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空间几何体测试题


第一章《空间几何体》测试题(一)

一、选择题: 1.用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是( A.圆柱 B.圆锥 C.球体 D.圆柱、圆锥、球体的组合体 ).

考查目的:考查球体的几何特征. 答案:C. 解析:当用过高线的平面截圆柱和圆锥时,截面分别为矩形和三角形,只有球满足任意 截面都是圆面. 2.下面的图形可以构成正方体的是( ).

考查目的:考查正方体的几何特征和空间想象能力. 答案:C. 解析:能够围成封闭且没有重合的面. 3.如图所示,该直观图表示的平面图形为( ).

A.钝角三角形

B.锐角三角形

C.直角三角形

D.正三角形

考查目的:考查斜二测画法作图的性质. 答案:C. 解析: 与斜坐标系的坐标轴平行的边还原之后仍与直角坐标系中坐标轴重合, 所以原三 角形为直角三角形.

4.(2010 安徽文)一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积是(

).

A.372

B.360

C.292

D.280

考查目的:考查根据三视图计算组合体的表面积. 答案:B. 解析: 该几何体由两个长方体组合而成, 其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方 体的 4 个侧面积之和 .

5.(2012 陕西文)将正方体(如图 1 所示)截去两个三棱锥,得到图 2 所示的几何体,该 几何体的左视图为( ).

考查目的:考查几何体的三视图的画法. 答案:B. 解析:根据空间几何体的三视图的概念易知左视图 是实线 是虚线.

6.(2011 江西文)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如右图所示,则该几何体的 左视图为( ).

考查目的:考查由组合体直观图作三视图.

答案:D. 解析:选根据正投影的性质,结合左视图的要求知,长方体体对角线投到了侧面,成了 侧面的面对角线,结合选项即得答案为 D. 二、填空题: 7.已知棱台的上下底面面积分别为 4,16,高为 3,则该棱台的体积为 考查目的:考查棱台体积的计算. 答案:28. .

解析: 8. 已知 ABCD 为等腰梯形,两底边为 AB,CD 且 得的几何体中是由 、 、

. ,绕 AB 所在的直线旋转一周所 的几何体构成的组合体.

考查目的:考查旋转体的概念、简单组合体的特征. 答案:圆锥、圆柱、圆锥. 解析:根据旋转体的定义可知,CD 绕 AB 所在的直线旋转可形成一个圆柱,AD,BC 绕 AB 所在的直线旋转可形成一个圆锥. 9.(2012 江苏)如图,在长方体 棱锥 的体积为 . 中, , ,则四

考查目的:考查正投影与空间想象能力. 答案:6.

解析: ∵长方体底面 cm( 它 也 是 . 中

是正方形, ∴在

中,

cm,

边上的高是 的 体 积 为

上 的高 ) , ∴四 棱锥

10.(2010 湖北文)圆柱形容器内盛有高度为 3cm 的水,若放入三个相同的珠(球的半么 与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是 cm.

考查目的:考查几何体的体积计算和分析组成组合体的各几何体的体体积之间的关系. 答案:4.

解析:设球半径为 ,则由
2013-02-26 人教网



,解得

.

第一章《空间几何体》测试题(二)

三、解答题

11.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面半径的比是 1∶4,母线长 10cm,求圆锥的母长.

考查目的:考查圆锥、圆台的概念和性质.

答案:

cm.

解析:设圆锥的母线长为 ,圆台的上、下底半径分别为

.



,∴

,∴

.

12.画出下列空间几何体的三视图:

考查目的:考查由直观图画三视图.

答案:⑴的三视图如下:

⑵的三视图如下:

解析: 注意直观图与三视图之间的关系, 特别是各方向线段之间的比例转化.

13.已知两个圆锥有公共底面,且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个 球面上,若圆锥底面面积是这个球面面积的 的高与体积较大者的高的比值. ,求这两个圆锥中,体积较小者

考查目的:考查几何体的体积的计算,通过球这个载体考查空间想象能力及 推理运算能力.

答案: .

解析:(画出图形,利用数形结合然后利用球及圆的性质求解)

如图,设球的半径为 ,圆锥的底面圆的半径为 ,依题意得 即 ,∴ ,∴ ,∴ ,

, ,



.

14.(2010 辽宁理)有四根长都为 2 的直铁条,若再选两根长都为 的直铁条, 使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架,则 的取值范围是多 少?

考查目的:考查空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力.

答案:

.

解析:根据条件,四根长为 2 的直铁条与两根长为 的直铁条要组成三棱锥 形的铁架,有以下两种情况:⑴地面是边长为 2 的正三角形,三条侧棱长为 2, ,, 如图 1, 可知 ∴ . , , 则 , 即 ,

⑵构成三棱锥的两条对角线长为 ,其他各边长为 2,如图 2,此时

.

综上可得,

.

15.一个正四棱台的两底面边长分别为 这个棱台的体积.

,侧面积等于两个底面积之和,求

考查目的:考查运用棱台公式进行综合计算的能力.

答案:

.

解析:如图所示,设 的中点,连结 ,

分别为下、上底面中心, ,过 作 . 于

分别为下、上底边 ,那么

,得

在直角三角形

中,

,即棱

台的高为

,∴体积为

.

2013-02-26

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立体几何初步单元测试

1. ∥ ,a,b 与 , 都垂直,则 a,b 的关系是 A.平行 B.相交 C.异面 D.平行、相交、异面都有可能 2.异面直线 a,b,a⊥b,c 与 a 成 300,则 c 与 b 成角范围是 A.[600,900] B.[300,900] C.[600,1200] D.[300,1200] 3.正方体 AC1 中,E、F 分别是 AB、BB1 的中点,则 A1E 与 C1F 所成的角的余弦值是

A.

B.

C.

D. AB,这时二

4.在正△ABC 中,AD⊥BC 于 D,沿 AD 折成二面角 B—AD—C 后,BC=

面角 B—AD—C 大小为 A.600 B.900 C.450 D.1200 5.一个山坡面与水平面成 600 的二面角,坡脚的水平线(即二面角的棱)为 AB,甲沿山 坡自 P 朝垂直于 AB 的方向走 30m,同时乙沿水平面自 Q 朝垂直于 AB 的方向走 30m,P、 Q 都是 AB 上的点,若 PQ=10m,这时甲、乙 2 个人之间的距离为 A. B. C. D.

6.E、F 分别是正方形 ABCD 的边 AB 和 CD 的中点,EF 交 BD 于 O,以 EF 为棱将正方形 折成直二面角如图,则∠BOD= A.1350 B.1200 C.1500 D.900

7.三棱锥 V—ABC 中,VA=BC,VB=AC,VC=AB,侧面与底面 ABC 所成的二面角分别 为α ,β ,γ (都是锐角),则 cosα +cosβ +cosγ 等于

A.1

B.2

C.

D.

8.正 n 棱锥侧棱与底面所成的角为α ,侧面与底面所成的角为β ,tanα ∶tanβ 等于 A. B. C. D. 9.一个简单多面体的各面都是三角形,且有 6 个顶点,则这个简单多面体的面数是 A.4 B.6 C.8 D.10

10.三棱锥 P—ABC 中,3 条侧棱两两垂直,PA=a,PB=b,PC=c,△ABC 的面积为 S,则 P 到平面 ABC 的距离为

A.

B.

C.

D.

11.三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 V,P、Q 分别为 AA1、CC1 上的点,且满足 AP=C1Q, 则四棱锥 B—APQC 的体积是

A.

B.

C.

D. ,EF 与面

12.多面体 ABCDEF 中,已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形,EF∥AB,EF= AC 的距离为 2,则该多面体的体积为

A.

B.5

C.6

D.

13.已知异面直线 a 与 b 所成的角是 500,空间有一定点 P,则过点 P 与 a,b 所成的角都是 300 的直线有________条. 14. 线段 AB 的端点到平面α 的距离分别为 6cm 和 2cm, AB 在α 上的射影 A’B’的长为 3cm, 则线段 AB 的长为__________. 15.正 n 棱锥相邻两个侧面所成二面角的取值范围是____________. 16.如果一个简单多面体的每个面都是奇数的多边形,那么它的面数是__________. 17.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别为棱 BC、CC1、C1D1、AA1 的中 点,O 为 AC 与 BD 的交点. 求证:(1)EG∥平面 BB1D1D;(2)平面 BDF∥平面 B1D1H;(3)A1O⊥平面 BDF; (4)平面 BDF⊥平面 AA1C.

18.如图,三棱锥 D—ABC 中,平面 ABD、平面 ABC 均为等腰直角三角形, ∠ABC=∠BAD=900,其腰 BC=a,且二面角 D—AB—C=600. ⑴求异面直线 DA 与 BC 所成的角;⑵求异面直线 BD 与 AC 所成的角; ⑶求 D 到 BC 的距离; ⑷求异面直线 BD 与 AC 的距离.

19.如图,在 600 的二面角α —CD—β 中,AC CD=a,AC= x,BD=

α ,BD

β ,且 ACD=450,tg∠BDC=2,

x,当 x 为何值时,A、B 的距离最小?并求此距离.

20.如图,斜三棱柱 ABC—A’B’C’中,底面是边长为 a 的正三角形,侧棱长为 b,侧棱 AA’ 与底面相邻两边 AB、AC 都成 450 角,求此三棱柱的侧面积和体积.

参考答案:

1.D; 2.A; 3.C; 4.A; 5.B; 6.B; 7.A; 8.B; 9.C; 10.B; 11.B; 12.D; 13.2; 14. 5 或

; 15.



); 16. 偶数;

17. 解析: ⑴欲证 EG∥平面 BB1D1D,须在平面 BB1D1D 内找一条与 EG 平行的直线,构造辅助平面 BEGO’及辅助直线 BO’,显然 BO’即是。 ⑵按线线平行 线面平行 面面平行的思路,在平面 B1D1H 内寻找 B1D1 和 O’H 两条关 键的相交直线,转化为证明:B1D1∥平面 BDF,O’H∥平面 BDF ⑶A1O⊥平面 BDF,由三垂线定理,易得 BD⊥A1O,再寻 A1O 垂直于平面 BDF 内的另一 条直线。 猜想 A1O⊥OF。 借助于正方体棱长及有关线段的关系计算得: A1O2+OF2=A1F2 A1O⊥OF。 ⑷∵ CC1⊥平面 AC∴ CC1⊥BD 又 BD⊥AC∴ BD⊥平面 AA1C 又 BD 平面 BDF ∴ 平面 BDF⊥平面 AA1C 18. 解析: 在平面 ABC 内作 AE∥BC,从而得∠DAE=600 ∴ DA 与 BC 成 600 角 过 B 作 BF∥AC,交 EA 延长线于 F,则∠DBF 为 BD 与 AC 所成的角 由△DAF 易得 AF=a,DA=a,∠DAF=1200∴ DF2=a2+a2-2a2·( a DBF 中,BF=AC= a∴ cos∠DBF= ∴ 异面直线 BD 与 AC 成角 arccos )=3a2 ∴ DF=

(3)∵ BA⊥平面 ADE∴ 平面 DAE⊥平面 ABC 故取 AE 中点 M,则有 DM⊥平面 ABC;取 BC 中点 N,由 MN⊥BC,根据三垂线定理, DN⊥BC

∴ DN 是 D 到 BC 的距离

在△DMN 中, DM=

a, MN=a

∴ DN=

a 平面 BDF,AC 平面 BDF,AC∥BF∴ AC∥平面 BDF 又 BD 平面

(4)∵ BF BDF

∴ AC 与 BD 的距离即 AC 到平面 BDF 的距离∵ ∴





,即异面直线 BD 与 AC 的距离为

.

19. 解析:作 AE⊥CD 于 E,BF⊥CD 于 F,则 EF 为异面直线 AE、BF 的公垂段,AE 与

BF 成 600 角,可求得|AB|=

,当 x=

时,|AB|有最小值

.

20. 解析:在侧面 AB’内作 BD⊥AA’于 D 连结 CD ∵ AC=AB , AD=AD , ∠ DAB= ∠ DAC=450 ∴ △ DAB ≌ △ DAC BDA=900,BD=CD ∴ BD⊥AA’,CD⊥AA’∴ △DBC 是斜三棱柱的直截面

∴ ∠ CDA= ∠

在 Rt△ADB 中,BD=AB·sin450=

∴ △DBC 的周长=BD+CD+BC=(

+1)a,△DBC 的面积=

∴ S 侧=b(BD+DC+BC)=(

+1)ab ∴ V=

·AA’=

2010-12-10

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必修 2 综合测试

1.以集合 M={a , b , c}中的三个元素为边长可构成一个三角形, 那么这个三角形一定不是 ( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D.等腰三角形

2.已知 A. 0 B.

则 C.

的值等于( D .9

).

3.设 f(x)=

+m,f(x)的反函数 f

(x)=nx-5,那么 m、n 的值依次为(



A.

, -2

B. -

, 2

C. ) lg2

,2

D. -

,-2

4.已知 f(x )=lgx(x>0),则 f(4)的值为( A. 2lg2 5.函数 y=log B.


lg2

C.

D. )

lg4

(-2x +5x+3)的单调递增区间是(

A.(-∞, 6.关于直线 A.若 C.若



B.

C.(- , ) ,下面命题中正确的是( B.若 则 则 D. 若

D.[ ,3] )

以及平面 则 且



7.若直线 m 不平行于平面 ,且 ,则下列结论成立的是( ) A. 内的所有直线与 m 异面 B. 内不存在与 m 平行的直线 C. 内存在唯一的直线与 m 平行 D. 内的直线与 m 都相交 8.正方形 ABCD 的边长为 1,E、F 分别为 BC、CD 的中点,沿 AE,EF,AF 折成一个三 棱锥,使 B,C,D 三点重合,那么这个三棱锥的体积为( )

A.

B.

C.

D.

9.如图,在多面体 ABCDEF 中,已知面 ABCD 是边长为 3 的 正方形,EF∥AB,EF 与面 AC 的距离为 2,则该多面体的体积为(



A.

B.5

C.6

D.

10.已知直线 的倾斜角为?-150,则下列结论正确的是( ) A. 00 <1800 B. 150<?<1800 C. 150 <1950 D. 150 11.过原点,且在 x、y 轴上的截距分别为 p、q(p≠0,q≠0)的圆的方程是( ) A. C. 12.直线 x+y+a=0 半圆 y=A. B.[1, ] B. D. 有两个不同的交点,则 a 的取值范围是( C.[,-1] D .( ,-1) )

<1800

13.与直线 L:2x+3y+5=0 平行且过点 A(1,-4)的直线 L/的方程是_______________. 14. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 与 AD1 成 600 角的各侧面对角线的条数是___________. 15.老师给出一个函数 y=f(x),四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质: 甲:对于 x∈R,都有 f(1+x)=f(1-x) ; 乙:在 (-∞,0 上函数递减; 丙:在(0,+∞)上函数递增; 丁:f(0)不是函数的最小值. 如果其中恰有三人说得正确,请写出一个这样的函数 .

16.若实数 x、y 满足等式(x-2)2+y2=3,则

的最大值 ________________.

17. 在斜三棱柱 A1B1C1—ABC 中, 底面是等腰三角形, AB=AC, 侧面 BB1C1C⊥底面 ABC. (1)若 D 是 BC 的中点,求证:AD⊥CC1; (2)过侧面 BB1C1C 的对角线 BC1 的平面交侧棱于 M,若 AM=MA1,求证:截面 MBC1⊥ 侧面 BB1C1C.

18.已知函数

对任意实数

都有

,且当

时,

,求



上的值域.

19.已知 A,B,C,D 四点不共面,且 AB||平面 BD =H,BC =G.

,CD||平面

,AC

=E,AD

=F,

(1)求证:EFGH 是一个平行四边形; (2)若 AB=CD=a,试求四边形 EFGH 的周长.

20.已知点 A(0,2)和圆 C:

,一条光线从 A 点出发射到 x 轴上

后沿圆的切线方向反射,求(1)这条光线从 A 点到切点所经过的路程.(2)求入射光线的 方程.

21.已知圆方程

,且 p

1,p R,

求证圆恒过定点; (2)求圆心的轨迹 ; (3)求圆的公切线方程.

22 . 设 函 数

定义在 R 上,当 ,当 时 .

时,

,且对任意

,有

证明(1) (2)证明:

; 在 R 上是增函数;(3)设 ,若 , ,求 满足的条件.

参考答案: 1.D; 2.C; 3.C; 4.C; 5.D; 6.D; 7.B; 8.B; 9.D; 10.C; 11.A; 12.A; 13. 2x+3y+10=0; 14. 8; 15. y=(x-1)2; 16. ;

17. (1)证明:∵AB=AC,D 是 BC 的中点,∴AD⊥BC. ∵底面 ABC⊥平面 BB1C1C,∴AD⊥侧面 BB1C1C , ∴AD⊥CC1. (2)证明:延长 B1A1 与 BM 交于 N,连结 C1N , ∵AM=MA1,∴NA1=A1B1. ∵A1B1=A1C1,∴A1C1=A1N=A1B1 , ∴C1N⊥C1B1 , ∵底面 NB1C1⊥侧面 BB1C1C,∴ C1N⊥侧面 BB1C1C . ∴截面 C1NB⊥侧面 BB1C1C , ∴截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C.; 18. 解:设 , 且 又 为增函数, 令 又令 , 得 , , , ,则 , 故 为奇函数, 上的值域为 . , 则 , 由条件当 时,

19. 证明:(1) (2) 又 AB=CD=a EG+EF=a, 平行四边形 EFGH 的周长为 2a. AB||EG , 同理

20. 解:(1)反射线经过点 A(0,2)关于 x 轴的对称点 A1(0,-2),这条光线从 A 点

到切点所经过的路程即为 A1( 0 , -2 )到这个圆的切线长 2x+y-2=0 或 x+2y-4=0. 21. 解:(1)分离参数 p 得(4y-4x)p+x2+y2-8y+8=0, 由 , 即圆恒过定点(2,2).

. (2) 入射光线的方程为

(2) 圆方程可化为(x-2p)2+[y-(4-2p)]2=8(p-1)2,得圆心的参数方程为 消去参数 p 得: x+y-4=0 (x 2).

,

(3)设圆的公切线方程为 y=kx+b,即 kx-y+b=0,则 两边比较系数得 k=1, b=0,所以圆的公切线方程为 y=x . 22. 解:(1)令 若 ,当 . (2)设 若 时, ,则 ,由已知得 ,由 ,因为 , , 得 时,有 , 或 ,这与当 . 时,

,

矛盾,



,因为 , 即

, .

2010-12-10

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1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征

重难点:让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征;柱、锥、台、 球的结构特征的概括. 考纲要求:认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生 活中简单物体的结构. 经典例题:如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1 的长、宽、高分别是 5cm、4cm、3cm,一只蚂 蚁从 A 到 C1 点,沿着表面爬行的最短距离是多少.

当堂练习: 1.由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体是( ) A. 六棱锥 B. 六棱台 C. 六棱柱 D. 非棱柱、棱锥、棱台的一个几何体 2 下列说法中,正确的是( ) A. 棱柱的侧面可以是三角形 B. 由六个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的展 开图 C. 正方体的各条棱都相等 D.棱柱的各条棱都相等 3.一个骰子由 1~6 六个数字组成,请你根据图中三种状态所显示的数字,推出“?”处的数字 是( )

A. 6 B. 3 C. 1 D. 2 4.有两个面互相平行, 其余各面都是梯形的多面体是( ) A.棱柱 B. 棱锥 C. 棱台 D.可能是棱台, 也可能不是棱台, 但一定不是棱柱或 棱锥 5.构成多面体的面最少是( ) A.三个 B. 四个 C. 五个 D. 六个 6. 用一个平面去截棱锥, 得到两个几何体, 下列说法正确的是( ) A. 一个几何体是棱锥, 另一个几何体是棱台 B. 一个几何体是棱锥, 另一个几何体不一定是棱台 C. 一个几何体不一定是棱锥, 另一个几何体是棱台 D. 一个几何体不一定是棱锥, 另一个几何体不一定是棱台 7. 甲:“用一个平面去截一个长方体, 截面一定是长方形”;乙:“有一个面是多边形 , 其余各面都是三角形的几何体是棱锥” .这两种说法 ( ) A.甲正确乙不正确 B.甲不正确乙正 确 C.甲正确乙正确 D.不正确乙不正确 8.圆锥的侧面展开图是( ) A.三角形 B. 长方形 C. D.形 9.将直角三角形绕它的一边旋转一周, 形成的几何体一定是( ) A.圆锥 B.圆柱 C.圆台 D.上均不正确 10.下列说法中正确的是( ) A.半圆可以分割成若干个扇形 B.面是八边形的棱柱共有 8 个面 C. 直角梯形绕它的一条腰旋转一周形成的几何体是圆台 D.截面是圆的几何体, 不是圆柱, 就是圆锥 11.用一个平面去截一个几何体,得到的截面是四边形,这个几何体可能是( ) A.圆锥 B.圆柱 C. 球体 D. 以上都可能 12.A、B 为球面上相异两点, 则通过 A、B 可作球的大圆有( ) A.一个 B.无穷多个 C.零个 D.一个或无穷多个 13. 一个正方体内接于一个球, 过球心作一个截面, 下面的几个截面图中, 必定错误的是 ( )

A. B. C. D. 14.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥, 得到两个几何体, 一个是________, 另一个 是 . 15.四面体 P-ABC 中, PA=PB=PC=2, APB= BPC= APC=300. 一只蚂蚁 从 A 点出发沿四面体的表面绕一周, 再回到 A 点, 问蚂蚁经过的最短路程是_________. 16.将直角梯形 ABCD 绕 AB 边所在的直线旋转一周,由此形成的 几何体是由简单几何体是___________________. 17.边长为 5cm 的正方形 EFGH 是圆柱的轴截面, 则从 E 点沿圆柱的 侧面到相对顶点 G 的最短距离是_______________. 18.只有 3 个面的几何体能构成多面体吗?4 面体的棱台吗?棱台至少几个面.

19.棱柱的特点是:(1)两个底面是全等的多边形,(2)多边形的对应边互相平行,(3)棱柱的 侧面都是平行四边形. 反过来,若一个几何体,具备上面三条,能构成棱柱吗?或者说,上面三条能作为棱柱的定 义吗?

20.如下图几何体是由哪些简单几何体构成的?

21.(1)圆柱、圆锥、圆台可以看成以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中垂 直于底边的腰所在直线为旋转轴,将矩形、直角三角形、直角梯形旋转一周而形成的曲面围 成的几何体,三个图形之间的什么联系? (2)一个含有 300 的直角三角板绕其一条边旋转一周所得几何体是圆锥吗?如果以底边上的 高所在直线为轴旋转 1800 得到什么几何体?旋转 3600 又如何? 参考答案: 经典例题:

长方体 ABCD-A1B1C1D1 的表面可如上图中三种方法展开, 表面展开后, A 与 C1 两点间的 距离分别为 , , , 三 者 比 较得

为从 A 点沿表面到 C1 点的最短距离. 当堂练习: 1.C; 2.C; 3.A; 4.D; 5.B; 6.D; 7.D; 8.D; 9.D; 10.A; 11.B; 12.D; 13.B; 14. 棱锥, 棱台; 15. 沿 PA 将四面体剪开面如右图所示的平面图形, 则 APA/= 900, 则最短路程; 16. 是由圆柱和圆锥 组合体; 17. 5 ;

18.由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体,3 个面还围不成几何体. 3 个面不是一个 封闭图形,要围成封闭几何体必须 4 个面,4 个面只能是三棱锥,棱台至少 5 个面.如棱柱、 棱锥、棱台是特殊的几何体,3 棱锥有 4 个面,3 棱柱、棱台有 5 个面;4 棱锥有 5 个面,4 棱柱、棱台有 6 个面,依次类推. 19.就棱柱来验证这三条性质, 无一例外.能不能找到反 例,是上面三条能作为棱柱的定义的关键. 两摞练习 本,将其适度倾斜,构成如图几何体: (1)两个底面矩形全等; (2)两个矩形的对应边相 互平行; (3)几何体的各个面均为平行四边形,但几何体显然不是棱柱.

