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【金版学案】2016高考数学理科二轮复习课件:专题9第一讲 函数与方程思想


随堂讲义
专题九 思想方法专题 第一讲 函数与方程思想

函数与方程思想在高考中也是必考内容,特别 是在函数、解析几何、三角函数等处都可能考到, 大多数年份高考中大题都会涉及.因此应认真体会 函数与方程思想.

例 1 设 f(x)=ln(x+1)+ x+1+ax+b(a, b ∈ R, a, b 为常数), 3 曲线 y=f(x)与直线 y= x 在(0,0)点相切. 2 (1)求 a,b 的值; 9x (2)证明:当 0<x<2 时,f(x)< . x+6

解析:(1)由 y=f(x)过(0,0)点,得 b=-1. 3 由 y=f(x)在(0,0)点的切线斜率为 , 2
? 1 ? 1 3 ? ? +a?? 又 y′?x= 0=?x+1+ = ??x= 0 2+a, 2 x + 1 ? ?

得 a=0. (2)证法一 由(1)知 f(x)=ln(x+1)+ x+1-1.

由均值不等式,当 x>0 时,2 (x+1)×1<x+1+1=x+2, x 故 x+1< +1. 2

记 h(x)=f(x)-

9x ,则 x+6

2+ x+1 1 1 54 54 h ′ (x)= + - = - < x+1 2 x+1 (x+6)2 2(x+1) (x+6)2 x+ 6 (x+6)3-216(x+1) 54 - = . 4(x+1) (x+6)2 4(x+1)(x+6)2 令 g(x)=(x+6)3-216(x+1),则当 0<x<2 时,g′(x)=3(x+6)2 -216<0. 因此 g(x)在(0,2)内是递减函数,又由 g(0)=0,得 g(x)<0,所 以 h′(x)<0.

因此 h(x)在(0,2)内是递减函数,又 h(0)=0,得 h(x)<0,于是 当 0<x<2 时,f(x)< 证法二 9x . x+3

由(1)知 f(x)=ln(x+1)+ x+1-1.

由均值不等式,当 x>0 时,2 (x+1)×1<x+1+1=x+2, x 故 x+1< +1.① 2 -x 1 令 k(x)=ln(x+1)-x,则 k(0)=0,k′(x)= -1= <0, x+ 1 x+1 故 k(x)<0,即 ln(x+1)<x.②

3 由①②得,当 x>0 时,f(x)< x. 2 记 h(x)=(x+6)f(x)-9x,则当 0<x<2 时,h′(x)=f(x)+(x+
? 1 1 ? 3 1 ? ? 6)f′(x)-9< x+(x+6)?x+1+ - 9 = [3x(x+1)+(x ? 2 2 x + 1 2 ( x + 1 ) ? ?



6)(2



x+ 1

)



18(x



1)]



1 2(x+1)

? ? ? x? x ?3x(x+1)+(x+6)?3+ ?-18(x+1)? = (7x- 18)< 2? ? ? ? 4(x+1)

0. 因此 h(x)在(0,2)内单调递减,又 h(0)=0,所以 h(x)<0,即 f(x) < 9x . x+6

本题综合考查导数的概念、 几何意义、 导数在判断函数单调性与 最值中的运用.本题容易忽略函数 f(x)的定义域,根据条件曲线 y= 3 f(x)与直线 y= x 在(0,0)点相切,求出 a,b 的值,然后,利用函数 2 的单调性或者均值不等式证明 f(x)< 9x 即可.从近几年的高考命题 x+6

趋势看, 此类型题目几乎年年都有涉及, 因此, 在平时要加强训练. 本 题属于中挡题.

1.(2014· 陕西卷 )如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与 两条直道平滑连续(相切),已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一 部分,则该函数的解析式为(A)

1 1 A.y= x3- x2-x 2 2 1 3 C. y = x - x 4

1 1 B.y= x3+ x2-3x 2 2 1 3 1 2 D.y= x + x -2x 4 2

解析:由题目图象可知:该三次函数过原点,故可设该三次函数 为 y=f(x)=ax3+bx2+cx,则 y′=f′(x)=3ax2+2bx+c,由题意得:

? ? ? 1 f′(0)=-1,f(2)=0,f′(2)=3,即?8a+4b+2c=0,解得? b=- , 2 ? ?12a+4b+c=3, ? ?c=-1,
?c=-1,
1 a= , 2 1 1 所以 y= x3- x2-x.故选 A. 2 2

例2 取值范围.

? π? 如果方程 cos x-sin x+a=0 在?0, ?上有解,求 a 的 2? ?
2

思路点拨:可分离变量为 a=-cos2x+sin x,转化为求确定的相 关函数的值域.

解析:解法一
2

把方程变形为 a=-cos2x+sin x.

