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2013成都二诊理科数学试题与答案


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成都市 2013 届高中毕业班第二次诊断性检测 数学 理工农医类) 数学(理 农医类)
本试卷分选择题和非选择题两部分。第 I 卷(选择题 )1 至 2 页,第 II 卷(非选择题)3 至 4 页, 共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1. 答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。 2. 答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 擦干净后,再选涂其它答案标号。 3. 答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4. 所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 5. 考试结束后 ,只将答题卡交回。 橡皮擦

第 I 卷(选择题,共50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中 ,有且 只有 一项是符合题目要求的 . 1. 在复平面内 ,复数 z=

2 (i 为虚数单位 )对应的点位于 1+ i

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 2. 已知全集 U={x|x>0},M={x|x2<2x},则 CU M =
(A){x|x>2} (C){X |x≤0 或 x ≥ 2} (B){x|x>2} (D) {X |0<x<2}

3.若直线(a+l)x+2y=0 与直线 x 一 ay=1 互相垂直,则实数 a 的值等于 (A)-1 (B)O (C)1 (D)2

4. 已知直线 l 和平面 a,若 l//a,P∈a,则过点 P 且平行于 l 的直线 (A)只有一条,不在平面 a 内 (B)只有一条,且在平面 a 内

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(C)有无数条,一定在平面 a 内

(D)有无数条,不一定在平面 a 内 形,则该几何体的体积为

5. —个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角

(A)

3 3

(B)1

(C) 2 3 (D)

3

3 1 —1 的零点的个数为 x
(B)1 个 (C)2 个 (D)3 个

6. 函数 f(x)= log2 x+ (A)O 个 7. 已知双曲线

x2 y2 (a>0,b>0)的一条渐近线与曲线 y = 2 x ? 1 相 ? = 1( a > 0, b > 0) a2 b2

切,则该双曲 线的离心率为 (A)

2 (B)

3

(C)2

(D) 2 2

1 2 当 1∈(0,l)时恒成立,则实数 m 的最大值为 + 2x 1 ? x 9 5 (A)9 (B) (C)5 (D) 2 2 π x 9.已知数列{an }满足 an+2-an+1= an+1 -an , n ∈ N * ,且 a5= 若函数 f(x)= sin2x+2cos2 , 2 2
8. 若不等式 m ≤ 记 yn=f(an ),则数列{yn }的前 9 项和为 (A)O (B)-9 (C)9 (D)1

1O.某算法的程序框图如图所示 , 则执行该程序后输出的 S 等于 (A) 24 (B) 26 (C) 30 (D) 32

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第II 卷(非选择题,共 100 分)

二、填空題:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
11.已 知 sina+cosa=

2 , 则 sin2a 的 值 为 _______. 3

12.若(1-2x)4 =a0 +a1x+a2 x2 +a3x3 +a4x4 ,则 a 1 +a2 +a3 +a4 =_______ 13. 设 G 为ΔABC 的重心, ΔABC 所在平面内一点 P 满足 PA + 2BP = 0 =0, 若 则 值等于_______

| AP | | AG |



? ? 14. 已知集合 ?( x, y ) ? ?

?2 x + y ? 4 ≤ 0 ? ?x + y ≥ 0 ?x ? y ≥ 0 ?

? ? ? 表示的平面区域为 Ω,若在区域 Ω内任取一点 ? ?

P(x,y),则点 P 的坐标满足不等式 x2 +y2≤2 的概率为_______ 15.对于定义在区间 D 上的函数 f(x) ,若满足对 ?x1 , x2 ∈ D ,且 x 1 <x 2 时 都 有

f ( x1 ) ≥ f ( x 2 ) , 则称函数 f(x)为区间 D 上的“非增函数”.若f(x)为区间[0, 上的 1] “非增 函数”
且 f(0) = l,ff(x)+f(l—x) = l,又当 x ∈ [ 0, ] 时,f(x)≤-2x+1 恒成立.有下列命题: ① ?x ∈ [0,1], f ( x) ≥ 0 ; ②当 x1 , x 2 ∈ [0,1]且x1 ≠ x 2, f()≠ f(x 时 x1 , ③ f ( )+ f( )

1 4

1 8

5 7 7 ) + f ( ) + f ( )=2 ; 11 13 8

④当 x ∈ [0, ] 时, f ( f ( x )) ≤ f ( x) . 其中你认为正确的所有命题的序号为____ _ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.(本小题满分 12 分) 在ΔABC 中,已知内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 2a sin( B + (I)求角 A 的大小.,

1 4

π )=c 4

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(II)若ΔABC 为锐角三角形,求 sinBsinC 的取值范围.

17.(本小题满分 12 分) 某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破 坏, 可见部 分如下:

试根据图表中的信息解答下列问题: ( I ) 求全班的学生人数及分数在[ 7 0 ,8 0 ) 之间的频数; (II)为快速了解学生的答题情况,老师按分层抽样的方法从位于 [70,80),[80,90)和 [90,100] 分数段的试卷中抽取 8 份进行分析 , 再从中任选 3 人进行交流, 求交流的学生中 , 成绩位于[70, 80) 分数段的人数 X 的分布列和数学期望 .

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18. (本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 (侧棱与底面垂直的三棱柱 )ABC—A1 B1C1 中,AC=AA1 =2AB = 2, ∠ BAC =900,点 D 是侧棱 CC1 延长线上一点,EF 是平面 ABD 与平 面 A1B1C1 的交线. (I)求证:EF 丄 A1 C; (II)当平面 DAB 与平面 CA1B1 所成锐二面角的余弦值为 的长.

26 时,求 DC 1 26

19. (本小题满分 12 分) 设函数f(x)=x2 过点C 1 (1, 0) 作X 轴的垂线l1 交函数f(x)图象于点A1,以A1为切 点作函数f(x) 图象的切线交 X 轴于点 C2 ,再过 C2 作 X 轴的垂线 l2 交函数 f(x)图象于点 A2,…,以此类推得点 An ,记 An 的横坐标为an , n ∈ N * . (I) 证明数列{a n } 为等比数列并求出通项公式 an ; (II)设直线 ln 与函数 g(x)= log 为坐标原点) ,求数列{bn }的 前 n 项 和 Sn.
1 2

x :的图象相交于点 B ,记 bn = OA .OB (其中 O n n n

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20. (本小题满分 13 分)

巳知椭圆 E..

1 x2 y 2 + 2 = 1(a > b > 0) (a>b>0)以抛物线 y2=8x 的焦点为顶点,且离心率为 2 2 a b

( I ) 求椭圆 E 的方程; (II )若直线 l:y=kx+m 与椭圆 E 相交于 A、B 两点,与直线 x= -4 相交于 Q 点,P 是 椭圆E 上一点且 满足 OP = OA + OB (其中 O 为坐标原点)试问在 X 轴上是否存在一点 T, 使得 OP.TQ 为定值?若存 , 在,求出点了的坐标及 OP.TQ 的值;若不存在,请说明理由 .

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = x ?

1 1 ? a ln x, g ( x) = x + ? (ln x) a ,其中 x>0,a∈R x x

( I ) 若函数 f ( x ) 无极值, 求 a 的取值范围; ( I I ) 当 a 取(I ) 中的最大值时,求函数 g ( x ) 的最小值;
n

(III)证明不等式


k =1

2 n +1 > ln n ( n ∈ N *) . 2 +1 2 k ( 2 k + 1) 1

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