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2013年8月x的高中数学组卷


2013 年 8 月 X 的高中数学组卷

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2013 年 8 月 x 的高中数学组卷
一.选择题(共 30 小题) 1. (2013?四川)一个几何体的三视图如图所示,则该集合体的直观图可以是( )

A.

B.

C.

D.

2. (2013?上海)若两个球的表面积之比为 1:4,则这两个球的体积之比为( A.1:2 B.1:4 C.1:8

) D.1:16

3. (2013?山东)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分 别是( )

A.4

,8

B.

C.

D.8,8

4. (2013?湖南)已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能是 ( ) A.1 B. C. D.

5. (2013?湖南)已知正方体的棱长为 1,其俯视图是一个面积为 1 的正方形,侧视图是一个面积为 该正方体的正视图的面积等于( ) A. B.1 C. D.

的矩形,则

6. (2013?广东)某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是(



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A.4

B.

C.

D.6

7. (2012?陕西) 将正方体 (如图 1 所示) 截去两个三棱锥, 得到图 2 所示的几何体, 则该几何体的左视图为 (



A.

B.

C.

D.

8. (2012?泉州模拟)设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( A.3πa2 B.6πa2 C.12πa2 D.24πa2 9. (2012?湖南)某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是( )



A.

B.

C.

D.

10. (2012?黑龙江) 平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1, 球心 O 到平面 α 的距离为 , 则此球的体积为 ( A. π B.4 π C.4 π D.6 π 11. (2012?福建)一个几何体的三视图形状都相同,大小均相等,那么这个几何体不可以是( A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱 )



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12. (2011?浙江)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( A. B. C.

) D.

13. (2011?浙江)几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是(



A.

B.

C.

D.

14. (2011?山东)如图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题: ①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如下图; ②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如下图; ③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如下图. 其中真命题的个数是 ( )

A.3

B.2

C.1

D.0

15. (2011?辽宁)己知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点.AB=2,∠ASC=∠BSC=45°,则棱锥 S﹣ABC 的体积为( ) A. B. C. D.

16. (2011?辽宁)已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB= 的体积为( ) A.3 B.2 C.

,∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥 S﹣ABC D.1 )

17. (2011?江西)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的左视图(

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www.jyeoo.com A. B. C. D.

18. (2011?广东)正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个正五 棱柱对角线的条数共有( ) A.20 B.15 C.12 D.10 19. (2010?上海)如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为 3 和 4,过直角顶点的侧棱长为 4,且 垂直于底面,该三棱锥的正视图是( )

A.

B.

C.

D.

20. (2010?广东)如图,A1B1C1 为正三角形,与平面不平行,且 CC1>BB1>AA1,则多面体的正视图(也称主视 图)是( )

A.

B.

C.

D.

21. (2010?广东)如图,△ ABC 为三角形,AA′∥BB′∥CC′,CC′⊥平面 ABC 且 3AA′= BB′=CC′=AB, 则多面体△ ABC﹣A′B′C′的正视图(也称主视图)是( )

A.

B.

C.

D.

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www.jyeoo.com 22. (2010?赤峰模拟)已知三棱锥的侧棱长的底面边长的 2 倍,则侧棱与底面所成角的余弦值等于( A. B. C. D. )

23. (2010?北京)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 2,动点 E、F 在棱 A1B1 上.点 Q 是 CD 的中点,动 点 P 在棱 AD 上,若 EF=1,DP=x,A1E=y(x,y 大于零) ,则三棱锥 P﹣EFQ 的体积( )

A.与 x,y 都有关

B.与 x,y 都无关

C.与 x 有关,与 y 无关

D.与 y 有关,与 x 无关

24. (2010?北京)一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正视图与侧(左)视图分别如图所示,则该几何体 的俯视图为( )

A.

B.

C.

D.

25. (2010?北京)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 2,动点 E、F 在棱 A1B1 上,动点 P,Q 分别在棱 AD, CD 上,若 EF=1,A1E=x,DQ=y,DP=z(x,y,z 大于零) ,则四面体 PEFQ 的体积( )

A.与 x,y,z 都有关 C. 与 y 有关,与 x,z 无关

B. 与 x 有关,与 y,z 无关 D.与 z 有关,与 x,y 无关 )

26. (2009?烟台二模)如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是 S,那么圆柱的体积等于( A. B. C. D.