20. 正四棱台上面放置一个球. 21.⑴圆柱 圆台 圆锥.

圆柱和圆锥是圆台的特殊情形, 当圆台上下底面半径接近相等时, 圆台接近于圆柱; 当圆台 上底半径接近于零时, 圆台接近于圆锥. ⑵

图1 图2 图3 图4 图 1、图 2 旋转一周围成的几何体是圆锥, 图 3 是两个圆锥的组合体, 图 4 旋转 1800 是两个 半圆锥的组合体, 旋转 3600 与图 2 的形状是一样的. 直角三角形绕其直角边旋转一周所围成 的几何体是圆锥, 绕斜边旋转一周所围成的图形是两个圆锥的组合体.
2010-12-10 人教网 1.2.2 空间两直线的位置关系

重难点:理解异面直线的概念,能计算异面直线所成角;掌握公理 4 及等角定理. 经典例题:如图,直线 a,b 是异面直线,A、B、C 为直线 a 上三点,D、E、F 是直线 b 上三 点,A 、B 、 C 、D 、E 分别为 AD、DB、BE、EC、CF 的中点. 求证:(1) = ;

(2)A 、B 、C 、D 、E 共面.

当堂练习: 1.若 a ,b 是异面直线, b, c 是异面直线, 则 a ,c 的位置关系是( ) A. 相交、平行或异面 B. 相交或平行 C. 异面 D. 平行或异面 2.分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( ) A.异面 B. 相交 C.平行 D.异面或相交 3.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与对角线 AC1 异面的棱有( ) A.3 条 B. 4 条 C. 6 条 D. 8 条 4.已知 a ,b 是异面直线,直线 c 平行于直线 a,那么 c 与 b( ) A. 一定是异面直线 B.一定是相交直线 C. 不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 5.下面命题中,正确结论有( ) 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等; 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行, 那么这两组直线所成的锐角 (或直角) 相等; 如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补; ④ 如果两条直线同平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个 6.下列命题中正确命题的个数是( )

两条直线和第三条直线等角,则这两条直线平行; 平行移动两条异面直线中的任何一条,它们所成的角不变; 过空间四边形 ABCD 的顶点 A 引 CD 的平行线段 AE, 则 BAE 是异面直线 AB 与 CD 所成 的角; ④ 四边相等, 且四个角也相等的四边形是正方形. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7.已知异面直线 a,b 分别在 内,面 =c,则直线 c( )

A.一定与 a,b 中的两条都相交 B.至少与 a,b 中的一条都相交 C.至多与 a,b 中的一条都相交 D.至少与 a,b 中的一条都平行 8.两条异面直线所成的角指的是( ) ①两条相交直线所成的角 ; ②过空间中任一点与两条异面直线分别平行的两条相交直线所 成的锐角或直角; ③过其中一条上的一点作与另一条平行的直线, 这两条相交直线所成的锐 角或直角; ④ 两条直线既不平行又不相交, 无法成角. A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 9.空间四边形 ABCD 中, AB、BC、CD 的中点分别是 P、Q、R , 且 PQ=2 , QR= , PR=3 ,

那么异面直线 AC 和 BD 所成的角是( ) A. 900 B. 600 C. 450 D.300 10.直线 a 与直线 b、c 所成的角都相等, 则 b、c 的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C. 异面 D. 以上都可能 11.空间四边形 ABCD 的两条对角线 AC 和 BD 的长分别为 6 和 4,它们所成的角为 900, 则四边形两组对边中点的距离等于( ) A. B. C. 5 D. 以上都不对

12.如图,ABCD—A1B1C1D1 是正方体,E,F,G,H,M,N 分别是所在棱的中点, 则下列结论正确的是( ) A.GH 和 MN 是平行直线;GH 和 EF 是相交直线 B.GH 和 MN 是平行直线;MN 和 EF 是相交直线 C.GH 和 MN 是相交直线;GH 和 EF 是异面直线 D.GH 和 EF 是异面直线;MN 和 EF 也是异面直线

13. 点 A 是等边三角形 BCD 所在平面外一点, AB=AC=AD=BC=a, E、 F 分别在 AB、 CD 上, 且 所成的角,则( ) ,设 , 表示 EF 与 AC 所成的角, 表示 EF 与 BD

在 C. 在

上是增函数 上是增函数,在

B. 上是减函数

在 D.

上是增函数 在 上是常数

14.直线 a、b 不在平面 内,a、b 在平面 内的射影是两条平行直线,则 a、b 的位置关 系是_______________________. 15.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别为 AA1、CC1、C1D1、D1A1 的中点, 则四边形 EFGH 的形状是___________________.

16.空间四边形 ABCD 中, AD=1 , BC=

, BD=

, AC=

, 且

, 则异面直线

AC 和 BD 所成的角为__________________. 17.已知 a ,b 是一对异面直线,且 a ,b 成 700 角, 则在过 P 点的直线中与 a ,b 所成的角都为 700 的直线有____________条. 18.已知 AC 的长为定值,D 平面 ABC,点 M、N 分别是 DAB 和 DBC 的重心. 求证: 无论 B、D 如何变换位置, 线段 MN 的长必为定值.

19.M、N 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BB1、B1C1 的中点,(1)求 MN 与 AD 所 成的角;(2)求 MN 与 CD 所成的角.

20.如图,已知空间四边形 ABCD 的对角线 AC=14cm,BD=14cm,M,N 分别是 AB,CD 的中点,MN=7 cm,

求异面直线 AC 与 BD 所成的角.

21.在共点 O 的三条不共面直线 a、b、c 上,在点 O 的同侧分别取点 A 的 A1、B 的 B1、C 和 C1,使得 .

求证:

∽ A1B1C1 .

参考答案: 经典例题:证明:⑴



⑵ B 、C 、D 、E 共面.

A 、

当堂练习: 1.A; 2.D; 3.C; 4.C; 5.B; 6.B; 7.B; 8.B; 9.A; 10.D; 11.A; 12.B; 13.D; 14. 平行或异面; 15. 等腰 梯形; 16. 900; 17. 4; 18.如图, 延长 DM 交 AB 于 F, 延长 DN 交 BC 于 E, M、N 为重心, F、E 分别为 AB、BC 的中点. ||AC 且 EF= ||EF 且 MN= 且 MN= 又在 DEF 中, DM: MF=DN: NE=2: 1, , 即 MN 为与 BD 无关的定值.

19. 解(1):在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AD||B1C1 B1C1 与 MN 所成的锐角(或直角)是 AB、CD 所成的角

B1NM=450

MN 与 AD 所成的角为 450。

解(2):连接 A1B,过 M 在面 A1B 中作 A1B 的平行线交 A1B1 于点 L, 连接 LN, LM||D1C LMN(或其补角)即为 MN 与 CD 所成的角.

LMN=600

MN 与 CD 所成的角为 600. MPN(或其补角)是异面直线 AC 与 BD 所

20.解: 取 BC 的中点 P,连接 PM,PN,可证 成的角,



PMN 中,由 MP=NP=7, MN=7

,可得 cos

MPN=

,

MPN=1200.

则异面直线 AC 与 BD 所成的角为 600.

21.

,

. B1A1C1,

在平面 OAB 和平面 OAC 中,有 A1B1||AB , A1C1||AC , 同理: A1B1C1, ∽ A1B1C1 .
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1.2.3 直线与平面的位置关系

重难点:了解直线与平面的位置关系,在判定和证明直线与平面的位置关系时,除了能熟练 运用判定定理和性质定理外, 还要充分利用定义; 线面关系的判定和证明, 要注意线线关系、 线面关系的转化. 经典例题:直角 ABC 所在平面外一点 S,且 SA=SB=SC.

⑴求证:点 S 与斜边中点 D 的 连线 SD ⑵若直角边 BA=BC,求证:BD

面 ABC;

面 SAC.

当堂练习: 1.下面命题正确的是 ( ) A.若直线与平面不相交,则这条直线与这个平面没有公共点 B.若直线与平面不相交,则这条直线与这个平面内的任何一条直线没有公共点 C.若一条直线与一个平面有公共点,直线与这相交 D.直线在平面外,则直线与平面相交或平行 2.直线 b 是平面 外的一条直线,下列条件中可得出 b|| 的是( ) A.b 与 内的一条直线不相交 B.b 与 内的两条直线不相交 C.b 与 内的无数条直线不相交 D.b 与 内的所有直线不相交 3.下列命题正确的个数是( ) ①若直线 上有无数个点不在平面 内, 则 ; ②若直线 与平面 平行, 则 与平面

内有任意一条直线都平行 ; ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行 , 那么另 一条直线也与这个平面平行; ④若直线 与平面 平行, 则 与平面 内的任意一条直线都 没有公共点. A.0 个 B. 1 个 C. 2 个 D.3 个 4.下无命题中正确的是( ) ①过一点, 一定存在和两条异面直线都平行的平面; ②垂直于同一条直线的一条直线和一个 平面平行; ③若两条直线没有公共点 , 则过其中一条直线一定有一个平面与另一条直线平 行. A. ① B. ③ C. ①③ D. ①②③ 5.直线 a,b 是异面直线,A 是不在 a,b 上的点,则下列结论成立的是( ) A. 过 A 有且只有一个平面平行于 a,b B. 过 A 至少有一个平面平行于 a,b C. 过 A 有无数个平面平行于 a,b D. 过 A 且平行于 a,b 的平面可能不存在 6. 直线 a,b 是异面直线,则下列结论成立的是( ) A. 过不在 a,b 上的任意一点,可作一个平面与 a,b 平行 B. 过不在 a,b 上的任意一点,可作一条直线与 a,b 相交 C. 过不在 a,b 上的任意一点,可作一条直线与 a,b 都平行 D. 过 a 可以并且只可以作一个平面与 b 平行

7.下面条件中, 能判定直线

的一个是(



A. 与平面 内的两条直线垂直 B. 与平面 内的无数条直线垂直 C. 与平面 内的某一条直线垂直 D. 与平面 内的任意一条直线垂直 8.空间四边形 ABCD 中, AC=AD, BC=BD, 则 AB 与 CD 所成的角为( ) A. 300 B. 450 C. 600 D. 900 9.如果直线 与平面 不垂直, 那么在平面 内( ) A. 不存在与 垂直的直线 B. 存在一条与 垂直的直线 C. 存在无数条与 垂直的直线 D. 任意一条都与 垂直 10.定点 P 不在 ABC 所在平面内, 过 P 作平面 , 使 ABC 的三个顶点到平面 的距离 相等, 这样的平面共有( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 11. ABC 所在平面外一点 P, 分别连结 PA、PB、PC, 则这四个三角形中直角三角形最多 有( ) A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 12.下列四个命题:①过平面外一点存在无数条直线和这个平面垂直;②若一条直线和平面 内的无数多条直线垂直, 则这条直线和平面垂直; ③仅当一条直线和平面内两条相交直线垂 直且过交点时这条直线才和平面垂直; ④若一条直线平行于一个平面, 则和这条直线垂直的 直线必和这个平面垂直. 其中正确的个数是( ) A.0 B. 1 C. 2 D. 3 13.如图,在正方形 SG1G2G3 中,E,F 分别是 G1G2,G2G3 的中点,D 是 EF 的中点, 现沿 SE,SF 及 EF 把这个正方形折成一个几何体,使 G1,G2,G3 三点重合于点 G, 这样,下列五个结论:(1)SG SEF;(4)EF 平面 EFG;(2)SD 平面 EFG;(3)GF ) 平面

平面 GSD;(5)GD

平面 SEF. 正确的是(

A.(1)和(3) C.(1)和(4)

B.(2)和(5) D.(2)和(4)

14.若直线 a 与平面

内的无数条直线平行, 则 a 与

的关系为_____________.

15.在空间四边形 ABCD 中, 系是__________________.

,若

, 则 MN 与平面 BDC 的位置关

16. ABC 的三个顶点 A、B、C 到平面 的距离分别为 2cm、3cm、4cm ,且它们在平面 的同一侧, 则 ABC 的重心到平面 的距离为________________. 17.若空间一点 P 到两两垂直的射线 OA、OB、OC 的距离分别为 a、b、c,则 OP 的值为 ______________. 18.已知四面体 ABCD 中,M,N 分别是 求证:(1)BD||平面 CMN;(2)MN||平面 ABD. 的重心,

19.如图,空间四边形 ABCD 被一平面所截,截面 EFGH 是一个矩形, (1)求证:CD||平面 EFGH; (2)求异面直线 AB,CD 所成的角.

20.M,N,P 分别为空间四边形 ABCD 的边 AB,BC,CD 上的点,且 AM:MB=CN: NB=CP:PD. 求证: (1)AC||平面 MNP,BD||平面 MNP; (2)平面 MNP 与平面 ACD 的交线||AC.

21. 如图 O 是正方体下底面 ABCD 中心,B1H?D1O,H 为垂足. 求证:B1H 平面 AD1C.

参考答案: 经典例题:证明:(1)

(2) 当堂练习: 1.D; 2.D; 3.B; 4.B; 5.D; 6.D; 7.D; 8.D; 9.C; 10.D; 11.D; 12.A; 13.C; 14. a||



; 15. MN||

平面 BDC; 16. 3cm; 17.

;

18. 连接 AM, AN, 并延长分别交 BC, CD 于点 E, F, 连接 EF, 由 M, N 分别是

的重心, 得 E, F 分别是 BC, CD 的中点, 则 EF||BD, 易证得 BD||平面 CMN; 由



得 MN||EF,可证 MN||平面 ABD. 19. (1)由四边形 EFGH 是矩形可得,EF||GH,可证得 EF||平面 BCD,又因 CD 是过 EF 的平面 ACD 与平面 BCD 的交线,则 EF||CD,所以 CD||平面 EFGH. (2)由 CD||平面 EFGH,可证得 CD||GH;同理可证 AB||GF; FGH 就是异面直线 AB, CD 所成的角(或补角),因为 EFGH 是矩形,所以 FGH=900,则异面直线 AB,CD 所 成的角为 900.

20. 证明:(1) 平面 MNP.

AC||平面 MNP,

BD||

(2)

,即平面 MNP 与平面 ACD 的交线||AC.

21. 再找一条与 B1H 垂直的直线 AC, 证 AC 平面 AD1C.

平面 BB1D1D 即可, 又 AC?OD1=O, 因此 B1H

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1.2.4 平面与平面的位置关系

重难点:了解直线与平面的位置关系,在判定和证明直线与平面的位置关系时,除了能熟练 运用判定定理和性质定理外, 还要充分利用定义; 线面关系的判定和证明, 要注意线线关系、 线面关系的转化. 经典例题:如图,在四面体 S-ABC 中, SA⊥底面 ABC,AB⊥BC.DE 垂直平分 SC, 且分别交 AC、 SC 于 D、 E. 又 SA=AB,SB=BC.求以 BD 为棱, 以 BDE 与 BDC 为面的二面角的度数.

当堂练习: 1.下列命题中正确的命题是( ) ①平行于同一直线的两平面平行; ②平行于同一平面的两平面平行; ③垂直于同一直线的两平面平行; ④与同一直线成等角的两平面平行. A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和③和④ 2. 设直线 ,m,平面 A. C. ,且 ,且 D. ,下列条件能得出 B. ,且 的是( ) ,且

3. 命题:①与三角形两边平行的平面平行于是三角形的第三边; ②与三角形两边垂直的直 线垂直于第三边;③与三角形三顶点等距离的平面平行这三角形所在平面. 其中假命题的 个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 4.已知 a,b 是异面直线,且 a 平面 ,b 平面 ,则 与 的关系是( )

A. 相交 B. 重合 C. 平行 D. 不能确定 5.下列四个命题:①分别在两个平面内的两直线平行;②若两个平面平行,则其中一个平 面内的任何一条直线必平行于另一平面;③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面, 则这两个平面平行; ④如果一个平面内的任何一条直线都平行另一个平面,则这两个平面 平行. 其中正确命题是( ) A. ①、② B. ②、④ C. ①、③ D. ②、③ 6. 设平面 ,A ,C 是 AB 的中点,当 A、B 分别在 内运动时,那么

所有的动点 C ( ) A. 不共面 B.当且仅当 A、B 分别在两条直线上移动时才 共面 C. 当且仅当 A、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面 D. 不论 A、B 如何移 动,都共面 7. 是两个相交平面,a ,a 与 b 之间的距离为 d1, 与 之间的距离为 d2, D.d1 d2

则( ) A.d1=d2 B.d1>d2 C.d1<d2 8.下列命题正确的是( ) A. 过平面外一点作与这个平面垂直的平面是唯一的 B. 过直线外一点作这条直线的垂线是唯一的 C. 过平面外的一条斜线作与这个平面垂直的平面是唯一的 D. 过直线外一点作与这条直线平行的平面是唯一的 9.对于直线 m、n 和平面α 、β , 下列能判断α ⊥β 的一个条件是( A. C. B. D. 平面β ,有下面四个命题: ① 其中正确的两个命题是( C.②与④ D.①与③



10.已知直线 l⊥平面α ,直线 m ② A.①与② 11.设 ③ B.③与④ ④



是直二面角,直线

且 a 不与 垂直,b 不与 垂直,则(



A. a 与 b 可能垂直,但不可能平行 B. a 与 b 可能垂直也可能平行 C. a 与 b 不可能垂直,但可能平行 D. a 与 b 不可能垂直,也不可能平行 12. 如果直线 、 m 与平面α 、 β 、 γ 满足: =β ∩γ , //α ,m α 和 m⊥γ 那么必有 ( ) A.α ⊥γ 且 ⊥m B.α ⊥γ 且 m∥β C. m∥β 且 ⊥m D.α ∥β 且α ⊥γ

13.如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界 上运动,并且总是保持 AP⊥BD1,则动点 P 的轨迹是( )

A.线段 B1C B.线段 BC1 C.BB1 中点与 CC1 中点连成的线段 D.BC 中点与 B1C1 中点连成的线段 14.平面 , ABC 和 A/B/C/分别在平面 和平面 内, 若对应顶点的连线共点,

则这两个三角形_______________. 15.夹在两个平行平面间的两条线段 AB、CD 交于点 O,已知 AO=4,BO=2,CD=9,则线 段 CO、DO 的长分别为_________________. 16.把直角三角形 ABC 沿斜边上的高 CD 折成直二面角 A-CD-B 后, 互相垂直的平面有 ______对. 17. 是两两垂直的三个平面, 它们交于点 O, 空间一点 P 到平面 的距离分别是

2cm , 3cm , 6cm , 则点 P 到点 O 的距离为__________________. 18.已知 a 和 b 是两条异面直线,求证过 a 而平行于 b 的平面 必与过 b 而平行于 a 的平面 平行.

19. 如图,平面 分别交 NB=15,S

,线段 AB 分别交

于 M、N,线段 AD

于 C、 D, 线段 BF 分别交 =78.求

于 F、 E, 若 AM=9, MN=11,

END 的面积.

20.如图,AB 是圆 O 的直径,PA 垂直于圆 O 所在的平面,C 是圆周上不同于 A、B 的任意一 点. 求证:平面 PAC 垂直于平面 PBC.

21.如果两个相交平面都和第三个平面垂直,那么它们的交线也和第三个平面垂直.

参考答案: 经典例题:由于 SB=BC,且 E 是 SC 的中点,因此 BE 是等腰三角形 SBC 的底边 SC 的中线, 所以 SC⊥BE. 又已知 SC⊥DE,BE∩DE=E, ∴SC⊥面 BDE, ∴SC⊥BD. 又∵SA⊥底面 ABC,BD 在底面 ABC 上, ∴SA⊥BD. 而 SC∩SA=S, ∴BD⊥面 SAC. ∵DE=面 SAC∩面 BDE, DC=面 SAC∩面 BDC, ∴BD⊥DE,BD⊥DC. ∴∠EDC 是所求的二面角的平面角. ∵SA⊥底面 ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC. 设 SA=a, 则 AB=a , BC=SB= tan 又因为 AB⊥BC,所以 AC= 在 中,

∴∠ACS=30°.又已知 DE⊥SC,所以∠EDC=60°,即所求的二面角等

于 600. 当堂练习: 1.B; 2.C; 3.B; 4.D; 5.B; 6.D; 7.D; 8.C; 9.C; 10.D; 11.C; 12.A; 13.A; 14. 相似; 15. 6、 3; 16. 3; 17. 7cm; 18.过 a 作平面 M 交 19. 解 : 于 c,则 a||c,则 c|| ,又 b|| ,b、c 是相交直线(否则 a||b),所以 .

, 平 面 AND 分 别 与

交 于 MC 、 ND ,

MC||ND , 同 理 MF||NE ,

=

=





,BN=15,BM=15+11=26,AN=9+11=20,AM=9,

S

=100.

20. 证明: 设圆 O 所在平面为α . 由已知条件,PA⊥平面α , 又 BC 在平面α 内, 因此 PA⊥ BC. 因此∠BCA 是直角, 因此 BC⊥AC. 而 PA 与 AC 是△PAC 所在平面内的相交直线, 因此 BC ⊥△PAC 所在平面. 从而证得△PBC 所在平面与△PAC 所在平面垂直. 21. 已知: . 求证:

证法一(同一法):在 上取点 P 作 又 ,



与 垂直,

证法二:设

分别在

内作

且 a,b 都过所在平面内 外一点, 又 又

证法三:设

在 内取一点 P,

并在 内过点 P 分别作 m、n 的垂线 a、b, 又
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1.2 点、线、面之间的位置关系

考纲要求:①理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和 定理. ◆公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,这条直线上所有的点在此平面内. ◆公理 2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. ◆公理 3: 如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线. ◆公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. ◆定理:空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补.

②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关 性质与判定. 理解以下判定定理. ◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行. ◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行. ◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直. ◆如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直. 理解以下性质定理,并能够证明. ◆如果一条直线与一个平面平行, 经过该直线的任一个平面与此平面相交, 那么这条直线就 和交线平行. ◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行. ◆垂直于同一个平面的两条直线平行. ◆如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线于另一个平面垂直. ③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题. 1.2.1 平面的基本性质 重难点:理解平面的概念及表示,掌握平面的基本性质并注意他们的条件、结论、作用、图 形语言及符号语言. 经典例题: 如图,设 E,F,G,H,P,Q 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 所在棱上的中点,求证:E,F,G,H,P,Q 共面.

当堂练习: 1. 下面给出四个命题: ①一个平面长 4m, 宽 2m; ②2 个平面重叠在一起比一个平面厚; ③ 一个平面的面积是 25m2; ④一条直线的长度比一个平面的长度大, 其中正确命题的个数是 ( ) A. 0 B.1 C.2 D.3 2.若点 N 在直线 a 上,直线 a 又在平面 内,则点 N,直线 a 与平面 之间的关系可记作 ( ) A.N B.N C.N D.N 3. 空间不共线的四点,可以确定平面的个数为( ) A.0 B.1 C.1 或 4 D. 无法确定 4. 空间 四点 A,B,C,D 共面但不共线,则下面结论成立的是( ) A. 四点中必有三点共线 B. 四点中必有三点不共线 C.AB,BC,CD,DA 四条直线中总有两条平行 D. 直线 AB 与 CD 必相交 5. 空间不重合的三个平面可以把空间分成( ) A. 4 或 6 或 7 个部分 B. 4 或 6 或 7 或 8 个部分 C. 4 或 7 或 8 个部分 D. 6 或 7 或 8 个部分 6.下列说法正确的是( )

①一条直线上有一个点在平面内, 则这条直线上所有的点在这平面内; ②一条直线上有两点 在一个平面内, 则这条直线在这个平面内; ③若线段 AB , 则线段 AB 延长线上的任何一 点一点必在平面 内; ④一条射线上有两点在一个平面内 , 则这条射线上所有的点都在这 个平面内. A. ①②③ B. ②③④ C. ③④ D. ②③ 7.空间三条直线交于同一点,它们确定平面的个数为 n,则 n 的可能取值为( ) A. 1 B.1 或 3 C.1 或 2 或 3 D.1 或 4 8.如果 那么下列关系成立的是( )

A. B. C. D. 9.空间中交于一点的四条直线最多可确定平面的个数为( ) A.7 个 B.6 个 C. 5 个 D.4 个 10.两个平面重合的条件是它们的公共部分有( ) A.两个公共点 B.三个公共点 C.四个公共点 D.两条平行直线 11.一条直线和直线外的三点所能确定的平面的个数是( ) A. 1 或 3 个 B.1 或 4 个 C.1 个、3 个或 4 个 D. 1 个、2 个或 4 个 12.三条直线两两相交,可以确定平面的个数是( ) A.1 个 B.1 个或 2 个 C.1 个或 3 个 D.3 个 13. 空间四边形 ABCD 各边 AB、 BC、 CD、 DA 上分别取 E、 F、 G、 H 四点, 如果 EF GH=P, 则点 P( ) A.一定在直线 BD 上 B.一定在直线 AC 上 C.在直线 AC 或 BD 上 D.不在直线 AC 上 也不在直线 BD 上 14.设平面 与平面 交于直线 , 直线 ,直线 CB、CD , 直线 , , 则 M_______ .