? ? π? ? 设 f(x)=-cos x+sin x?x∈ ?0, ? ?. 2 ?? ? ?

显然当且仅当 a 属于 f(x)的值域时,a=f(x)有解. ∵f(x)=-(1-sin2x)+sin x
? 1?2 5 =?sin x+ 2? - , 4 ? ? ? π? 由 x∈?0, ?知 sin x∈(0,1]. 2? ?

易求得 f(x)的值域为(-1,1]. 故 a 的取值范围是(-1,1].

解法二

? π? 令 t=sin x,由 x∈?0, ?, 2? ?

可得 t∈(0,1]. 将方程变为:t2+t-1-a=0. 依题意,该方程在(0,1]上有解. 设 f(t)=t2+t-1-a, 1 其图象是开口向上的抛物线,对称轴 t=- ,如图所示. 2

? ?f(0)<0, 因此 f(t)=0 在(0,1]上有解等价于? ? ?f(1)≥0, ? ?-1-a<0, 即? ∴-1<a≤1. ? ?1-a≥0,

故 a 的取值范围是(-1,1].
? π? 误区警示:本题易忽视 x∈?0, ?,而将 sin x 误为属于[-1, 2? ? ? 5 ? ? 1],而得 a∈ -4,1?. ? ?

研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程解的问题,通常 有两种处理思路: 一是分离参数构建函数, 将方程有解转化为求函数 的值域;二是换元,将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程,进而利 用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决.

2.如果方程 lg(x-1)+lg(3- x)=lg(a- x)(a∈R)有解,求实数 a 的取值范围. 解析:由原方程可得

? ?3-x>0, ?a-x>0, ? ?(x-1)(3-x)=a-x,
x-1>0,

① ② ③ ④

由①②得 1<x<3, ∴原方程等价于(x-1)(3-x)=a-x(1<x<3),
? 5?2 13 即 a=-x +5x-3(1<x<3)=-?x-2? + (1<x<3), 易求得值域 4 ? ?
2

? ? 13? 13? ? ? ? 为 1, 4 ,故 a 的取值范围是 1, 4 ?. ? ? ? ?

例3

(1)已知 x,y∈R,且 2x+3y>2 y+3 x,那么(
- -

)

A.x+y<0 C.xy<0

B.x+y>0 D.xy>0

(2)设不等式 2x-1>m(x2-1)对满足 m∈[-2,2]的一切实数 m 都成立,求 x 的取值范围.

思路点拨:(1)先把它变成等价形式 2x-3-x>2- y-3y,再构造辅 助函数 f(x)=2x-3 x,利用函数单调性比较.


(2)由于思维定势,易把此问题看成关于 x 的不等式来讨论,若 变换一个角度,以 m 为变量,使 f(m)=(x2-1)m-(2x-1),则问题 转化为求一次函数(或常函数)f(x)的值在[-2,2]内恒负时,参数 x 应 满足的条件.

解析:(1)设 f(x)=2x-3 x.


因为 y=2x,y=-3-x 均为 R 上的增函数, 所以 f(x)=2x-3- x 是 R 上的增函数. 又由 2x-3 x>2 y-3y=2 y-3
- - - - (- y)



即 f(x)>f(-y),∴x>-y, 即 x+y>0.故选 B. (2)设 f(m)=(x2-1)m-(2x-1), 则不等式 2x-1>m(x2-1)恒成立?f(m)<0 恒成立.

∴在-2≤m≤2 时,
2 ? ?f(2)=2(x -1)-(2x-1)<0, f(m)<0? ? 2 ? ?f(-2)=-2(x -1)-(2x-1)<0,

? ? 7-1 3+1? ?. 解得 x 的取值范围为?x? <x< 2 ? ? ? 2

误区警示:本题易误为关于 x 的不等式在[-2,2]上恒成立,求 m 的取值范围.

(1)在解决值的大小比较问题时,通过构造适当的函数,利用函 数的单调性或图象解决是一种重要思想方法. (2)在解决不等式恒成立问题时,一种重要的思想方法就是构造 适当的函数, 利用函数的图象和性质解决问题. 同时要注意在一个含 多个变量的数学问题中, 需要确定合适的变量和参数, 从而揭示函数 关系,使问题更明朗化,一般地,已知存在范围的量为变量,而待求 范围的量为参数.

(3)在解决不等式证明问题时,构造适当的函数,利用函数方法 解题是近几年各省市高考的一个热点.用导数来解决不等式问题时, 一般都要先根据欲证的不等式构造函数, 然后借助导数研究函数的单 调性情况,再结合在一些特殊点处的函数值得到欲证的不等式.