27. (2009?陕西)若正方体的棱长为 A. B.

,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( C. D.



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www.jyeoo.com 28. (2009?宁夏)如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,EF∥B1C1,用 (2)两部分后,这两部分几何体的形状是( ) 平面 BCFE 把这个长方体分成了(1) 、

A.(1)是棱柱, (2)是棱 B.(1)是棱台, (2)是棱 C.(1) (2)都是棱柱 台 柱

D.(1) (2)都是棱台

29.2009?辽宁) ( 正六棱锥 P﹣ABCDEF 中, 为 PB 的中点, G 则三棱锥 D﹣GAC 与三棱锥 P﹣GAC 体积之比为 (



A.1:1

B.1:2

C.2:1

D.3:2 )

30. (2009?湖南)正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱上到异面直线 AB,CC1 的距离相等的点的个数为( A.2 B.3 C.4 D.5

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2013 年 8 月 x 的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共 30 小题) 1. (2013?四川)一个几何体的三视图如图所示,则该集合体的直观图可以是(



A.

B.

C.

D.

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 探究型. 分析: 首先由几何体的俯视图断定原几何体的最上面的平面图形应是圆,再由俯视图内部只有一个虚圆,断定原 几何体下部分的图形不可能是棱柱,由此可排除前三个选项. 解答: 解:由俯视图可知,原几何体的上底面应该是圆面,由此排除选项 A 和选项 C. 而俯视图内部只有一个虚圆,所以排除 B. 故选 D. 点评: 本题考查了简单空间几何体的三视图,由三视图还原原几何体,首先是看俯视图,然后结合主视图和侧视 图得原几何体, 解答的关键是明白三种视图都是图形在与目光视线垂直面上的投影,此题是基础题.
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2. (2013?上海)若两个球的表面积之比为 1:4,则这两个球的体积之比为( A.1:2 B.1:4 C.1:8

) D.1:16

考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 设两个球的半径分别为 r1、r2,根据球的表面积公式算出它们的表面积之比为
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= ,解之得

= ,由此

结合球的体积公式即可算出这两个球的体积之比. 解答: 解:设两个球的半径分别为 r1、r2,根据球的表面积公式, 可得它们的表面积分别为 S1=4 ∵两个球的表面积之比为 1:4, ,S2=4

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www.jyeoo.com ∴ = = = ,解之得 = (舍负)

因此,这两个球的体积之比为

=

=(

)=

3

即两个球的体积之比为 1:8 故选:C 点评: 本题给出两个球的表面积之比,求它们的体积之比.着重考查了球的表面积公式和体积公式等知识,属于 基础题. 3. (2013?山东)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分 别是( )

A.4

,8

B.

C.

D.8,8

考点: 专题: 分析: 解答:

棱柱、棱锥、棱台的体积. 计算题. 由题意可知原四棱锥为正四棱锥,由四棱锥的主视图得到四棱锥的底面边长和高,则其侧面积和体积可求. 解:因为四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,所以该四棱锥为正四棱锥, 其主视图为原图形中的三角形 SEF,如图, 由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长 AB=2, 高 PO=2,
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则四棱锥的斜高 PE= 所以该四棱锥侧面积 S= 体积 V= 故选 B. .

. ,

点评: 本题考查了棱锥的体积,考查了三视图,解答的关键是能够由三视图得到原图形,是基础题.

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考点: 专题: 分析: 解答:

简单空间图形的三视图. 计算题;压轴题.

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求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为 即可得出. 解:水平放置的正方体,当正视图为正方形时,其面积最小为 1;当正视图为对角面时,其面积最大为 因此满足棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的正视图的面积的范围为 . 因此可知:A,B,D 皆有可能,而 故选 C. <1,故 C 不可能.



点评: 正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为

是解题的关键. 的矩形,则

5. (2013?湖南)已知正方体的棱长为 1,其俯视图是一个面积为 1 的正方形,侧视图是一个面积为 该正方体的正视图的面积等于( ) A. B.1 C. D.

