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2017年春季学期苏教版高中数学选修4-4学业分层测评:第四章 参数方程 10 Word版含答案


学业分层测评(十) (建议用时:45 分钟) 学业达标] 1.将下列参数方程化为普通方程: ?x=acos θ, (1)? (θ 为参数,a、b 为常数,且 a>b>0); ?y=bsin θ 2 ?x=2pt , (2)? (t 为参数,p 为正常数). ?y=2pt 【解】 x2 y2 (1)由 cos2θ+sin2θ=1,得a2+b2=1, 这是一个长轴长为 2a,短轴长为 2b,中心在原点的椭圆. y y2 (2)由已知 t=2p,代入 x=2pt2 得4p2· 2p=x, 即 y2=2px, 这是一条抛物线. 2 ?x=8t , 2.已知抛物线 C 的参数方程为? (t 为参数).若斜率为 1 的直线经 ?y=8t 过抛物线 C 的焦点,且与圆(x-4)2+y2=r2(r>0)相切,求 r 的值. 2 ?x=8t , 【解】 由? 得 y2=8x,抛物线 C 的焦点坐标为 F(2,0),直线方程 ?y=8t 为 y=x-2,即 x-y-2=0.因为直线 y=x-2 与圆(x-4)2+y2=r2 相切,由题意 得 r= |4-0-2| = 2. 2 ?x=1-2t, 3.若直线? (t 为参数)与直线 4x+ky=1 垂直,求常数 k 的值. ?y=2+3t 【解】 ?x=1-2t, 将? 化为普通方程为 ?y=2+3t 3 7 3 y=-2x+2,斜率 k1=-2, 4 当 k≠0 时,直线 4x+ky=1 的斜率 k2=-k , 3 4 由 k1k2=(-2)×(-k )=-1 得 k=-6; 3 7 当 k=0 时,直线 y=-2x+2与直线 4x=1 不垂直.综上可知,k=-6. x2 y2 4.过椭圆 9 + 4 =1 内一定点 P(1,0)作弦,求弦的中点的轨迹. 【解】 设弦的两端点 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点为 M(x,y).当 AB x2 y2 与 x 轴不垂直时,设 AB 的方程为 y=k(x-1),代入方程 9 + 4 =1,得(9k2+4)x2 18k2 -18k x+9k -36=0.由根与系数的关系,得 x1+x2= 2 , 9k +4 2 2 9k ? x= 2 , ? 9k +4 所以? -4k y=k?x-1?= 2 , ? 9k +4 ? 2 x 9 ∴y=-4k, 1 ?x-2?2 2 4x y 即 k=-9y,代入 y=k(x-1)中,得 4x2+9y2-4x=0,即 1 + 1 =1.① 4 9 当 AB⊥Ox 轴时,线段 AB 的中点为(1,0),该点的坐标满足方程①,所以所 1 ?x-2?2 2 y 求的轨迹方程为 1 + 1 =1.点 M 的轨迹是以 O、P 为长轴端点且离心率与原 4 椭圆相同的一个椭圆. ?x=1+2t, 5.已知某条曲线 C 的参数方程为? (其中 t 是参数,α∈R),点 2 ?y=at M(5,4)在该曲线上, (1)求常数 a; (2)求曲线 C 的普通方程. 【解】 ?1+2t=5, ?t=2, (1)由题意,可知? 2 故? ?at =4, ?a=1, 9 所以 a=1. (2)由已知及(1)得, ?x=1+2t, 曲线 C 的方程为? 2 ?y=t , ② ① x-1 x-1 由①得 t= 2 ,代入②得 y=( 2 )2, 即(x-1)2=4y 为所求. 6.已知极坐标系的极点 O 与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴 2 ?x=4t , ? π? ? 重合, 曲线 C1: ρcos?θ+

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