15.直线 AB、AD

,点 E AB,点 F BC,点 G CD,点 H DA,

若直线 HE 直线 FG=M,则点 M 必在直线___________上. 16.如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别 为 AA1、C1D1 的中点,过 D、M、N 三点的平面与直线 A1B1 交于 点 P,则线段 PB1 的长为_______________.

17.如图, 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,对角线 BD1 与过 A1、D、 C1 的平面交于点 M,则 BM:MD1=________________.

18.如图,E、F、G、H 分别是空间四边形 AB、BC、CD、DA 上的点,且 EH 与 FG 交于 点 O. 求证:B、D、O 三点共线.

19.证明梯形是平面图形. 20.已知: 直线 , 且直线 与 a, b, c 都相交. 求证: 直线 共面.

21.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 直线 A1C 交平面 ABC1D1 于点 M , 试作出点 M 的位 置.

参考答案: 经典例题: 证明: 连接 EF, QG, E, F, Q, G 分别是 A1D1, D1C1, A1A, C1C 的中点, EF||A1C1||QG, 同理 FG||EP,设 E,F,G,Q 确定平面 共线的三点 E,F,G,故 ,F,G,E,P 确定平面 ,由于 都经过不

重合,即 E,F,G,P,Q 五点共面,同理可证 E,F,G,

H,Q 五点共面,故 E,F,G,H,P,Q 共面. 当堂练习:

1.A; 2.B; 3.C; 4.B; 5.B; 6.B; 7.B; 8.A; 9.B; 10.D; 11.C; 12.C; 13.A; 14. ; 15. BD; 16. 2:1; 18.证明: E , . 同理可证 O B、D、O 三点共线. , . .

; 17.

,



20.证明: 如图 ,设 与 经过

分别交于 A ,B ,C , 经过 a, b 可确定一个平面 , 即 为同一平面. .

可确定一个平面 ,同理 B ,则 AB 与

因经过

的平面有且只有一个, 同理 即

共面.

21.解: 连结 D1B , A1B , CD1, 则 D1B 与 A1C 的交点即为所求作的点 M. 证明: D1B 平面 ABC1D1 , D1B 平面 A1BCD1 , 平面 ABC1D1 平面 A1BCD1= D1B. A1C 平面 ABC1D1=M, M 平面 AB C1D1, M 平面 A1BCD1 , M D1B.故 M 为 D1B 与 A1C 的交点.

2010-12-10

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1.3 柱、锥、台、球的表面积和体积

考纲要求:了解柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式);会求一些 简单几何体的表面积和体积,体会积分思想在计算表面积和体积的运用. 重难点:了解柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式,会求一些简单几何体的表面积和 体积,体会积分思想在计算表面积和体积的运用. 经典例题:在三棱柱 ABC—DEF 中,已知 AD 到面 BCFE 的距离为 h,平行四边形 BCFE 的面积为 S. 求:三棱柱的体积 V.

当堂练习: 1.长方体 ABCD-A1B1C1D1 的 AB=3,AD=2,CC1=1,一条绳子从 A 沿着表面拉到点 C1, 绳子的最短长度是( ) A. +1 B. C. D.

2.若球的半径为 R,则这个球的内接正方体的全面积等于( ) A.8R2 B. 9R2 C.10R2 D.12R2 3. 边长为 5cm 的正方形 EFGH 是圆柱的轴截面, 则从 E 点沿圆柱的侧面到相对顶点 G 的最 短距离是( )

A. 10cm

B. 5

cm

C. 5

cm

D.

cm

4.球的大圆面积扩大为原大圆面积的 4 倍,则球的表面积扩大成原球面积的( ) A.2 倍 B. 4 倍 C. 8 倍 D.16 倍 5.三个球的半径之比为 1:2:3,那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( A.1 倍 B.2 倍 C.1 倍 D.1 倍 )



6.正方体的全面积是 a2,它的顶点都在球面上,这个球的表面积是( A. B. C. D.

7.两个球的表面积之差为 48 ,它们的大圆周长之和为 12 ,这两个球的半径之差为( ) A.4 B. 3 C. 2 D. 1 8.已知正方体的棱长为 a,过有公共顶点的三条棱的中点的截面分别截去 8 个角,则剩余 部分的体积是( ) A. a3 B. a3 C. a3 D. a3

9.正方形 ABCD 的边长为 1,E、F 分别为 BC、CD 的中点,沿 AE,EF,AF 折成一个三棱 锥,使 B,C,D 三点重合,那么这个三棱锥的体积为( )

A.

B.

C.

D.

10.棱锥 V-ABC 的中截面是

A1B1C1,则三棱锥 V-A1B1C1 与三棱锥 A-A1BC 的体积之比

是( ) A.1:2 B. 1:4 C.1:6 D.1:8 11. 两个球的表面积之比是 1:16,这两个球的体积之比为( ) A.1:32 B.1:24 C.1:64 D. 1:256 12.两个球的体积之比为 8:27,那么,这两个球的表面积之比为( A.2:3 B.4:9 C. D.



13.棱长为 a 的正方体内有一个球,与这个正方体的 12 条棱都相切,则这个球的体积应为 ( )

A. 4

3

B.

C.

D.

14.半径为 R 的球的外切圆柱的表面积是______________. 15.E 是边长为 2 的正方形 ABCD 边 AD 的中点,将图形沿 EB、EC 折成三棱锥 A-BCE (A,D 重合), 则此三棱锥的体积为____________. 16.直三棱柱 的体积是 V,D、E 分别在 、 上,线段 DE 经过矩形

的中心,则四棱锥 C-ABED 的体积是________________. 17. 一个直角三角形的两条直角边的长分别为 3cm 和 4cm, 将这个直角三角形以斜边为轴旋 转一周,所得旋转体的体积是________________. 18.圆锥的底面半径为 5cm, 高为 12cm, 当它的内接圆柱的底面半径为何值时, 圆锥的内接 圆柱的全面积有最大值?最大值是多少?

19.A、B、C 是球面上三点,已知弦 AB=18cm,BC=24cm,AC=30cm,平面 ABC 与球心 O 的距离恰好为球半径的一半,求球的面积.

20. 圆锥轴截面为顶角等于 1200 的等腰三角形, 且过顶点的最大截面面积为 8, 求这圆锥的 全面积 S 和体积 V.

21.已知 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体, E、F 分别为棱 AA1 与 CC1 的中点,求 四棱锥 A1-EBFD1 的体积.

参考答案: 经典例题: 解法一:把三棱柱补成一平行六面体 EFDG—BCAH,可看成以 s 为底,以 h 为高,则体积为 sh. VABC-DEF= 这就是用补的方法求体积. s

解法二:连 DB、DC、BF,把三棱柱分割成三个等体积的三棱锥,如 D—BEF 就是以

为底,高为 h 的三棱锥,则 VD-BEF=

则 VABC-DEF=3 VD-BEF=



当堂练习:

1.C; 2.A; 3.D; 4.B; 5.C; 6.B; 7.C; 8.C; 9.B; 10.B; 11.C; 12.B; 13.C; 14. 6 R2; 15.

; 16.

; 17.

;

18. 如图 ,SAB 是圆锥的轴截面, 其中 SO=12, OB=5.设圆锥内接圆柱底面半径为 O1C=x ,





相似, 则 , 则 圆 柱 的 全 面 积 S=S 侧 +2S 底

OO1=SO-SO1=12-

=2

则当

时,S 取到最大值



19. 解: r=15cm,

AB2+BC2=AC2,

ABC 为直角三角形,

ABC 的外接圆 O1 的半径

因圆 O1 即为平面 ABC 截球 O 所得的圆面,因此有 R2=(

)2+152,

R2=300, S 球=4 R2=1200 (cm2). 20. 解 : 设 母 线 长 为 , 当 截 面 的 两 条 母 线 互 相 垂 直 时 , 有 最 大 的 截 面 面 积 . 此 时 ,

底面半径

,高

则 S 全=

21. 解: 接 EF,则 三 棱 锥 a, S , F-EBA1 的 高 是 CC1

四棱锥 A1-EBFD1 的底面是菱形,连 平面 ABB1A1, 到 平 面 AB1 的 距 离 , 即 棱 长

2010-12-10

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南昌市高中新课程训练题(直线、平面、简单几何体 2)

命题:莲塘一中 李鸿斌

一、选择题(本小题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

1.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,P、Q、R 分别是 AB、AD、B1C1 的中点。那么,正方体 的过 P、Q、R 的截面图形是 ( )

A.三角形

B.四边形

C.五边形

D.六边形

2.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,以顶点 A、C、B1、D1 为顶点的正四面体的全面积为



则正方体的棱长为( )

A.

B.2

C.4

D.

3.表面积为

的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为

A.

B.

C.

D.

4.正六棱柱 ABCDEF-A1B1C1D1E1F1 底面边长是 1,侧棱长是

,则这个棱柱的侧面对角

线 E1D 与 BC1 所成的角是( )

A.90?

B.60?

C.45?

D.30?

5.设三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积为 V,P、Q 分别是侧棱 AA1、CC1 上的点,且 PA=QC1, 则四棱锥 B-APQC 的体积为

(A)

(B)

(C)

(D)

6.设四个点 P、A、B、C 在同一球面上,且 PA、PB、PC 两两垂直,PA=3,PB=4,PC =5,

那么这个球的表面积是( )

A.

B.

C.25

D.50

7.已知△ABC 中,AB=2,BC=1,∠ABC=120?,平面 ABC 外一点 P 满足 PA=PB=PC =2,

则三棱锥 P-ABC 的体积是( )

A.

B.

C.

D.

8.已知正方体外接球的体积是

,那么正方体的棱长等于

(A)

(B)

(C)

(D)

9 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体积为 16,则这个球的表面积是

A.

B.

C.

D.

9.C

10.已知球 O 的表面积为 4

,A、B、C 三点都在球面上,且每两点的球面距离均为



则从球中切截出的四面体 OABC 的体积是( )

A.

B.

C.

D.

11.棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,异面直线 A1B 与 B1C 的距离是( )

A.

B.

C.

D.

12.过三棱柱任意两个顶点的直线共 15 条,其中异面直线有

(A)18 对

(B)24 对

(C)30 对

(D)36 对

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)

13.在底面为正方形的四棱锥 P-ABCD 中,PA 底面 ABCD,PA = AB = 2,则三棱锥 B- PCD 的体积为 。

14. 已知平面

和直线, 给出条件: ① 时,有

; ②

; ③

; ④ 时,有

; ⑤

.

(i)当满足条件 选条件的序号)

; (ii)当满足条件

.(填所

15.一个正方体的全面积为

,它的顶点都在同一个球面上,则这个球的体积为



16 如图,正方体的棱长为 1,C、D 分别是两条棱的中点,A、B、M 是顶点,那么点 M 到 截面 ABCD 的距离是 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分)

17.如图,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB = AA1,D 是 CC1 的中点,F 是 A1B 的中点,

⑴求证:DF∥平面 ABC;

⑵求证:AF⊥BD。

18.如图,在直三棱柱

中,



分别为



的中点。

(I)证明:ED 为异面直线



的公垂线;

(II)设

求二面角

的大小

19.在直三棱柱

中,





(1)求异面直线



所成角的大小;

(2)若直线

与平面

所成角为

,求三棱锥

的体积.

20.如图,已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,底面边长 AB = 2,侧棱 BB1 的长为 4,过点 B 作 B1C 的垂线交侧棱 CC1 于点 E,交 B1C 于点 F,

⑴求证:A1C⊥平面 BDE;

⑵求 A1B 与平面 BDE 所成角的正弦值。

21.如图,三棱柱 ABC—A1B1C1 的各棱长均为 2,侧棱 B1B 与底面 ABC 成 60?的角,

且侧面 ABB1A1⊥底面 ABC,

⑴求证:AB⊥CB1;⑵求三棱锥 B1-ABC 的体积;

⑶求二面角 C-AB1-B 的大小。

22..如图所示, AF、DE 分别是⊙O、⊙O1 的直径.AD 与两圆所在的平面均垂直,AD=8,BC 是⊙O 的直径,AB=AC=6,OE//AD.

(Ⅰ)求二面角 B—AD—F 的大小;

(Ⅱ)求直线 BD 与 EF 所成的角.

参考答案

一、选择题

DAABC

DDDCA

BD

二、填空题

13.

14.③⑤ ②⑤

15.

16.2/3

三、解答题

17.⑴取 AB 中点 E,则显然有 FD∥EC

DF∥平面 ABC



18.解法一: (Ⅰ)设 O 为 AC 中点,连结 EO,BO,则 EO

又 CC1

B1B,

所以 EO

DB ,则 EOBD 为平行四边形, ED∥OB

∵ AB = BC, ∴ BO⊥AC , 又面 ABC⊥面 ACC1A1, BO

面 ABC , 故 BO⊥面 ACC1A1

∴ ED⊥面 ACC1A1,ED⊥AC1,ED⊥CC1 ∴ ED⊥BB1

ED 为异面直线 AC1 与 BB1 的公垂线

(Ⅱ)联结 A1E,由 AA1 = AC =

AB 可知,A1ACC1 为正方形,

∴ A1E ⊥AC1 由 ED⊥面 A1ACC1 和 ED

面 ADC1 知面 ADC1⊥面 A1ACC1

ED⊥A1E

则 A1E⊥面 ADE。 过 E 向 AD 作垂线,垂足为 F,连结 A1F,

由三垂线定理知∠A1FE 为二面角 A1—AD—C1 的平面角。

不妨设 AA1 = 2 ,则 AC = 2 ,AB =

, ED = OB = 1 ,

EF =

所以二面角 A1—AD—C1 为 60°

19..解:(1) ∵BC∥B1C1, ∴∠ACB 为异面直线 B1C1 与 AC 所成角(或它的补角)

∵∠ABC=90° , AB=BC=1, ∴∠ACB=45° ,

∴异面直线 B1C1 与 AC 所成角为 45° .

(2) ∵AA1⊥平面 ABC,∠ACA1 是 A1C 与平面 ABC 所成的角, ∠ACA =45° .

∵∠ABC=90° , AB=BC=1, AC=

,∴AA1=

.

20.⑴由三垂线定理可得,A1C⊥BD,A1C⊥BE

A1C⊥平面 BDE

⑵以 DA、DC、DD1 分别为 x、y、z 轴,建立坐标系,则



,∴





设 A1C

平面 BDE=K,由⑴可知,∠A1BK 为 A1B 与平面 BDE 所成角,



21.⑴在平面 ABB1A1 中,作 B1D⊥AB,则 B1D⊥平面 ABC

∴∠B1BD 为 B1B 与平面 ABC 所成角,∴∠B1BD=60?

又∵△ABB1 和△ABC 均为正三角形,∴D 为 AB 中点,∴CD⊥AB,∴CB1⊥AB

⑵易得

⑶过 D 作 DE⊥AB1,连 CE,易证:CD⊥平面 ABB1A1

由三垂线定理知:CE⊥AB1,∴∠CED 为二面角 C-AB1-B 的平面角。

在 Rt△CDE 中,tan∠CED=2,∴二面角 C-AB1-B 的大小为 arctan2 22.解:(Ⅰ)∵AD 与两圆所在的平面均垂直,

∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD 是二面角 B—AD—F 的平面角,

依题意可知,ABCD 是正方形,所以∠BAD=450.

即二面角 B—AD—F 的大小为 450;

(Ⅱ)以 O 为原点,BC、AF、OE 所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系(如图所示) ,则 O(0,0,0) ,A(0, F(0, ,0) ,0) ,B( ,0,0),D(0, ,8) ,E(0,0,8) ,

所以,

设异面直线 BD 与 EF 所成角为

,则

直线 BD 与 EF 所成的角为

2007-09-10 人教网 南昌市高中新课程训练题(直线、平面、简单几何体 1)

命题:莲塘一中 李鸿斌

一、选择题(本小题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

1. 若

是平面

外一点,则下列命题正确的是

(A)过

只能作一条直线与平面

相交

(B)过

可作无数条直线与平面

垂直

(C)过

只能作一条直线与平面

平行

(D)过

可作无数条直线与平面

平行

2.在空间四边形 、 交于一点

中,







上分别取







四点,如果

,则( )

A.

一定在直线



B.

一定在直线



C.

在直线





D.

既不在直线

上,也不在



3.如图 S 为正三角形所在平面 ABC 外一点,且 SA=SB=SC=AB,E、F 分别为 SC、AB 中点,则异面直线 EF 与 SA 所成角为( )

A.90?

B.60?

C.45?

D.30?

4.下列说法正确的是( )

A.若直线 平行于平面

内的无数条直线,则

B.若直线 在平面

外,则

C.若直线



,则

D.若直线



,则直线 就平行于平面内的无数条直线

5.在下列条件中,可判断平面

与平面

平行的是( )

A.



都垂直于平面

B.

内存在不共线的三点到平面

的距离相等

C. 、



内两条直线,且



D. 、

是两条异面直线,且







6 若 为一条直线, ② 确的命题有( )

为三个互不重合的平面,给出下面三个命题:① ;③ ,其中正

A. 0 个

B. 1 个

C. 2 个

D. 3 个

7.把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当点 D 到平面 ABC 的距离最大时,直线 BD 和平面 ABC 所成角的大小为 ( )

A.90?

B.60?

C.45?

D.30?

8.PA、PB、PC 是从点 P 引出的三条射线,每两条射线的夹角均为 60?,则直线 PC 与平面 APB 所成角的余弦值是( )

A.

B.

C.

D.

9.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AA1、AB 的中点,则 EF 与对角面 A1C1CA 所 成角的度数是( )

A.30?

B.45?

C.60?

D.150?

10.设 A、B、C、D 是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是

(A)若 AC 与 BD 共面,则 AD 与 BC 共面

(B)若 AC 与 BD 是异面直线,则 AD 与 BC 是异面直线

(C)若 AB=AC,DB=DC,则 AD=BC

(D)若 AB=AC,DB=DC,则 AD⊥BC

11.对于平面

和共面的直线



下列命题中真命题是

(A)若



(B)若



(C)若



(D)若

、 与

所成的角相等,则

12.给出以下四个命题:

①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和 交线平行,

②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面

③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行,

④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.

其中真命题的个数是

A.4

B. 3

C. 2

D. 1

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)

13.设

是直二面角,













14. 3、



、 是两两垂直且交于 O 点的三个平面,P 到平面



、 的距离分别是 2、

6,则



15. 如图,在正三棱柱 则点 到直线 AB 的距离为 。

中,AB=1。若二面角

的大小为



16.已知正四棱锥的体积为 12,底面对角线的长为 _______________

,则侧面与底面所成的二面角等于

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分)

17.如图,ABCD-A1B1C1D1 是正四棱柱。

(I)求证:BD⊥平面 ACC1A;

(II)若二面角 C1-BD-C 的大小为 60°,求异面直线 BC1 与 AC 所成角的大小。

18.如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1=2,





⑴求证:平面 AB1C⊥平面 BB1C;

⑵求点 B 到平面 AB1C 的距离。

19. 如图 1,已知 ABCD 是上.下底边长分别为 2 和 6,高为 轴 OO1 折成直二面角,如图 2.

的等腰梯形,将它沿对称

(Ⅰ)证明:AC⊥BO1;

(Ⅱ)求二面角 O-AC-O1 的大小.

20.如图,△ABC 和△DBC 所在平面互相垂直,且 AB=BC=BD,∠ABC=∠DBC=120?,

求:⑴A、D 连线和平面 DBC 所成的角;⑵二面角 A—BD—C 的正切值。

21. 如图,在五面体 ABCDEF 中,点 O 是矩形 ABCD 的对角线的交点,面 CDE 是等边三

角形,棱



(1)证明 FO//平面 CDE;

(2)设

,证明 EO⊥平面 CDF。

22.(本小题满分 12 分)

如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的中点,

(I)求证:

平面 BCD;

(II)求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小;

(III)求点 E 到平面 ACD 的距离。

参考答案
一、选择题

DBCDD

CCCAC

CB

12.提示:BD1⊥平面 AB1C,EF⊥平面 AB1C

二、填空题

13.60? 14.7

15.

16.. 。

三、解答题 17.

解法一:

(1)∵ABCD-A1B1C1D1 是正四棱柱

∴CC1⊥平面 ABCD

∴BD⊥CC1

∴ABCD 是正方形,

∴BD⊥AC

又∵AC,CC1

平面 ACC1A1,且 AC∩CC1=C,

∴BD⊥平面 ACC1A1

(II)设 BD 与 AC 相交于 O,连接 C1O。

∵CC1⊥平面 ABCD、BD⊥AC。∴BD⊥C1O∴∠C1OC 是二面角 C1-BD-C 的平面角

∴∠C1OC=60°

连接 A1B∵A1C1∥AC∴∠A1C1B 是 BC1 与 AC 所成角.



BC=a,



CO=

在 △ A1BC1 中 , 由 余 弦 定 理 得

∴异面直线 BC1 与 AC 所成角的大小为 arccos

解法二:(I)建立空间直角坐标系 D-xyz,如图。

设 AD=a,DD1=b,则有 D(0,0,0) ,A(a,0,0) ,B(a,a,0) ,

C(0,a,0) ,C1(0,a,b) ,

∴BD⊥AC,BD⊥CC1

又∵AC,CC1

平面 ACC1A1,且 AC∩CC1=C,

∴BD⊥平面 ACC1A1。

(II) 设 BD 与 AC 相交于 O, 连接 C1O, 则点 O 坐标为

)

∴BD⊥C1O,又 BD⊥CO, ∴∠C1OC=60°



∴异面直线 BC1 与 AC 所成角的大小为

18.⑴由已知条件立即可证得,

⑵在平面 BB1C 内作 BD⊥B1C 于 D,由⑴得 BD⊥面 AB1C,

∴BD 为 B 到面 AB1C 的距离,∴

(本题也可用体积转换)

19. .解法一(I)证明 由题设知 OA⊥OO1,OB⊥OO1.

所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角,

即 OA⊥OB. 故可以 O 为原点,OA、OB、OO1

所在直线分别为 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,

如图 3,则相关各点的坐标是 A(3,0,0) ,B(0,3,0) ,C(0,1, ).

)O1(0,0,

从而

所以 AC⊥BO1.

(II)解:因为

所以 BO1⊥OC,

由(I)AC⊥BO1,所以 BO1⊥平面 OAC,

是平面 OAC 的一个法向量.



是 0 平面 O1AC 的一个法向量,





.

设二面角 O—AC—O1 的大小为 ,由 、

的方向可知



>,

所以 cos



>=

即二面角 O—AC—O1 的大小是

解法二(I)证明 由题设知 OA⊥OO1,OB⊥OO1,所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面 角,即 OA⊥OB. 从而 AO⊥平面 OBCO1,OC 是 AC 在面 OBCO1 内的射影.

因为



所以∠OO1B=60°,∠O1OC=30°,从而 OC⊥BO1

由三垂线定理得 AC⊥BO1.

(II)解 由(I)AC⊥BO1,OC⊥BO1,知 BO1⊥平面 AOC.

设 OC∩O1B=E, 过点 E 作 EF⊥AC 于 F, 连结 O1F (如图 4) , 则 EF 是 O1F 在平面 AOC

内的射影,由三垂线定理得 O1F⊥AC.

