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M--广州市2007年普通高中毕业班综合测试(二)数学(文)


试卷类型:A 2007 年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 数 学(文科)
2007.4 本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答 题卡上.用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型(A)涂黑.在答题卡右上角的“试 室号”栏填写本科目试室号,在“座位号”列表内填写座位号,并用 2B 铅 笔将相应的信息点涂黑.不按要求填涂的,答卷无效. 2. 选择题每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 用 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上; 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考试必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:

12 ? 22 ? 32 ? ? ? n2 ?

n ? n ? 1?? 2n ? 1? 6

S圆台侧 ? ? ? r ? r?? l ( r ?, r 分别表示圆台上、下底面半径, l 表示母线长)

第一部分
有一项是符合题目要求的. 1. sin 480 的值为 A. ?
?

选择题(共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只

1 2
x

B. ?

3 2

C.

1 2

D.

3 2

2.函数 y ? 2 ( x ? R )的反函数为 A. y ? log 2 x ( x ? 0 ) C. y ? log x 2 ( x ? 0 )
数学试题 A(文科)

B. y ? log 2 x ( x ? 1 ) D. y ? log x 2 ( x ? 1 )
第 1 页 共 11 页

3.某个路口的交通指示灯,红灯时间为 30 秒,黄灯时间为 10 秒,绿灯时间为 40 秒.当你 到达路口时,看见红灯的概率是

1 5 D. 2 8 4.已知等差数列 ?an ? 的前三项分别为 a ? 1 , 2a ? 1 , a ? 7 ,则这个数列的通项公式为
A. B. C. A. an ? 4n ? 3 C. an ? 4n ? 2 B. an ? 2n ? 1 D. an ? 2n ? 3

1 8

3 8

5.已知向量 OA 和向量 OC 对应的复数分别为 3 ? 4i 和 2 ? i ,则向量 AC 对应的复数为 A. 5 ? 3i B. 1 ? 5i C. ?1 ? 5i D. ?5 ? 3i

??? ?

??? ?

??? ?

6. a ? 1 是直线 y ? ax ? 1 和直线 y ? ? a ? 2? x ?1 垂直的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.一个圆台的两底面的面积分别为 ? , 16? ,侧面积为 25? ,则这个圆台的高为 A.3 B.4 C.5 D. 34

8.函数 f ? x ? ? ln x ?1 的图像大致是 y y y y

O

x

O

x

O

x

O

x

A.

B.

C.

D. E F A B 图1 D. ? ?1,1? D C

9.如图 1 所示, ABCDEF 为正六边形,则以 F 、 C 为焦点,且经 过 A 、 E 、 D 、 B 四点的双曲线的离心率为 A. 5 ? 1 C. 3 ? 1 B. 5 ? 1 D. 3 ? 1

2 10.已知方程 ax ? bx ? 1 ? 0 ( a, b ? R 且 a ? 0 )有两个实数根,

其中一个根在区间 ?1, 2 ? 内,则 a ? b 的取值范围为 A. ? ?1, ?? ? B. ? ??, ?1?

C. ? ??,1?

数学试题 A(文科)

第 2 页 共 11 页

第二部分

非选择题(共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,其中 11~13 题是必做题,14~15 题是选做题,每小题 5 分, 满分 20 分. 11.已知函数 y ? sin ? ? x ?

? ?

??

? ? x ? R, ? ? 0 ? 的最小正周期为 ? ,则 ? ? 3?



12.某班的 54 名学生对数学选修专题《几何证明选讲》和《极坐标与参数方程》的选择情 况如下(每位学生至少选 1 个专题) ........... :两个专题都选的有 6 人,选《极坐标与参数方程》 的学生数比选《几何证明选讲》的多 8 人,则只选修了《几何证明选讲》的学生有 人. 13.已知函数 f ? x ? 满足 f ?1? ? 2 , f ? x ? 1? ?

