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数学研究性学习之数列


数学研究性学习之数列
1、案例背景:
在<<普通高中数学课程标准>>中对研究性学习有这样的描述 :学会自主学习,独立探究 问题;能对知识学习的过程和解决问题的过程进行自我评判和调控 ,对知识进行系统整理;会 对已有的知识经验进行反思、质疑,有发散思维的习惯和求异思维的心向,敢于提出自己独立 的见解。而历年来,各省也相继有研究性问题作为高考题目出现。 数列经常作为高考数学中的中高档题出现,对数列进行研究性学习,将数列的相关问 题、性质、考察方式进行探究并推广是实现学生对数列题目作出较大突破的重要学习方式。 在这里, 我们就人教版高一教材第一册(上)<<数列>>一章中的一道习题为例, 进行数列的研 究性学习。

2、原始习题:
119 页习题 3.3 第 9 题:由数列 1 , 1 ? 2 ? 1 , 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 1 , 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 ,… 前 4 项的值,推测第 n 项 an ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ? n ? (n ? 1) ? ? ? 3 ? 2 ? 1的结果,并 给出证明。

3、研究性学习过程:
1>解法探究: 对于这道数列习题,我们可以从代数和几何两个方面进行求解。 1.1>代数方法: 法一:

a n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ? n ? (n ? 1) ? ? ? 3 ? 2 ? 1 ? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ?n ? 1?? n?n ? 1? n?n ? 1? ? ? ? n2 2 2
法二:

a n ? 2[1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ? n] ? n ? 2 ?
1.2>几何方法: 如下图所示,图 (1)、(2)、(3)、 (4)、(5) 中由数 字 1 组成的菱形 中数字 1 的个数 分别代表 a1 、

n(1 ? n) ? n ? n2 2

1 1 1 1 1 (1) 1 1 (2) 1 1 1 1 (3) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (4) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …………… …….. … …………… 1 1 1 1 1 1 (5)
2

1

a2 、a3 、a4 、an
的值,且图中每 一行(或列)数字 1 的个数分别代

2 、 表项 an 中对应的数,因此其值显然就是菱形对角线上数字 1 的个数的平方,即分别为 1 、

2

32 、 4 2 、 n 2 ,所以有 an ? n 2 .
2>一般化研究: 通过仔细观察,我们能注意到在原求解题目

an ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ? n ? (n ? 1) ? ? ? 3 ? 2 ? 1,它是关于中间项 n 成左右对
称的,并且其前半部分 1,2,3,?, n ? 1 构成了 d=1 的等差数列,那么我们就可以将原问题推广 到一般的等差数列中,即有: 推广 1:设数列 {an } 是首项为 a 、公差为 d 的等差数列,则数列

a1 , a1 ? a2 ? a1 ,

a1 ? a2 ? a3 ? a2 ? a1 , a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a3 ? a2 ? a1 ,? ,

第 n 项 bn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an ? an?1 ? ? ? a3 ? a2 ? a1 的结果为

bn ? (n ? 1) 2 d ? 2an ? a .
简证: bn ? 2(a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an ) ? an

? 2[na ?

n(n ? 1) d ] ? [a ? (n ? 1)d ] ? (n ? 1) 2 d ? 2an ? a . 2

这样,我们就得到了该类型中一般化的结果。接下来,我们思考,既然等差数列可以有 这样的性质,那么我们学习过的另一个特殊数列等比数列是否也有相类似的结果呢?则有: 推广 2:设数列 {an } 是首项为 a 、公比为 q 的等比数列,则数列

a1 , a1 ? a2 ? a1 , a1 ? a2 ? a3 ? a2 ? a1 , a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a3 ? a2 ? a1 ,? ,第 n 项

bn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an ? an?1 ? ? ? a3 ? a2 ? a1 的结果为
bn ? 2 ? a(1 ? q n ) ? aqn?1 . 1? q a(1 ? q n ) ? aqn ?1 . 1? q

简证: bn ? 2(a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an ) ? an ? 2 ?

