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高中数学选修2-1人教A教案导学案直线与圆锥曲线的位置关系


直线与圆锥曲线的位置关系 课前预习学案
一、预习目标 1.掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法,能够把研究直线与圆 锥曲线的位置关 系的 问题转化为研究方程组的解的问题; 2. 会利用直线与圆锥曲线的方程所组成的方程组消去一个变量,将交点问题问题转化为一 元二次方程根的问题,结合根与系数关系及判别式解决问题. 二、预习内容 1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法: ; 2、弦的中点或中点弦的问题,除利用韦达定理外,也可以运用“差分法” (也叫“点差法”. ) 3、弦长公式 ; 4、焦点弦长: ; 1.直线 y ? x ? b 与抛物线 y ? 2 x ,当 b?
2

时,有且只有一个公共点;当 b?

时,有两个

不同的公共点;当 b?

时,无公共点. .

x2 y 2 2.若直线 y ? kx ? 1 和椭圆 ? ? 1 恒有公共点,则实数 m 的取值范围为 25 m
2

3.抛物线 y ? ax 与直线 y ? kx ? b (k ? 0) 交于 A, B 两点,且此两点的横坐标分别为 x1 ,

x2 ,直线与 x 轴的交点的横坐标是 x3 ,则恒有(



( A) x3 ? x1 ? x2 ( B) x1 x2 ? x1 x3 ? x2 x3 (C ) x3 ? x1 ? x2 ? 0 ( D) x1 x2 ? x1 x3 ? x2 x3 ? 0
4.椭圆 mx ? ny ? 1 与直线 x ? y ? 1 交于 M , N 两点, MN 的中点为 P ,且 OP 的斜率
2 2



2 m ,则 的值为( 2 n 2 2



( A)

( B)

2 2 3
2

(C )

9 2 2

( D)

2 3 27

5.已知双曲线 C : x ?

y2 ? 1 ,过点 P(1,1) 作直线 l ,使 l 与 C 有且只有一个公共点,则 4

满足上述条件的直线 l 共有( )

( A) 1 条

( B) 2 条

(C ) 3 条

( D) 4 条

6.设直线 y ? 2 x ? 1 交曲线 C 于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点, (1)若 | x1 ? x2 |?

2 ,则 | AB |?

. (2) | y1 ? y2 |?
1

2 ,则 | AB |?



7. 斜率为 1 的直线经过抛物线 y ? 4 x 的焦点, 与抛物线相交于 A, B 两点, | AB |? 则
2



8.过双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的右焦点作直线 l ,交双曲线于 A, B 两点,若 | AB |? 4 ,则这样的 2

直线 l 有(



( A) 1 条

( B) 2 条
2 2

(C ) 3 条

( D) 4 条


9.已知椭圆 x ? 2 y ? 4 ,则以 (1,1) 为中点的弦的长度是(

( A) 3 2

( B) 2 3

(C )

30 3

( D)

3 6 2

10.中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆的左焦点为 F ,离心率为 e ?

1 ,过 F 作直线 l 交椭 3


圆于 A, B 两点,已知线段 AB 的中点到椭圆左准线的距离是 6 ,则 | AB |? 三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格 中 疑惑点 疑惑内容

课内预习学案 一、学习目标 1、使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定,重点掌握直线与圆锥曲线相交的 有 关问题. 2、通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究,培养学生综合运用直线、圆锥曲线 的各方面知识的能力. 3、通过点与圆锥曲线的位置及其判定,渗透归纳、推理、判断等方面的能力. 二、学习过程 1.点 P(x0,y0)和圆锥曲线 C:f(x,y)=0 有哪几种位置关系?它们的条件是什么? 2.直线 l:Ax+By+C=0 和圆锥曲线 C:f(x,y)=0 有哪几种位置关系? 3.点 M(x0,y0)与圆锥曲线 C:f(x,y)=0 的位置关系

2

的焦点为 F1、F2,y2=2px(p>0)的焦点为 F,一定点为 P(x0,y0),M 点到抛物线的准 线的距离为 d,则有:

4.直线 l∶Ax+Bx+C=0 与圆锥曲线 C∶f(x,y)=0 的位置关系: 直线与圆锥曲线的位置关系可分为:相交、相切、相离.对于抛物线来说,平行于对 称轴的直线与抛物线相交于一点,但并不是相切;对于双曲线来说,平行于渐近线的直线与 双曲线只有一个交点,但并不相切.这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为:

注意:直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件, 但不是充分条件. 5.例题 例 1.过点 (?1, ?6) 的直线 l 与抛物线 y ? 4 x 交于 A, B 两点,若 P ( ,0) ,| AP |?| BP | ,求 l 的斜
2

9 2

率. 例 2.直线 l : y ? kx ? 1 与双曲线 C : 2 x ? y ? 1 的右支交于不同的两点 A, B ,
2 2

(I)求实数 k 的取值范围; (II)是否存在实数 k ,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F ?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由.
3

