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2014届高考数学一轮复习课件:第五章第1课时数列的概念与简单表示法(新人教A版)


第五章





第1课时 数列的概念与简单表示法

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考纲展示 备考指南

1.本部分主要考查数列的 1.了解数列的概念和几种 基本概念及表示方法、 简单的表示方法(列表、 通项公式的求法以及数 图象、通项公式). 列的性质. 2.了解数列是自变量为正 2.题型多以选择、填空题 整数的一类函数. 为主,有时也作为解答 题的一问,难度不大.

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

名 师 讲 坛 精 彩 呈 现

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理
1.数列的定义 一定顺序 按照___________排列着的一列数称为数列.数列中的每一 个数叫作这个数列的项.

2.数列的分类
分类原则 按项数 分类 类型 有穷数列 满足条件 有限 项数_______ 无限 项数_______ an+1___an > an+1___an < an+1=an 其中n∈N*

无穷数列
递增数列

按项与项间的 大小关系分类

递减数列 常数列

3.数列的表示法 数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和递推公式.

4.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子an =f(n)来表示,那么这个公式叫作这个数列的通项公式.

思考探究
数列可以看成是一个以n为自变量的函数,则其定义域是什么? 提示:其定义域为正整数集N*或者其有限子集{1,2,?,n}.

5.递推公式

第一项 前几项 如果已知数列{an}的_________ (或_________),且任何一
项 an 与它的前一项 an- 1(或前几项)间的关系可以用一个 式子来表示,即 an=f(an- 1)或 an=f(an-1,an- 2),那么这 个式子叫作数列{an}的递推公式. 6.数列的前 n 项和及与通项公式的关系 (1)Sn=a1+a2+?+an;
?S1(n=1) ? (2)an=? . ?Sn-Sn-1(n≥2) ?

课前热身
2 3 4 5 1.数列 1, , , , ,?的一个通项公式 an 是( 3 5 7 9 n n A. B. 2n+1 2n-1 n n C. D. 2n-3 2n+3 )

答案:B

2.下列说法正确的是(

)

A.数列 1,3,5,7 可表示为{1,3,5,7} B.数列 1,0,-1,-2 与数列-2,-1,0,1 是相同的数列 n+1 1 C.数列{ }的第 k 项为 1+ n k D.数列 0,2,4,6,?可记为{2n}

答案:C

q 3.已知数列{an}的通项公式为 an=pn+ (p,q 为常数), n 3 3 且 a2= ,a4= ,则 a8=( ) 2 2 5 9 A. B. 4 4 3 C. D.2 4

? 解析:选 B.由题意知? q 3 ?4p+4=2
q 3 2p+ = 2 2 q 1 2 9 ∴a8=8p+ =8× + = . 8 4 8 4

?p=1 ? 4 ,解得? . ?q=2 ?

?2·n 1?n为偶数? ? 3 4.已知数列{an}的通项公式是 an=? , ? ?2n-5?n为奇数?


则 a3a4=________.

解析:a3=2×3-5=1,a4=2·4-1=54,a3a4=54. 3
答案:54

n 5.若数列{an}的通项公式为 an= ,那么这个数列是 n+1 __________数列.(填“递增”或“递减”或“摆动”)
x 1 解析:法一:令 f(x)= ,则 f(x)=1- 在(0,+∞) x+1 x+1 上是增函数,则数列{an}是递增数列. n+1 n 1 法二:∵an+ 1-an= - = >0, n+2 n+1 ?n+1??n+2? ∴an+ 1>an.∴数列{an}是递增数列.