其中,该数列的公比 q 不能为 1,若公比 q=1,则 bn ? (2n ? 1)a 。 在高考中,经常会有将等差等比数列相结合后,一起进行考察的题目,并经常有函数, 不等式组合其中, 作为高档题, 压轴题出现。 那么, 接下来我们看看将等差等比数列结合后, 还能不能得到类似的结果。 推广 3:设数列 {an } 是首项为 a 、公差为 d 的等差数列, 数列 {bn } 是首项为 b 、公比 为 q 的等比数列,则有 数列⑴:

a1 ? b1 , a1 ? b1 ? a2 ? b2 ? a1 ? b1 , a1 ? b1 ? a2 ? b2 ? a3 ? b3 ? a2 ? b2 ? a1 ? b1 ,

a1 ? b1 ? a2 ? b2 ? a3 ? b3 ? a4 ? b4 ? a3 ? b3 ? a2 ? b2 ? a1 ? b1 ,? ,
其第 n 项为

cn ? a1 ? b1 ? a2 ? b2 ? a3 ? b3 ? ? ? an?1 ? bn?1 ? an ? bn ? an?1 ? bn?1 ? ? ? a3 ? b3 ? a2 ? b2 ? a1 ? b1
b(1 ? q n ) 求解的结果为 cn ? (n ? 1) d ? 2an ? a ? 2 ? ? bqn?1 .(证略) 1? q
2

数列⑵:

a1 ? b1 , a1 ? b1 ? a2 ? b2 ? a1 ? b1 , a1 ? b1 ? a2 ? b2 ? a3 ? b3 ? a2 ? b2 ? a1 ? b1 ,

a1 ? b1 ? a2 ? b2 ? a3 ? b3 ? a4 ? b4 ? a3 ? b3 ? a2 ? b2 ? a1 ? b1 ,?,第 n 项为 cn ? a1 ? b1 ? a2 ? b2 ? a3 ? b3 ? ? ? an?1 ? bn?1 ? an ? bn ? an?1 ? bn?1 ? ? ? a3 ? b3 ? a2 ? b2 ? a1 ? b1
b(1 ? q n ) 求解结果为 cn ? (n ? 1) d ? 2an ? a ? 2 ? ? bqn?1 .(证略) 1? q
2

数列⑶:

a1b1

,

a1b1 ? a2 b2 ? a1b1

,

a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? a2b2 ? a1b1

,

a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? a4b4 ? a3b3 ? a2b2 ? a1b1 ,?,第 n 项为 cn ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ? ? an?1bn?1 ? an bn ? an?1bn?1 ? ? ? a3b3 ? a2b2 ? a1b1 的
求 解 结 果 为 cn ? (证略) 数列⑷:

2(a ? d )b ? 2[a ? (n ? 1)d ] ? bqn 2db(1 ? q n ) ? ? [a ? (n ? 1)d ] ? bqn?1 . 2 1? q (1 ? q)

a1 / b1

,

a1 / b1 ? a2 / b2 ? a1 / b1

,

a1 / b1 ? a2 / b2 ? a3 / b3 ? a2 / b2 ? a1 / b1

,

a1 / b1 ? a2 / b2 ? a3 / b3 ? a4 / b4 ? a3 / b3 ? a2 / b2 ? a1 / b1 ,? ,第 n 项为 cn ? a1 / b1 ? a2 / b2 ? a3 / b3 ? ? ? an?1 / bn?1 ? an / bn ? an?1 / bn?1 ? ? ? a3 / b3 ? a2 / b2 ? a1 / b1
求解的结果为 cn ?