3. 设函数 f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c 在 x=1 及 x=2 时取到极值. (1)求 a,b 的值; (2)若对于任意的 x∈[0,3]都有 f(x)<c2 成立,求 c 的取值范围; (3)若方程 f(x)=c2 有三个根,求 c 的取值范围.

解析:(1)f′(x)=6x2+6ax+3b=3(2x2+2ax+b). 因为函数 f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c 在 x=1 及 x=2 时取到极值,
? ? ?f′(1)=0, ?a=-3, 所以? 解得? ? ? ?f′(2)=0. ?b=4.

当 a=-3,b=4 时, f′(x)=3(2x2-6x+4)=6(x-2)(x-1). 当 x<1 时,f′(x)>0; 当 1<x<2 时,f′(x)<0; 当 x>2 时,f′(x)>0.

所以此时 1 与 2 都是极值点, 因此 a=-3,b=4,f(x)=2x3-9x2+12x+8c. (2)由(1)知函数 y=f(x)在 x=1 处取到极大值 f(1)=5+8c,在 x =2 处取到极小值 f(2)=4+8c. 因为 f(0)=8c,f(3)=9+8c, 所以当 x∈[0,3]时,函数 y=f(x)的最大值是 f(3)=9+8c,所以 要使对于任意的 x∈[0,3]都有 f(x)<c2 成立,需要 f(3)=9+8c<c2, c2-8c-9>0,解得 c<-1 或 c>9.

(3)由(1)(2)知函数 y=f(x)在区间(-∞,1)上是增函数,在(1, 2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数, y=f(x)在 x=1 处取到极大值 f(1)=5+8c, 在 x=2 处取到极小值 f(2)=4+8c,f(1)>f(2). 所以要使方程 f(x)=c2 有三个根, 需要 f(2)<c2<f(1),即 4+8c<c2<5+8c, 解得 4+2 5<c<4+ 21或 4- 21<c<4-2 5.

例4

平面内边长为 a 的正三角形 ABC, 直线 DE∥BC, 交 AB,

AC 于 D,E,现将△ABC 沿 ED 折成 60°的二面角,求 DE 在何位 置时,折起后 A 到 BC 的距离最短,最短距离是多少?

解析:如图所示,A 沿 DE 折起到 A′,过 A 作 AG⊥BC 于 G, 交 DE 于 F,连接 A′F,A′G, ∵△ABC 为正三角形,DE∥BC, ∴AF⊥DE,A′F⊥DE. 同时,G,F 分别为 BC,DE 的中点, ∴DE⊥平面 A′FG, BC⊥平面 A′FG. ∴∠A′FG 是二面角 A′EDB 的平面角. 由题知∠A′FG=60°,∴A′G 为所求. 3 在△A′FG 中,设 FG=x,则 A′F= a-x. 2

由余弦定理得 A′G2=A′F2+FG2-2A′F·FG·cos 60°

? 3 ?2 ? 3 ? 2 ? ? ? = a-x +x -2· a-x?·x·cos 60° ?2 ? ?2 ?

=3x2-

3 3 3ax+ a2 2 4

? 3 ?2 3 2 ? =3 x- a? + a , 4 ? 16 ?

∴当 x=

3 3 a 时,A′Gmin= a. 4 4

1 此时 AD=AE= a. 2

解析几何、 立体几何及其实际应用等问题中的最优化问题, 一般 利用函数思想来解决, 思路是先选择恰当的变量建立目标函数, 再用 函数的知识来解决.

4.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两桥墩相距 m 米,余 下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩, 经预测, 一个桥墩的工 程费用为 256 万元, 距离为 x 米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为 (2+ x)x 万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考 虑其他因素,记余下工程的费用为 y 万元. (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式. (2)当 m=640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小?

解析:(1)设需要新建 n 个桥墩,(n+1)x=m,
?m ? m 即 n= -1,所以 y=f(x)=256n+(n+ 1)(2+ x)x=256? x -1? x ? ?

m 256m + (2+ x)x = +m x+2m-256. x x 256m 1 1 m 3 (2)由(1)知,f′(x)=- 2 + m· x- = 2(x2-512). x 2 2 2x 3 令 f′(x)=0,得 x2=512,所以 x=64.

当 0<x<64 时 f′(x)<0,f(x)在区间(0,64)内为减函数; 当 64<x<640 时,f′(x)>0,f(x)在区间(64,640)内为增函数, 所以 f(x)在 x=64 处取得最小值,此时, m 640 n= -1= -1=9. x 64 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小.

1.函数与方程思想在许多容易题中也有很多体现. 2.有很多时候可以将方程看成函数来研究,这就是函数思想. 3.有些时候可以将函数看成方程来研究,这就是最简单的方程 思想.我们可以有意通过函数思想部分训练提升自己的数学能力.


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