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【高考调研】2015高中数学(人教A版)选修2-3:第一章 计数原理 单元测试题


第一章

综合测试题

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题中 只有一项符合题目要求) 1.设东、西、南、北四面通往山顶的路各有 2、3、3、4 条路, 只从一面上山,而从任意一面下山的走法最多,应( A.从东边上山 C.从南边上山 答案 D B.从西边上山 D.从北边上山 )

2.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则 称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为 y=x2,值域为{1,4} 的“同族函数”共有( A.7 个 B.8 个 C.9 个 D.10 个 答案 C )

解析 由题意, 问题的关键在于确定函数定义域的个数: 第一步, 先确定函数值 1 的原象:因为 y=x2,当 y=1 时,x=1 或 x=-1,为 此有三种情况:即{1},{-1},{1,-1};第二步,确定函数值 4 的 原象,因为 y=4 时,x=2 或 x=-2,为此也有三种情况:{2},{- 2},{2,-2}.由分步计数原理,得到:3×3=9 个.选 C. 3.5 名学生相约第二天去春游,本着自愿的原则,规定任何人可 以“去”或“不去”,则第二天可能出现的不同情况的种数为(
2 A.C5

)

B.25
2 D.A5

C.52 答案 B

4.6 个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐 4 人,则不同的乘 车方法数为( )

A.40 B.50 C.60 D.70 答案 B

5.在航天员进行的一项太空实验中,先后要实施 6 个程序,其中 程序 A 只能出现在第一步或最后一步,程序 B 和 C 实施时必须相邻, 请问实验顺序的编排方法共有( A.24 种 B.48 种 C.96 种 D.144 种 答案 C )

解析 当 A 出现在第一步时,再排 A,B,C 以外的三个程序,有
3 A3 种,A 与 A,B,C 以外的三个程序生成 4 个可以排列程序 B、C 的 3 1 2 空档, 此时共有 A3 A4A2种排法; 当 A 出现在最后一步时的排法与此相 3 1 2 同,故共有 2A3 A4A2=96 种编排方法.

6.有甲、乙、丙三项任务,甲需 2 人承担,乙、丙各需 1 人承担, 从 10 人中选派 4 人承担这三项任务,不同的选法有( A.2 520 B.2 025 C.1 260 D.5 040 答案 A )

解析 先从 10 人中选出 2 人承担甲任务有 C2 10种选法,再从剩下
2 的 8 人中选出 2 人分别承担乙、丙任务,有 A8 种选法,由分步乘法计 2 数原理共有 C10 A2 8=2 520 种不同的选法.故选 A.

7.有 5 列火车停在某车站并行的 5 条轨道上,若快车 A 不能停 在第 3 道上,货车 B 不能停在第 1 道上,则 5 列火车的停车方法共有 ( )

A.78 种 C.120 种 答案 A

B.72 种 D.96 种

解析 不考虑不能停靠的车道,5 辆车共有 5!=120 种停法. A 停在 3 道上的停法:4!=24(种);B 种停在 1 道上的停法:4! =24(种); A、B 分别停在 3 道、1 道上的停法:3!=6(种). 故符合题意的停法:120-24-24+6=78(种).故选 A. 8.已知(1+x)n=a0+a1x+a2x2+?+anxn,若 a0+a1+a2+?+an =16,则自然数 n 等于( A.6 C.4 答案 C ) B.5 D.3

解析 令 x=1,得 2n=16,则 n=4.故选 C. 9.6 个人排队,其中甲、乙、丙 3 人两两不相邻的排法有( A.30 种 C.5 种 答案 B B.144 种 D.4 种 )

3 解析 分两步完成: 第一步, 其余 3 人排列有 A3 种排法; 第二步, 3 从 4 个可插空档中任选 3 个给甲、乙、丙 3 人站有 A4 种插法.由分步 3 3 乘法计数原理可知,一共有 A3 A4=144 种.

a? ? 10.已知?x-x?8 展开式中常数项为 1 120,其中实数 a 是常数,
? ?

则展开式中各项系数的和是( A.28 C.1 或 38

) B.38 D.1 或 28

答案 解析

C
8-2r Tr+1=(-a)rCr ,令 8-2r=0?r=4. 8x

4 ∴T5=C4 2.当 a=2 时,和为 1; 8(-a) =1 120,∴a=±

当 a=-2 时,和为 38. 11.有 A、B、C、D、E、F 共 6 个集装箱,准备用甲、乙、丙三 辆卡车运送,每台卡车一次运两个,若卡车甲不能运 A 箱,卡车乙不 能运 B 箱,此外无其他任何限制;要把这 6 个集装箱分配给这 3 台卡 车运送,则不同的分配方案的种数为( A.168 C.56 D.42 答案 D ) B.84

2 2 解析 分两类:①甲运 B 箱,有 C1 C4 · C2种;②甲不运 B 箱,有 4· 2 2 C2 C3 · C2. 4· 2 2 2 2 ∴不同的分配方案共有 C1 C4 · C2+C2 C3 · C2=42 种.故选 D. 4· 4·

12. 从 2 名女教师和 5 名男教师中选出三位教师参加 2014 年高考 某考场的监考工作.要求一女教师在室内流动监考,另外两位教师固 定在室内监考,问不同的安排方案种数为( A.30 C.630 答案 A B.180 D.1 080 )

解析 分两类进行:第一类,在两名女教师中选出一名,从 5 名
2 男教师中选出两名, 且该女教师只能在室内流动监考, 有 C1 C5 种选法; 2· 2 1 第二类, 选两名女教师和一名男教师有 C2 · C5种选法, 且再从选中的两 1 1 名女教师中选一名作为室内流动监考人员, 即有 C2 C5 · C2共 10 种选法, 2· 2 2 1 1 ∴共有 C1 C5 +C2 · C5· C2=30 种,故选 A. 2·

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填

在题中横线上) 13.已知(x+2)n 的展开式中共有 5 项,则 n=________,展开式 中的常数项为________.(用数字作答) 答案 4 16
4 解析 ∵展开式共有 5 项,∴n=4,常数项为 C4 42 =16.

