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浙江省杭州高级中学2016年保送生数学能力测试题


杭高 2016 保送生素质测试数学试卷
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分) 1 1 1. 已知 x ? ? ? y ,且 x ? y ? 0 ,则 xy 的值为 x y A. ?1 B. 0 2.若下列运算正确的是 y y ?? A. ?x? y x? y C.
x2 ? y2 ? x? y x? y

(

)

C. 1

D. 2 ( B. D.
2x ? y 2 ? 3x ? y 3

)

y?x 1 ?? x2 ? y2 x? y

3 , D 是 AB 的中点, 则 tan ?BCD ? tan ?ACD ? ( ) 5 4 25 8 A. B.2 C. D. 3 12 3 2 4. 已知关于 x 的方程 (1 ? 2k ) x ? 2 k ? 1x ? 1 ? 0 有实数根,则 k 的取值范围是 ( ) 1 A. k ? 2 B. k ? 2 C. ?1 ? k ? 2 D. ?1 ? k ? 2 且 k ? 2 5.有一颗正方体骰子,六个面上分别写有 H、E、O、P、S、S 六个英文字母,如图是从 3 种不同的角度看同一颗骰子的情形.则 H 反面的字母是 ( )
3. 在△ABC 中, ∠C=90°,sin A ? A. E B. S C. P D. O A P B 第 5 题图 第 6 题图 C D

6. 如图,已知 ?DAP ? ?PBC ? ?CDP ? 90? , AP ? PB ? 4 , AD ? 3 ,则 BC ? ( ) 32 41 41 A. B. 16 C. D. 3 3 2 7.有五条线段长度分别为 1,3,5,7,9 ,从这 5 条线段中任取 3 条,则所取 3 条线段能构成一 个三角形的概率为 ( 1 1 3 7 A. B. C. D. 2 10 10 10 2 8. 若函数 y ? x ? 2 | x | ?2 ? m 的图象与 x 轴恰好有三个公共点,则实数 m 的值是 ( A. ?2 B. ?1 C. 1 D. 2 二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分): k 9.反比例函数 y ? 的图像经过 (?1,?4) 和 ( 2, m) 两点,那么 m ? ______ x ?2 x ? 1 ? x ? 1 ? 10. 不等式组 ? 1 的整数解是______. x ?1 ? x ?1 ? ?3 2 11. 已知 x1 , x2 是方程 3x 2 ? 2 x ? 4 ? 0 的两个实根,则 3x1 ? 2 x2 ? 12.如图,在一方形 ABCD 中.E 为对角线 AC 上一点,连接 EB、ED,延长 BE 交 AD 于
-1-



)

点 F,若∠DEB=140° ,则∠AFE=

G

第 12 题 13. 如 且 垂足 的面 为

第 13 题 图, 点 A(x1, y1) 、 B(x2, y2) 都在双曲线 y ?

k ( x ? 0) 上, x

x2-x1=4,y1-y2=2,分别过点 A、B 向 x 轴、y 轴作垂线段, 分别为 C、D、E、F,AC 与 BF 相交于 G 点,四边形 FOCG 积为 2,五边形 AEODB 的面积为 14,那么双曲线的解析式 .

2 ? ?a ? ab (a ? b) 14. 对于实数 a , b ,定义运算“*”: a * b ? ? ,若 x1,x2( x1 ? x2 )是一元二次方 2 ? ?ab ? b (a ? b) 程 x2-5x+6=0 的两个根,则 x1*x2=________ 15. 我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列,如 1,3,9,19,33,…就是一个数列, 如果一个数列从第二个数起,每一个数与它前一个数的差等于同一个常数,那么这个数 列就叫做等差数列,这个常数叫做这个等差数列的公差.如 2,4,6,8,10 就是一个等 差数列,它的公差为 2.如果一个数列的每一个数与前一个数的差组成的新数列是等差 数列,则称这个数列为二阶等差数列.例如数列 1,3,9,19,33,…,它的每一个数与 前一个数的差组成的新数列是 2,6,10,14,…,这是一个公差为 4 的等差数列,所以, 数列 1,3,9,19,33,…是一个二阶等差数列.那么,请问二阶等差数列 1,3,7,13,… 的第五个数应是 x x ?1 x2 ? 1 16. 若 x ? 2014 ,则 ( ? 2 )? 2 ? x ?1 x ?1 x ? x 1 1 1 17.若 a1 ? 1 ? , a 2 ? 1 ? , a3 ? 1 ? ,… ;则 a2014 的值为 . a1 a2 2

18. 若 x ? 0 , y ? 0 ,且 x ? xy ? 2 y ? 0 ,则

2 x ? xy y ? 2 xy

的值是

.