2(a ? d )q n ? 2a ? 2(n ? 1)d 2d (q n ? 1) a ? (n ? 1)d (证略) ? ? n n ?1 n?2 2 b(q ? q ) bq (q ? 1) bqn?1

分析:该推广中(1)与(2)、(3)与(4)分别是同类型的,因此弄清(1)(3)即可,而(1)是一 个等差数列与一个等比数列简单加法,由问题 1 和问题 2 结果马上就能得到结果,这是不难的, 这里不多说了,对于(3),问题的关键是掌握等差与等比乘积复合后前 n 项和的求法——错位

相减法,即(3)可以这样求解: cn ? 2(a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 ? ? ? an?1bn?1 ? an bn ) ? an bn ,令

s ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ? ? an?1bn?1 ? an bn ①,则 qs ? a1b1q ? a2b2 q ? a3b3 q ? ? ? an?1bn?1q ? an bn q ? a1b2 ? a2b3 ? a3b4 ? ? ? an?1bn ? an bn q
②, ①-②得

b(1 ? q n ) (1 ? q)s ? a1b1 ? db2 ? db3 ? ? ? dbn?1 ? dbn ? an bn q ? ab ? d ? ? db ? [a ? (n ? 1)d ] ? bqn 1? q
(当然这里的公比 q ? 1 ,若 q ? 1 则问题较简单),所以

s?

(a ? d )b ? [a ? (n ? 1)d ] ? bqn db(1 ? q n ) ,则 ? 1? q (1 ? q) 2

2(a ? d )b ? 2[a ? (n ? 1)d ] ? bqn 2db(1 ? q n ) cn ? ? ? [a ? (n ? 1)d ] ? bqn?1 .而对于 2 1? q (1 ? q)
(4),只要将(3)结果中 b 用

1 1 、 q 用 代入就可以了,即能得到(4)结果为 b q

1 1 1 1 1 2(a ? d ) ? 2[a ? (n ? 1)d ] ? 2d (1 ? n ) n b bq b 1 1 q cn ? ? ? [a ? (n ? 1)d ] ? 1 1 b q n ?1 1? (1 ? ) 2 q q

2(a ? d )q n ? 2a ? 2(n ? 1)d 2d (q n ? 1) a ? (n ? 1)d 整理得 cn ? . ? n?2 ? n n ?1 2 b(q ? q ) bq (q ? 1) bqn?1
4、类似问题推广探究
像这样的数列问题,还有常见的求数列前 n 项和,如: 我们已经知道一类数列前 n 项和公式为 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?

1 n?n ? 1? ;① 2 1 1 * 2 ? 2 * 3 ? 3 * 4 ? ? ? n * ?n ? 1? ? n?n ? 1??n ? 2? ; ② 3

我们将②看作是①的推广, 那么根据这两个数列前 n 项和公式的规律, 我们猜测有如下公式:

? x?x ? 1??x ? 2???x ? s ? 1? ? s ? 1 n?n ? 1??n ? 2???n ? s ? ,③其中 n,s 为正整数。
x ?1

n

1

证法 1:对任意 s 为正整数,有 ⑴当 n=1 时,公式左= 1 * 2 * 3 *? * s ? s! 右=

1 *1 * 2 * 3 *? * ?s ? 1? ? s! s ?1

所以,当 n=1 时 公式③成立

⑵设当 n=k( k ? N * )时,公式③成立 即有:

?

?

1 * 2 * 3 *? * s ? 2 * 3 * 4 * *?s ? 1? ? ? ? k * ?k ? 1? * ?k ? 2? *? * ?k ? s ? 1? 1 ? k ?k ? 1??k ? 2?? ?k ? s ? s ?1
当 n=k+1 时,

1 * 2 * 3 * ? * s ? 2 * 3 * 4 * ? ?s ? 1? ? ? ? k ?k ? 1?? ?k ? s ? 1? ? ?k ? 1??k ? 2 ?? ?k ? s ? 1 ? k ?k ? 1??k ? 2 ?? ?k ? s ? ? ?k ? 1??k ? 2 ?? ?k ? s ? s ?1 1 ?k ? 1??k ? 2?? ?k ? s ??k ? s ? 1? ? s ?1
所以,当 n=k+1 时,公式③成立 由数学归纳法可以得知,n 为任意正整数,公式③均成立,即对任意 s、n 为正整数,公式 ③成立。 证法 2:? C x ? s ?1 ?
s

