kl800.com省心范文网

[k12精品]2018_2019学年高中数学第一章三角函数5.2正弦函数的性质学案北师大版必修4

k12 精品 5.2 正弦函数的性质 内容要求 1.理解正弦函数 y=sin x,x∈R 的性质(重点).2.掌握正弦函数性质的应用(难 点). 知识点 1 正弦函数的性质 函数 正弦函数 y=sin x,x∈R 图像 定义域 值域 最值 周期性 奇偶性 单调性 对称轴 对称中心 【预习评价】 R [-1,1] 当 x=π2 +2kπ (k∈Z)时,ymax=1; 当 x=-π2 +2kπ (k∈Z)时,ymin=-1 是周期函数,周期为 2kπ (k∈Z,k≠0),2π 是 它的最小正周期 奇函数,图像关于原点对称 在[-π2 +2kπ ,π2 +2kπ ](k∈Z)上是增函 数; 在[π2 +2kπ ,32π +2kπ ](k∈Z)上是减函数 x=π2 +kπ ,k∈Z (kπ ,0),k∈Z (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数 y=sin(-x)为奇函数(√). (2)函数 y=sin x,x∈[-π6 ,56π ]的值域是[-12,12](×). (3)函数 y=sin x 在[2kπ -π2 ,2kπ ](k∈Z)上是单调递增的(√). (4)函数 y=sin x 在第一象限内是递增的(×). 题型一 与正弦函数有关的值域问题 【例 1】 求下列函数的值域: (1)y=sin(2x-π3 ),x∈[0,π2 ]; (2)y=-2sin2x+5sin x-2. K12 精品文档学习用 k12 精品 解 (1)∵0≤x≤π2 ,∴0≤2x≤π ,-π3 ≤2x-π3 ≤2π3 ,令 2x-π3 =t,则原式转化为 y =sin t,t∈[-π3 ,23π ]. 由 y=sin t 的图像知- 23≤y≤1, ∴原函数的值域为[- 23,1]. (2)y=-2sin2x+5sin x-2=-2(sin x-54)2+98. ∵-1≤sin x≤1, ∴ymin=-2×(-1)2+5×(-1)-2=-9, ymax=-2×12+5×1-2=1. 故函数 y=-2sin2x+5sin x-2 的值域是[-9,1]. 规律方法 1.求定义域时,常利用数形结合,根据正弦曲线写出相应方程或不等式的解集.注 意灵活选择一个周期的图像. 2.求值域时,注意:(1)利用 sin x 的有界性;(2)利用 y=sin x 的单调性. 【训练 1】 (1)函数 y=2sin x+1???π4 ≤x≤3π4 ???的值域是( ) A.[1+ 3,3] B.[1+ 2,3] C.[1- 2,1+ 2] D.[-1,3] (2)设函数 y=sin x 的定义域为[a,b],值域为???-1,21???,则以下四个结论正确的是________ (填序号). ①b-a 的最小值为23π ; ②b-a 的最大值为43π ; ③a 不可能等于 2kπ -π6 (k∈Z); ④b 不可能等于 2kπ -π6 (k∈Z). 解析 (1)画出函数 y=2sin x+1(π4 ≤x≤3π4 )的图像如图所示,当 x=π4 或 x=34π 时,最 小值为 1+ 2;当 x=π2 ,最大值为 3. K12 精品文档学习用 k12 精品 (2)由图像知,b-a 的最大值为43π (如 a=-76π ,b=π6 );在 b-a 取最大值的情况下,固 定左(或右)端点,移动右(或左)端点,必须保证取-1 的最小值点在[a,b]内,所以 b-a 的最小值为2π3 ,b 可能等于 2kπ -π6 (k∈Z).若 a=2kπ -π6 (k∈Z),则由图像可知函数 的最大值为12的情况下,最小值不可能为-1.所以 a 不可能等于 2kπ -π6 (k∈Z). 答案 (1)B (2)①②③ 题型二 正弦函数的周期性与奇偶性 【例 2】 求下列函数的周期: (1)y=sin12x; (2)y=|sin x|. 解 (1)∵sin???12 x+4π ???=sin???12x+2π ???=sin12x,∴sin12x 的周期是 4π . (2)作出 y=|sin x|的图像,如图. 故周期为 π . 规律方法 1.求正弦函数的周期时要注意结合图像判断,不要盲目套用结论. 2.函数 y=sin x 为奇函数时其定义域必须关于原点对称,否则不具有奇偶性.如 y=sin x, x∈[0,2π ]是非奇非偶函数. 【训练 2】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=xsin x; (2)f(x)=|sin x|+1. 解 (1)∵x∈R,且关于原点对称, 又 f(-x)=-xsin(-x)=xsin x=f(x), K12 精品文档学习用 k12 精品 ∴f(x)为偶函数. (2)∵x∈R,且关于原点对称,又 f(-x)=|sin(-x)|+1=f(x), ∴f(x)为偶函数. 方向 1 利用正弦函数的单调性比较大小 【例 3-1】 利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小. (1)sin 196°与 cos 156°; (2)sin 1,sin 2,sin 3. 解 (1)sin 196°=sin(180°+16°)=-sin 16°, cos 156°=cos(180°-24°)=-cos 24°=-sin 66°, ∵0°<16°<66°<90°,∴sin 16°<sin 66°. 从而-sin 16°>-sin 66°,即 sin 196°>cos 156°. (2)∵1<π2 <2<3<π ,sin(π -2)=sin 2,sin(π -3)=sin 3. 0<π -3<1<π -2<π2 且 y=sin x 在???0,π2 ???上递增, ∴sin(π -3)<sin 1<sin(π -2),即 sin 3<sin 1<sin 2. 方向 2 求函数的单调区间 【例 3-2】 求函数 y=-sin x+3 的单调区间. 解 ∵y=-sin x+3 与 y=si