考点: 专题: 分析: 解答:

简单空间图形的三视图. 计算题. 通过三视图判断正视图的形状,结合数据关系直接求出正视图的面积即可. 解:因为正方体的棱长为 1,俯视图是一个面积为 1 的正方形,侧视图是一个面积为 说明侧视图是底面对角线为边,正方体的高为一条边的矩形,几何体放置如图: 那么正视图的图形与侧视图的图形相同,所以侧视图的面积为: . 故选 D.
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的矩形,

点评: 本题考查几何体的三视图形状,侧视图的面积的求法,判断几何体的三视图是解题的关键,考查空间想象 能力. 6. (2013?广东)某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是( )

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A.4

B.

C.

D.6

考点: 专题: 分析: 解答:

棱柱、棱锥、棱台的体积. 计算题. 由题意直接利用三视图的数据求解棱台的体积即可. 解:几何体是四楼台,下底面边长为 2 的正方形,上底面边长为 1 的正方形,棱台的高为 2, 并且棱台的两个侧面与底面垂直,
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四楼台的体积为 V=

=



故选 B. 点评: 本题考查三视图与几何体的关系,棱台体积公式的应用,考查计算能力与空间想象能力. 7. (2012?陕西) 将正方体 (如图 1 所示) 截去两个三棱锥, 得到图 2 所示的几何体, 则该几何体的左视图为 ( )

A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析: 解答:

简单空间图形的三视图. 计算题. 直接利用三视图的画法,画出几何体的左视图即可. 解:由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段,上面的射影也是线段, 后面与底面的射影都是线段,轮廓是正方形,AD1 在右侧的射影是正方形的对角线, B1C 在右侧的射影也是对角线是虚线. 如图 B. 故选 B.
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点评: 本题考查几何体的三视图的画法,考查作图能力.

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www.jyeoo.com 8. (2012?泉州模拟)设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( A.3πa2 B.6πa2 C.12πa2 D.24πa2 )

考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题. 分析: 本题考查的知识点是球的体积和表面积公式,由长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一个球
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面上,则长方体的对角线即为球的直径,即球的半径 R 满足(2R) =6a ,代入球的表面积公式,S 球=4πR , 即可得到答案. 解答: 解:根据题意球的半径 R 满足 (2R) =6a , 2 2 所以 S 球=4πR =6πa . 故选 B 点评: 长方体的外接球直径等于长方体的对角线长. 9. (2012?湖南)某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是( )
2 2

2

2

2

A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析: 解答:

简单空间图形的三视图. 作图题. 由图可知,此几何体为组合体,对照选项分别判断组合体的结构,能吻合的排除,不吻合的为正确选项 解:依题意,此几何体为组合体,若上下两个几何体均为圆柱,则俯视图为 A 若上边的几何体为正四棱柱,下边几何体为圆柱,则俯视图为 B; 若俯视图为 C,则正视图中应有虚线,故该几何体的俯视图不可能是 C 若上边的几何体为底面为等腰直角三角形的直三棱柱,下面的几何体为正四棱柱时,俯视图为 D; 故选 C 点评: 本题主要考查了简单几何体的构成和简单几何体的三视图,由组合体的三视图,判断组合体的构成的方法, 空间想象能力,属基础题
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10. (2012?黑龙江) 平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1, 球心 O 到平面 α 的距离为 , 则此球的体积为 ( A. π B.4 π C.4 π D.6 π



考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题. 分析: 利用平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面 α 的距离为 ,求出球的半径,然后求解球的 体积. 解答: 解:因为平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面 α 的距离为 ,
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所以球的半径为: 所以球的体积为: 故选 B.

= =4

. π.

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www.jyeoo.com 点评: 本题考查球的体积的求法,考查空间想象能力、计算能力. 11. (2012?福建)一个几何体的三视图形状都相同,大小均相等,那么这个几何体不可以是( A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱 考点: 专题: 分析: 解答: )

由三视图还原实物图. 作图题. 利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义,容易判断圆柱的三视图不可能形状相同,大小均等 解:球的三视图均为圆,且大小均等;正四面体的三视图可以形状都相同,大小均等;正方体的三视图可 以是三个大小均等的正方形;圆柱的三视图中必有一个为圆,其他两个为矩形 故一个几何体的三视图形状都相同,大小均等,那么这个几何体不可以是圆柱 故选 D 点评: 本题主要考查了简单几何体的结构特征,简单几何体的三视图的形状大小,空间想象能力,属基础题
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12. (2011?浙江)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( A. B. C.

) D.