所以∠O1FE 是二面角 O—AC—O1 的平面角.

由题设知 OA=3,OO1=

,O1C=1,

所以



从而



又 O1E=OO1·sin30°=



⑴显然可得 MN∥平面 ABC,∵平面 MNC

平面 ABC= ,∴MN∥

⑵∵PC⊥平面 ABC,∴平面 PAC⊥平面 ABC,作 MQ⊥AC,则 MQ⊥平面 ABC,

作 QD⊥ 于 D,则 MD⊥ ,MD 的长即为 M 到 的距离

在 Rt△ACB 中,可求得

,又

,∠QCD=30?,





,于是

20.⑴作 AO⊥BC 交 BC 的延长线于 O,∵面 ABC⊥面 BCD,∴OA⊥面 BCD,连 OD,则 ∠ADO 就是 AD 与平面 BCD 所成的角,可求得∠ADO=45?

⑵作 OE⊥BD 于 E,连 AE,则 BD⊥AE,

∴∠AEO 就是二面角 A-BD-C 的平面角的补角,

∵∠ABO=60?,∴



,∵∠EBO=60?,∴

在 Rt△AOE 中,

,∴二面角 A-BD-C 的正切值为-2

21. (1)证明:取 CD 中点 M,连结 OM,在矩形 ABCD 中

,又

,则

。连结 EM,

于是四边形 EFOM 为平行四边形

∴ FO//EM

又 ∵ FO

平面 CDE,且 EM

平面 CDE,∴ FO//平面 CDE

(2)证明:连结 FM,由(1)和已知条件,在等边

中,CM=DM,EM⊥CD 且

。因此平行四边形 EFOM 为菱形,从而 EO⊥FM

∵ CD⊥OM,CD⊥EM

∴ CD⊥平面 EOM,从而 CD⊥EO

而 FM

CD=M,所以

平面 CDF

22(I)证明:连结 OC



中,由已知可得





平面

(II) 解: 取 AC 的中点 M, 连结 OM、 ME、 OE, 由 E 为 BC 的中点知

直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角



中,

是直角

斜边 AC 上的中线,

异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为

(III)解:设点 E 到平面 ACD 的距离为



中,



点 E 到平面 ACD 的距离为

2007-09-10 人教网 《2.1 点、直线、平面之间的位置关系》测试题

一、选择题 1.(2011 四川) , , 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( A. ⊥ , ⊥ ? ∥ B. ⊥ , ∥ ? ⊥ ).

C. ∥ ∥ ? , , 共面 D. , , 共点? , , 共面 考查目的:考查空间中直线与直线的位置关系及有关性质. 答案:B. 解析:在空间中,垂直于同一直线的两条直线有可能相交或异面,故 A 错;两平行线中 的一条垂直于第三条直线,则另一条也垂直于第三条直线,B 正确;相互平行的三条直线不

一定共面,如三棱柱的三条侧棱,故 C 错;共点的三条直线不一定共面,如三棱锥的三条侧 棱,故 D 错. 2.若三个平面两两相交,有三条交线,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成 ). A.5 部分 B.6 部分 C.7 部分 D.8 部分 考查目的:考查空间平面的位置关系和空间想象能力. 答案:C.

(

解析:如图所示,三个平面 , , 两两相交,交线分别是 , , ,且 ∥ ∥ . 观察图形,可得 , , 把空间分成 7 部分. 3.(2010 重庆文)到两条互相垂直的异面直线的距离相等的点( ). A.只有 1 个 B.恰有 3 个 C.恰有 4 个 D.有无穷多个

考查目的:考查异面直线的概念、性质和空间想象能力. 答案:D. 解析:可以将异面直线放在正方体中研究,显然,线段 、EF、FG、GH、HE 的中点 到两垂直异面直线 AB、CD 的距离都相等,所以排除 A、B、C,选 D.也可以在四条侧棱上找 到四个点到两垂直异面直线 AB、CD 的距离相等. 二、填空题 4.(2010 江西改编)过正方体 的顶点 A 作直线 , 使 与棱 AB, AD, 成的角都相等,这样的直线 可以作_______. A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 考查目的:考查空间直线所成的角概念与求法. 答案:8. 所

解析:如图,连结体对角线 的正切值都为 的角都相等,∵ ∥

,显然

与棱 AB、AD, ,则

所成的角都相等,所成角 与棱 BC、BA、 、 所成 、 所成的角都相等,同

.联想正方体的其他体对角线,如连结 ,BC∥AD,∴体对角线

与棱 AB、AD、

理,体对角线 、 也与棱 AB、AD、 所成的角都相等,过 A 点分别作 的平行线都满足题意,故这样的直线 可以作 4 条.

5.正方体 中,P、Q、R 分别是 AB、AD、 的中点,那么,正方体的过 P、Q、R 的截面图形是 . 考查目的:考查空间几何的公理3,判断空间点线的共面关系. 答案:六边形. 解析:如图,作 RG∥PQ 交 于 G,连接 QP 并延长与 CB 交于 M,连接 MR 交 于 E, 连接 PE、RE 为截面的部分外形.同理连 PQ 并延长交 CD 于 N,连接 NG 交 FG,∴截面为六边形 PQFGRE. 于 F,连接 QF,

6.(2012 安徽文 ) 若四面体 的三组对棱分别相等,即 ,则____________(写出所有正确结论编号). ①四面体 每组对棱相互垂直 ②四面体 每个面的面积相等





③从四面体 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于 而小于 ④连接四面体 每组对棱中点的线段互垂直平分 ⑤从四面体 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 考查目的:考查空间直线与直线的位置关系. 答案:②④⑤. 解析:①连接四面体 每组对棱中点构成菱形;②四面体 每个面是全等三角 形,面积相等; ③从四面体 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于 ; ④连接 四面体 每组对棱中点构成菱形,菱形对角线垂直平分;⑤连结四面体 棱 的中点 可得 ,该三角形三边分别等于 长度的一 半. 三、解答题 7.正方体 ⑴E,C, ⑵CE, 中,E、F 分别是 AB 和 ,F 四点共面; ,DA 三线共点. 的中点.求证:

考查目的:考查空间几何公理,会证明共线、共面问题. 解析:⑴如图,连接 EF, ∥ ,∴EF∥ ⑵∵EF∥ ∴CE、 , EF< , .∵E、F 分别是 AB、 、F 四点共面. 必相交.设交点为 P, 则由 P∈CE, CE?平面 ABCD, =DA,∴P∈直线 DA, .又∵平面 ABCD∩平面 的中点,∴EF∥ .又∵ ,∴E、C、

, ∴CE 与

得 P∈平面 ABCD.同理 P∈平面 、DA 三线共点.

8.A 是△BCD 平面外的一点,E,F 分别是 BC,AD 的中点. ⑴求证:直线 EF 与 BD 是异面直线; ⑵若 AC⊥BD,AC=BD,求 EF 与 BD 所成的角.

考查目的:考查异面直线的判定,求异面直线所成角的基本方法. 答案:⑴略;⑵ . 解析:⑴假设 EF 与 BD 不是异面直线,则 EF 与 BD 共面,从而 DF 与 BE 共面,即 AD 与 BC 共面,所以 A、B、C、D 在同一平面内,这与 A 是△BCD 平面外的一点相矛盾,故直线 EF 与 BD 是异面直线. ⑵如图,设 G 为 CD 的中点,连接 EG、FG,则 EG∥BD,所以相交直线 EF 与 EG 所成的 , 即等于异面直线 EF 与 BD 所成的角.同理 即为异面直线 AC 和 BD 所成的角,又∵AC⊥BD,∴
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为直角,在 Rt△EGF 中,由 EG=FG= AC,求得∠FEG= .

,即异面直线 EF 与 BD 所成的角为

《2.2 直线、平面平行的判定及其性质》测试题

一、选择题 1.下面命题中正确的是( ). ①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行; ②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行; ③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行; ④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行,则这两个平面平行. A.①③ B.②④ C.②③④ D.③④ 考查目的:考查平面与平面平行的判定. 答案:D. 解析:①②中两个平面可以相交,③是两个平面平行的定义,④是两个平面平行的判定 定理. 2.(2011 浙江)若直线 不平行于平面 ,且 ,则( ). A. 内的所有直线与 异面 B. 内不存在与 平行的直线 C. 内存在唯一的直线与 平行 D. 内的直线与 都相交 考查目的:考查直线与平面的位置关系. 答案:B. 解析:如图,在 内存在直线与 相交,所以 A 不正确;若 内存在直线与 平行,又 ∵ ,则 ∥ ,与题设相矛盾,∴B 正确,C 不正确;在 内不过 与 交点的直线与 异面,D 不正确.

3.(2012 全国理)已知正四棱柱 则直线 与平面 BED 的距离为( ). A.2 B. C. D.1 考查目的:考查直线与平面平行的性质. 答案:D. 解析:连结 且 离, 过C做 , ∴ , 交于点 ∥平面 于 , 则 ,连结 , 即直线 ,∵

中 , AB=2,

, E为

的中点,



的中点,∴



与平面 BED 的距离等于点 C 到平面 BED 的距 , ∴ , .

即为所求距离. ∵底面边长为 2, 高为

,利用等积法得

二、填空题 4.平面 ∥平面 , , ,则直线 , 的位置关系是________. 考查目的:考查平面与平面平行的性质. 答案:平行或异面. 解析:直线 与直线 没有公共点,所以直线 与 平行或异面. 5. 在正方体 ________. 中, E 是 的中点,则 与平面 ACE 的位置关系为

考查目的:考查直线与平面平行的判定. 答案:平行. 解析:如图,连接 AC、BD 交于 O 点,连结 OE,∵OE∥ 面 ACE,∴ ∥平面 ACE. 中,AB=2,点 E 为 AD 的中点,点 F 在 ,而 OE?平面 ACE, BD 平

6.(2011 福建文)如图,正方体 CD 上,若 EF∥平面

,则线段 EF 的长度等于_____________.

考查目的:考查直线与平面平行的性质. 答案: . ,由线面平行 的中位线, 解析:∵ ∥平面 , 平面 ,平面 平面 的性质定理,得 .又∵E 为 AD 的中点,∴F 是 CD 的中点,即 EF 为 ∴ .又∵正方体 . 三、解答题 7.(2011 天津改编)如图, 在四棱锥 中点, 为 的中点.求证: . 的棱长为 2,∴ ,∴

中, 底面

为平行四边形, 为



考查目的:考查直线与平面平行的判定. 解析:连接 , .在平行四边形 又∵ 为 的中点, ∴ .∵ 平面

中,∵ ,



的中点,∴ ?平面 , ∴



的中点. .

8.如图,在三棱柱 求证:

中,E,F,G,H 分别是 AB,AC,



的中点,

⑴B,C,H,G 四点共面;⑵平面 ∥平面 BCHG. 考查目的:考查平面与平面平行的判定. 答案:(略). 解析:⑴∵GH 是 的中位线,∴GH∥ .又∵ ∥BC,∴GH∥BC,∴B,C,H, G 四点共面. ⑵∵E、F 分别为 AB、AC 的中点,∴EF∥BC.∵EF 平面 BCHG,BC?平面 BCHG,∴EF∥平 面 BCHG.∵ =EB 且 ∥EB, ∴四边形 ∥平面 BCHG.∵ 是平行四边形, ∴ EF=E,∴平面 ∥GB.∵ ∥平面 BCHG. 平面

BCHG,GB?平面 BCHG,∴
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《2.3 直线、平面垂直的判定及其性质(1)》测试题

一、选择题 1.(2010 湖北文)用 , , 表示三条不同的直线, 表示平面,给出下列命题:

①若 ∥ , ∥ ,则 ∥ ;

②若 ⊥ , ⊥ ,则 ⊥ ;

③若 ∥ , ∥ ,则 ∥ ; ④若 ⊥ , ⊥ ,则 ∥ . 其中真命题的序号是( ). A.①② B.②③ C.①④ D.③④ 考查目的:考查空间直线与直线、直线与平面的平行和垂直的转化关系. 答案:C. 解析:由公理 4 知①是真命题.在空间内, ⊥ , ⊥ ,直线 , 的关系不确定, 故②是假命题. 由 ∥ , ∥ ,不能判定 , 的关系,故③是假命题.④是直线与平面垂直的性质定理. 2.(2011 浙江理)下列命题中错误的是( A.如果平面 B.如果平面 C.如果平面 ⊥平面 ,那么平面 不垂直于平面 ⊥平面 ,平面 ,那么平面 ⊥平面 , ). 内一定不存在直线垂直于平面 ,那么 ⊥平面

内一定存在直线平行于平面

D.如果平面 ⊥平面 ,那么平面 内所有直线都垂直于平面 考查目的:本题考查空间平面与平面垂直的性质. 答案:D. 解析:如果平面 ⊥平面 ,那么平面 内垂直于交线的直线都垂直于平面 ,其它 与交线不垂直的直线均不与平面 垂直,故 D 项叙述是错误的.

(

3.(2011 北京理 ) 某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中最大的是 ). A.8 B. C.10 D.

考查目的:考查直线与平面垂直的判定,和空间想象能力. 答案:C. 解析:该四面体的直观图,如图, , ,PA=4,AB=4,BC=3,该四 , 面体的四个面都是直角三角形,四个面的面积分别为 ,故最大面积为 10. 二、填空题 4.(2007 四川理)如图,在正三棱柱 为 1,则 与侧面 所成的角是 . 中,侧棱长为 ,底面三角形的边长

考查目的:考查直线和平面所成角的求法. 答案: 解析: 作 , . 于点 ,∴ , 则 为 ,∴ 与侧面 . , ⊥ ,给出下面四个命题: ∥ ; ⊥ . 所成的角, 在直角 中,

5.(2007 江苏理改编)已知两条直线 ① ∥ , ⊥ ⊥ ; ② ; ④ . ③ ∥ , ∥ ∥ 其中正确命题的序号是

, ,两个平面 ∥ ∥ , , , ∥ ,

考查目的:考查空间直线与平面的垂直和平行关系的判定. 答案:①④. 解析:①,④可由直线和平面垂直的定义和性质推证,根据②中的条件可得 或异面,③中 有可能在 内. 6.(2012 辽宁理)已知正三棱锥 ,点 P,A,B,C 都在半径为 PA,PB,PC 两两互相垂直,则球心到截面 ABC 的距离为________. 考查目的:考查空间几何体中直线与平面的位置关系.

与 平行

的球面上,若

答案: . 解析:∵在正三棱锥 中,PA,PB,PC 两两互相垂直,∴可以把该正三棱锥看作 为一个正方体的一部分(如图),此正方体内接于球,正方体的体对角线为球的直径,球心为 正方体对角线的中点.球心到截面 ABC 的距离为球的半径减去正三棱锥 在面 ABC 上 的高.已知球的半径为 为 ,∴正方体的棱长为 2,可求得正三棱锥 . 在面 ABC 上的高

,∴球心到截面 ABC 的距离为 三、解答题

7.(2011 天津改编)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠ADC= AD=AC=1,O 为 AC 的中点,PO⊥平面 ABCD. 证明:AD⊥平面 PAC.



考查目的:考查直线和平面垂直的判定. 答案:(略). 解析:∵∠ADC= ,且 AD=AC=1,∴∠DAC= ,即 AD⊥AC. 又∵PO⊥平面 ABCD,AD?平面 ABCD,∴PO⊥AD,而 AC∩PO=O,∴AD⊥平面 PAC.

8.(2011 江苏)如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 平面 PAD⊥平面 ABCD, AB=AD,∠BAD= , E,F 分别是 AP,AD 的中点.求证: ⑴直线 EF∥平面 PCD;⑵平面 BEF⊥平面 PAD. 考查目的:考查直线与平面,平面与平面的垂直关系间的联系与转化. 解析:⑴在△PAD 中,∵E,F 分别为 AP,AD 的中点,∴EF∥PD.又∵EF 平面 PCD,PD? 平面 PCD,∴直线 EF∥平面 PCD. ⑵如图,连结 BD. ∵AB=AD,∠BAD= ,∴△ABD 为正三角形. ∵F 是 AD 的中点, ∴BF⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,BF?平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,∴BF⊥平面 PAD.又∵BF?平面 BEF,∴平面 BEF⊥平面 PAD.

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《2.3 直线、平面垂直的判定及其性质(2)》测试题

一、选择题 1.(2010 山东)在空间中,下列命题正确的是( ). A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 考查目的:考查空间直线与平面的位置关系,直线与平面垂直、平行的判定和性质. 答案:D. 解析:选项 A,平行直线的平行投影可以依然是两条平行直线;选项 B,两个相交平面 的交线与某一条直线平行,则这条直线平行于这两个平面;选项 C,两个相交平面可以同时 垂直于同一个平面;选项 D 正确. 2.(2012 浙江文)设 是直线, A.若 ∥ , ∥ ,则 ∥ , 是两个不同的平面,则下列结论正确的是( B.若 ∥ , ⊥ ,则 ⊥ ,则 ⊥ ).

C.若 ⊥ , ⊥ ,则 ⊥ D.若 ⊥ , ∥ 考查目的:考查直线与平面平行、垂直的判定和性质. 答案:B. 解析: 利用排除法可得选项 B 是正确的, 选项 A: 当 ∥ 选项 C:若 . 3.(2010 全国 2 文)已知三棱锥 垂直于底面 , ,那么直线 A. B. ⊥ , ⊥ ,则 ∥ 或 ;选项 D:若 ⊥

,∥

时, ⊥







, ⊥

,则 ∥

或 ⊥

中,底面 为边长等于 2 的等边三角形, 与平面 所成角的正弦值为( ). C. D.

考查目的:考查直线与平面、平面与平面的位置关系,会求直线与平面所成的角. 答案:D. 解析: 过 A 作 AE 垂直于 BC 交 BC 于 E, 连结 SE, 过 A 作 AF 垂直于 SE 交 SE 于 F, 连 BF, ∵正三角形 ABC,∴ E 为 BC 中点,∵BC⊥AE,SA⊥BC,∴BC⊥面 SAE,∴BC⊥AF,AF⊥SE, ∴AF⊥面 SBC,∵∠ABF 为直线 AB 与面 SBC 所成角,由正三角形边长 3,∴ ∴ , ,∴ . ,AS=3,

二、填空题 4.(2010 辽宁理)如图, 网格纸的小正方形的边长是 1, 在其上用粗线画出了某多面体的 三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为______.

考查目的:考查直线与平面垂直的判定. 答案: . 解析: 由三视图可知, 此多面体是一个底面边长为 2 的正方形且有一条长为 2 的侧棱垂 直于底面的四棱锥,所以最长棱长为 5.(2010 四川)如图,二面角 角为 ,则 与平面 的大小是 . ,线段 . . , 与 所成的

所成的角的正弦值是

考查目的:考查直线和平面所成角的概念和求法. 答案: 则 平面 . 的垂线,垂足为 C,在 内过 C 作 的垂线.垂足为 D.连结 AD, .又由已知得, ∠ABD= , CD=1, , , , AD⊥ , 故∠ADC 为二面角 与平面 . 的平面角为

解析:过点 A 作平面

连结 CB, 则∠ABC 为 ∴

所成的角.设 AD=2, 则



6.(2012 上海理)如图, 与 是四面体 中互相垂直的棱, , 若 ,其中 , 为常数,则四面体 的体积的最大值是

, .

考查目的: 考查直线与直线、 直线与平面垂直关系, 会根据几何体特点进行合理的计算. 答案: . 解析:过点 A 做 AE⊥BC,垂足为 E,连接 DE,由 AD⊥BC 可知,BC⊥平面 ADE,所以 . 又 ∵ , ∴ 当 时, 四面体 ABCD 的体积最大.过 E 做 EF⊥DA, 垂足为点 F, 已知 EA=ED, ∴ △ ADE 为 等 腰 三 角 形 , ∴ 点 E 为 AD 的 中 点 . 又 ∵ ,∴ 大值 . ,∴ ,∴四面体 ABCD 体积的最

三、解答题 7.(2011 天津改编)如图,在四棱锥 , ,O 为 AC 中点, AM 与平面 ABCD 所成角的正切值.

中,底面 ⊥平面

为平行四边形, ,PO=2,M 为 PD 中点,求直线

考查目的:考查直线和平面所成角的概念及其求法. 答案: . .由 中,

解析:取 DO 中点 N,连接 MN,AN.∵M 为 PD 的中点,∴MN∥PO,且 PO⊥平面 ABCD, 得 MN⊥平面 ABCD, ∴ 是直线 AM 与平面 ABCD 所成的角.在



,∴

,∴

.在

中,

.即直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值为 8.(2010 辽宁文)如图,棱柱 的侧面 是菱形,

. .

⑴证明:平面

平面



⑵设 是 上的点,且 平面 ,求 的值. 考查目的:考查空间直线、平面之间的平行、垂直关系的证明,以及二面角的求法. 答案:C. 解析: ⑴∵侧面 平面 ⑵设 ,∴ .∵ 交 平面 .又∵E 是 是菱形, ∴ ,∴平面 .又∵ 平面 . 与平面 的中点,∴ 的交线. ∵ . ∥平面 , 且 , ∴

于点 E, 连结 DE, 则 DE 是平面 的中点,∴以 D 为

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第二章《点、直线、平面之间的位置关系》测试题(一)

一、选择题 1.(2010 全国 1 文)在直三棱柱 ,则异面直线 A. 与 B. 所成的角等于( C. (侧面都是矩形的棱柱)中,若 ). D. 的性质,异面直线所成的角的求法. , 则 为平行四边形, . 就是异面直线 ,

考查目的:考查直三棱柱 答案:C. 解析: 延长 CA 到 D, 使得 与 所成的角,又∵三角形

为等边三角形,∴ ). B.若 ∥ , ∥ ,

2.在空间中,下列命题正确的是( A.若 ∥ , ∥ ,则 ∥



,则



C.若 ∥ , ∥ ,则 ∥ D.若 ∥ , 考查目的:考查直线与平面、平面与平面平行的判定. 答案:D.

,则 ∥

解析:若 ∥ 理知,B 错误;若

, ∥ ,则 ∥ ∥ , ∥

或 或

,故 A 错误;由平面与平面平行的判定定 ,故 C 错误. 表示两个不同的平面,则下列命题不正

,则 ∥

3.设 , , 表示三条不同的直线, 确的是( ). A. B.



C. D. 考查目的:考查直线与平面平行、垂直的转化. 答案:D. 解析:由 ∥ , ⊥ 可得, 与 的位置关系有: ∥ D 不正确. 4.(2010 宁夏海南)如图, 正方体 F,且 ,则下列结论中错误的是( ).



, 与

相交,∴

的棱长为 1, 线段

上有两个动点 E,

A. B.三棱锥 的体积为定值 C. D.异面直线 所成的角为定值 考查目的:考查空间直线、平面之间平行和垂直关系综合应用的能力. 答案:D. 解析:A 正确,易证 显然正确,∵ ,∴ ,从而 ;D 错误. ;B 正确,可用等积法求得;C

5.(2012 重庆理)设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 长为 的棱异面,则 的取值范围是( ).

和 ,且长为 的棱与

A. B. C. D. 考查目的:考查空间直线与直线之间的位置关系,以及有关计算的能力. 答案:A. 解析:如图所示的四面体 ,设 为 中点,在 中,

,则



.

6.如图,平面 ⊥平面 ,A∈ ,B∈ 过 A、B 分别作两平面交线的垂线,垂足为

,AB 与两平面 、 ,则

, 所成的角分别为 ( ).





A.2∶1 B.3∶1 C.3∶2 D.4∶3 考查目的:考查直线与平面所成的角,以及二面角概念的综合运用. 答案:A. 解析: 在平面 ⊥平面 求线段 内, 过 作 , 即为 . 和平面 且 和平面 , 连结 和 , 因为平面 和 ,所以 和 和 的长,再解 所成的角,先解

二、填空题 7.如图,已知 PA⊥平面 ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为________.