14.5 个人排成一排,要求甲、乙两人之间至少有一人,则不同 的排法有________种. 答案 72 解析 甲、乙两人之间至少有一人,就是甲、乙两人不相邻,则
3 2 有 A3 · A4 =72(种).

15.已知(x+1)6(ax-1)2 的展开式中含 x3 项的系数是 20,则 a 的 值等于________. 答案 0或5

16.用数字 2,3 组成四位数,且数字 2,3 至少都出现一次,这样的 四位数共有________个.(用数字作答) 答案 14 解析 因为四位数的每个数位上都有两种可能性,其中四个数字 全是 2 或 3 的情况不合题意, 所以适合题意的四位数有 24-2=14 个. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 17.(10 分)某书店有 11 种杂志,2 元 1 本的 8 种,1 元 1 本的 3 种,小张用 10 元钱买杂志(每种至多买一本,10 元钱刚好用完),求不 同的买法有多少种(用数字作答). 解析 分两类:第一类,买 5 本 2 元的有 C58 种;第二类,买 4 本 2 元的和 2 本 1 元的有 C48×C23 种. 故共有 C58+C48×C23=266

种不同的买法种数. 18.(12 分)4 个相同的红球和 6 个相同的白球放入袋中,现从袋 中取出 4 个球;若取出的红球个数不少于白球个数,则有多少种不同 的取法? 解析 依题意知,取出有 4 个球中至少有 2 个红球,可分三类: ①取出的全是红球有 C4 ②取出的 4 个球中有 3 个红球的取法 4种方法;
1 2 2 有 C3 ③取出的 4 个球中有 2 个红球的取法有 C4 C6种, 由分类计数 4C6; 4 3 1 2 原理,共有 C4 +C4 · C6+C2 C6 =115(种). 4·

19.(12 分)从 1 到 6 的六个数字中取两个偶数和两个奇数组成没 有重复数字的四位数.试问: (1)能组成多少个不同的四位数? (2)四位数中,两个偶数排在一起的有几个? (3)两个偶数不相邻的四位数有几个?(所有结果均用数值表示) 解析
2 4 (1)四位数共有 C2 3C3A4=216 个.

2 2 3 2 (2)上述四位数中,偶数排在一起的有 C3 C3A3A2=108 个. 2 2 2 2 (3)两个偶数不相邻的四位数有 C3 C3A2A3=108 个.

20.(12 分)已知(1+2 x)n 的展开式中,某一项的系数恰好是它的 5 前一项系数的 2 倍, 而且是它的后一项系数的6, 试求展开式中二项式 系数最大的项. 解析 由题意知展开式中第 k+1 项系数是第 k 项系数的 2 倍, 是 5 第 k+2 项系数的6,

?Cn2 =2Cn ∴? k k 5 k ?Cn2 =6Cn

k k

k-1

· 2k-1, · 2k+1, 解得 n=7.

+1

∴展开式中二项式系数最大两项是:

3 3 4 T4=C7 (2 x)3=280x2与 T5=C7 (2 x)4=560x2. 21.(12 分)某单位有三个科室,为实现减负增效,每科室抽调 2 人,去参加再就业培训,培训后这 6 人中有 2 人返回原单位,但不回 到原科室工作,且每科室至多安排 1 人,问共有多少种不同的安排方 法? 解析 6 人中有 2 人返回原单位,可分两类:

1 1 (1)2 人来自同科室:C3 C2=6 种; 2 1 1 (2)2 人来自不同科室:C3 C2C2,然后 2 人分别回到科室,但不回 2 1 1 原科室有 3 种方法,故有 C3 C2C2· 3=36 种.

由分类计数原理共有 6+36=42 种方法. 22.(12 分)10 件不同厂生产的同类产品: (1)在商品评选会上, 有 2 件商品不能参加评选, 要选出 4 件商品, 并排定选出的 4 件商品的名次,有多少种不同的选法? (2)若要选 6 件商品放在不同的位置上陈列,且必须将获金质奖章 的两件商品放上,有多少种不同的布置方法? 解析 (1)10 件商品,除去不能参加评选的 2 件商品,剩下 8 件,

4 从中选出 4 件进行排列,有 A8 =1 680(或 C4 A4 8· 4)(种).

(2)分步完成.先将获金质奖章的两件商品布置在 6 个位置中的两
2 个位置上,有 A6 种方法,再从剩下的 8 件商品中选出 4 件,布置在剩 4 2 4 下的 4 个位置上,有 A8 种方法,共有 A6 · A8 =50 400(或 C4 A6 8· 6)(种).


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