考点: 由三视图还原实物图. 分析: 根据已知中的三视图,结合三视图中有两个三角形即为锥体,有两个矩形即为柱体,有两个梯形即为台体, 将几何体分解为简单的几何体分析后,即可得到答案. 解答: 解:由已知中三视图的上部分有两个矩形,一个三角形 故该几何体上部分是一个三棱柱 下部分是三个矩形 故该几何体下部分是一个四棱柱 故选 D 点评: 本题考查的知识点是由三视图还原实物图,如果三视图均为三角形,则该几何体必为三棱锥;如果三视图 中有两个三角形和一个多边形,则该几何体为 N 棱锥(N 值由另外一个视图的边数确定) ;如果三视图中有 两个为矩形和一个多边形,则该几何体为 N 棱柱(N 值由另外一个视图的边数确定) ;如果三视图中有两个 为梯形和一个多边形,则该几何体为 N 棱柱(N 值由另外一个视图的边数确定) ;如果三视图中有两个三角 形和一个圆,则几何体为圆锥.如果三视图中有两个矩形和一个圆,则几何体为圆柱.如果三视图中有两 个梯形和一个圆,则几何体为圆台.
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13. (2011?浙江)几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是(



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www.jyeoo.com A. B. C. D.

考点: 空间几何体的直观图;简单空间图形的三视图. 专题: 作图题. 分析: A、C 选项中正视图不符合,D 答案中侧视图不符合,由排除法即可选出答案. 解答:
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解:A、C 选项中正视图不符合,A 的正视图为



C 的正视图为

D 答案中侧视图不符合.D 答案中侧视图为 故选 B 点评: 本题考查空间几何体的三视图,考查空间想象能力. 14. (2011?山东)如图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题: ①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如下图; ②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如下图; ③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如下图. 其中真命题的个数是 ( )

A.3

B.2

C.1

D.0

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 压轴题;图表型. 分析: 由三棱柱的三视图中,两个矩形,一个三角形可判断①的对错,由四棱柱的三视图中,三个均矩形,可判 断②的对错,由圆柱的三视图中,两个矩形,一个圆可以判断③的真假.本题考查的知识点是简单空间图 形的三视图,其中熟练掌握各种几何体的几何特征进而判断出各种几何体中三视图对应的平面图形的形状 是解答本题的关键. 解答: 解:存在正三棱柱,其三视图中有两个为矩形,一个为正三角形满足条件,故①为真命题; 存在正四棱柱,其三视图均为矩形,满足条件,故②为真命题; 对于任意的圆柱,其三视图中有两个为矩形,一个是以底面半径为半径的圆,也满足条件,故③为真命题;
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www.jyeoo.com 故选:A 点评: 本题考查的知识点是简单空间图形的三视图,其中熟练掌握各种几何体的几何特征进而判断出各种几何体 中三视图对应的平面图形的形状是解答本题的关键. 15. (2011?辽宁)己知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点.AB=2,∠ASC=∠BSC=45°,则棱锥 S﹣ABC 的体积为( ) A. B. C. D.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;球内接多面体. 专题: 计算题. 分析: 由题意求出 SA=AC=SB=BC=2 ,∠SAC=∠SBC=90°,说明球心 O 与 AB 的平面与 SC 垂直,求出 OAB 的面积,即可求出棱锥 S﹣ABC 的体积. 解答: 解:如图:由题意求出 SA=AC=SB=BC=2 ,
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∠SAC=∠SBC=90°,所以平面 ABO 与 SC 垂直,则 进而可得:VS﹣ABC=VC﹣AOB+VS﹣AOB, 所以棱锥 S﹣ABC 的体积为: 故选 C. = .

点评: 本题是基础题,考查球的内接三棱锥的体积,考查空间想象能力,计算能力,球心 O 与 AB 的平面与 SC 垂直是本题的解题关键,常考题型. 16. (2011?辽宁)已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB= 的体积为( ) A.3 B.2 C. ,∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥 S﹣ABC D.1

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 设球心为点 O,作 AB 中点 D,连接 OD,CD,说明 SC 是球的直径,利用余弦定理,三角形的面积公式求 出 S△ SCD,和棱锥的高 AB,即可求出棱锥的体积. 解答: 解:设球心为点 O,作 AB 中点 D,连接 OD,CD 因为线段 SC 是球的直径, 所以它也是大圆的直径,则易得:∠SAC=∠SBC=90° 所以在 Rt△ SAC 中,SC=4,∠ASC=30° 得:AC=2,SA=2 又在 Rt△ SBC 中,SC=4,∠BSC=30° 得:BC=2,SB=2 则:SA=SB,AC=BC
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因为点 D 是 AB 的中点所以在等腰三角形 ASB 中,SD⊥AB 且 SD=