考查目的:考查直线与直线、直线与平面垂直关系的判定. 答案:4. 解析:由直线与平面垂直关系可知,图中直角三角形共有 4 个. 8.(2007 湖北理)平面 和 与 ,给出下列四个命题: ① ⊥ ⊥ ; ② ⊥ ⊥ ; ③ 与 相交 与 相交或重合; ④ 平行 与 平行或重合. 其中不正确的命题是 . 考查目的:考查空间两条直线的位置关系. 答案:①②③④. 解析:①如图 相交 均不正确. ⊥ ,但 与 不垂直;② 与 ⊥ ⊥ 或 与 重合;③ 与 与 相交或重合或异面;④ 平行 与 平行或异面,所以四个命题 外有两条直线 和 ,如果 和 在平面 内的射影分别是

9.(2010 全国 1 文)在正方体 中, 与平面 ________. 考查目的:考查正方体的性质、直线与平面所成的角的求法. 答案: 解析:∵ DO⊥平面 . ∥ ,∴ 与平面 所成的角和 ,即 , 与平面 所成角为 ,则 与平面

所成角的余弦值为

所成的角相等.设

,由等体积法得 .设 ,则 ,记 .

, ,∴



10.(2009 浙江理)如图,在长方形 线段 (端点除外)上一动点. 现将 内过点 作 , 为垂足.设

沿

中, , , 为 折起, 使平面 平面 ,则 的取值范围是

的中点, . 在平面 .



考查目的:考查直线与平面的位置关系,以及二面角概念的综合应用. 答案: . 解析: 当 F 位于 DC 的中点时, ∴ ∴
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; 随着点 F 移动到与点 C 重合时, ∵ , ,∴ .又∵

, ,

, ,

平面 ,∴
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,∴

.对于

,因此 的取值范围是

第二章《点、直线、平面之间的位置关系》测试题(二)

三、解答题 11.(2012 上海理改编)如图,在四棱锥 的高, 是 的中点,已知 ,

中,底面 ,

是矩形, ,求:

是四棱锥

⑴四棱锥 ⑵异面直线



的体积; 所成的角的大小.

考查目的:考查异面直线所成角的概念及其求法. 答案:⑴ ,⑵ .

解析: ⑴根据题意四棱锥 的体积 .⑵取 PB 的中点 F, 连 接 EF,AF,则 EF∥BC,∴∠AEF(或其补角)是异面直线 BC 与 AE 所成的角.连结 AC.在直角 △AEF 中, ,∴ .在△AEF 中, , , .

AE=2,∴△AEF 是等腰直角三角形,∴∠AEF=

,∴异面直线 BC 与 AE 所成的角大小为

12.(2011 湖南文)如图,在圆锥 PO 中,已知 且 ,D 为 AC 的中点.

,⊙O 的直径 AB=2,点 C 在

上,

⑴证明:AC 平面 POD; ⑵求直线 OC 和平面 PAC 所成角的正弦值. 考查目的: 考查直线与平面垂直的判定, 直线与平面所成角的计算, 以及空间想象能力. 答案:⑴略,⑵ .

解析:⑴∵OA=OC,D 是 AC 的中点,∴AC⊥OD.又∵PO⊥底面⊙O, 底面⊙O,∴AC ⊥OD.PO 是平面 POD 内的两条相交直线,∴AC⊥平面 POD. ⑵由⑴知,AC⊥平面 POD.又∵ ,∴平面 POD⊥平面 PAC.在平面 POD 中, 过 O 作 OH⊥PD 于点 H, 则 OH⊥平面 PAC.连结 CH, 则 CH 是 OC 在平面 PAC 上的射影, ∴∠OCH

是直线 OC 和平面 PAC 所成的角.在 中, .

中,

; 在

13.(2010 陕西文)如图, 在四棱锥 P—ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, PA⊥平面 ABCD, AP=AB, BP=BC=2,E,F 分别是 PB,PC 的中点. ⑴证明:EF∥平面 PAD; ⑵求三棱锥 E—ABC 的体积 V.

考查目的:考查直线与平面平行的判定,以及三棱锥的体积计算. 答案:⑴略;⑵ . 解析:⑴在△PBC 中,E,F 分别是 PB,PC 的中点,∴EF∥BC.又∵BC∥AD,∴EF∥AD, ∵AD 平面 PAD,EF 平面 PAD,∴EF∥平面 PAD. ⑵连接 AE,AC,EC,过 E 作 EG∥PA 交 AB 于点 G,则 BG⊥平面 ABCD,且 △PAB 中, AD=AB, ∴ , BP=2, ∴ . , .∴ .在 ,

14.(2010 四川理)已知正方体 的棱长为 1,点 M 是棱 是对角线 的中点. ⑴求证:OM 为异面直线 和 的公垂线; ⑵求二面角 的正切值.

的中点,点 O

考查目的:考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体等基础知识,空间想象能 力和逻辑推理能力. 答案:⑴略;⑵ .

解析:⑴连结 AC,取 AC 中点 K,则 K 为 BD 的中点,连结 OK.∵M 是棱 是 由 的中点,∴ ⊥AK, 得 MO⊥ ,∴ .∵AK⊥BD, AK⊥ . , ∴AK⊥平面 , ∴AK⊥

的中点,点 O

, ∴MO⊥

.

又∵OM 与异面直线 和 都相交 , ∴OM 为异面直线 和 的公垂线. ⑵取 中点 N,连结 MN,则 MN⊥平面 .过点 N 作 NH⊥ 垂线定理得 ⊥ MH , 从 而 , ∠ MHN 为 二 面 角 .在 Rt△MNH 中, ∴二面角 的正切值大小为 .

于 H,连结 MH,则由三 的 平 面 角 .MN=1 , ,

15.(2012 湖南理)如图,在四棱锥 , , 是 的中点.

中,

⊥平面







⑴证明:CD⊥平面 PAE; ⑵若直线 与平面 成的角和 与平面 所成的角相等, 求四棱锥 的体积. 考查目的:考查直线与平面垂直的判定,直线和平面所成角的运用,体积计算以及综合 运用立体几何知识解决问题的能力. 答案:⑴略;⑵ . , ⊥平面 , . ,得 ,∴ .又∵ .而 ,E是 是平面

解析:⑴连接 ,由 的中点,∴ .∵ 内的两条相交直线,∴

⑵过点 作 ⊥平面 , ∴ 知, 为直线

,分别与 为直线 与平面

相交于 ,连接 与平面 所成的角, 且 所成的角 . ,

.由⑴ ⊥平面 知, .由 , . 由题意知,

.∵ ∥BC. 又∵BG∥CD,∴四边形 中, .又∵梯形 为
2013-03-06 人教网

,∴ 是平行四边形,∴ ,∴ 的面积为

.由 ,∴ .在

知,AD

,于是 ,∴四棱锥 的体积

.

《1.1 空间几何体的结构》测试题

一、选择题: 1.下左图是由右侧哪个平面图形旋转得到的( ).

考查目的:考查旋转体的概念、简单组合体的特征. 答案:A. 解析:几何体是圆台上加了个圆锥,分别由直角梯形和直角三角形旋转而得. 2.下列说法正确的是( ).

A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 D.棱台各侧棱的延长线交于一点 考查目的:考查棱柱、棱锥和棱台的概念和几何特征. 答案:D.

解析: 棱台也有两个面平行,其余各面都是四边形, 所以排除 A; 又根据下图排除 B,C; 只有 D 符合棱台的定义.

3.(2011 广东文)正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为 它的对角线,那么一个正五棱柱对角线的条数共有( A.20 B.15 C.12 D.10 ).

考查目的:考查空间想象能力及体对角线的概念. 答案:D. 解析:选上底面内的每个顶点,与下底面内不在同一侧面内的两个顶点的连线,可构成 正五棱柱的对角线,所以共 10 条. 二、填空题 4.轴截面是等边三角形的圆锥,它的侧面展开图的圆心角等于 考查目的:考查圆锥的结构,圆锥展开图与圆锥相应量的关系. 答案: . 解析:设圆锥的底面半径为 R,则母线长为 2R,所以展开所得的扇形半径为 2R,弧长 为 ,所以圆心角为 . 5.已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球, 某学生画出四个过球心的平面截球与正三 棱锥所得的图形,如下图所示界面图形正确的是 . .

考查目的:考查组合体的特征和组合体的截面图形. 答案:⑴⑵⑶.

解析:因为正三棱锥与球面只有四个公共点,即四个顶点,过正三棱锥的任意三个顶点 所做的平面不可能过球心. 6.在长方体 面爬到 点的最短距离是 中,AB=5,BC=4, . ,则一只小虫从 A 点沿长方体的表

考查目的:考查长方体的结构特征,长方体展开图的特征. 答案: . , 和 中连结 ,求 点的最

解析:将长方体展开成为平面图形,在矩形 得对角线 短距离是 长分别为 . , 和

,所以小虫从 A 点沿长方体的表面爬到

三、解答题: 7.根据下列对于几何结构特征的描述,说出几何体的名称: ⑴由 7 个面围成,其中两个面是互相平行且全等的五边形,其他面都是全等的矩形; ⑵一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转 ⑶一个等腰直角三角形绕着底边上所在的直线旋转 考查目的:考查简单几何体的概念. 答案:⑴五棱柱;⑵圆锥;⑶两个底面重合的全等圆锥. 解析:根据多面体和旋转体的概念可得. 8.若一个几何体有两个面平行,且其余各面均为梯形,则它一定是棱台,此命题是否正 确,说明理由. 考查目的:考查棱台的概念,台体与椎体的关系. 形成的封闭曲面所围成的图形; 形成的封闭曲面所围成的图形.

答案:不一定,如图所示的多面体的侧棱延长线没有交与一点. 解析:棱台是由平行与棱锥底面的平面截成的.

2013-02-26

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《1.2 空间几何体的三视图和直观图》测试题

一、选择题 1.利用斜二测画法叙述正确的是( A.正三角形的直观图是正三角形 C.矩形的直观图是矩形 ). B.平行四边形的直观图是平行四边形 D.圆的直观图一定是圆

考查目的:考查几种常见平面图形的直观图. 答案:B. 解析: 由于在斜二测画法中平面图形在直角坐标系变换为斜坐标系, 原图形的横纵线段 比例发生了改变,正三角形变成了斜三角形,矩形变成了平行四边形,圆变成了椭圆. 2.(2011 浙江文)若某几何体的三视图如图所示, 则这个几何体的直观图可以是( ).

考查目的:能将三视图还原为直观图. 答案:B. 解析:由正视图可排除 A,C,由侧视图可判断该该几何体的直观图是 B. 3.(2011 全国课标卷)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的 侧视图可以为( )

考查目的:考查几何体与三视图的互化能力. 答案:D. 解析: 由正视图和俯视图可以推测几何体为半圆锥和三棱锥的组合体(如下图所示), 且 顶点在底面的射影恰是底面半圆的圆心,可知侧视图为等腰三角形,且轮廓线为实线,故选 D.

二、填空题: 4.一个三角形在其直观图中对应一个边长为 1 正三角形,原三角形的面积为 考查目的:考查平面图形的直观图变换为直观图横纵线段长度的变化关系. .

答案:

.

解析: 利用坐标系的转化关系将直观图中的正三角形还原为原三角形, 这个三角形的高 是 ,底边不变是1,所以面积为 5.如图,E、F 分别为正方体的面 方体的面上的射影可能是 . . 、面 的中心,则四边形 在该正

考查目的:考查正投影与空间想象能力.

答案:②③. 解析:正视、俯视得②,侧视得③. 6.(2011 山东理)下图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三棱 柱,其正(主)视图、俯视图如右图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图;③存在 圆柱,其正(主)视图、俯视图如右图,其中真命题的个数是 .

考查目的:考查由三视图部分图形推测几何体的能力. 答案:3. 解析: 只需①底面是等腰直角三角形的直三棱柱, 让其直角三角形直角边对应的一个侧 面平卧;②正四棱柱平躺.;③圆柱平躺即可使得三个命题为真. 三、解答题: 7.(2010 江西理改编)如图,在三棱锥 且 积依次为 , ,分别经过三条棱 , ,判断 , , , , 中,三条棱 , , 两两垂直,

作一个截面平分三棱锥的体积,截面面

的大小关系.

考查目的:考查对立体图形的割补转化的能力. 答案: .

解析:通过补形,借助长方体验证结论.特殊化,可令边长为 1,2,3,通过比较长方 体对角面的面积,可得 .

8.根据给出的空间几何体的三视图,用斜二侧画法画出它的直观图.

考查目的:考查斜二测画法画圆台的直观图. 答案:如图. 解析:画法:⑴画轴:如下图,画 轴、 轴、 轴 ,三轴相交于点 O,使 . ⑵画圆台的两底面: 画出底面⊙O.假设交 轴于 A、 B 两点, 在 轴上截取 于三视图中相应高度,过 面⊙ ,设⊙ 交 轴于 、 作 、 的平行线 两点. , 的平行线 ,利用 与 , 使 等 ,

画出底

⑶成图:连接 图所表示的直观图.

,去掉辅助线,将被遮挡的部分要改为虚线,即得到给出三视

2013-02-26

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《1.3 空间几何体的表面积和体积》测试题

一、选择题 1.(2010 福建文)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于 ( ).

A.

B.2

C.

D.6

考查目的:考查立体几何中的三视图,识图的能力、空间想象能力等基本能力. 答案:D. 解析:由正视图知:三棱柱是以底面边长为 2 ,高为 1 的正三棱柱,∴底面积为 ,侧面积为 . ,它的三视图中

2.(2011 辽宁文)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为 的俯视图如图所示,左视图是一个矩形,则这个矩形的面积是( ).

A.4

B.

C.2

D.

考查目的:考查立体几何中的三视图与几何体的转换以及相应线段的转化关系. 答案:B. 解析:由俯视图知该正三棱柱的直观图为下图,其中 M,N 是中点,矩形 图. 为左视

设棱长为 ,∵体积为 矩形 面积为 .

,∴

,解得

,∴

,∴

3.(2011 湖南文)如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为(

).

A.

B.

C.

D.

考查目的:考查组合体体积的求解. 答案:D. 解析:由三视图知这个几何体由上面是一个直径为 3 的球,下面是一个长、宽都为 3, 高为 2 的长方体所构成的几何体,其体积

. 二、填空题 4.(2012 上海文)一个高为 2 的圆柱,底面周长为 ,该圆柱的表面积为 .

考查目的:考查圆柱的表面积. 答案: . ,∴圆柱的底面半径 . ,∴圆柱的侧面积为 ,两

解析:∵底面圆的周长 个底面积为

,∴圆柱的表面积为

5.(2009 浙 江 ) 若 某 几 何 体 的 三 视 图 ( 单 位 : 是 .

)如图所示,则此几何体的体积

考查目的:考查根据三视图求几何体体积. 答案:18. 解析:该几何体是由二个长方体组成,下面体积为 ,因此其几何体的体积为 18. 6.(2011 安徽)一个空间几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积为 . ,上面的长方体体积为

考查目的:考查根据三视图求几何体表面积.. 答案: .

解析:由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱(如图所示), ∴该直四棱柱的表面积为 三、解答题: 7.(2011 湖北改编) 设球的表面积为 体积为 ,求 , . ,体积为 ,它的内接正方体的表面积为 , .

考查目的:考查球和正方体的表面积和体积计算,比较球和其内接正方体的表面积、体 积之间的关系.

答案:



.

解析:设球的半径为

,则



.设正方体的边长为 ,则



.又∵ .

,∴



,即



8.已知:一个圆锥的底面半径为

,高为

,在其中有一个高为 的内接圆柱.

⑴求圆柱的侧面积; ⑵ 为何值时,圆柱的侧面积最大. 考查目的:考查几何体的侧面积的计算,考查对组合体的分析能力,空间想象能力及推 理运算能力.

答案:⑴

;⑵

.

解析: ⑴设内接圆柱底面半径为 , ②代入①得

, ∵ ;

, ∴

.


2013-02-26 人教网 1.2.3 直线与平面的位置关系

,∴当

时,

.

重难点:了解直线与平面的位置关系,在判定和证明直线与平面的位置关系时,除了能熟练 运用判定定理和性质定理外, 还要充分利用定义; 线面关系的判定和证明, 要注意线线关系、 线面关系的转化. 经典例题:直角 ABC 所在平面外一点 S,且 SA=SB=SC. 面 ABC;

⑴求证:点 S 与斜边中点 D 的 连线 SD

⑵若直角边 BA=BC,求证:BD

面 SAC.

当堂练习: 1.下面命题正确的是 ( ) A.若直线与平面不相交,则这条直线与这个平面没有公共点 B.若直线与平面不相交,则这条直线与这个平面内的任何一条直线没有公共点 C.若一条直线与一个平面有公共点,直线与这相交 D.直线在平面外,则直线与平面相交或平行 2.直线 b 是平面 外的一条直线,下列条件中可得出 b|| 的是( ) A.b 与 内的一条直线不相交 B.b 与 内的两条直线不相交 C.b 与 内的无数条直线不相交 D.b 与 内的所有直线不相交 3.下列命题正确的个数是( ) ①若直线 上有无数个点不在平面 内, 则 ; ②若直线 与平面 平行, 则 与平面

内有任意一条直线都平行; ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行 , 那么另 一条直线也与这个平面平行; ④若直线 与平面 平行, 则 与平面 内的任意一条直线都 没有公共点. A.0 个 B. 1 个 C. 2 个 D.3 个 4.下无命题中正确的是( ) ①过一点, 一定存在和两条异面直线都平行的平面; ②垂直于同一条直线的一条直线和一个 平面平行; ③若两条直线没有公共点 , 则过其中一条直线一定有一个平面与另一条直线平 行. A. ① B. ③ C. ①③ D. ①②③ 5.直线 a,b 是异面直线,A 是不在 a,b 上的点,则下列结论成立的是( ) A. 过 A 有且只有一个平面平行于 a,b B. 过 A 至少有一个平面平行于 a,b C. 过 A 有无数个平面平行于 a,b D. 过 A 且平行于 a,b 的平面可能不存在 6. 直线 a,b 是异面直线,则下列结论成立的是( ) A. 过不在 a,b 上的任意一点,可作一个平面与 a,b 平行 B. 过不在 a,b 上的任意一点,可作一条直线与 a,b 相交 C. 过不在 a,b 上的任意一点,可作一条直线与 a,b 都平行 D. 过 a 可以并且只可以作一个平面与 b 平行 7.下面条件中, 能判定直线 的一个是( )

A. 与平面 内的两条直线垂直 B. 与平面 内的无数条直线垂直 C. 与平面 内的某一条直线垂直 D. 与平面 内的任意一条直线垂直 8.空间四边形 ABCD 中, AC=AD, BC=BD, 则 AB 与 CD 所成的角为( ) A. 300 B. 450 C. 600 D. 900 9.如果直线 与平面 不垂直, 那么在平面 内( ) A. 不存在与 垂直的直线 B. 存在一条与 垂直的直线 C. 存在无数条与 垂直的直线 D. 任意一条都与 垂直 10.定点 P 不在 ABC 所在平面内, 过 P 作平面 , 使 ABC 的三个顶点到平面 的距离 相等, 这样的平面共有( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 11. ABC 所在平面外一点 P, 分别连结 PA、PB、PC, 则这四个三角形中直角三角形最多 有( ) A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 12.下列四个命题:①过平面外一点存在无数条直线和这个平面垂直;②若一条直线和平面 内的无数多条直线垂直, 则这条直线和平面垂直; ③仅当一条直线和平面内两条相交直线垂 直且过交点时这条直线才和平面垂直; ④若一条直线平行于一个平面, 则和这条直线垂直的 直线必和这个平面垂直. 其中正确的个数是( ) A.0 B. 1 C. 2 D. 3 13.如图,在正方形 SG1G2G3 中,E,F 分别是 G1G2,G2G3 的中点,D 是 EF 的中点, 现沿 SE,SF 及 EF 把这个正方形折成一个几何体,使 G1,G2,G3 三点重合于点 G,这样, 下列五个结论:(1)SG EF 平面 GSD;(5)GD 平面 EFG;(2)SD 平面 EFG;(3)GF ) 平面 SEF;(4)

平面 SEF. 正确的是( B.(2)和(5) D.(2)和(4)

A.(1)和(3) C.(1)和(4)

14.若直线 a 与平面

内的无数条直线平行, 则 a 与

的关系为_____________.

15.在空间四边形 ABCD 中,

,若

, 则 MN 与平面 BDC 的位置关

系是__________________. 16. ABC 的三个顶点 A、B、C 到平面 的距离分别为 2cm、3cm、4cm ,且它们在平面 的同一侧, 则 ABC 的重心到平面 的距离为________________.

17.若空间一点 P 到两两垂直的射线 OA、OB、OC 的距离分别为 a、b、c,则 OP 的值为 ______________. 18.已知四面体 ABCD 中,M,N 分别是 求证:(1)BD||平面 CMN;(2)MN||平面 ABD. 的重心,

19.如图,空间四边形 ABCD 被一平面所截,截面 EFGH 是一个矩形, (1)求证:CD||平面 EFGH; (2)求异面直线 AB,CD 所成的角.

20. M, N, P 分别为空间四边形 ABCD 的边 AB, BC, CD 上的点, 且 AM: MB=CN: NB=CP: PD. 求证:(1)AC||平面 MNP,BD||平面 MNP; (2)平面 MNP 与平面 ACD 的交线||AC.

21. 如图 O 是正方体下底面 ABCD 中心,B1H?D1O,H 为垂足. 求证:B1H 平面 AD1C.

参考答案: 经典例题:证明:(1)

(2) 当堂练习: 1.D; 2.D; 3.B; 4.B; 5.D; 6.D; 7.D; 8.D; 9.C; 10.D; 11.D; 12.A; 13.C; 14. a||



; 15. MN||

平面 BDC; 16. 3cm; 17.

;

18. 连接 AM, AN, 并延长分别交 BC, CD 于点 E, F, 连接 EF, 由 M, N 分别是

的重心, 得 E, F 分别是 BC, CD 的中点, 则 EF||BD, 易证得 BD||平面 CMN; 由



得 MN||EF,可证 MN||平面 ABD. 19. (1)由四边形 EFGH 是矩形可得,EF||GH,可证得 EF||平面 BCD,又因 CD 是过 EF 的平面 ACD 与平面 BCD 的交线,则 EF||CD,所以 CD||平面 EFGH. (2)由 CD||平面 EFGH,可证得 CD||GH;同理可证 AB||GF; FGH 就是异面直线 AB, CD 所成的角(或补角),因为 EFGH 是矩形,所以 FGH=900,则异面直线 AB,CD 所 成的角为 900.

20. 证明:(1) 平面 MNP.

AC||平面 MNP,

BD||

(2) 21. 再找一条与 B1H 垂直的直线 AC, 证 AC 平面 AD1C.

,即平面 MNP 与平面 ACD 的交线||AC. 平面 BB1D1D 即可, 又 AC?OD1=O, 因此 B1H

2010-12-10

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1.2.4 平面与平面的位置关系

重难点:了解直线与平面的位置关系,在判定和证明直线与平面的位置关系时,除了能熟练 运用判定定理和性质定理外, 还要充分利用定义; 线面关系的判定和证明, 要注意线线关系、 线面关系的转化. 经典例题:如图,在四面体 S-ABC 中, SA⊥底面 ABC,AB⊥BC.DE 垂直平分 SC, 且分别交 AC、 SC 于 D、 E. 又 SA=AB,SB=BC.求以 BD 为棱, 以 BDE 与 BDC 为面的二面角的度数.

