

解:观察函数图象可以知道,图象上位置最 高的点是(3,3),最低的点是(-1.5,-2),所以函 数y=f(x)当x=3时取得最大值,最大值是3,当x =-1.5时取得最小值,最小值是-2. 函数的单调增区间为(-1.5,3],(5,6], 单调减区间为[-4,-1.5],(3,5],(6,7]. 点评:利用函数图象求最值是求函数最值的 常用方法.这种方法以函数最值的几何意义为依 据,对较为简单的且图象易作出的函数求最值较 常用.

1.试求函数 y=|x+1|+ ?x-2?2的最值.
解:原函数变为 y=|x+1|+|x-2| ?-2x+1 ? = ?3 ?2x-1 ? ?x≤-1? ?-1<x≤2?, ?x>2?

其图

象如图所示, 所以函数的最小值为 3, 无 最大值.

利用单调性求函数最值 x2+2x+3 【例 2】 已知函数 f(x)= (x∈[2, +∞)), x (1)求f(x)的最小值; (2)若f(x)>a恒成立,求a的取值范围.
解:(1)任取 x1,x2∈[2,+∞), 3 且 x1<x2,f(x)=x+x+2. 则
? 3 ? f(x1)-f(x2)=(x1-x2)?1-x x ?, 1<x2, ∵x ? 1 2?

题型二

∴x1-x2<0,又∵x1≥2,x2>2,

3 ∴x1x2>4,1- >0 x1x2 ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 故 f(x)在[2,+∞)上是增函数, 11 ∴当 x=2 时,f(x)有最小值,即 f(2)= . 2 11 (2)∵f(x)最小值为 f(2)= , 2 11 ∴f(x)>a 恒成立,只须 f(x)min>a,即 a< . 2

点评:运用函数单调性求最值是求函数最 值的重要方法,特别是当函数图象不好作或作 不出来时,单调性几乎成为首选方法.另外 f(x)>a恒成立,等价于f(x)min>a,f(x)<a恒成立, 等价于f(x)max<a.

误区解密 因忽略函数的定义域而出错
【例3】 求函数y=x2-2x,x∈[-1,2]的值域. 错解:y=x2-2x=(x-1)2-1, 因为(x-1)2≥0, 所以y=(x-1)2-1≥-1. 从而知,函数y=x2-2x的值域为[-1,+∞). 错因分析:这里函数的定义域有限制,即-1 ≤x≤2,上述解法只对二次函数y=ax2+bx+c(a>0) 在定义域为实数集时适用.

正解:y=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[-1,2].由 图象知, 当-1≤x<1时,y随x的增大而减小; 当1≤x≤2时,y随x的增大而增大. 并且当x=-1时,y取最大值3; 当x=1时,y取最小值-1. 从而知-1≤y≤3, 即函数y=x2-2x,x∈[-1,2]的值域是[-1,3]. 纠错心得:函数的定义域是函数的灵魂,求函 数的值域时,首先注意函数的定义域.

x 2.求函数 f(x)= 在区间[2,5]上的最大值与最 x-1 小值;若 f(x)<a 在[2,5]上恒成立,求 a 的取值范围.

解:任取 2≤x1<x2≤5, x1 x2 则 f(x1)= ,f(x2)= , x1-1 x2-1 x1-x2 x2 x1 f(x2)-f(x1)= - = , x2-1 x1-1 ?x2-1??x1-1? ∵2≤x1<x2≤5,∴x1-x2<0,x2-1>0,x1-1>0.

∴f(x2)-f(x1)<0.∴f(x2)<f(x1). x ∴f(x)= 在区间[2,5]上是减函数. x-1 2 ∴f(x)max=f(2)= =2. 2-1 5 5 f(x)min=f(5)= = . 5-1 4 f(x)<a 恒成立,等价于 a>f(x)max,即 a>2.

题型三 二次函数在给定区间上的最值 【例4】 求函数f(x)=x2-2ax+2在[-1,1]上的 最小值. 解:函数f(x)图象的对称轴方程为x=a,且函数 图象开口向上,如图所示:

当a>1时,f(x)在[-1,1]上单调递减, 故f(x)min=f(1)=3-2a;

当-1≤a≤1时,f(x)在[-1,1]上先减后增, 故f(x)min=f(a)=2-a2; 当a<-1时,f(x)在[-1,1]上单调递增, 故f(x)min=f(-1)=3+2a. 综上可知f(x)的最小值为
?3-2a ? 2 f(x)min=?2-a ?3+2a ? ?a>1? ?-1≤a≤1? ?a<-1?

.

点评:探求二次函数在给定区间上的最值问题, 一般要先作出y=f(x)的草图,然后根据图象的增减 性进行研究.特别要注意二次函数图象的对称轴与 所给区间的位置关系,它是求解二次函数在已知区 间上最值问题的主要依据. 二次函数图象的对称轴与定义域区间的位置通 常有三种关系;①定义域区间在对称轴右侧;②定 义域区间在对称轴左侧;③定义域区间在对称轴的 两侧.

3.已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0)在[2,3]上 有最大值5和最小值2,求a,b的值. 解:f(x)=ax2-2ax+2+b=a(x-1)2+2+b-a的 对称轴方程是x=1. (1)当a>0时,f(x)在[2,3]上是增函数.
?f?2?=2 ? ∴? ?f?3?=5 ? ?2+b=2 ? ,即? ?3a+2+b=5 ? ?a=1 ? ,解得? ?b=0 ?

.

(2)当 a<0 时,f(x)在[2,3]上是减函数,
?f?2?=5 ? ∴? ?f?3?=2 ? ?2+b=5 ? ,即? ?3a+2+b=2 ?



?a=-1 ? 解得? ?b=3 ?

.

综上所述,a=1,b=0 或 a=-1,b=3.

课堂总结
1.求函数的最值,若能作出函数的图象,由最 值的几何意义不难得出. 2.运用函数的单调性求最值是求最值的重要方 法,特别是函数图象作不出来时,单调性几乎成为 首选方法. 3.探求二次函数在给定区间上的最值问题,一 般要先作出y=f(x)的草图,然后根据图象的增减性 进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区 间的位置关系,它是求解二次函数在已知区间上最 值问题的主要依据,并且最大(小)值不一定在顶点处 取得.


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