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函数的奇偶性教案


函数的奇偶性教案
教学目标 一、 知识要点:理解奇函数、偶函数的定义,掌握一些简单的判断函数奇偶 性的方法。 二、 能力训练要求:在理解定义的基础上,更进一步掌握函数奇偶性的基本 性质,定理及图象特征。 三、 德育渗透目标:在教学中渗透数学中的对称美,培养学生数形结合和化 归的重要数学思想。 教学重点:应用函数的基本性质、定义、定理判定函数的奇偶性。 教学难点:函数奇偶性的判断。 教学方法:讲授法、提问法 教学过程 一、 复习导引 对称是大自然的一种美,对称美在生活中随处可见。

1 y=x2 x 二、新授 定义:如果对于函数 y=f (x)的定义域内任意的一个 x,都有 (1) ,f (-x)=-f (x),则称 f (x)为奇函数。由定义知道:f (x)=x3 ,f (x)=2x 等都是奇函数。 2 (2) ,f (-x)=f (x),则称 f (x)为偶函数。由定义知道 y=x2+1, y ? 2 2x ? 1 等都是偶函数。 注(1)奇偶函数的定义域关于原点对称。 (定义域优先) 定理:奇函数的图象关于原点对称,反过来,若一个函数的图象关于原点对称, 则这个函数是奇函数。 偶函数的图象的图象关于 y 轴对称,反过来,若一个函数的图象关于 y 轴则这个 函数是偶函数。 注(2)函数奇偶性的类型:奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数又是 偶函数。 例 1 判定下列函数的奇偶性。 (1)y=x2 (-2<x<3) 解:由于定义域不关于原点对称,所以该函数既不奇函数也不是偶函数。

y=

(2) y ? ( x ? 1)

1? x 1? x
(1 ? x)(1 ? x) 2 ? (1 ? x)(1 ? x) (1 ? x)

1? x 解: f (? x) ? (1 ? x) 1 ? x ?

f ( x) ?

( x ? 1) 2 (1 ? x) ? (1 ? x)(1 ? x) 1? x

初一看这个函数满足了 f (? x) ? ? f ( x) ,但由于被开方数必须大于或等于
1? x ? 0 ,其解集为: x︱ ? 1 ? x ? 1 ,这个定义并关于原点对称,因此 1? x 这个函数是非奇非偶函数。 定义域不关于原点对称的函数无奇偶性,即既不是奇函数也不是偶函数。 例 2 先判断函数的奇偶性,并证明你的结论。 (1)y=︱x-1︱+︱x+1︱

0,即

(2)

y?

2 2x ? 1
2

例3 判断下列函数的奇偶性(只说出结果即可) 1 (1) y ? x ﹒ ? 1 (2) y ? x 0 ? 1 x

(3)

y ? ( x ? 1) 0 ? 1

(4)

y?2

注(3)定义域对称的零函数既是奇函数又是偶数,即 f (x)=0 是既是奇函数又是 偶函数; 定义域对称的非零常数函数只是偶数, 即 f (x)=a (a≠0)只是偶函数。

f (x)=0

f (x )=2

注(4)对于奇函数,自变量 x 若能取到 0,则 f (x)=0 例 3 判断函数的奇偶性 f (x)=

x ? 1 ( x ? 0) 0 ( x ? 0) x ? 1 ( x ? 0)

注(5)判断函数的奇偶性还可利用图象、定义等方法。 注(6)奇±奇=奇 奇×奇=偶 偶±偶=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇 偶÷偶=偶 奇÷奇=偶 (分母不能为 0) 二、 练习 1、判断下列函数的奇偶性 1 (1) y ? x ? 1 ? 1 ? x (2) y ? 2 x (3)f (x)=x2 (4) y ? x 5

(5) f ( x) ? x ?

1 x

(6) f ( x) ? 2 x ? 1

(7) f ( x) ? x

( x ? ?2,?1,0,1,2)

四、作业 1、 函数 y ? mx2 ? (n ? 1) x ? 1是定义在 [m 2 ? 6, m] 上的偶函数,求该函数的值域。 2、己知函数 y ? f ( x) 是奇函数,它在 y 轴右边的图象如图所示,画出 y ? f ( x) 图象在 y 轴左边的图象。


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