1? f ? x? ,则 f ? 3? 的值为 1? f ? x?




f ?1? ? f ? 2? ? f ?3? ??? f ? 2007? 的值为

▲选做题:在下面两道小题中选做一题,二题都选的只计算第 14 题的得分. 14.在极坐标系中,若过点 ? 4, 0 ? 且与极轴垂直的直线交曲线 ? ? 6cos ? 于 A, B 两点,则

AB ?

. A O Q C 图2 B P

15.如图 2,P 是⊙ 的直径 AB 延长线上一点,PC 与⊙ 相切于 O O 点 C,∠ APC 的角平分线交 AC 于点 Q,则 ?AQP 的大小 为_________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1、2、3、4 的四个球,现从甲、乙两个盒子中各 取出 1 个球,每个小球被取出的可能性相等. (Ⅰ)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率; (Ⅱ)求取出的两个球上标号之和能被 3 整除的概率. 17. (本小题满分 14 分)

? 如图 3 所示, 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ACB ? 90 ,
?

A

A1

AB ? 2 , BC ? 1 , AA ? 3 . 1
(Ⅰ )证明: AC ? 平面 AB1C1 ; 1 (Ⅱ 若 D 是棱 CC1 的中点, ) 在棱 AB 上是否存在一点 E , 使 DE ? 平面 AB1C1 ?证明你的结论.
数学试题 A(文科) 第 3 页 共 11 页

C B 图3

D B1

C1

18. (本小题满分 12 分) 已知 a、b、c 分别是△ABC 中角 A、B、C 的对边,且 a ? c ? b ? ac .
2 2 2

(Ⅰ )求角 B 的大小; (Ⅱ )若 c ? 3a ,求 tan A 的值. 19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 E 的两个焦点分别为 F1 ? ?1,0 ? 、 F2 ?1,0? ,点 C ?1, ? 在椭圆 E 上. (Ⅰ )求椭圆 E 的方程; (Ⅱ )若点 P 在椭圆 E 上,且满足 PF ? 2 ? t ,求实数 t 的取值范围. 1 PF 20. (本小题满分 14 分) 已知曲线 C : y ? e x (其中 e 为自然对数的底数)在点 P ?1, e ? 处的切线与 x 轴交于点

? 3? ? 2?

???? ???? ?

C 在点 P1 处的切线与 x 轴交于点 Q2 , 过点 Q1 作 x 轴的垂线交曲线 C 于点 P , Q1 , 1 曲线
过点 Q2 作 x 轴的垂线交曲线 C 于点 P ,??,依次下去得到一系列点 P 、 P 、??、 2 1 2 . Pn ,设点 Pn 的坐标为 ? xn , yn ? ( n ? N* ) (Ⅰ )分别求 xn 与 yn 的表达式; (Ⅱ )设 O 为坐标原点,求

? OP
i ?1 i

n

2



21. (本小题满分 14 分) 已 知 函 数 f ? x ? ? ax ? 4x ? 2 , 若 对 任 意 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x2 , 都 有
2

? x ? x ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? . f ? 1 2 ?? 2 ? 2 ?
(Ⅰ)求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)对于给定的实数 a ,有一个最小的负数 M ? a ? ,使得 x ? ? M ? a ? , 0 ? 时 , ? ?

?4 ? f ? x ? ? 4 都成立,则当 a 为何值时, M ? a ? 最小,并求出 M ? a ? 的最小值.

数学试题 A(文科)

第 4 页 共 11 页

2007 年广州市普通高中毕业班综合测试(二)
数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 1.D 2.A 3.B 4.A 5.C 6.C 7.B 8.B 9.D 10.A 二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算.本大题共 5 小题,其中 11~13 题是必做题, 14~15 题是选做题.每小题 5 分,满分 20 分.第 13 题中的第一个空 2 分,第二个空 3 分. 11.2 12.20 13. ?