?x ? s ? 1?? ?x ? 1?x
s!

s ? x?x ? 1??x ? 2???x ? s ? 1? ? s!Cx ? s ?1

? ? x?x ? 1??x ? 2?? ?x ? s ? 1? ? s!?C ss ? C ss?1 ? C ss? 2 ? ?C ss? n?1 ?
n x ?1

? 公式③可转化为 s!?C ss ? C ss?1 ? C ss? 2 ? ? C ss? n ?1 ? ?
对 ?s ? N ,当 n=1 时,上式左= s!C ss ? s!
*

1 n?n ? 1??n ? 2?? ?n ? s ? s ?1

右=

1 * 1 * 2 * ? ?s ? 1? ? s! s ?1

? 当 n=1 时,上式成立.
设当 n=k 时,上式成立,即有:

s! C ss ? C ss?1 ? C ss? 2 ? ? ? C ss? k ?1 ?
当 n=k+1 时,

?

?

1 k ?k ? 1?? ?k ? s ? s ?1

s! C ss ? C ss?1 ? C ss? 2 ? ? ? C ss? k ?

?

?

1 k ?k ? 1?? ?k ? s ? ? s!C ss? k s ?1

?

?k ? s ?! ? s!?s ? k ?! ? k ?k ? s ?!??s ? 1??s ? k ?! ?s ? 1??k ? 1?! ?s ? 1?k! s!k! ?k ? s ? 1?! ? 1 ?k ? 1??k ? 2??k ? 3???k ? s ? 1? ?s ? 1?k! s ? 1
? 当 n=k+1 时,上式也成立

?

? 由数学归纳法知 n 为任意正整数,公式③均成立,即对任意 s、n 为正整数,公式③成立。
证法三:? C n ? s ?
s ?1

n?n ? 1??n ? 2?? ?n ? s ? ?s ? 1?!
1 1 * n?n ? 1??n ? 2 ?? ?n ? s ? s! s ? 1

?

?

1 s ?1 n?n ? 1?? ?n ? s ? ? s!C n ?s ?s ? 1?

?1 于是公式③转化为: Css ? Css?1 ? Css?2 ? ? ? Css?n?1 ? Css? n

? 当 s=1 时,
1 2 n?1 n?1 上式左= C10 ? C2 ? C3 ? ? ? Cn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? Cn ?s ? 右

所以当 s=1 时,上式成立。 设当 s=k 时,上式也成立,即有:
0 1 2 n?1 n?1 Ck ?1 ? Ck ? 2 ? Ck ?3 ? ? ? Ck ?n?1 ? Ck ? n 0 1 2 n?1 n?1 则当 s=k+1 时,我们需证 Ck ?1 ? Ck ? 2 ? Ck ?3 ? ? ? Ck ? n ? Ck ?n?1 ;④

采用同样的数学归纳法对公式④进行证明即可。

5、总结:
在数列的研究性学习过程中,我们采用了解决数列问题常用的方法,如错位相消,裂项 相消,倒序相加,以及证明的数学归纳法等,在研究的过程中,深入了解了数列的性质,加 深了对数列各种类型题目的理解, 并对各种解题方法的驾驭能力有了较大提升。 当然在这里, 只是研究了数列的一部分内容,在高考中数列和函数,导数,不等式等的结合是一个热门考 点,并且其中的推广应用更是多不胜数。研究数列,对于有着一定数学基础的学生的数学成 绩会有一个较大的提高,并在其研究过程中,体现数学的大胆猜测,严谨求证的科学态度, 这一点,在学习数学的过程中十分重要。


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