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2012年福建省高考文科数学试卷


2012 年福建省高考文科数学试卷
数学试题(文史类) 第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1.复数(2+i)2 等于 A.3+4i B.5+4i C.3+2i D.5+2i 2.已知集合 M={1,2,3,4},N={-2,2},下列结论成立的是 A.N ? M B.M∪N=M C.M∩N=N D.M∩N={2} 3.已知向量 a=(x-1,2) ,b=(2,1) ,则 a⊥b 的充要条件是 A.x=-

1 2

B.x-1

C.x=5

D.x=0

4. 一个几何体的三视图形状都相同,大小均等,那么这个几何体不可一世 A 球 B 三棱锥 C 正方体 D 圆柱 5 已知双曲线

x2 y 2 =1 的右焦点为(3,0) ,则该双曲线的离心率等于 a2 5
B

A

3 14 14

3 2 4

C

3 2

D

4 3

6 阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出 s 值等于 A -3 B -10 C 0 D -2

7.直线 x+ 3 y -2=0 与圆 x2+y2=4 相交于 A,B 两点,则弦 AB 的长度等于

A. 2 5 B 2 3 . C. 8.函数 f(x)=sin(xA.x=

3 D.1

? 4

? )的图像的一条对称轴是 4 ? ? ? B.x= C.x=D.x=2 4 2
,则 f(g(π ))的值为 B 0 C -1 D π

9.设 A 1

10.若直线 y=2x 上存在点(x,y)满足约束条件 A.-1 B.1 C.

则实数 m 的最大值为

3 2

D.2 ,其前 n 项和为 Sn,则 S2012 等于

11.数列{an}的通项公式

A.1006 B.2012 C.503 D.0 12.已知 f(x)=x?-6x?+9x-abc,a<b<c,且 f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论:①f(0)f(1)>0; ②f(0)f(1)<0;③f(0)f(3)>0;④f(0)f(3)<0. 其中正确结论的序号是 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在答题卡的相应位置。 13.在△ABC 中,已知∠BAC=60°,∠ABC=45°, ,则 AC=_______。

14.一支田径队有男女运动员 98 人,其中男运动员有 56 人。按男女比例用分层抽样的方法, 从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本,那么应抽取女运动员人数是_______。 15.已知关于 x 的不等式 x2-ax+2a>0 在 R 上恒成立,则实数 a 的取值范围是_________。
16.某地图规划道路建设,考虑道路铺设方案,方案设计图中,求表示城市,两点之间连线表示两城市间可 铺设道路,连线上数据表示两城市间铺设道路的费用,要求从任一城市都能到达其余各城市,并且铺设道 路的总费用最小。例如:在三个城市道路设计中,若城市间可铺设道路的路线图如图 1,则最优设计方案如 图 2,此时铺设道路的最小总费用为 10.

现给出该地区可铺设道路的线路图如图 3,则铺设道路的最小总费用为____________。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 在等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=b1=1,b4=8,{an}的前 10 项和 S10=55. (Ⅰ)求 an 和 bn; (Ⅱ)现分别从{an}和{bn}的前 3 项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求这两项的值相等的概率。 18.(本题满分 12 分) 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:

(I)求回归直线方程 y =bx+a,其中 b=-20,a= y -b x ; (II)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(I)中的关系,且该产品的成本是 4 元/件,为使工厂获 得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本) 19.(本小题满分 12 分) 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 为棱 DD1 上的一点。

(1) 求三棱锥 A-MCC1 的体积; (2) 当 A1M+MC 取得最小值时,求证:B1M⊥平面 MAC。 20. (本小题满分 13 分) 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数。 (1)sin213°+cos217°-sin13°cos17° (2)sin215°+cos215°-sin15°cos15° (3)sin218°+cos212°-sin18°cos12° (4)sin2(-18°)+cos248°- sin2(-18°)cos248° (5)sin2(-25°)+cos255°- sin2(-25°)cos255° Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广位三角恒等式,并证明你的结论。

21.(本小题满分 12 分) 如图,等边三角形 OAB 的边长为 8 3 ,且其三个顶点均在抛物线 E:x2=2py(p>0)上。

(1) 求抛物线 E 的方程; (2) 设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P,与直线 y=-1 相较于点 Q。证明以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定 点。 22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax sin x ?

? ?3 3 ? ?? (a ? R ), 且在 , ? 0, ? 上的最大值为 , 2 2 ? 2?

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)判断函数 f(x)在(0,π )内的零点个数,并加以证明。


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