答案:递增

考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 由数列前几项求数列的通项公式 写出下面各数列的一个通项公式:

例1

(1)3,5,7,9,?; 1 3 7 15 31 (2) , , , , ,?; 2 4 8 16 32 3 1 3 1 3 (3)-1, ,- , ,- , ,?. 2 3 4 5 6

【解】 (1)各项减去 1 后为正偶数,所以 an=2n+1. (2) 每 一 项 的 分 子 比 分 母 少 1 , 而 分 母 组 成 数 列 2n-1 21,22,23,24,?,所以 an= n . 2 (3)奇数项为负, 偶数项为正, 故通项公式的符号为(-1)n; 各项绝对值的分母组成数列 1,2,3,4,?;而各项绝对值 的分子组成的数列中,奇数项为 1,偶数项为 3,即奇数 项为 2-1,偶数项为 2+1, 2+?-1? n 所以 an=(-1)n· . n 1 - ,n为正奇数, n 也可写为 an= 3 ,n为正偶数. n

? ? ?

【方法提炼】

(1)观察法就是观察数列的特征,找出各项

共同的规律,横看“各项之间的关系结构”,纵看“各项与
项数n的关系”,从而确定数列的通项公式. (2)利用观察法求数列的通项时,要抓住以下几个特征:

①分式中分子、分母的特征;
②相邻项的变化特征; ③拆项后的特征; ④各项符号特征等,并对此进行归纳、联想. 提醒:根据数列的前n项写出数列的一个通项公式是不完全 归纳法,它蕴含着“从特殊到一般”的思想,由不完全归纳 得出的结果是不可靠的,要注意代值检验,对于正、负符号 变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.

跟踪训练

1.根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式:
(1)-1,7,-13,19,?; (2)0.8,0.88,0.888,?.
解:(1)符号问题可通过(-1)n 或(-1)n 1 表示,其各项的 绝对值的排列规律为:后面的数的绝对值总比前面数的 绝对值大 6,故通项公式为 an=(-1)n(6n-5). (2)将数列变形为 8 8 8 (1-0.1), (1-0.01), (1-0.001),?, 9 9 9 1 ? 8? ∴an= ?1-10n?. 9


考点 2

由数列的递推关系求通项公式

例2 分别求出满足下列条件的数列的通项公式.
(1)a1=0,an+ 1=an+(2n-1)(n∈N*); n (2)a1=1,an= an- 1(n≥2,n∈N*); n-1 (3)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=3+2n.

【解】

(1)an=a1+(a2-a1)+?+(an-an-1)=0+1+3+

?+(2n-5)+(2n-3)=(n-1)2, 所以数列的通项公式为an=(n-1)2.

(2)n≥2,n∈N*时, n-2 n-1 a2 a3 an 2 3 an = a1× × ×?× = 1× × ×?× × 1 2 a1 a2 an-1 n-3 n-2 n × =n, n-1 所以该数列的通项公式为 an=n. (3)当 n=1 时,a1=S1=3+2=5; 当 n≥2 时, an=Sn-Sn- 1=3+2 -(3+2 )=2 -2 - 因为 n=1 时,不符合 an=2n 1,
n n- 1 n n- 1

=2

n- 1

.

?5,n=1, ? 所以数列{an}的通项公式为 an=? n-1 ? ?2 ,n≥2.

【题后感悟】 (1)已知数列的递推关系,求数列的通项公 式时,通常用累加、累乘、构造法求解.当出现 an=an- 1 +m 时,构造等差数列;当出现 an=xan- 1+y 时,构造等 比数列;当出现 an=an- 1+f(n)时,用累加法求解;当出现 an =f(n)时,用累乘法求解. an-1 (2) 数 列 的 通 项 an 与 前 n 项 和 Sn 的 关 系 是 an =
?S1, ? ? ?Sn-Sn-1, ?

n=1 n≥2

.当 n=1 时, 1 若适合 Sn-Sn- 1,则 n a

=1 的情况可并入 n≥2 时的通项公式 an;当 n=1 时,a1 若不适合 Sn-Sn- 1,则用分段函数的形式表示.

跟踪训练
2.根据下列条件,求数列的通项公式an. (1)已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n; (2)在数列{an}中,a1=1,an+1=an+2n. 解:(1)当n=1时,a1=S1=-1;

当n≥2时,an=Sn-Sn-1
=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5. 由于a1也适合此式,因此an=4n-5(n∈N*).