=

=

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www.jyeoo.com 在等腰三角形 CAB 中,CD⊥AB 且 CD= = =

又 SD 交 CD 于点 D 所以:AB⊥平面 SCD 即:棱锥 S﹣ABC 的体积:V= AB?S△ SCD, 因为:SD= ﹣16) ,CD= ,SC=4 所以由余弦定理得:cos∠SDC=(SD +CD ﹣SC ) = =
2 2 2

=(

+

则:sin∠SDC=

= =3 =

由三角形面积公式得△ SCD 的面积 S= SD?CD?sin∠SDC= 所以:棱锥 S﹣ABC 的体积:V= AB?S△ SCD=

故选 C 点评: 本题是中档题,考查球的内接棱锥的体积的求法,考查空间想象能力,计算能力,有难度的题目,常考题 型. 17. (2011?江西)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的左视图( )

A.

B.

C.

D.

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 作图题;压轴题. 分析: 根据三视图的特点,知道左视图从图形的左边向右边看,看到一个正方形的面,在面上有一条对角线,对 角线是由左下角都右上角的线,得到结果. 解答: 解:左视图从图形的左边向右边看, 看到一个正方形的面, 在面上有一条对角线, 对角线是由左下角都右上角的线, 故选 D. 点评: 本题考查空间图形的三视图,考查左视图的做法,本题是一个基础题,考查的内容比较简单,可能出现的 错误是对角线的方向可能出错.
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18. (2011?广东)正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个正五 棱柱对角线的条数共有( ) A.20 B.15 C.12 D.10 考点: 专题: 分析: 解答: 棱柱的结构特征. 计算题. 抓住上底面的一个顶点,看从此顶点出发的对角线有多少条即可解决. 解:由题意正五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线,因为不同在任何侧面内, 故从一个顶点出发的对角线有 2 条.正五棱柱对角线的条数共有 2×5=10 条.
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www.jyeoo.com 故选 D 点评: 本题考查计数原理在立体几何中的应用,考查空间想象能力. 19. (2010?上海)如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为 3 和 4,过直角顶点的侧棱长为 4,且 垂直于底面,该三棱锥的正视图是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 计算题;图表型. 分析: 本题的直观图是一个三棱锥,且存在同一点出发的三条棱两两垂直,由三视图的定义判断出其正视图形状 即可 解答: 解:由已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为 3 和 4,过直角顶点的侧棱长为 4,且垂直于底面, 由直观图可以看出,其正视图是一个直角三角形,水平的直角边长为 3,与其垂直的直角边长为 4 由此特征知对四个选项逐一判断即可 对于选项 A,长不为 3,且其摆放位置不对,故不是其正视图 对于选项 B,符合三棱锥正视图的特征 对于选项 C,摆放位置错误,故不是其正视图 对于选项 D,由于外侧线投影落在 z 轴上,应去掉虚线,且投影中不可能有长为 5 的线,故其不是三棱锥 的正视图 故选 B. 点评: 本题考点是简单空间图形的三视图,考查根据作三视图的规则来作出三个视图的能力,三视图的投影规则 是:“主视、俯视 长对正;主视、左视高平齐,左视、俯视 宽相等”.三视图是高考的新增考点,不时出现 在高考试题中,应予以重视,本题特征是据直观图选出正确的三视图.
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20. (2010?广东)如图,A1B1C1 为正三角形,与平面不平行,且 CC1>BB1>AA1,则多面体的正视图(也称主视 图)是( )

A.

B.

C.

D.