例 3.已知直线 l 和圆 M : x ? y ? 2 x ? 0 相切于点 T ,且与双曲线 C : x ? y ? 1 相交
2 2 2 2

于 A, B 两点,若 T 是 AB 的中点,求直线 l 的方程. 例 4. 如图, 过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上一定点 P( x0 , y0 )( y0 ? 0) , 作两条直线分别交抛物线
2

于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,1) ( 求该抛物线上纵坐标为 的斜率存在且倾斜角互补时,求

p 的点到其焦点 F 的距离;2) PA 与 PB ( 当 2

y1 ? y2 的值,并证明直线 AB 的斜率是非零常数. y0

例 5.椭圆的中心是原点 O ,它的短轴长为 2 2 ,相应于焦点 F (c,0)(c ? 0) 的准线 l 与 x 轴相 交于点 A ,| OF |? 2 | FA | ,过点 A 的直线与椭圆相交于 P, Q 两点. (I)求椭圆的方程及离心 率; (II)若 OP.OQ ? 0, 求直线 PQ 的方程; (III)设 AP ? ? AQ(? ? 1) ,过点 P 且平行于 准线 l 的直线与椭圆相交于另一点 M ,证明 FM ? ?? FQ .

课后练习与提高
1.以点 (1, ?1) 为中点的抛物线 y ? 8 x 的弦所在的直线方程为( )
2

( A) x ? 4 y ? 3 ? 0 4x ? y ? 3 ? 0
2.斜率为 3 的直线交椭圆 ( ) ( A) y ?

( B) x ? 4 y ? 3 ? 0

(C ) 4 x ? y ? 3 0 ?

( D)

x2 y 2 ? ? 1 于 A, B 两点,则线段 AB 的中点 M 的坐标满足方程 25 9

3 x 25

( B) y ? ?
2

3 25 x x (C ) y ? 3 25

( D) y ? ?

25 x 3

3.过点 (0,1) 与抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 只有一个公共点的直线的条数是( )

( A) 0
4.过双曲线

( B) 1

(C ) 2

( D) 3

x2 y 2 ? ? 1 的 右 焦 点 F2 作 垂 直 于 实 轴 的 弦 PQ , F1 是 左 焦 点 , 若 a 2 b2


?PF1Q ? 900 ,则双曲线的离心率是(

( A) 2

( B) 1 ? 2
2

(C ) 2 ? 2

( D) 3 ? 2

5.过抛物线 y ? ax (a ? 0) 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P, Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的
4

长分别是 p, q ,则

1 1 ? 等于( p q
(C ) 4a



( A) 2a

( B)

1 2a

( D)

4 a


6.直线 y ? x ? m 与椭圆

x2 ? y 2 ? 1 交于 A 、 B 两点,则 | AB | 的最大值是( 4
(C )
4 10 5

( A) 2
2

( B)
2

4 5 5

( D)

8 10 5

7.已知双曲线 x ? y ? kx ? y ? 9 ? 0 与直线 y ? kx ? 1 的两个交点关于 y 轴对称,则这两 个交点的坐标为 .
2

8.与直线 2 x ? y ? 4 ? 0 的平行的抛物线 y ? x 的切线方程是 9.已知椭圆的中心在原点,离心率为



1 ,一个焦点是 F (?m,0) ( m 是大于 0 的常数) . 2

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设 Q 是椭圆上的一点,且过点 F , Q 的直线 l 与 y 轴交于点 M , 若 | MQ |? 2 | QF | ,求直线 l 的斜率. 10.一个正三角形的三个顶点都在双曲线 x ? ay ? 1 的右支上,其中一个顶点是双曲线的
2 2

???? ?

??? ?

右顶点,求实数 a 的取值范围. 11.已知直线 y ? kx ? 1 与双曲线 3x ? y ? 1 相交于 A, B 两点.是否存在实数 k ,使 A, B
2 2

两点关于直线 x ? 2 y ? 0 对称?若存在,求出 k 值,若不存在,说明理由.

5

点、直线与圆锥曲线 的位置关系
一、教学目标 (一)知识教学点 使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定,重点掌握直线与圆锥曲线相交的有 关问题. (二)能力训练点 通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究,培养学生综合运用直线、圆锥曲线的 各方面知识的能力. (三)学科渗透点 通过点与圆锥曲线的位置及其判定,渗透归纳、推理、判断等方面的能力. 二、教材分析 1.重点:直线与圆锥曲线的相交的有关问题. (解决办法:先引导学生归纳出直线与圆锥曲线的位置关系,再加以应用.) 2.难点:圆锥曲线上存在关于直线对称的两点,求参数的取值范围. (解决办法:利用判别式法和内点法进行讲解.) 3. 疑点: 直线与圆锥曲线位置关系的判定方法中△=0 不是相切的充要条件. (解决办法:用图形向学生讲清楚这一点.) 三、活动设计 四、教学过程 (一)问题提出 1.点 P(x0,y0)和圆锥曲线 C:f(x,y)=0 有哪几种位置关系?它们的条件