(2)由 an+ 1-an=2n,把 n=1,2,3,?,n-1(n≥2)代入,得 (n-1)个式子, 累加即可得(a2-a1)+(a3-a2)+?+(an-an- 1) 2?1-2n 1? - =2+22+23+?+2n 1,所以 an-a1= , 1-2


即 an-a1=2n-2,所以 an=2n-2+a1=2n-1. 当 n=1 时,a1=1 也符合, 所以 an=2n-1(n∈N*).

考点3 数列的性质
例3 已知数列{an}.若an=n2-5n+4,

(1)数列中有多少项是负数?
(2)n为何值时,an有最小值?并求出最小值.

【解】

(1)由 n2-5n+4<0,解得 1<n<4.

∵n∈N*,∴n=2,3. ∴数列中有两项是负数,即为 a2,a3.

?n-5 ?2-9的对称轴方程为 n=5 .又 (2)∵an=n -5n+4= ? 2? 4 2
2

n∈N*,∴n=2 或 n=3 时,an 有最小值,其最小值为 a2 =a3=-2.

【题后感悟】

(1)因为数列可以看作是一类特殊的函数,

因而数列也具备一般函数应具备的性质.(2)求数列的最大
?an≥an- 1 ? (小)项,一般可以先研究数列的单调性,可以用? ?an≥an+ 1 ? ?an≤an- 1 ? 或? ,也可以转化为函数最值问题或利用数形结 ? ?an≤an+ 1

合进行求解.

跟踪训练
3.若数列{an}满足:若an=n2+kn+4且对于n∈N*,都 有an+1>an成立,则实数k的取值范围为__________.
解析:由 an+ 1>an 知该数列是一个递增数列.又因为通项 公式 an=n2+kn+4, 可以看作是关于 n 的二次函数, 考虑 k 3 到 n∈N ,所以- < ,即得 k>-3. 2 2
*

答案:(-3,+∞)

方法感悟
1.求数列通项或指定项,通常用观察法(对于交错数列一 般用(-1)n 或(-1)n
+1

来区分奇偶项的符号); 已知数列中的

递推关系,一般只要求写出数列的前几项,若求通项可用 归纳、猜想和转化的方法.
?S1 ?n=1? ? 2.由 Sn 求 an 时,an=? ,注意验证 a1 是 ?Sn-Sn-1?n≥2? ?

否包含在后面 an 的公式中,若不符合要单独列出,一般已 知条件含 an 与 Sn 的关系的数列题均可考虑上述公式.

名师讲坛精彩呈现
易错警示


忽视对n=1与n≥2的讨论致误

已知数列{an}的前n项和Sn=2n-3,则数列{an}的通

项公式为________.

【常见错误】

已知数列{an}的前n项和Sn,求数列的通项

公式an,其方法是an=Sn-Sn-1(n≥2),这里常常因为忽略 了条件n≥2而出错.

【解析】 当 n=1 时,a1=S1=-1; - 当 n≥2 时,an=Sn-Sn- 1=2n 1,
?-1,n=1 ? ∴an=? n-1 . ? ?2 ,n≥2

【答案】

?-1,n=1 ? an=? n-1 ? ?2 ,n≥2

【防范措施】 由 an=Sn-Sn- 1 求 an 时的 n 是从 2 开始的 自然数,由此求得的 an 不一定就是它的通项公式,必须验 证 n=1 时是否也成立.否则通项公式只能用分段函数 an
?S1, ? =? ?Sn-Sn-1, ?

?n=1? ?n≥2?

来表示.

跟踪训练 4.已知数列{an}的前n项和Sn=3n+b,求{an}的通项公式.
解:a1=S1=3+b. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn- 1=3n-3n 1=2·n 1, 3 当 b=-1 时,a1 适合此式,此时 an=2·n 1, 3
?3+b ?n=1? ? 当 b≠-1 时,a1 不适合此式,此时 an=? n- 1 . ? 3 ?n≥2? ?2·
- - -

知能演练轻松闯关

本部分内容讲解结束
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