当堂练习: 1.下列命题中正确的命题是( ) ①平行于同一直线的两平面平行; ②平行于同一平面的两平面平行; ③垂直于同一直线的两平面平行; ④与同一直线成等角的两平面平行. A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和③和④ 2. 设直线 ,m,平面 A. C. ,且 ,且 D. ,下列条件能得出 B. ,且 的是( ) ,且

3. 命题:①与三角形两边平行的平面平行于是三角形的第三边; ②与三角形两边垂直的直 线垂直于第三边;③与三角形三顶点等距离的平面平行这三角形所在平面. 其中假命题的 个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 4.已知 a,b 是异面直线,且 a 平面 ,b 平面 ,则 与 的关系是( )

A. 相交 B. 重合 C. 平行 D. 不能确定 5.下列四个命题:①分别在两个平面内的两直线平行;②若两个平面平行,则其中一个平 面内的任何一条直线必平行于另一平面;③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,

则这两个平面平行; ④如果一个平面内的任何一条直线都平行另一个平面,则这两个平面 平行. 其中正确命题是( ) A. ①、② B. ②、④ C. ①、③ D. ②、③ 6. 设平面 ,A ,C 是 AB 的中点,当 A、B 分别在 内运动时,那么

所有的动点 C ( ) A. 不共面 B.当且仅当 A、B 分别在两条直线上移动时才 共面 C. 当且仅当 A、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面 D. 不论 A、B 如何移 动,都共面 7. 是两个相交平面,a ,a 与 b 之间的距离为 d1, 与 之间的距离为 d2, D.d1 d2

则( ) A.d1=d2 B.d1>d2 C.d1<d2 8.下列命题正确的是( ) A. 过平面外一点作与这个平面垂直的平面是唯一的 B. 过直线外一点作这条直线的垂线是唯一的 C. 过平面外的一条斜线作与这个平面垂直的平面是唯一的 D. 过直线外一点作与这条直线平行的平面是唯一的 9.对于直线 m、n 和平面α 、β , 下列能判断α ⊥β 的一个条件是( A. C. B. D. 平面β ,有下面四个命题: ① 其中正确的两个命题是( C.②与④ D.①与③



10.已知直线 l⊥平面α ,直线 m ② A.①与② 11.设 ③ B.③与④ ④



是直二面角,直线

且 a 不与 垂直,b 不与 垂直,则(



A. a 与 b 可能垂直,但不可能平行 B. a 与 b 可能垂直也可能平行 C. a 与 b 不可能垂直,但可能平行 D. a 与 b 不可能垂直,也不可能平行 12. 如果直线 、 m 与平面α 、 β 、 γ 满足: =β ∩γ , //α ,m α 和 m⊥γ 那么必有 ( ) A.α ⊥γ 且 ⊥m B.α ⊥γ 且 m∥β C. m∥β 且 ⊥m D.α ∥β 且α ⊥γ

13.如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界 上运动,并且总是保持 AP⊥BD1,则动点 P 的轨迹是( )

A.线段 B1C

B.线段 BC1

C.BB1 中点与 CC1 中点连成的线段 D.BC 中点与 B1C1 中点连成的线段 14.平面 , ABC 和 A/B/C/分别在平面 和平面 内, 若对应顶点的

连线共点,则这两个三角形_______________. 15.夹在两个平行平面间的两条线段 AB、CD 交于点 O,已知 AO=4,BO=2,CD=9,则线 段 CO、DO 的长分别为_________________. 16.把直角三角形 ABC 沿斜边上的高 CD 折成直二面角 A-CD-B 后, 互相垂直的平面有 ______对. 17. 是两两垂直的三个平面, 它们交于点 O, 空间一点 P 到平面 的距离分别是

2cm , 3cm , 6cm , 则点 P 到点 O 的距离为__________________. 18.已知 a 和 b 是两条异面直线,求证过 a 而平行于 b 的平面 必与过 b 而平行于 a 的平面 平行.

19. 如图,平面 段 BF 分别交

,线段 AB 分别交

于 M、N,线段 AD 分别交 =78.求

于 C、D,线 END 的面积.

于 F、E,若 AM=9,MN=11,NB=15,S

20.如图,AB 是圆 O 的直径,PA 垂直于圆 O 所在的平面,C 是圆周上不同于 A、B 的任意一 点. 求证:平面 PAC 垂直于平面 PBC.

21.如果两个相交平面都和第三个平面垂直,那么它们的交线也和第三个平面垂直.

参考答案: 经典例题:由于 SB=BC,且 E 是 SC 的中点,因此 BE 是等腰三角形 SBC 的底边 SC 的中线, 所以 SC⊥BE. 又已知 SC⊥DE,BE∩DE=E, ∴SC⊥面 BDE, ∴SC⊥BD. 又∵SA⊥底面 ABC,BD 在底面 ABC 上, ∴SA⊥BD. 而 SC∩SA=S, ∴BD⊥面 SAC. ∵DE=面 SAC∩面 BDE, DC=面 SAC∩面 BDC, ∴BD⊥DE,BD⊥DC. ∴∠EDC 是所求的二面角的平面角. ∵SA⊥底面 ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC. 设 SA=a, 则 AB=a , BC=SB= tan 又因为 AB⊥BC,所以 AC= 在 中,

∴∠ACS=30°.又已知 DE⊥SC,所以∠EDC=60°,即所求的二面角等

于 600. 当堂练习: 1.B; 2.C; 3.B; 4.D; 5.B; 6.D; 7.D; 8.C; 9.C; 10.D; 11.C; 12.A; 13.A; 14. 相似; 15. 6、 3; 16. 3; 17. 7cm; 18.过 a 作平面 M 交 19. 解 : 于 c,则 a||c,则 c|| ,又 b|| ,b、c 是相交直线(否则 a||b),所以 .

, 平 面 AND 分 别 与

交 于 MC 、 ND ,

MC||ND , 同 理 MF||NE ,

=

=





,BN=15,BM=15+11=26,AN=9+11=20,AM=9,

S

=100.

20. 证明: 设圆 O 所在平面为α . 由已知条件,PA⊥平面α , 又 BC 在平面α 内, 因此 PA⊥ BC. 因此∠BCA 是直角, 因此 BC⊥AC. 而 PA 与 AC 是△PAC 所在平面内的相交直线, 因此 BC ⊥△PAC 所在平面. 从而证得△PBC 所在平面与△PAC 所在平面垂直. 21. 已知: . 求证:

证法一(同一法):在 上取点 P 作 又 而 与 垂直, ,

证法二:设

分别在

内作

且 a,b 都过所在平面内 外一点, 又 又

证法三:设

在 内取一点 P,

并在 内过点 P 分别作 m、n 的垂线 a、b, 又
2010-12-10 人教网

1.2 点、线、面之间的位置关系

考纲要求:①理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和 定理. ◆公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,这条直线上所有的点在此平面内. ◆公理 2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. ◆公理 3: 如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线. ◆公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. ◆定理:空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补. ②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关 性质与判定. 理解以下判定定理. ◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.

◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行. ◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直. ◆如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直. 理解以下性质定理,并能够证明. ◆如果一条直线与一个平面平行, 经过该直线的任一个平面与此平面相交, 那么这条直线就 和交线平行. ◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行. ◆垂直于同一个平面的两条直线平行. ◆如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线于另一个平面垂直. ③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题. 1.2.1 平面的基本性质 重难点:理解平面的概念及表示,掌握平面的基本性质并注意他们的条件、结论、作用、图 形语言及符号语言. 经典例题: 如图,设 E,F,G,H,P,Q 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 所在棱上的中点,求证:E,F,G,H,P,Q 共面.

当堂练习: 1. 下面给出四个命题: ①一个平面长 4m, 宽 2m; ②2 个平面重叠在一起比一个平面厚; ③ 一个平面的面积是 25m2; ④一条直线的长度比一个平面的长度大, 其中正确命题的个数是 ( ) A. 0 B.1 C.2 D.3 2.若点 N 在直线 a 上,直线 a 又在平面 内,则点 N,直线 a 与平面 之间的关系可记作 ( ) A.N B.N C.N D.N 3. 空间不共线的四点,可以确定平面的个数为( ) A.0 B.1 C.1 或 4 D. 无法确定 4. 空间 四点 A,B,C,D 共面但不共线,则下面结论成立的是( ) A. 四点中必有三点共线 B. 四点中必有三点不共线 C.AB,BC,CD,DA 四条直线中总有两条平行 D. 直线 AB 与 CD 必相交 5. 空间不重合的三个平面可以把空间分成( ) A. 4 或 6 或 7 个部分 B. 4 或 6 或 7 或 8 个部分 C. 4 或 7 或 8 个部分 D. 6 或 7 或 8 个部分 6.下列说法正确的是( ) ①一条直线上有一个点在平面内, 则这条直线上所有的点在这平面内; ②一条直线上有两点 在一个平面内, 则这条直线在这个平面内; ③若线段 AB , 则线段 AB 延长线上的任何一 点一点必在平面 内; ④一条射线上有两点在一个平面内 , 则这条射线上所有的点都在这 个平面内.

A. ①②③ B. ②③④ C. ③④ D. ②③ 7.空间三条直线交于同一点,它们确定平面的个数为 n,则 n 的可能取值为( A. 1 B.1 或 3 C.1 或 2 或 3 D.1 或 4 8.如果 那么下列关系成立的是( )



A. B. C. D. 9.空间中交于一点的四条直线最多可确定平面的个数为( ) A.7 个 B.6 个 C. 5 个 D.4 个 10.两个平面重合的条件是它们的公共部分有( ) A.两个公共点 B.三个公共点 C.四个公共点 D.两条平行直线 11.一条直线和直线外的三点所能确定的平面的个数是( ) A. 1 或 3 个 B.1 或 4 个 C.1 个、3 个或 4 个 D. 1 个、2 个或 4 个 12.三条直线两两相交,可以确定平面的个数是( ) A.1 个 B.1 个或 2 个 C.1 个或 3 个 D.3 个 13. 空间四边形 ABCD 各边 AB、 BC、 CD、 DA 上分别取 E、 F、 G、 H 四点, 如果 EF GH=P, 则点 P( ) A.一定在直线 BD 上 B.一定在直线 AC 上 C.在直线 AC 或 BD 上 D.不在直线 AC 上 也不在直线 BD 上 14.设平面 与平面 交于直线 , 直线 ,直线 CB、CD , 直线 , , 则 M_______ .

15.直线 AB、AD

,点 E AB,点 F BC,点 G CD,点 H DA,

若直线 HE 直线 FG=M,则点 M 必在直线___________上. 16.如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别 为 AA1、C1D1 的中点,过 D、M、N 三点的平面与直线 A1B1 交于 点 P,则线段 PB1 的长为_______________.

17.如图, 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,对角线 BD1 与过 A1、D、 C1 的平面交于点 M,则 BM:MD1=________________.

18.如图,E、F、G、H 分别是空间四边形 AB、BC、CD、DA 上的点,且 EH 与 FG 交于 点 O. 求证:B、D、O 三点共线.

19.证明梯形是平面图形. 20.已知: 直线 , 且直线 与 a, b, c 都相交. 求证: 直线 共面.

21.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 直线 A1C 交平面 ABC1D1 于点 M , 试作出点 M 的位 置.

参考答案: 经典例题: 证明: 连接 EF, QG, E, F, Q, G 分别是 A1D1, D1C1, A1A, C1C 的中点, EF||A1C1||QG, 同理 FG||EP,设 E,F,G,Q 确定平面 共线的三点 E,F,G,故 ,F,G,E,P 确定平面 ,由于 都经过不

重合,即 E,F,G,P,Q 五点共面,同理可证 E,F,G,

H,Q 五点共面,故 E,F,G,H,P,Q 共面. 当堂练习:

1.A; 2.B; 3.C; 4.B; 5.B; 6.B; 7.B; 8.A; 9.B; 10.D; 11.C; 12.C; 13.A; 14. ; 15. BD; 16. 2:1; 18.证明: E , . 同理可证 O B、D、O 三点共线. , . .

; 17.

,



20.证明: 如图 ,设 与

分别交于 A ,B ,C ,

经过

可确定一个平面 ,同理 B ,则 AB 与 , 即

经过 a, b 可确定一个平面

.

因经过

的平面有且只有一个, 同理 即

为同一平面.

共面.

21.解: 连结 D1B , A1B , CD1, 则 D1B 与 A1C 的交点即为所求作的点 M. 证明: D1B 平面 ABC1D1 , D1B 平面 A1BCD1 , 平面 ABC1D1 平面 A1BCD1= D1B. A1C 平面 ABC1D1=M, M 平面 AB C1D1, M 平面 A1BCD1 , M D1B.故 M 为 D1B 与 A1C 的交点.

2010-12-10

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数学概念、方法、题型、易误点技巧总结——直线、平面、简单多面体(一)

湖南省常德市安乡县第五中学 龚光勇收集整理

1、三个公理和三条推论:

(1)公理 1:一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都 在这个平面内。这是判断直线在平面内的常用方法。

(2)公理 2、如果两个平面有两个公共点,它们有无数个公共点,而且这无 数个公共点都在同一条直线上。 这是判断几点共线(证这几点是两个平面的公共 点)和三条直线共点(证其中两条直线的交点在第三条直线上)的方法之一。

(3)公理 3:经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。推论 1:经过 直线和直线外一点有且只有一个平面。推论 2:经过两条相交直线有且只有一个

平面。推论 3:经过两条平行直线有且只有一个平面。公理 3 和三个推论是确定 平面的依据。比如:

①在空间四点中,三点共线是四点共面的_____条件(答:充分非必要);

②给出命题:①若 A∈l,A∈α ,B∈l ,B∈α ,则 l α ;②若 A∈α , A∈β ,B∈α ,B∈β ,则α ∩β =AB;③若 l α ,A∈l,则 A α ④若 A、 B、C∈α ,A、B、C∈β ,且 A、B、C 不共线,则α 与β 重合。上述命题中,真 命题是_____(答:①②④);

③长方体中 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=8,BC=6,在线段 BD,A1C1 上各有一点 P、Q, 在 PQ 上有一点 M,且 PM=MQ,则 M 点的轨迹图形的面积为_______(答:24)

2、直观图的画法(斜二侧画法规则):在画直观图时,要注意:

(1)使



所确定的平面表示水平平面。

(2)已知图形中平行于 轴和 轴的线段,在直观图中保持长度和平行性不 变,平行于 轴的线段平行性不变,但在直观图中其长度为原来的一半。比如:

①用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形,则原来 图形的形状是( )(答:A)

②已知正

的边长为 ,那么

的平面直观图

的面积为

_____(答:



3、空间直线的位置关系:(1)相交直线――有且只有一个公共点。(2) 平行直线――在同一平面内,没有公共点。(3)异面直线――不在同一平面内, 也没有公共点。比如:

①空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是四边上的中点,则直线 EG 和 FH 的位置关系_____(答:相交);

②给出下列四个命题:①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线;②两 异面直线 如果 ,如果 平行于平面 ,那么 不平行平面 ;③两异面直线 ,

平面

,那么 不垂直于平面

;④两异面直线在同一平面内的射影不

可能是两条平行直线。其中正确的命题是_____(答:①③)

4、异面直线的判定:反证法。 比如:

(1)“a、b为异面直线”是指:①a∩b=Φ ,但a不平行于b;②a 面α ,b 面β 且 a∩b=Φ ;③a 面α ,b 面β 且α ∩β =Φ ;④a 面 α ,b 面α ;⑤不存在平面α ,能使a 面α 且b 面α 成立。上述结论中, 正确的是_____(答:①⑤);

(2)在空间四边形 ABCD 中,M、N 分别是 AB、CD 的中点,设 BC+AD=2a,则 MN 与 a 的大小关系是_____(答:MN<a);

(3)若 E、F、G、H 顺次为空间四边形 ABCD 四条边 AB、BC、CD、DA 的中点, 且 EG=3,FH=4,则 AC2+BD2= _____(答:50);

(4)如果a、b是异面直线,P 是不在a、b上的任意一点,下列四个结论: ①过点 P 一定可以作直线 与a、b都相交; ②过点 P 一定可以作直线 与a、 b都垂直;③过点 P 一定可以作平面α 与a、b都平行; ④过点 P 一定可以作 直线 与a、b都平行。其中正确的结论是_____(答:②);

(5)如果两条异面直线称作一对,那么正方体的十二条棱中异面直线的对 数为_____(答:24);

(6)已知平面 面直线.

求证:b、c 是异

5、异面直线所成角 的求法:(1)范围:

;(2)求法:计算异

面直线所成角的关键是平移(中点平移,顶点平移以及补形法:把空间图形补成 熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,以便易于发现两条 异面直线间的关系)转化为相交两直线的夹角。比如:

(1)正四棱锥

的所有棱长相等, 是

的中点,那么异面直线



所成的角的余弦值等于____(答:

);

(2)在正方体 AC1 中,M 是侧棱 DD1 的中点,O 是底面 ABCD 的中心,P 是棱 A1B1 上的一点,则 OP 与 AM 所成的角的大小为____(答:90°);

(3)已知异面直线 a、b 所成的角为 50°,P 为空间一点,则过 P 且与 a、b 所成的角都是 30°的直线有且仅有____条(答:2);

(4)若异面直线

所成的角为

,且直线

,则异面直线

所成角的

范围是____(答:

);

6、异面直线的距离的概念:和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线 的公垂线。 两条异面直线的公垂线有且只有一条。而和两条异面直线都垂直的直 线有无数条,因为空间中,垂直不一定相交。比如:

(1)ABCD 是矩形,沿对角线 AC 把Δ ADC 折起,使 AD⊥BC,求证:BD 是异 面直线 AD 与 BC 的公垂线;

(2)如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,EF 是异面直线 AC 与 A1D 的公垂线, 则由正方体的八个顶点所连接的直线中,与 EF 平行的直线有____条(答:1);

7、两直线平行的判定:

(1)公理 4:平行于同一直线的两直线互相平行;

(2)线面平行的性质:如果一条直线和一个平面平行,那么经过这条直线 的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行;

(3)面面平行的性质:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它 们的交线平行;

(4)线面垂直的性质:如果两条直线都垂直于同一个平面,那么这两条直 线平行。

8、两直线垂直的判定:(1)转化为证线面垂直;(2)三垂线定理及逆定 理。

9、直线与平面的位置关系:(1)直线在平面内;(2)直线与平面相交。 其中, 如果一条直线和平面内任何一条直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂 直。

注意:任一条直线并不等同于无数条直线;(3)直线与平面平行。其中直 线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外。比如:

(1)下列命题中,正确的是

A、若直线 平行于平面

内的一条直线 b , 则

//

B、若直线 垂直于平面

的斜线 b 在平面

内的射影,则 ⊥b

C、若直线 垂直于平面

,直线 b 是平面

的斜线,则 与 b 是异面直线

D、若一个棱锥的所有侧棱与底面所成的角都相等,且所有侧面与底面所成 的角也相等,则它一定是正棱锥(答:D);

(2)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动,并且总保 持 AP⊥BD1,则动点 P 的轨迹是___________(答:线段 B1C)。

10、直线与平面平行的判定和性质:

(1)判定:①判定定理:如果平面内一条直线和这个平面平面平行,那么 这条直线和这个平面平行;②面面平行的性质:若两个平面平行,则其中一个平 面内的任何直线与另一个平面平行。

(2)性质:如果一条直线和一个平面平行,那么经过这条直线的平面和这 个平面相交的交线和这条直线平行。在遇到线面平行时,常需作出过已知直线且 与已知平面相交的辅助平面,以便运用线面平行的性质。比如:

(1)α 、β 表示平面,a、b 表示直线,则 a∥α 的一个充分不必要条件是

A、α ⊥β ,a⊥β

B、α ∩β =b,且 a∥b

C、a∥b 且 b∥α

D、α ∥β 且 a

β (答:D);

(2)正方体 ABCD-A1B1C1D1中,点 N 在 BD 上,点 M 在 B1C 上,且 CM=DN,求 证:MN∥面 AA1B1B。

11、直线和平面垂直的判定和性质:

(1)判定:①如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这 条直线和这个平面垂直。 ②两条平行线中有一条直线和一个平面垂直,那么另一 条直线也和这个平面垂直。

(2)性质:①如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线和这个平面内 所有直线都垂直。②如果两条直线都垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。 比如:

(1)如果命题“若

∥z,则

”不成立,那么字母 x、y、z 在空

间所表示的几何图形一定是_____(答:x、y 是直线,z 是平面);

(2)已知 a,b,c 是直线,α 、β 是平面,下列条件中能得出直线 a⊥平面 α 的是

A、a⊥b,a⊥c其中b

α ,c

α

B、a⊥b ,b∥α

C、α ⊥β ,a∥β

D、a∥b,b⊥α (答:D);

(3)AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上的一点,AD⊥面 ABC,AE⊥BD 于 E,AF⊥ CD 于 F,求证:BD⊥平面 AEF。

12、三垂线定理及逆定理:

(1)定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂 直,那么它也和这条斜线垂直。

(2)逆定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线,那么 它也和这条斜线在平面内的射影垂直。 其作用是证两直线异面垂直和作二面角的 平面角。

13、直线和平面所成的角:

(1)定义:平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫这条直线 和这个平面所成的角。

(2)范围:



(3)求法:作出直线在平面上的射影;(4)斜线与平面所成的角的特征: 斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。比如:

(1)在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知 AB=1,D 在棱 BB1 上,BD=1,则 AD 与平

面 AA1C1C 所成的角为______(答:arcsin

);

(2)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB、C1D1 的中点,则棱 A1B1 与截 面 A1ECF 所成的角的余弦值是______(答: );

(3)

是从点

引出的三条射线,每两条的夹角都是

,则直线

与平面

所成角的余弦值为______(答:

);

(4) 若一平面与正方体的十二条棱所在直线都成相等的角θ ,则 sinθ 的值 为______(答: )。

14、平面与平面的位置关系:(1)平行――没有公共点;(2)相交――有 一条公共直线。

15、两个平面平行的判定和性质:

(1)判定:一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行,则这两个 平面平行。

(2)性质:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平 行。比如:

(1) 是 A、 是

是两个不重合的平面,在下列条件中,不能判定平面

的条件

内一个三角形的两条边,且

B、

内有不共线的三点到

的距离都相等

C、

都垂直于同一条直线

D、

是两条异面直线,

,且

(答:B);

(2)给出以下六个命题:①垂直于同一直线的两个平面平行;②平行于同 一直线的两个平面平行; ③平行于同一平面的两个平面平行;④与同一直线成等 角的两个平面平行; ⑤一个平面内的两条相交直线于另一个平面内的两条相交直 线平行, 则这两个平面平行; ⑥两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线 平行,则这两个平面平行。其中正确的序号是___________(答:①③⑤);

(3)正方体 ABCD-A1B1C1D1中 AB= 。①求证:平面 AD1B1∥平面 C1DB;②求

证:A1C⊥平面 AD1B1 ;③求平面 AD1B1 与平面 C1DB 间的距离(答:

);

16、二面角:

(1)平面角的三要素:①顶点在棱上;②角的两边分别在两个半平面内; ③角的两边与棱都垂直。

(2)作平面角的主要方法:①定义法:直接在二面角的棱上取一点(特殊 点),分别在两个半平面内作棱的垂线,得出平面角,用定义法时,要认真观察 图形的特性;②三垂线法:过其中一个面内一点作另一个面的垂线,用三垂线定 理或逆定理作出二面角的平面角;③垂面法:过一点作棱的垂面,则垂面与两个 半平面的交线所成的角即为平面角;

(3)二面角的范围:



(4)二面角的求法:①转化为求平面角;②面积射影法:利用面积射影公 式 ,其中 为平面角的大小。对于一类没有给出棱的二面角,应先

延伸两个半平面,使之相交出现棱,然后再选用上述方法(尤其可考虑面积射影 法)。比如:

(1) 正方形 ABCD-A1B1C1D1 中, 二面角 B-A1C-A 的大小为________ (答:

) ;

(2)将∠A 为 60°的棱形 ABCD 沿对角线 BD 折叠,使 A、C 的距离等于 BD, 则二面角 A-BD-C 的余弦值是______(答: );

(3)正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中对角线 BD1=8,BD1 与侧面 B1BCC1 所成的为

30°,则二面角 C1—BD1—B1 的大小为______(答:

);

(4)从点 P 出发引三条射线 PA、PB、PC,每两条的夹角都是 60°,则二面 角 B-PA-C 的余弦值是______(答: );

(5)二面角α - -β 的平面角为 120°,A、B∈ ,AC BD⊥ ,若 AB=AC=BD=1,则 CD 的长______(答:2);

α ,BD

β ,AC⊥ ,

(6)ABCD 为菱形,∠DAB=60°,PD⊥面 ABCD,且 PD=AD,则面 PAB 与面

PCD 所成的锐二面角的大小为______(答:

)。

17、两个平面垂直的判定和性质:

(1)判定:①判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么 这两个平面互相垂直。②定义法:即证两个相交平面所成的二面角为直二面角;