1 ;3 2

14. 4 2

15. 135

?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查古典概型等基础知识,考查或然与必然的数学思想与方法,以及运 算求解能力) 解法一:利用树状图可以列出从甲、乙两个盒子中各取出 1 个球的所有可能结果: 1 2 1 3 4 2 1 2 3 4 3 1 2 3 4 4 1 2 3 4

可以看出,试验的所有可能结果数为 16 种. ??4 分 (Ⅰ)所取两个小球上的标号为相邻整数的结果有 1-2,2-1,2-3,3-2,3-4, 4-3,共 6 种. ??6 分 故所求概率 P ?

6 3 ? . 16 8 3 . 8
??8 分

答:取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为

(Ⅱ)所取两个球上的数字和能被 3 整除的结果有 1-2,2-1,2-4,3-3,4-2, 共 5 种. ??10 分 故所求概率为 P ?

5 . 16 5 . 16
??12 分

答:取出的两个小球上的标号之和能被 3 整除的概率为

解法二:设从甲、乙两个盒子中各取 1 个球,其数字分别为 x, y ,用 ( x, y ) 表示抽取结 果,则所有可能有 ?1,1? , ?1, 2 ? , ?1,3? , ?1, 4 ? , ? 2,1? , ? 2, 2 ? , ? 2,3? , ? 2, 4 ? , ? 3,1? ,

? 3, 2? , ? 3,3? , ? 3, 4? , ? 4,1? , ? 4, 2 ? , ? 4,3? , ? 4, 4 ? ,共 16 种.
(Ⅰ)所取两个小球上的数字为相邻整数的结果有 ?1, 2 ? ,

??4 分

? 2,1? , ? 2,3? , ? 3, 2? ,

数学试题 A(文科)

第 5 页 共 11 页

? 3, 4? , ? 4,3? ,共 6 种.
故所求概率 P ?

??6 分

6 3 ? . 16 8
3 . 8
??8 分

答:取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为

(Ⅱ)所取两个球上的数字和能被 3 整除的结果有 ?1, 2 ? ,

? 2,1? , ? 2, 4 ? , ? 3,3? ,
??10 分

? 4, 2 ? ,共 5 种.
故所求概率为 P ?

5 . 16 5 . 16
??12 分

答:取出的两个小球上的标号之和能被 3 整除的概率为 (注:利用列表的方法求解,仿照上述解法给分)

17. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查空间中线面关系,考查数形结合的数学思想和方法,以及空间想象 能力、逻辑推理能力和运算求解能力)
? 证明: )∵ ?ACB ? 90 ,∴ BC ? AC . (Ⅰ

∵三棱柱 ABC ? A1B1C1 为直三棱柱,∴ BC ? CC1 . ∵ AC ? CC1 ? C ,∴ BC ? 平面 ACC1 A1 . ∵ AC ? 平面 ACC1 A1 ,∴ BC ? AC , 1 1 ∵ BC

? B1C1 ,则 B1C1 ? AC . 1

??4 分

在 Rt?ABC 中, AB ? 2 , BC ? 1 ,∴ AC ? 3 . ∵ AA ? 3 ,∴四边形 ACC1 A1 为正方形. 1 ∴ AC ? AC1 . 1 ∵ B1C1 ? AC1 ? C1 ,∴ AC ? 平面 AB1C1 . 1 (Ⅱ )当点 E 为棱 AB 的中点时, DE ? 平面 AB1C1 . 证明如下: 如图,取 BB1 的中点 F ,连 EF 、 FD 、 DE , ∵ D 、 E 、 F 分别为 CC1 、 AB 、 BB1 的中点, ??6 分 ??7 分 ??9 分

数学试题 A(文科)

第 6 页 共 11 页

A ∴ EF

A1

? AB1 .
E C B F D B1 C1

∵ AB1 ? 平面 AB1C1 , EF ? 平面 AB1C1 , ∴ EF ? 平面 AB1C1 . 同理可证 FD ? 平面 AB1C1 . ∵ EF ? FD ? F , ∴平面 EFD ? 平面 AB1C1 . ∵ DE ? 平面 EFD , ∴ DE ? 平面 AB1C1 . ??12 分

??14 分

18. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、解三角形等基础 知识,考查运算求解能力)

a 2 ? c 2 ? b2 1 (Ⅰ )解:由余弦定理,得 cos B ? = . 2 2ac
∵ 0 ? B ? ? ,∴ B ?