三、解答题(本大题共 3 题,共 36 分): 19. (本题满分 12 分)设方程 x 2 ? ax ? b ? 0 与 x 2 ? bx ? a ? 0 (a ? 0, b ? 0, a ? b) 有一个公共根, 设它们另两个根分别为 x1 , x 2 (1) 求 x1 ? x2 的值; (2) 求 x1 x2 的最大值. 20. (本题满分 12 分)在直角三角形 ABC 中, CD、 CE 分别是斜边 AB 上的高、 中线,BC ? a , AC ? b (1) 若 a ? 3 , b ? 4 ,求 DE 的长. 1 a B (2) 若 tan ?DCE ? ,求 的值 3 b D E
-2-

C

A

21.(本题满分 12 分)已知二次函数的图象经过 A(2,0)、C(0,12) 两点,且对称轴为 直线 x=4. 设顶点为点 P,与 x 轴的另一交点为点 B. (1)求二次函数的解析式及顶点 P 的坐标; (2)如图,在直线 y=2x 上是否存在点 D,使四边形 OPBD 为等腰梯形?若存在,求出 点 D 的坐标;若不存在,请说明理由; y

C

O

A P

B

x

-3-

杭州高级中学 2016 年保送生数学能力测试卷参考答案
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分) 题号 答案

1
C

2
D

3
A

4
C

5
B

6
C

7
B

8
D

二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分): 16 9. 2 10. ?2 11. 12. 65? 3 1 2014 14. ?3 15. 21 16. 17. 1 ? 2013 2

13. y ? 18.

6 x

6 5

三、解答题(本大题共 3 题,共 36 分): 2 ? ? x0 ? ax0 ? b ? 0 19. 解:(1) 设 x 0 是方程的公共根,则 ? 2 ,相减得 (a ? b) x0 ? (b ? a) ? 0 ? ? x0 ? bx0 ? a ? 0 得 x0 ? 1 ,且 1 ? a ? b ? 0
? x ? 1 ? ?a 同时 ? 1 ,则 x1 ? x2 ? ?a ? b ? 2 ? ?1 ? x 2 ? 1 ? ?b

1 1 1 (2) x1 x2 ? (?1 ? a)(?1 ? b) ? (?1 ? a)a ? ?a 2 ? a ? ?(a ? ) 2 ? ? 2 4 4 1 1 则当 a ? ? 时, x1 x2 的最大值为 2 4 4 12 20. 解:(1) BD ? a ? sin B? 3 ? ? 5 5 5 12 1 则 DE ? ? ? 2 5 10 ab BC 2 a2 ? (2) 易知 CD ? , BD ? BA a2 ? b2 a 2 ? b2
DE ? BE ? BD ? b2 ? a 2 2 a2 ? b2



b2 ? a2 tan ?DCE ? DE 2 a 2 ? b 2 1 ? ? ab CD 3 2 2 a ?b

y

从而得

a ? 1 ? 10 ? b 3

C

21. 解:(1)设二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c

? b ?? 2 a ? 4 ? 由题意得 ?c ? 12 ?4a ? 2b ? c ? 图 01 ? ?

?a ? 1 ? 解得 ?b ? ?8 ?c ? 12 ?

D O 图 O2 A P

B

x

∴二次函数的解析式为 y= x2-8x+12 点 P 的坐标为(4,-4)

-4-

(2)存在点 D,使四边形 OPBD 为等腰梯形. 理由如下: 当 y=0 时,x2-8x+12=0 ∴x1=2 , x2=6 ∴点 B 的坐标为(6,0) 设直线 BP 的解析式为 y=kx+m 则?

?6k ? m ? 0 ?4k ? m ? ?4

解得 ?

?k ? 2 ?m ? ?12

∴直线 BP 的解析式为 y=2x-12 ∴直线 OD∥BP ∵顶点坐标 P(4, -4) ∴ OP=4 2 2 2 设 D(x,2x) 则 BD =(2x) +(6-x)2 当 BD=OP 时,(2x)2+(6-x)2=32 解得:x1=

2 ,x 2=2 5

当 x2=2 时,OD=BP= 2 5 ,四边形 OPBD 为平行四边形,舍去

2 时四边形 OPBD 为等腰梯形 5 2 4 ∴当 D( , )时,四边形 OPBD 为等腰梯形 5 5
∴当 x=

-5-


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