(2)性质:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线 垂直于另一个平面。比如:

(1)三个平面两两垂直,它们的交线交于一点 O,P 到三个面的距离分别为 3、4、5,则 OP 的长为_____(答:5);

(2)在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,底面各边都相等,M 是 PC 上的 一动点,当点 M 满足___________时,平面 MBD⊥平面 PCD(答: );

(3) 过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA、 SB、 SC, 且∠ASB=∠ASC=60°, ∠BSC=90°,求证:平面 ABC⊥平面 BSC。

特别指出:立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的 转化,即:

如(1)已知直线 ;②

平面

,直线 ;③

平面

,给出下列四个命题:① ;④ 。其中正 是两个不同 , 则 。

确的命题是_____(答:①③);(2)设 平面,给出下列四个命题:①若 则 ; ③若 , 则 或

是两条不同直线, 则 ; ④若 ;②若

其中正确的命题是_____(答:①③④)

18、空间距离的求法:(特别强调:立体几何中有关角和距离的计算,要遵 循“一作,二证,三计算”的原则)

(1)异面直线的距离:①直接找公垂线段而求之;②转化为求直线到平面 的距离, 即过其中一条直线作平面和另一条直线平行。③转化为求平面到平面的 距离,即过两直线分别作相互平行的两个平面。

如已知正方体 ABCD- A1B1C1D1 的棱长为 , 则异面直线 BD 与 B1C 的距离为_____

(答:

)。

(2)点到直线的距离:一般用三垂线定理作出垂线再求解。比如:

①等边三角形 起, 使之与

的边长为





边上的高,将 点到

沿



所在平面成

的二面角, 这时

的距离是_____ (答:

);

②点 P 是 120°的二面角α - -β 内的一点,点 P 到α 、β 的距离分别是 3、

4,则 P 到 的距离为

_______(答:

);

③在正方体 ABCD—A1B1C1D1 的侧面 AB1 内有一动点 P 到棱 A1B1 与棱 BC 的距离 相等,则动点 P 所在曲线的形状为_______(答:抛物线弧)。

(3)点到平面的距离:①垂面法:借助于面面垂直的性质来作垂线,其中 过已知点确定已知面的垂面是关键;②体积法:转化为求三棱锥的高;③等价转 移法。比如:

①长方体

的棱

,则点

到平面

的距离等于______(答:

);

②在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是 AA1 的中点,则 A1 到平面 MBD

的距离为______(答:

a)。

(4)直线与平面的距离:前提是直线与平面平行,利用直线上任意一点到 平面的距离都相等,转化为求点到平面的距离。

(5)两平行平面之间的距离:转化为求点到平面的距离。

(6)球面距离(球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度): 求球面上两点 A、B 间的距离的步骤:①计算线段 AB 的长;②计算球心角∠AOB 的弧度数;③用弧长公式计算劣弧 AB 的长。比如:

①设地球半径为

,在北纬

圈上有

两地,它们的纬度圈上的弧长等



,求

两地间的球面距离(答:

);

②球面上有 3 点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 ,经过这 3 点的小圆的周长为 ,那么这个球的半径为______(答: );

③三棱锥

的三个侧面两两垂直,

,若

四个点都在同一球面上, 则此球面上两点 A、 B 之间的球面距离是_________ (答: )。
2007-12-17 人教网

数学概念、方法、题型、易误点技巧总结——直线、平面、简单多面体(二)

湖南省常德市安乡县第五中学 龚光勇收集整理

19、多面体有关概念:

(1)多面体:由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体。围成多面 体的各个多边形叫做多面体的面。多面体的相邻两个面的公共边叫做多面体的 棱。

(2)多面体的对角线:多面体中连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做 多面体的对角线。

(3)凸多面体:把一个多面体的任一个面伸展成平面,如果其余的面都位 于这个平面的同一侧,这样的多面体叫做凸多面体。

20、棱柱:

(1)棱柱的分类:①按侧棱是否与底面垂直分类:分为斜棱柱(侧棱不垂 直于底面)和直棱柱(侧棱垂直于底面),其中底面为正多边形的直棱柱叫正棱 柱。②按底面边数的多少分类:底面分别为三角形,四边形,五边形?,分别称 为三棱柱,四棱柱,五棱柱,?;

(2)棱柱的性质:①棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都相等, 直棱柱的各个侧面都是矩形, 正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。②与底面平行 的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形。 ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截 面都是平行四边形。比如:

①斜三棱柱 A1B1C1-ABC,各棱长为 ,A1B=A1C= ,则侧面 BCC1B1 是____形,

棱柱的高为_____(答:正方;

);

②下列关于四棱柱的四个命题:①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为 直棱柱;②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直棱柱;③若 四个侧面两两全等,则该四棱柱为直棱柱;④若四棱柱的四条对角线两两相等, 则该四棱柱为直棱柱。其中真命题的为_____(答:②④)。

21、平行六面体:

(1)定义:底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体;

(2) 几类特殊的平行六面体: {平行六面体} {正四棱柱} {正方体};

{直平行六面体}

{长方体}

(3)性质:①平行六面体的任何一个面都可以作为底面;②平行六面体的 对角线交于一点, 并且在交点处互相平分;③平行六面体的四条对角线的平方和 等于各棱的平方和; ④长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平 方和。

如长方体三度之和为 a+b+c=6,全面积为 11,则其对角线为_____(答:5)

22、棱锥的性质:如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底 面相似, 截面面积与底面面积的比等于顶点至截面距离与棱锥高的平方比,截得 小棱锥的体积与原来棱锥的体积比等于顶点至截面距离与棱锥高的立方比。

如若一个锥体被平行于底面的平面所截,若截面面积是底面积的 被截面截得的一个小棱锥与原棱锥体积之比为_____(答:1∶8)

,则锥体

23、正棱锥:(1)定义:如果一个棱锥的底面是正多边形,且顶点在底面 的射影是底面的中心,这样的棱锥叫正棱锥。特别地,侧棱与底面边长相等的正 三棱锥叫做正四面体。

如四面体 ②若 与

中,有如下命题:①若 分别是 的中点,则 是四面体

,则 的大小等于异面直线 在面



所成角的大小; ③若点

外接球的球心,则



的射影是

外心;④若四个面是全等的三角形,则

为正四面体。其中

正确的是___(答:①③)

(2)性质:①正棱锥的各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等 腰三角形底边上的高(叫侧高)也相等。②正棱锥的高 、斜高 、斜高在底面

的射影(底面的内切圆的半径 )、侧棱、侧棱在底面的射影(底面的外接圆的 半径 )、底面的半边长可组成四个直角三角形。如图,正棱锥的计算集中在四 个直角三角形中: , ,其中 分别表示

底面边长、侧棱长、侧面与底面所成的角和侧棱与底面所成的角。比如:

①在三棱锥的四个面中,最多有___个面为直角三角形(答:4);

②把四个半径为 R 的小球放在桌面上,使下层三个,上层一个,两两相切,

则上层小球最高处离桌面的距离为________(答:

)。

24、侧面积(各个侧面面积之和):

①棱柱:侧面积 =直截面(与各侧棱都垂直相交的截面)周长×侧棱长, 特别地,直棱柱的侧面积 =底面周长×侧棱长。比如:

(1)长方体的高为 h,底面积为 Q,垂直于底的对角面的面积为 M,则此长 方体的侧面积为______(答: );

②斜三棱柱 ABC- A1B1C1 中,二面角 C-A1A-B 为 120°,侧棱 AA1 于另外两条棱 的距离分别为 7cm、 8cm, AA1=12cm, 则斜三棱柱的侧面积为______ (答: ) ;

③若斜三棱柱的高为 4,侧棱与底面所成的角为 60°,相邻两侧棱之间的距 离都为 5,则该三棱柱的侧面积为______(答:120)。

(2)正棱锥:正棱锥的侧面积 =

×底面周长×斜高。比如:

①已知正四棱锥 P-ABCD 的高为 4,侧棱与底面所成的角为 60°,则该正四

棱锥的侧面积是_______(答:

);

②已知正四面体 ABCD 的表面积为 S,其四个面的中心分别为 E、F、G、H.设 四面体 EFGH 的表面积为 T,则 等于______(答: )。

提醒:全面积(也称表面积)是各个表面面积之和,故棱柱的全面积=侧面 积+2×底面积;棱锥的全面积=侧面积+底面积。

25、体积:

(1)棱柱:体积=底面积×高,或体积

=直截面面积×侧棱长,特别地,

直棱柱的体积=底面积×侧棱长;三棱柱的体积

(其中 为三棱柱一个

侧面的面积, 为与此侧面平行的侧棱到此侧面的距离)。比如:

①设长方体的三条棱长分别为 a、b、c,若长方体所有棱的长度之和为 24, 一条对角线长度为 5,体积为 2,则 等于__(答: );

②斜三棱柱

的底面是边长为 的正三角形,侧棱长为 ,侧棱 ;

AA1 和 AB、 AC 都成 45°的角, 则棱柱的侧面积为___, 体积为___ (答:

)。

(2)棱锥:体积= ×底面积×高。比如:

①已知棱长为 1 的正方体容器 ABCD—A1B1C1D1 中,在 A1B、A1B1、B1C1 的中点 E、 F、G 处各开有一个小孔,若此容器可以任意放置,则装水较多的容积(小孔面 积对容积的影响忽略不计)是_____(答: );

②在正三棱锥 A-BCD 中,E、F 是 AB、BC 的中点,EF⊥DE,若 BC= ,则正三

棱锥 A-BCD 的体积为__(答:

);

③已知正三棱锥

底面边长为

,体积为

,则底面三角形

的中心

到侧面

的距离为___(答:

);

④在平面几何中有:Rt△ABC 的直角边分别为 a,b,斜边上的高为 h,则 。类比这一结论,在三棱锥 P—ABC 中,PA、PB、PC 两点互相垂直,

且 PA=a, PB=b, PC=c, 此三棱锥 P—ABC 的高为 h, 则结论为______________ (答: ).

特别提醒:求多面体体积的常用技巧是割补法(割补成易求体积的多面体。

补形:三棱锥

三棱柱

平行六面体;

分割:三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是 (答:1:2: 3)和等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换)法等。比如:

(1)用平面去截三棱锥

,与三条侧棱交于

三点,若

, 为_____(答:7);

,则多面体

的体积

(2)直三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为

,P、Q 分别是侧棱 AA1、CC1 上的点,

且 AP=C1Q,则四棱锥 B—APQC 的体积为

(答:

);

(3)如图的多面体 ABC-DEFG 中,AB、AC、AD 两两垂直,平面 ABC∥DEFG, 平面 BEF∥ADGC, AB=AD=DG=2, AC=EF=1, 则该多面体的体积为________ (答: 4) 。

26、正多面体:

(1)定义:每个面都是有相同边数的正多边形,每个顶点为端点都有相同 棱数的凸多面体,叫做正多面体。

(2)正多面体的种类:只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、 正二十面体五种。 其中正四面体、 正八面体和正二十面体的每个面都是正三角形, 正六面体的每个面都是正方形,正十二面体的每个面都是正五形边,如下图:

正四面体

正六面体

正八面体 面体

正十二面体

正二十

27、球的截面的性质:用一个平面去截球,截面是圆面;球心和截面圆的距 离 d 与球的半径 R 及截面圆半径 r 之间的关系是 r= 。

提醒:球与球面的区别(球不仅包括球面,还包括其内部)。比如:

(1)在半径为 10 则球心 到平面

的球面上有

三点,如果 );



的距离为______(答:

(2)已知球面上的三点 A、B、C,AB=6,BC=8,AC=10,球的半径为 13,则 球心到平面 ABC 的距离为______(答:12)

28、球的体积和表面积公式:V=

。比如:

(1)在球内有相距 9cm 的两个平行截面,面积分别为 49 cm2、400 cm2, 则球的表面积为______(答: );

(2) 三条侧棱两两垂直且长都为 1 的三棱锥 P-ABC 内接于球 O,求球 O 的表

面积与体积。(答:表面积

,体积

);

(3)已知直平行六面体 长为 2 的线段 动,则 的中点 的一个端点 在

的各条棱长均为 3, 上运动,另一端点 在底面

, 上运

的轨迹(曲面)与共一顶点

的三个面所围成的几何体的体

积为为______(答:

);

29、立体几何问题的求解策略是通过降维,转化为平面几何问题,具体方法 表现为:

(1)求空间角、距离,归到三角形中求解;

(2)对于球的内接外切问题,作适当的截面――既要能反映出位置关系, 又要反映出数量关系。比如:

①甲球与某立方体的各个面都相切,乙球与这个立方体的各条棱都相切,丙 球过这个立方体的所有顶点,则甲、乙、丙三球的半径的平方之比为_____(答: 1∶2∶3);

②若正四面体的棱长为 );

,则此正四面体的外接球的表面积为_____(答:

③已知一个半径为

的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱,则这 );

一正三棱柱的体积是_____(答:

(3)求曲面上两点之间的最短距离,通过化曲为直转化为同一平面上两点 间的距离。

如已知正方体

的棱长为 1, 是

的中点, 是

上的

一点,则

的最小值是_____(答:

);

30、你熟悉下列结论吗?

⑴三个平面两两相交得到三条交线,如果其中的两条交线交于一点,那么第 三条交线也经过这一点;

⑵从一点 O 出发的三条射线 OA、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,则点 A 在平面∠ BOC 上的射影在∠BOC 的平分线上;

⑶AB 和平面所成的角是 BAC= ,则 cos cos =cos

,AC 在平面内,AC 和 AB 的射影 ;



,设∠

⑷如果两个相交平面都与第三个平面垂直,那么它们的交线也垂直于第三个 平面;

⑸若长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 cos2 别为 +cos2

,则

+cos2 =1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分 则 cos2 +cos2 +cos2 =2。比如:

①长方体中若一条对角线与过同一顶点的三个面中的二个面所成的角为 30°、45°,则与第三个面所成的角为____________(答:30°);

②若一条对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 的关系为____________。(答:

,则 )

⑹若正棱锥的侧面与底面所成的角为 ,则



如若正三棱锥的一个侧面的面积与底面面积之比为 和底面所成的二面角等于__(答: )

,则这个三棱锥的侧面

⑺在三棱锥中:①侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等) 顶点在底上射影 为底面外心;②侧棱两两垂直(两对对棱垂直) 顶点在底上射影为底面垂心; ③顶点到底面三角形各边的距离相等(侧面与底面所成角相等)且顶点在底面上 的射影在底面三角形内 顶点在底上射影为底面内心。

提醒:③若顶点在底面上的射影在底面三角形外,则顶点在底上射影为底面 的旁心。

⑻正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长; 正四面体的外接球半 径 R 与内切球半径 r 之比为 R:r=3:1。
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怎样确定小立方体的个数

湖北省阳新县高级中学 邹生书 空间几何体的三视图是高中新课标中新增的重要内容之一, 考纲不仅要求考生能画出简 单空间几何体的三视图, 而且会根据几何体的三视图想象出原几何体的立体模型, 并对原几

何体进行有关面积和体积的计算及图形性质的判断等。 以三视图知识为背景的各种新颖试题 活跃在近几年新课标高考卷或模拟卷上, 已成为一道清新亮丽的风景线。 本文介绍其中一种 新题型及其解法,希望能对大家有所帮助或启发。 例 1 用单位立方体搭成一个几何体,使它的主视图和俯视图如图所示,则它的体积的 最大值和最小值之差为__。

分析 本题和后面例题的共同点是:1、题目中的几何体都是由相同的小正方体组合而 成;2、问题给出了这个几何体的主视图或俯视图或左视图;3、要确定搭成该几何体所需要 小正方体个数等有关问题。 这类问题由于给出的是三视图或部分三视图, 因此它所表示的几 何体具有不确定性,从而这类试题具有一定的开放性、探索性和挑战性,能很好地考查同学 们的空间想象能力和判断能力。笔者在报纸、杂志上见到很多介绍这类题目的文章,但遗憾 的是:只有题目评价和答案,没有解题分析(即使有也实际上被题目评价所取代),没有解 题过程、解法小结以及揭示解题规律等学生最为关注的东西。笔者通过解题发现,这类问题 的解决确实不好进行语言表达, 是不是只可意会不可言传了呢?为了让学生更好地理解和掌 握这类问题的解法, 笔者进行了解法探讨, 下面向大家介绍这类问题的一种行之有效的方法 ——俯视图填数法,以期填补这方面的空白。 解 用俯视图填数法。由主视图知该几何体从左到右共有 3 列每列高度分别为 3、2、1, 据此在俯视图中从西到东每列对应的格子内分别标上数字 3、2、1。格子内的数字表示在这 个位置上立着的小正方体的最多个数。由主视图知,第一列 3 个格子内的数至少有一个 3, 第二列 3 个格子内的数至少有一个 2。又由俯视图知,每个格子内的数最小是 1。 故该几何体最多有 个小立方体,第二列最多可少 个 小立 方 体 。 另 一 方 面, 第一 列 最 多 可 少 个小立方体,故最少有 个单位立方。 个小

立方体。所以这个几何体体积的最大值和最小值之差为

例 2 一个几何体是由若干个相同的正方体组成的,其主视图和左视图相同如图所示, 则组成这个几体的正方体的个数最多有( )

解 用俯视图填数法。 先画一个 3 列,每列高度分别为

的俯视图方格, 由主视图知该几何体从左到右共有

,据此在俯视图下边从西到东每列对应的格子下边分别标上数

字 2、1、2。又由左视图知该几何体从左到右共有 3 列每列高度分别为 2、1、2,据此在俯 视图左侧从北到南每行对应的格子外边分别标上数字 。格子内的数字表示在这个位置

上立着的小正方体的最多个数。 这样每个格子有所在的行和列所标的两个数和它对应, 取其 中最小的一个填入格内。又由主视图知,从西到东,第一列 3 个格子内的数至少有一个 2, 第二列 3 个格子内的数至少有一个 1,第三列 3 个格子内的数至少有一个 2。由左视图知, 从北到南,第一行 3 个格子内的数至少有一个 2,第二行 3 个格子内的数至少有一个 1,第 三行 3 个格子内的数至少有一个 2。 故该几何体最多有 个小立方体。当且仅当某一条对角线上的格子内的

数字分别为 2、1、2,而其余格子数字均为零时,该几何体所需的小正方体的个数最少,最 少个数为 5。 例 3 如图是用小正方体积木搭成的几何的三视图,则搭成这个几体最多需要小正方体 的个数为( )

解 用俯视图填数法。 第一步:由正视图知,该几何体从左到右共有 3 列,每列高度分别为 4、2、3,据此在 俯视图下边从西到东每列下边分别标上数字 4、2、3; 第二步:由左视图知该几何体从左到右共有 3 列,每列高度分别为 2、4、3,据此在俯 视图左侧从北到南每行的格子外边分别标上数字 2、4、3; 第三步:将每个格子所在的行、列所标的两个数中最小的一个填入格内; 第四步:故该几何体最多有 数为 个。故选 。 个小立方块体,最少需要小正方体的个

练习: 1、 用小立方块搭成一个几何体,使它的主视图和俯视图如图所示,搭成这样的几何体 最多需要__个小立方块,最少需要__个小立方块。

2、一个几何体由一些小正方体组成,其主视图和左视图如图所示,则其俯视图不可能 是( )

答案: 1、
2011-07-29

; 2、14,9;
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构建模型解立几问题

广东省吴川市振文中学 柯厚宝

立几问题是考查空间想象能力的主要素材, 但是由于学生的认识水平、 思维水平与平时 训练不得法等原因, 造成了不少同学对立几问题产生了一种画不出、 摸不着、 看不到的感觉. 下面我们从构建几个典型模型入手,突破这一难点.

1 构建正方体模型解题

例 1 关于直线 m、n 与平面

,有下列四个命题:

①若 m//α ,n//β 且α //β ,则 m//n;

②若 m

α ,n//β 且

,则



③若 m

α ,n//β 且α //β ,则



④若 m//α ,n

β 且

,则 m//n..

其中真命题的序号是(



(A)①、②

(B)③、④

(C)①、④

(D)②、③

分析:本题的平行与垂直量较多,可构建正方体模型,将它们置于正方体中进行考虑.

解:构建如图 1 所示的正方体,设 则①不正确;

为平面 EFGH,

为平面 ABCD,m 为 AB,n 为 FG,

设 选 B.

为平面 EFGH,

为平面 FGCB,m 为 AE,n 为 DH,知②不正确,同理知③、④正确,

点评:据题意构建适宜的模型,使得解题更直观、更具操作性.

例 2 用 6 根长度为 1 的铁棍焊接成一个正四面体框架,若忽略铁棍的粗细,则该框架 能够容纳得下的最大球体的半径为 .

分析:直接计算运算量较大,从整体考虑,我们可构建正方体模型进行求解.

解:构建如图 2 所示的正方体,把焊接成的正四面体框架放置于其中,则球心为正方体 的中心,最大球体的半径为正方体中心到对角线 AB 中点的距离,另一方面,由 AB=1,得正

方体的棱长为

,正方体中心到 AB 中点的距离为

,于是最大球体的半径为

.

点评:熟悉基本模型,为寻找立几问题的解题入口及巧解问题提供了基础.

2 构建长方体模型解题

例 3 山坡与水平面成

角,坡面上有一条与山底坡脚的水平线成 )

的直线小路,某

人沿小路上坡走了一段路后升高了 100m,则此人走了(

(A)300m

(B)400m

(C)200m

(D)

m

分析:题中给出了具体的二面角与线线所成的角,可构建长方体模型把关系理清,

进而求解.

解:构建如图 3 所示的长方体,设平面 ABD 为坡面,平面 ABC 为水平面,AD 为小路, AB 为水平线,则 选 B. , ,CD=100m,于是 BD=2CD=200m,AD=2BD=400m,

点评:构建模型,易于我们从整体的高度把握住问题的本质.

例 4 某人做了一个对棱相等的四面体,它们的长度分别为 5、6、7,则这个四面体的体 积等于 .

分析:若按常规思路,这问题的解答很繁.而在长方体中,存在一个对棱相等的四面体, 于是可把它放到长方体中进行求解.

解:构建如图 4 所示的长方体,设 AD=BC=5,AB=CD=6,AC=BD=7,EA=a,EB=b,ED=c,则

,解得









.

点评:若四面体是对棱相等的四面体,则它外接于一个长方体,四面体的体积是外接

长方体体积的

.

3 构建回路向量模型解题

我们称 貌似简单,实熟好用.

为回路向量,变形有

,并可作推广.这结果

例 5 若异面直线 离为 2 和 1 的两点,当

所成的角为

,AB 是公垂线,E,F 分别是异面直线 .

上到 A,B 距

时,线段 AB 的长为

分析:本题有

,于是可构建回路向量求解.

解:如图 5, 由

,得

(1)当

时,有

,得

;

(2)当 .

时,有

,得

.故答案为



点评:构建回路向量求解,避免了繁杂的直线平移与辅助线的添加,使解题一目了然.

4 构建函数模型解题

例 6 请您设计一个帐篷.它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥(如右图所示).试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 O1 的距离为多少时,帐 篷的体积最大?

分析:本题涉及变量与最值问题,可构建函数模型求解.

解:设底面的正六边形的边长为 ,则正六棱锥的高为

,正六边形

的面积为

,则帐篷的体积为

=



,则

,有



,令

,得

(舍去)或

,



时,



为增函数;当

时,



为减函数.

∴当

时,

取得最大值,

也取得最大值,这时

.

答:当 OO1 为 2m 时,帐篷的体积最大.

点评:函数方法是处理变量与定值(最值)的有力工具,构建函数模型,可将问题放到 函数的大环境中进行考虑,使得解题自然流畅.