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www.jyeoo.com 考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 计算题;压轴题;数形结合. 分析: 由题意,结合三视图的定义,容易判定 A,B,C,不正确. 解答: 解:因为 A1B1C1 为正三角形,A1B1BA 正面向前, 所以正视图不可能是 A,B,C,只能是 D 故选 D 点评: 本题考查三视图的基本知识,是基础题.
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21. (2010?广东)如图,△ ABC 为三角形,AA′∥BB′∥CC′,CC′⊥平面 ABC 且 3AA′= BB′=CC′=AB, 则多面体△ ABC﹣A′B′C′的正视图(也称主视图)是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析: 解答:

简单空间图形的三视图. 常规题型. 根据几何体的三视图的作法,结合图形的形状,直接判定选项即可. 解:△ ABC 为三角形,AA′∥BB′∥CC′,CC′⊥平面 ABC,
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且 3AA′= BB′=CC′=AB,则多面体△ ABC﹣A′B′C′的正视图中, CC′必为虚线,排除 B,C, 3AA′= BB′说明右侧高于左侧,排除 A. 故选 D 点评: 本题考查简单几何体的三视图,考查空间想象能力,是基础题. 22. (2010?赤峰模拟)已知三棱锥的侧棱长的底面边长的 2 倍,则侧棱与底面所成角的余弦值等于( A. B. C. D. )

考点: 专题: 分析: 解答:

棱锥的结构特征. 计算题. 由题意可知,本题需作辅助线,可以根据三角形的特征,进行求解. 解:已知三棱锥的侧棱长的底面边长的 2 倍,设底面边长为 1,侧棱长为 2,
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连接顶点与底面中心,则侧棱在底面上的射影长为 所以侧棱与底面所成角的余弦值等于 故选 A. ,



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点评: 本题考查学生的空间想象能力,以及学生对三角形的利用,是基础题. 23. (2010?北京)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 2,动点 E、F 在棱 A1B1 上.点 Q 是 CD 的中点,动 点 P 在棱 AD 上,若 EF=1,DP=x,A1E=y(x,y 大于零) ,则三棱锥 P﹣EFQ 的体积( )

A.与 x,y 都有关

B.与 x,y 都无关

C.与 x 有关,与 y 无关

D.与 y 有关,与 x 无关

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 证明题;压轴题. 分析: 通过观察,发现点 P 到平面 EFQ 的距离是 P 到平面 CDA1B1 的距离,此距离只与 x 有关,面积 EFQ 为定 值,推出结果. 解答: 解:三棱锥 P﹣EFQ 的体积与点 P 到平面 EFQ 的距离和数据线 EFQ 的面积有关, 由图形可知,平面 EFQ 与平面 CDA1B1 是同一平面,故点 P 到平面 EFQ 的距离 是 P 到平面 CDA1B1 的距离,且该距离就是 P 到线段 A1D 的距离,此 距离只与 x 有关, 因为 EF=1,点 Q 到 EF 的距离为线段 B1C 的长度,为定值, 综上可知所求三棱锥的体积只与 x 有关,与 y 无关. 故选 C. 点评: 本题考查空间几何体的结构特征和棱锥的体积问题,同时考查学生分析问题的能力以及空间想象能力.
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24. (2010?北京)一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正视图与侧(左)视图分别如图所示,则该几何体 的俯视图为( )

A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析: 解答:

简单空间图形的三视图. 作图题. 从正视图和侧视图上分析,去掉的长方体的位置应该在的方位,然后判断俯视图的正确图形. 解:由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向,从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧,
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www.jyeoo.com 由以上各视图的描述可知其俯视图符合 C 选项. 故选 C. 点评: 本题考查几何体的三视图之间的关系,要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义. 25. (2010?北京)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 2,动点 E、F 在棱 A1B1 上,动点 P,Q 分别在棱 AD, CD 上,若 EF=1,A1E=x,DQ=y,DP=z(x,y,z 大于零) ,则四面体 PEFQ 的体积( )

A.与 x,y,z 都有关 C. 与 y 有关,与 x,z 无关

B. 与 x 有关,与 y,z 无关 D.与 z 有关,与 x,y 无关

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 压轴题;动点型;运动思想. 分析: 四面体 PEFQ 的体积,找出三角形△ EFQ 面积是不变量,P 到平面的距离是变化的,从而确定选项. 解答: 解:从图中可以分析出,△ EFQ 的面积永远不变,为面 A1B1CD 面积的 ,
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而当 P 点变化时,它到面 A1B1CD 的距离是变化的,因此会导致四面体体积的变化. 故选 D. 点评: 本题考查棱锥的体积,在变化中寻找不变量,是中档题. 26. (2009?烟台二模)如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是 S,那么圆柱的体积等于( A. B. C. D. )

考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 计算题. 分析: 设圆柱高为 h,推出底面半径,求出圆柱的侧面积,然后求出圆柱的体积即可得到选项. 解答: 解:设圆柱高为 h,则底面半径为 .
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由题意知,S=πh , ∴h= ,
2

2

∴V=π( ) ?h=



故选 D. 点评: 本题是基础题,考查圆柱的侧面积、体积的计算及其关系,考查计算能力,常考题型. 27. (2009?陕西)若正方体的棱长为 A. B. ,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( C. D. )

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积.