??2 分

?
3


2 2 2

??4 分 ??6 分

(Ⅱ )解法一:将 c ? 3a 代入 a ? c ? b ? ac ,得 b ? 7a . 由余弦定理,得 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 5 7 ? . 2bc 14 21 . 14

??8 分

2 ∵ 0 ? A ? ? ,∴ sin A ? 1 ? cos A ?

??10 分

∴ tan A ?

sin A 3 . ? cos A 5
2 2 2

??12 分

解法二:将 c ? 3a 代入 a ? c ? b ? ac ,得 b ? 7a . 由正弦定理,得 sin B ? 7 sin A . ∵B ?

??6 分 ??8 分

?
3

,∴ sin A ?

21 . 14 5 7 . 14

??10 分

2 又 b ? 7a ? a ,则 B ? A ,∴ cos A ? 1 ? sin A ?

数学试题 A(文科)

第 7 页 共 11 页

∴ tan A ?

sin A 3 . ? cos A 5

??12 分

解法三:∵ c ? 3a , 由正弦定理,得 sin C ? 3sin A . ∵B ?

??6 分

?
3

,∴ C ? ? ? ? A ? B ? ?

2? ? A. 3
??8 分

∴ sin ? ∴ sin

? 2? ? ? A ? ? 3sin A . ? 3 ?
2? 2? cos A ? cos sin A ? 3sin A . 3 3



3 1 cos A ? sin A ? 3sin A . 2 2
??10 分

∴ 5sin A ? 3 cos A . ∴ tan A ?

sin A 3 . ? cos A 5

??12 分

19. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查椭圆的概念、椭圆的方程等基础知识,考查待定系数法、数形结合 的数学思想与方法,以及运算求解能力) (Ⅰ )解法一:依题意,设椭圆 E 的方程为 由已知半焦距 c ? 1 ,∴ a ? b ? 1.
2 2

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) , a 2 b2
① ② ??2 分 ??4 分

∵点 C ?1, ? 在椭圆 E 上,则
2

? 3? ? 2?

1 9 ? 2 ? 1. 2 a 4b

由①、②解得, a ? 4 , b ? 3 .
2

∴椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3 x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) , a 2 b2

??6 分

解法二:依题意,设椭圆 E 的方程为

∵点 C ?1, ? 在椭圆 E 上,∴ 2a ? CF ? CF2 ? 4 ,即 a ? 2 . 1 由已知半焦距 c ? 1 ,∴ b ? a ? c ? 3 .
2 2 2

? 3? ? 2?

??3 分

??5 分
第 8 页 共 11 页

数学试题 A(文科)

∴椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

??6 分

(Ⅱ )设 P ? x0 , y0 ? ,由 PF ? 2 ? t ,得 1 PF

???? ???? ?

? ?1? x0 , ? y0 ???1? x0 , ? y0 ? ? t ,
即 x02 ? y02 ? t ? 1 . ∵点 P 在曲线 C 上, ∴ ③ ??8 分

x0 2 y0 2 ? ?1 . 4 3



由③得 y02 ? t ? 1 ? x02 ,代入④,并整理得

x02 ? 4 ?t ? 2? .
由④知, 0 ? x0 2 ? 4 , 结合⑤、⑥,解得: 2 ? t ? 3 . ∴实数 t 的取值范围为 ? 2,3? .