除以上模型外,还可构建坐标模型解题,由于这方面的探讨在教辅资料中已较为丰富, 这里不再赘述.
2007-04-20 原创作品 探寻解三角形的入手策略

内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹一中 熊明军 解三角形知识一直是高考常考考点, 虽然这一块儿只要运用公式、 正弦定理与余弦定理 便能解决很多问题,但是如何针对试题,灵活、准确、快速地选定相关定理去入手解题,则 是同学们很难把握的。 本文结合具体题目, 初步探寻一些入手策略, 期望对同学们有所帮助。

【正弦定理公式】



【余弦定理公式】





如果将公式、正弦定理、余弦定理看成是几个“方程”的话,那么解三角形的实质就是 把题目中所给的已知条件按方程的思想进行处理, 解题时根据已知量与所求量, 合理选择一 个比较容易解的方程(公式、正弦定理、余弦定理),从而使同学们入手容易,解题简洁。 一、直接运用公式、正弦定理、余弦定理 (1)三角公式

①在

中,已知两角 。

的三角函数值,求第三个角



存在















即 , 要 判 断 。

是 否 有 解 , 只 需

(2)正弦定理

①在

中,已知两角和任意一边,解三角形;

②在

中,已知两边和其中一边对角,解三角形;

(3)余弦定理

①在

中,已知三边,解三角形;

②在

中,已知两边和他们的夹角,解三角形。

直接运用正弦定理、余弦定理的上述情况,是我们常见、常讲、常练的,因此,在这里 就不加赘述,同学们可以自己从教材中找一些题目看一看! 二、间接运用公式、正弦定理、余弦定理 (1)齐次式条件(边或角的正弦) 若题目条件中出现关于角的齐次式或关于边的齐次式, 可以根据角的异同选用公式弦切 互化或正弦定理边角互化; 有些题中没有明显的齐次式, 但经过变形得到齐次式的依然适用。 1.相同角齐次式条件的弦切互化

【例】 在

中, 若



, 求



【解析】无论是条件中的 于一个角的齐次式。 是关于 是关于

,还是 的一次齐次式;

都是关

的二次齐次式。因此,我们将弦化切,再利用三角公式求解。













中,

,且

。代值可得:

①当



时,



②当



时,

(舍去)。

2.不同角(正弦)齐次式条件的边角互化

【例】在 面积。【解析】条件

中,若

,且

,求



是关于不同角正弦的二次齐次式。

因此,我们利用正弦定理将角化为边,然后根据边的关系利用余弦定理求解。





显然这个形式符合余弦定理的公式,因此,可得



又因为 3.不同边齐次式条件的边角互化

,所以



【例】 求 。

的内角

的对边分别为

。已知





【解析】条件 化为角,然后由

是关于不同边的一次齐次式。因此,我们利用正弦定理将边 将不同角转化为同角,利用化一公式求解。



,又



,可得:

,运用化一公式

得 4.边角混合齐次式条件的边角互化 ①边角混合——边为齐次式



【例】

的内角

的对边分别为

,且

,求



【解析】条件

是边角混合——关于不同边的一次齐次式,由于

所求为切的值,所以将边化为角,然后将弦化为切求解。



,又

,则

。 ②边角混合——角(正弦)为齐次式

【 例 】

的 内 角 ,求 。

的 对 边 分 别 为

, 且



【解析】条件

是边角混合——角(正弦)为不同角的一次

齐次式。因此,我们将角的正弦化为边,然后根据等式形式利用余弦定理求解。



,由于

,我们可以得到:

,显然这个形式符合余弦定理公式,

因此,可得

。从而得出



③边角混合——边、角(正弦)都为齐次式

【 例 】

的 内 角 ,求 。

的 对 边 分 别 为

, 且

【解析】条件

是边角混合——边、角(正弦)各为

一次齐次式。因此,我们可以随意边角互化,但是一般将角转化为边求解。





显然这个形式符合余弦定理公式,因此,可得



从而得出



5.非三角形内角正弦但可化为角(正弦)齐次式

【 例 】

的 内 角 ,求证:

的 对 边 分 别 为 的三边成等比数列。

, 且

【解析】条件

显然不是齐次式,并且角也不全是三角

形的内角。因此,首先得把这些角转变为三角形的内角,然后再往齐次式化利用正弦定理求 解。

由 只要将 变换为

, ,题中的条件就变成了关于不同内角正弦的二次齐次式:

。 (2)不同边的平方关系(余弦定理) 若题目条件中出现关于边的平方关系或求边的平方关系,可以选用余弦定理边角互化, 在上面的一些情况中,有利用正弦定理转化出不同边的平方关系,可以作为参考例题。

【例】

的内角

的对边分别为

,且

,求



【解析】 条件 式。

含有不同边的平方关系, 形式显然符合余弦定理公

由 (3)存在消不掉的正弦、余弦值(两定理同时使用,边角互化)



若题目条件中的条件不是上述情况,且始终含有消不去的内角正弦、余弦,可以同时使 用正弦、余弦定理边角互化,要么都化为角(正弦、余弦),要么都化为边。

【例】在

中,已知

,且

,求 。

















条 ,







接下来再利用余弦定理可得 ,

,又

,所以





因为



解三角形运用的原理简单,但是题目灵活多变,往往使学生感觉不易下手,以上结合例 题谈了一下通过题中条件的特征,利用三角形内角和、边、角之间的关系快速入手的策略, 但这仅仅是初探,更多的策略还需要同学们在解题中不断地归纳总结。
2011-11-18 人教网 错解剖析得真知(十五)

第六章 立体几何初步 §6.1 两条直线之间的位置关系 一、知识导学 1. 平面的基本性质.公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有 的点都在这个平面内.公理 2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点, 且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.公理 3: 经过不在同一条直线上的 三点,有且只有一个平面.推论 1:经过一条直线和这条直线外的一点,,有且只有一个 平面.推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论 3:经过两条平行直线,有 且只有一个平面. 2. 空间两条直线的位置关系,包括:相交、平行、异面. 3. 公理 4: 平行于同一条直线的两条直线平行.定理 4: 如果一个角的两边和另一个角的两 边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.推论:如果两条相交直线和另两条相交 直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 4. 异面直线.异面直线所成的角;两条异面直线互相垂直的概念;异面直线的公垂线及距 离. 5. 反证法.会用反证法证明一些简单的问题. 二、疑难知识导析 1.异面直线是指不同在任何一个平面内,没有公共点.强调任何一个平面. 2.异面直线所成的角是指经过空间任意一点作两条分别和异面的两条直线平行的直线所成 的锐角(或直角).一般通过平移后转化到三角形中求角,注意角的范围. 3.异面直线的公垂线要求和两条异面直线垂直并且相交, 4. 异面直线的距离是指夹在两异面直线之间公垂线段的长度.求两条异面直线的距离关键是 找到它们的公垂线.

5.异面直线的证明一般用反证法、异面直线的判定方法:如图,如果 b A ,a ,则 a 与 b 异面.

,A



三、经典例题导讲

[例 1]在正方体 ABCD-A B C D 中,O 是底面 ABCD 的中心, M、 N 分别是棱 DD 、 D C 的中点, 则直线 OM( ).

A .是 AC 和 MN 的公垂线. B .垂直于 AC 但不垂直于 MN. C .垂直于 MN,但不垂直于 AC. D .与 AC、MN 都不垂直. 错解:B. 错因:学生观察能力较差,找不出三垂线定理中的射影. 正解:A.

[例 2]如图,已知在空间四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,AD 的中点,G,H 分别是 BC,CD 上的 点,且 错解:证明: ,求证:直线 EG,FH,AC 相交于一点. 、F 分别是 AB,AD 的中点,

∥BD,EF=

BD,



,

GH∥BD,GH=

BD,

四边形 EFGH 是梯形,设两腰 EG,FH 相交于一点 T, ,F 分别是 AD. AC 与 FH 交于一点.

直线 EG,FH,AC 相交于一点 正解:证明: 、F 分别是 AB,AD 的中点,

∥BD,EF= 又 ,

BD,

GH∥BD,GH=

BD,

四边形 EFGH 是梯形,设两腰 EG,FH 相交于一点 T, 平面 ABC,FH 平面 ACD, 平面 ACD=AC,

T 面 ABC,且 T 面 ACD,又平面 ABC ,

直线 EG,FH,AC 相交于一点 T.

[例 3]判断: 若 a,b 是两条异面直线, P 为空间任意一点, 则过 P 点有且仅有一个平面与 a,b 都平行. 错解:认为正确. 错因:空间想像力不够.忽略 P 在其中一条线上,或 a 与 P 确定平面恰好与 b 平行,此时就 不能过 P 作平面与 a 平行. 正解:假命题.

[例 4] 如图,在四边形 ABCD 中,已知 AB∥CD,直线 AB,BC,AD,DC 分别与平面 α 相交于点 E,G,H,F.求证:E,F,G,H 四点必定共线(在同一条直线上). 分析:先确定一个平面,然后证明相关直线在这个平面内,最后证明四点共线. 证明 ∵ AB//CD, AB,CD 确定一个平面 β. 又∵AB ∩α=E,AB β , E α,E β, 即 E 为平面 α 与 β 的一个公共点. 同理可证 F,G,H 均为平面 α 与 β 的公共点. ∵ 两个平面有公共点,它们有且只有一条通过公共点的公共直线, ∴ E,F,G,H 四点必定共线. 点 评:在立体几何的问题中,证明若干点共线时,先证明这些点都是某两平面的公共点, 而后得出这些点都在二平面的交线上的结论.

[例 5]如图,已知平面α ,β ,且α ∩β = .设梯形 ABCD 中,AD∥BC,且 AB CD β ,求证:AB,CD, 共点(相交于一点).

α ,

分析:AB,CD 是梯形 ABCD 的两条腰,必定相交于一点 M,只要证明 M 在 上,而 是两个平面α ,β 的交线,因此,只要证明 M∈α ,且 M∈β 即可.

证明: ∵ 梯形 ABCD 中,AD∥BC, ∴AB,CD 是梯形 ABCD 的两条腰. ∴ AB,CD 必定相交于一点, 设 AB ∩CD=M. 又∵ AB α ,CD β ,∴ M∈α ,且 M∈β . ∴ M∈α ∩β . 又∵ α ∩β = ,∴ M∈ , 即 AB,CD, 共点. 点 评:证明多条直线共点时,与证明多点共线是一样的. [例 6]已知:a,b,c,d 是不共点且两两相交的四条直线,求证:a,b,c,d 共 面. 分析:弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义:四条直线不共点,包括有三条 直线共点的情况;两两相交是指任何两条直线都相交.在此基础上,根据平面的性 质,确定一个平面,再证明所有的直线都在这个平面内.

证明 1?若当四条直线中有三条相交于一点,不妨设 a,b,c 相交于一点 A A 确定一个平面α . 又设直线 d 与 a,b,c 分别相交于 E,F,G, 则 A,E,F,G∈α . ∵ A,E∈α ,A,E∈a, ∴ a α . 同理可证 b α ,c α . ∴ a,b,c,d 在同一平面α 内. 2?当四条直线中任何三条都不共点时,如图.

∴ 直线 d 和

∵ 这四条直线两两相交, 则设相交直线 a,b 确定一个平面α . 设直线 c 与 a,b 分别交于点 H,K, 则 H,K∈α . 又∵ H,K∈c,∴ c α . 同理可证 d α . ∴ a,b,c,d 四条直线在同一平面α 内. 点 评:证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是:首先由题给条件中的部分线(或点)确 定一个平面,然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内.本题最容易忽视“三线共点”这一 种情况.因此,在分析题意时,应仔细推敲问题中每一句话的含义.

[例 7] 在立方体 ABCD-A1B1C1D1 中, (1)找出平面 AC 的斜线 BD1 在平面 AC 内的射影; (2)直线 BD1 和直线 AC 的位置关系如何? (3)直线 BD1 和直线 AC 所成的角是多少度?

解:(1)连结 BD, 交 AC 于点 O

.

(2)BD1 和 AC 是异面直线. (3)过 O 作 BD1 的平行线交 DD1 于点 M,连结 MA、MC,则∠MOA 或其补角即为异面直线 AC 和 BD1 所成的角.

不难得到 MA=MC,而 O 为 AC 的中点,因此 MO⊥AC,即∠MOA=90° , ∴异面直线 BD1 与 AC 所成的角为 90° .

[例 8] 已知:在直角三角形 ABC 中, A 为直角,PA⊥平面 ABC,BD⊥PC,垂足为 D,求证: AD⊥PC 证明:∵ PA ⊥平面 ABC∴ PA⊥BA 又∵ BA⊥AC ∴ BA⊥平面 PAC ∴ AD 是 BD 在平面 PAC 内的射影 又∵ BD⊥PC ∴ AD⊥PC.(三垂线定理的逆定理)

四、典型习题导练

1.如图, P 是△ABC 所在平面外一点,连结 PA、PB、PC 后,在包括 AB、BC、CA 的六条棱所 在的直线中,异面直线的对数为( )

A.2 对 B.3 对 C.4 对 D.6 对 2. 两个正方形 ABCD、 ABEF 所在的平面互相垂直, 则异面直线 AC 和 BF 所成角的大小为 3. 在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,体对角线 DB1 与面对角线 BC1 所成的角是 它们的距离是 .

. ,

4.长方体 则

中, 所成角的大小为_ ___.

5.关于直角 AOB 在定平面α 内的射影有如下判断:①可能是 0°的角;②可能是锐角;③可 能是直角;④可能是钝角;⑤可能是 180°的角. 其中正确判断的序号是_____.(注:把你 认为正确的序号都填上).

6.在空间四边形 ABCD 中,AB⊥CD,AH⊥平面 BCD, 求证:BH⊥CD

7.如图正四面体中,D、E 是棱 PC 上不重合的两点;F、H 分别是棱 PA、PB 上的点,且与 P 点不重合.

求证:EF 和 DH 是异面直线.
2011-09-09 人教网

错解剖析得真知(十六)

§6.2 直线与平面之间的位置关系 一、知识导学 1. 掌握空间直线与平面的三种位置关系(直线在平面内、相交、平行). 2. 直线和平面所成的角,当直线与平面平行或在平面内时所成的角是 垂直时所成的角是 9 3. ,当直线与平面

,当直线与平面斜交时所成的角是直线与它在平面内的射影所成

4.

5. 6.

7.

的锐角. 掌握直线与平面平行判定定理 (如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行, 那么 这条直线和平面平行)和性质定理(如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平 面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行). 直线与平面垂直的定义是: 如果一条直线和一个平面内所有直线垂直, 那么这条直线和 这个平面垂直;掌握直线与平面垂直的判定定理(如果一条直线和平面内的两条相交直 线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面)和性质定理(如果两条直线同垂直于一个平 面,那么这两条直线平行). 直线与平面的距离 (一条直线和一个平面平行时, 这条直线上任意一点到这个平面的距 离,叫做这条直线和这个平面的距离). 三垂线定理 (在平面内的一条直线, 如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂 直,那么它也和这条斜线垂直)、逆定理(在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线垂直,那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直). 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中: ①射影相等的两条斜线段相等, 射 影较长的斜线段也较长;②相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段的射影也较长;③ 垂线段比任何一条斜线段都短.

二、疑难知识导析

1.斜线与平面所成的角关键在于找射影, 斜线与平面所成的角, 是这条斜线和这个平面内的 直线所成的一切角中最小的角. 2.在证明平行时注意线线平行、线面平行及面面平行判定定理和性质定理的反复运用. 3.在证明垂直时注意线线垂直、 线面垂直及面面垂直判定定理和性质定理的反复运用, 同时 还要注意三垂线定理及其逆定理的运用.要注意线面垂直的判定定理中的 “两条相交直线” , 如果用“无数”或“两条”都是错误的. 4.直线与平面的距离一般是利用直线上某一点到平面的距离.“如果在平面的同一侧有两点 到平面的距离(大于 0)相等,则经过这两点的直线与这个平面平行.”要注意“同一侧”、 “距离相等”.

三、经典例题导讲

[例 1]已知平面 在

∥平面

,直线

平面

,点 P 直线 ,平面



间的距离为 8,则

内到点 P 的距离为 10,且到 的距离为 9 的点的轨迹是( )

A.一个圆 B.四个点 C.两条直线 D .两个点 错解:A. 错因:学生对点线距离、线线距离、面面距离的关系掌握不牢. 正解:B. [例 2] a 和 b 为异面直线,则过 a 与 b 垂直的平面( ). A.有且只有一个 B.一个面或无数个 C.可能不存在 D.可能有无数个 错解:A. 错因:过 a 与 b 垂直的平面条件不清. 正解:C. [例 3]由平面 心,求证: 外一点 P 引平面的三条相等的斜线段,斜足分别为 A,B,C,O 为⊿ABC 的外 .

错解:因为 O 为⊿ABC 的外心,所以 OA=OB=OC, 又因为 PA=PB=PC,PO 公用,所以⊿POA, ⊿POB,⊿POC 都全等,所以 POA= POB= POC= ,所以 .

错因:上述解法中 POA= POB= 缺少必要的证明. 正解:取 BC 的中点 D,连 PD、OD,

POC=RT

,是对的,但它们为什么是直角呢?这里

[例 4]如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=3,AA1=4,M 为 AA1 的中点,P 是 BC 上一点,且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1 到 M 点的最短路线长为 ,设这条最短路线与 C1C 的交点为 N,

求: (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长; (2)PC 和 NC 的长; (3)平面 NMP 和平面 ABC 所成二面角(锐角)的大小(用反三角函数表示) 错因:(1)不知道利用侧面 BCC1 B1 展开图求解,不会找 面角的平面角. 的线段在哪里;(2)不会找二

正解:(1)正三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面展开图是一个长为 9,宽为 4 的矩形,其对角线长为

(2)如图,将侧面 BC1 旋转

使其与侧面 AC1 在同一平面上,点 P 运动到点 P1 的位置,连

接 MP1 ,则 MP1 就是由点 P 沿棱柱侧面经过 CC1 到点 M 的最短路线. 设 PC= 在 ,则 P1C= ,

(3)连接 PP1(如图),则 PP1 就是平面 NMP 与平面 ABC 的交线,作 NH 面 ABC,连结 CH,由三垂线定理的逆定理得, .

于 H,又 CC1



[例 5] P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,Q 是 PA 的中点,求证:PC∥ 平面 BDQ . 分析: 要证明平面外的一条直线和该平面平行, 只要在该平面内找到一条直线和已知直 线平行就可以了. 证明:如图所示,连结 AC ,交 BD 于点 O ,

∵四边形 ABCD 是平行四边形. ∴AO=CO ,连结 OQ ,则 OQ 在平面 BDQ 内,且 OQ 是 ∵PC 在平面 BDQ 外,∴PC∥平面 BDQ . 的中位线,∴PC∥OQ .

点 评:应用线面平行的判定定理证明线面平行时,关键是在平面内找一条直线与已知直线 平行. [例 6] 在正方体 A1B1C1D1-ABCD 中, E、 F 分别是棱 AB、 BC 的中点, O 是底面 ABCD 的中点. 求 证:EF 垂直平面 BB1O.

证明 : 如图,连接 AC、BD,则 O 为 AC 和 BD 的交点. ∵E、F 分别是 AB、BC 的中点, ∴EF 是△ABC 的中位线,∴EF∥AC. ∵B1B⊥平面 ABCD,AC 平面 ABCD

∴AC⊥B1B,由正方形 ABCD 知:AC⊥BO, 又 BO 与 BB1 是平面 BB1O 上的两条相交直线, ∴AC⊥平面 BB1O(线面垂直判定定理) ∵AC∥EF, ∴ EF⊥平面 BB1O. [例 7]如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 BB1 的中点,O 是底面正方形 ABCD 的中心, 求证:OE 平面 ACD1 . 分析:本题考查的是线面垂直的判定方法.根据线面垂直的判定方法,要证明 OE ACD1 ,只要在平面 ACD1 内找两条相交直线与 OE 垂直. 证明:连结 B1D 、A!D 、BD ,在△B1BD 中, 平面

∵E,O 分别是 B1B 和 DB 的中点, ∴EO∥B1D . ∵B1A1 面 AA1D1D ,

∴DA1 为 DB1 在面 AA1D1D 内的射影. 又∵AD1 ∴AD1 A1D , DB1 . D1C . ,AD1,D1C 平面 ACD1 . 面 ACD1 ,

同理可证 B1D 又∵AD1 ∴B1D

∵B1D∥OE , ∴OE 平面 ACD1 .

点 评: 要证线面垂直可找线线垂直, 这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法. 在 证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用, 也要注意有时是从数量关系方面找 垂直,即勾股定理或余弦定理的应用. [例 8].如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 N 在 BD 上, 点 M 在 B1C 上,且 CM=DN,求证:MN∥平 面 AA1B1B.

证明: 证法一.如图,作 ME∥BC,交 BB1 于 E,作 NF∥AD,交 AB 于 F,连 EF 则 EF 平面 AA1B1B.

ME=NF 又 ME∥BC∥AD∥NF, MN∥EF. MEFN 为平行四边形,

MN∥平面 AA1B1B. 平面 AA1B1B.

证法二.如图,连接并延长 CN 交 BA 延长线于点 P,连 B1P,则 B1P



,

又 CM=DN,B1C=BD, ∥B1P. B1P 平面 AA1B1B, MN∥平面 AA1B1B.

证法三.如图,作 MP∥BB1,交 BC 于点 P,连 NP.

MP∥BB1, BD=B1C,DN=CM,

NP∥CD∥AB.

面 MNP∥面 AA1B1B.

MN∥平面 AA1B1B.

四、典型习题导练

1.设 a ,b 是空间两条垂直的直线,且 b∥平面 .则在“a∥平面 “a 与 相交”这三种情况中,能够出现的情况有( ). A.0 个 B.1 C.2 个 D.3 个

”、 “a

”、

2.一个面截空间四边形的四边得到四个交点,如果该空间四边形仅有一条对角线与这个截 面平行,那么此四个交点围成的四边形是( ). A.梯形 B.任意四边形 C.平行四边形 D.菱形

3.若一直线和一个平面平行,夹在直线和平面间的两条线段相等,那么这两条线段的位置 关系是( ).

A.平行

B.相交

C.异面

D.平行、相交或异面

4.空间四边形的边 AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别是 E 、F 、G 、H ,若两条对角线 BD 、 2 2 AC 的长分别为 2 和 4,则 EG +HF 的值( ). A.5 B.10 C.20 D.40 时,四边形

5.点 P 、Q 、R 、S 分别是空间四边形 ABCD 四边的中点,则:当 AC PQRS 是______形;当 AC=BD 时,四边形 PQRS 是____形.

6.已知两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 不在同一平面内,M 、N 分别在它们的对角线 AC , BF 上,且 CM=BN ,

求证:MN∥ 平面 BCE . 8. 如图,已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形,且

(1)

证明 C1C

;



的值为多少时,能使 A1C
人教网

平面 C1BD?请给出证明.

2011-09-09

错解剖析得真知(十七)

§6.3 平面与平面之间的位置关系

一、基础知识导学 1.空间两个平面的位置关系(有交点的是相交;没交点的是平行). 2.理解并掌握空间两个平面平行的定义;掌握空间两个平面平行判定定理(如果一个平面 内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行)和性质定理(如果两个平行 平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行). 3.理解并掌握空间两个平面垂直的定义(一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角 是直二面角,就说这两个平面垂直);判定定理(如果一个平面经过另一个平面的一条垂线, 那么这两个平面垂直)和性质定理(如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线 的直线垂直于另一个平面). 4.二面角的有关概念(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角)与运算; 二面角的平面角 (以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角),二面角的平面角的常见作法(定义法、三垂线 定理及逆定理法、垂面法等). 二、疑难知识导析 1.两个平面的位置关系关系的判定关键看有没有公共点. 2.面面平行也是推导线面平行的重要手段;还要注意平行与垂直的相互联系,如:如果两 个平面都垂直于同一条直线,则这两个平面平行;如果两条直线都垂直于一个平面,则这两 条直线平行等.在证明平行时注意线线平行、线面平行及面面平行的判定定理和性质定理的反 复运用. 3. 对于命题 “三个平面两两相交, 有三条交线, 则这三条交线互相平行或者相交于同一点.” 要会证明. 4.在证明垂直时注意线线垂直、线面垂直及面面垂直的判定定理和性质定理的反复运用. 5.注意二面角的范围是 ,找二面角的平面角时要注意与棱的垂直直线,这往往是二 ,用的时候要进行交代.在二

面角的平面角的关键所在.求二面角的大小还有公式

面角棱没有给出的情况下求二面角大小

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