是什么?
引导学生回答,点 P 与圆锥曲线 C 的位置关系有:点 P 在曲线 C 上、点 P 在曲

线 C 内部(含焦点区域)、 P 在曲线的外部(不含焦点的区域).那么这三种位置 点 关系的条件是什么呢?这是我们要分析的问题之一.
2.直线 l:Ax+By+C=0 和圆锥曲线 C:f(x,y)=0 有哪几种位置关系? 引导学生类比直线与圆的位置关系回答. 直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系可分为:

相交、相切、相离.那么这三种位置关系的条件是什么呢?这是我们要分析的问 题之二.
(二)讲授新课 1.点 M(x0,y0)与圆锥曲线 C:f(x,y)=0 的位置关系

的焦点为 F1、F2,y2=2px(p>0)的焦点为 F,一定点为 P(x0,y0),M 点到抛

物线的准线的距离为 d,则有:
6

(由教师引导学生完成,填好小黑板)

上述结论可以利用定比分点公式,建立两点间的关系进行证明. 2.直 线 l∶Ax+Bx+C=0 与圆锥曲线 C∶f(x,y)=0 的位置关系: 直线与圆锥曲线的位置关系可分为:相交、相切、相离.对于抛物线来说,平行于对 称轴的直线与抛物线相交于一点,但并不是相切;对于双曲线来说,平行于渐近线的直线与 双曲线只有一个交点,但并不相切.这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为:

注意:直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件, 但不是充分条件. 3.应用

求 m 的取值范围.

7

解法一:考虑到直线与椭圆总有公共点,由直线与圆锥曲线的位置关系的充要 条件可 求. 由一名同学演板.解答为: 由椭圆方程及椭圆的焦点在 x 轴上,知:0<m<5.



∵直线与椭圆总有公共点,

即(10k)2-4x(m+5k2)×5(1-m)≥0, 亦即 5k2≥1-m 对一切实数 k 成立. ∴1-m≤0,即 m≥1. 故 m 的取值范围为 m∈(1,5). 解法二:由于直线过定点(0,1),而直线与椭圆总有公共点,所以定点(0,1) 必在椭圆内部或边界上,由点与椭圆的位置关系的充要条件易求. 另解: 由椭圆方程及椭圆的焦点在 x 轴上知:0<m<5. 又∵直线与椭圆总有公共点. ∴ 直线所经过的定点(0,1)必在椭圆内部或边界上.

故 m 的取值范围为 m∈(1,5), 小结:解法一由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件求,思路易得,但计算量大; 解法二由点与圆锥曲线的位置关系的充要条件求,思路灵活,且简捷.

称,求 m 的取值范围. 解法一:利用判别式法.

并整理得:

8

∵直线 l′与椭圆 C 相交于两点,

解法二:利用内点法. 设两对称点为 P1(x1,y1),P2(x2,y2),P1P2 的中点为 M(x0,y0),

∴y1+y2=3(x1+x2).(1)

9

小结:本例中的判别式法和内点法,是解决圆锥曲线上存在两点关于直线的对称的一 般方法,类似可解抛物线、双曲线中的对称问题. 练习 1:(1)直线过点 A(0,1)且与抛物线 y2=x 只有一个公共点,这样的直

线有几条?
(2)过点 P(2,0)的直线 l 与双曲线 x2-y2=1 只有一个公共点,这样的直线有

几条?
由学生练习后口答:(1)3 条,两条切线和一条平行于 x 轴的直线;(2)2 条,

注意到平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点,故这样的直线也只有 2 条.
练习 2:求曲线 C∶x2+4y2=4 关于直线 y=x-3 对称的曲线 C′的方程. 由教师引导方法,学生演板完成.解答为: 设(x′,y′)是曲线 C 上任意一点,且设它关于直线 y=x-3 的对称点为(x,

y).

又(x′,y′)为曲线 C 上的点, ∴(y+3)2+4(x-3)2=4. ∴曲线 C 的方程为:4(x-3)2+(y+3)2=4. (三)小结 本课主要研究了点、直线与圆锥曲线的三种位置关系及重要条件. 五、布置作业

10

的值. 2.k 取何值时,直线 y=kx 与双曲线 4x2-y2=16 相交、相切、相离? 3.已知抛物线 x=y2 +2y 上存在关于直线 y=x+m 对称的相异两点,求 m 的取

值范围.
作业答案: 1.由弦长公式易求得:k=-4

当 4-k2=0,k=±2, y=±2x 为双曲线的渐近线,直线与双曲线相离 当 4-k2≠0 时,△=4(4-k2)×(-6) (1)当△>0,即-2<k<2 时,直线与双曲线有两个交点 (2)当△<0,即 k<-2 或 k>2 时,直线与双曲线无交点 (3)当△=0,即 k=±2 时,为渐近线,与双曲线不相切 故当-2<k<2 时,直线与双曲线相交 当 k≤-2 或 k≥2 时,直线与双曲线相离

六、板书设计

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