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www.jyeoo.com 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由题意可知,凸多面体为八面体,八面体体积是两个底面边长为 1,高为 即可求出八面体的体积. 解答: 解:所求八面体体积是两个底面边长为 1,高为 一个四棱锥体积 V1= ×1× 故八面体体积 V=2V1= . = , 的四棱锥的体积和,

的四棱锥,求出棱锥的体积,

故选 B. 点评: 本题是基础题,开心棱锥的体积,正方体的内接多面体,体积的求法常用转化思想,变为易求的几何体的 体积,考查计算能力. 28. (2009?宁夏)如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,EF∥B1C1,用 (2)两部分后,这两部分几何体的形状是( ) 平面 BCFE 把这个长方体分成了(1) 、

A.(1)是棱柱, (2)是棱 B.(1)是棱台, (2)是棱 C.(1) (2)都是棱柱 台 柱 考点: 专题: 分析: 解答:

D.(1) (2)都是棱台

棱柱的结构特征. 阅读型. 我们想知道几何体的形状,只要观察它的特征,严格按照棱柱、棱台定义来判断即可.
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解: (1)中,有两个平行的平面 BB1E 与平面 CC1F,其余各面都是四边形,并且每相邻两 个四边形的公共边互相平行,这符合棱柱的定义,所以(1)是三棱柱; (2)中,有两个平行的平面 ABEA1 与平面 DCFD1,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公 共边互相平行,符合棱柱的定义,所以(2)是四棱柱. 故选 C 点评: 本题易出现的错误是把(2)看成棱台.我们知道台体是由锥体截得的,但是题中的部分(2)是如何都不 能还原成锥体的,故(2)不是棱台. 29.2009?辽宁) ( 正六棱锥 P﹣ABCDEF 中, 为 PB 的中点, G 则三棱锥 D﹣GAC 与三棱锥 P﹣GAC 体积之比为 ( )

A.1:1

B.1:2

C.2:1

D.3:2

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;压轴题;转化思想. 分析: 由于 G 是 PB 的中点,故 P﹣GAC 的体积等于 B﹣GAC 的体积;求出 DH=2BH,即可求出三棱锥 D﹣GAC
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www.jyeoo.com 与三棱锥 P﹣GAC 体积之比. 解答: 解:由于 G 是 PB 的中点,故 P﹣GAC 的体积等于 B﹣GAC 的体积 在底面正六边形 ABCDER 中 BH=ABtan30°= 而 BD= AB 故 DH=2BH 于是 VD﹣GAC=2VB﹣GAC=2VP﹣GAC 故选 C. 点评: 本题考查棱锥的体积计算,考查转化思想,是基础题. 30. (2009?湖南)正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱上到异面直线 AB,CC1 的距离相等的点的个数为( A.2 B.3 C.4 D.5 考点: 专题: 分析: 解答: ) AB

简单组合体的结构特征;点、线、面间的距离计算. 计算题;压轴题;数学模型法. 画出正方体,结合正方体中线面、线线垂直,先找定点、再找棱的中点,找出符合条件的所有的点.
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解:如图:正方体 ABCD﹣A1B1C1D1,E、F 分别是 BC 和 A1D1 的中点,连接 AF 和 FC1,

根据正方体的性质知,BB1⊥AB,C1C⊥B1C1,故 B1 到异面直线 AB,CC1 的距离相等, 同理可得,D 到异面直线 AB,CC1 的距离相等, 又有 AB⊥BC,C1C⊥BC,故 E 到异面直线 AB,CC1 的距离相等, F 为 A1D1 的中点,易计算 FA=FC1,故 F 到异面直线 AB,CC1 的距离相等,共有 4 个点. 故选 C. 点评: 本题考查了正方体体的结构特征,考查了线面、线线垂直定理的应用,利用异面直线之间距离的定义进行 判断,考查了观察能力和空间想象能力.

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