⑤ ⑥

??10 分 ??12 分

??14 分

20. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查数列、导数等基础知识,考查有限与无限的数学思想与方法,以及 抽象概括能力、运算求解能力和创新意识) 解: )∵ y? ? e , (Ⅰ
x

∴曲线 C : y ? e x 在点 P ?1, e ? 处的切线方程为 y ? e ? e ? x ?1? ,即 y ? ex . 此切线与 x 轴的交点 Q1 的坐标为 ? 0, 0 ? , ∴点 P 的坐标为 ? 0,1? . 1 ∵点 P 的坐标为 ? xn , yn ? ( n ? N ) , n
*

??2 分

∴曲线 C : y ? e 在点 P ? xn , yn ? 处的切线方程为 y ? e n ? e n ? x ? xn ? , n
x

x

x

??4 分

令 y ? 0 ,得点 Qn?1 的横坐标为 xn?1 ? xn ?1 . ∴数列 ?xn ? 是以 0 为首项, ?1 为公差的等差数列. ∴ xn ? 1 ? n , yn ? e1?n . n ? N ) (
*

??6 分

数学试题 A(文科)

第 9 页 共 11 页

(Ⅱ )∵ OP i ∴

2

? xi 2 ? yi 2 ? ? i ? 1? ? e 2?1?i ? ,
2

??8 分
2

? OP
i ?1 i

n

2

? OP ? OP2 ? OP3 ? ? ? OPn 1
2 2 2

? ? 02 ? e0 ? ? ?12 ? e?2 ? ? ? 22 ? e?4 ? ? ? ? ?? n ? 1? ? e ?
2

2?1? n ?

? ?

??10 分 ??12 分

2 2 1? n ? ?12 ? ?22 ? ? ? ? n ? 1? ? ? ?1 ? e?2 ? e?4 ? ? ? e ? ? ? ? ? ? ?

n ? n ? 1?? 2n ? 1? 1 ? e?2 n ? ? 6 1 ? e?2
? n ? n ? 1?? 2n ? 1? e2n ? 1 ? 2n?2 2 . 6 e ? e ? 1?
??14 分

21. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查函数及其运算、不等式及其性质等基础知识,考查化归与转化、数 形结合的数学思想方法,以及抽象概括能力、逻辑推理能力、运算求解能力和创新意识) 解: (Ⅰ)∵ f ?

? x1 ? x2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?? 2 ? 2 ?
2

ax 2 ? bx1 ? c ? ax2 2 ? bx2 ? c ?x ?x ? ?x ?x ? ? a? 1 2 ? ? b? 1 2 ? ? c ? 1 2 ? 2 ? ? 2 ?

??

a 2 ? x1 ? x2 ? ? 0 , 4

??2 分

∵ x1 ? x2 ,∴ a ? 0 . ∴实数 a 的取值范围为 ? 0,??? . (Ⅱ)∵ f ? x ? ? ax2 ? 4 x ? 2 ? a ? x ? 显然 f ? 0? ? ?2 ,对称轴 x ? ? (1)当 ?2 ? ??4 分

? ?

2? 4 ? ?2? , a? a
??6 分

2

2 ?0. a

4 ? 2 ? ? ?4 ,即 0 ? a ? 2 时, M ? a ? ? ? ? , 0 ? ,且 f ? M ? a ? ? ? ?4 . ? ? a ? a ?

令 ax ? 4 x ? 2 ? ?4 ,解得 x ?
2

?2 ? 4 ? 2a , a

此时 M ? a ? 取较大的根,即 M ? a ? ?

?2 ? 4 ? 2a ?2 , ? a 4 ? 2a ? 2
第 10 页 共 11 页

数学试题 A(文科)

∵ 0 ? a ? 2 ,∴ M ? a ? ? (2)当 ?2 ?

?2 ? ?1 . 4 ? 2a ? 2

??10 分

2 4 ? ?4 ,即 a ? 2 时, M ? a ? ? ? ,且 f ? M ? a ? ? ? 4 . ? ? a a

令 ax ? 4 x ? 2 ? 4 ,解得 x ?
2

?2 ? 4 ? 6a , a

此时 M ? a ? 取较小的根,即 M ? a ? ? ∵ a ? 2 ,∴ M ? a ? ?

?2 ? 4 ? 6a ?6 , ? a 4 ? 6a ? 2
??13 分

?6 ? ?3 . 4 ? 6a ? 2

当且仅当 a ? 2 时,取等号. ∵ ?3 ? ?1 , ∴当 a ? 2 时, M ? a ? 取得最小值-3. ??14 分

数学试题 A(文科)

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