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近世代数引论教案


抽象代数教案
教师:胡晓莉 2016 年下半年

第一章 群
第一次课
一 、关于代数的观念 二、 数学史的发展阶段 三、 代数发展的阶段(数学发展史) 四 、代数学发展的四个阶段 五 、几类与近世代数的应用有关的实际问题

绪论(PPT)

第二次课 1.1 集合论预备知识 1、集合定义
1 所有整数构成一个 一些特定的东西放在一起称为集合. 例:○ 2 J04B105 教室的所有同学构成一个集合; 集合, 类似地有, , 等; ○

集合一般用大写字母来表示. 元素: 集合 A 中的每一个对象 称之为集合 A 的元素, 表示为 ∈ (a 属于 A);否则表示成 ? (a 不属于 A). 表示形式:{ ∈ |具备某种性质},如偶数集{ ∈ | = 2 , ∈ }. 子集:A, B 是两个子集, 若 ∈ ∈ ,则称 A 为 B 的一个子集,

记为 ? 或者 ? . 若 ? 且 ? , 则 A=B. 真子集 ? : ? 且 ≠ ; 空集?是任何集合的子集.

只有有限多个元素的集合叫有限集, 否则叫无限集. :表示集合 A 的元素个数.

2、集合运算
集合的交: ∩ = ∈ 且 ∈ ;
=1

= 1 ∩ 2 ∩ ? ∩ = {| ∈ , 1 ≤ ≤ }.

集合的并: ∪ = ∈ 或 ∈ ; ∪ = 1 ∪ 2 ∪ ? ∪ = { |? , . . ∈ , 1 ≤ ≤ }. 集合的补:设 ? , ? = ∈ 且 ? 称为关于的补. 集合的直积: × = {(, | ∈ , ∈ )}

1 × 2 × ? × =
=1

= {(1 , 2 , ? , )| ∈ , 1 ≤ ≤ }

3、集合间的映射
: → → () : → → ()

合成映射 ? : → , ? = (()) 合成映射满足结合律: ? ? = ? ( ? ). (证明:略) ?′ ? , 令 ′ = ∈ ′ ? , 称之为′ 在下的像;另一方 面?′ ? , 令 ?1 ′ = ∈ ∈ ′ ? , 称之为′ 的原像. 满射:若 = , . . ? ∈ , ? ∈ , . . = . 单射:若?, ′ ∈ , ≠ ′ = (′ ).

一一映射(一一对应) :若 既是满射又是单射. 如:恒等映射: : → , ? ∈ , () = . 结论 1:映射 : → 是一一对应 ? ? = , ? = . 证明略 若 f 为一一映射, 则存在逆映射 ?1 : → .

4、等价关系与拆分
A× A 上的每个子集 R 叫做集合 A 上的一个关系, 也用"~"表示. 如: = , = { , ∈ × | > }; 类似地, 有≥, ≤, <, =等关系. 若 , ∈ , 便称和有关系, 写成. 等价关系:即 A 上的满足下列条件的关系 (1) 自反性:~;

(2) 对称性:若~, 则~; (3) 传递性:若~, ~, 则~. 等价类: = ∈ ~ . 等价类中的任意一个元素都可以作为它 的代表元. ? A 上的等价类具备以下性质:
1 不同等价类之间没有公共元素(为什么?) ○

设 ∈ 是一个由的所有不同等价类构成的集合。
2 可表示成等价类 ∈ 的并。 ○

? 从 每 个 等 价 类 中 选 取 一 个 代 表 元 ,则 = | ∈ 具有性质:
1 中每个元素均等价于某个 ; ○ 2 当 ≠ 时, 与 不等价 。 ○

把具有这种性质的 R 叫做 A 对于等价关系的完全代表系。 则 =∪∈ [](两两不相交的并) 分拆:若 = ∈ , 并且当 ≠ 时, ∩ = ?, 则称 ∈ 是集合的一个分拆. 等价关系? 分拆 1) 等价关系 2) 分拆 分拆,显然。

等价关系: 设 ∈ 是集合的一个分拆, 定义 A 上的等

价关系:对于, ∈ , ~ ? 和在同一 之中.
1 2 ○ ~; ○ ~ 3 ~; ○ ~, ~

~ .

5、代数运算
定义 1: A 是一个非空集合, 如果对 A 中任意两个元素 a 和 b , 通过 某个法则" ? ", 有 A 中唯一的元素 e 与之对应, 则称此对应法则" ? "为 集合 A 的一个代数运算, 元素 e 是 a 与 b 通过运算" ? "作用的结果, 记作 ? . 并称 A 为具有代数运算" ? "的一个代数系统. 一般来说, ? 与 ? 是不相同的.

例 1 设 A 是实数集 R, 规定 ? , ∈ , ? = ? , 则" ? "为 R 的 一个代数运算. 对实数集 R, 普通数的加法, 减法, 乘法都是 R 的代数运算, 但 除法运算却不是 R 的代数运算. 想一想, 这是为什么? 例 2 设 A 是整数集 Z, 规定 ? = (, ), 即 a 与 b 的最大公因数, 则 " ? "是 Z 的代数运算. 例 3 设 Z 为整数集, m 为大于 1 的正整数. 设, ∈ , 如果| ? (即 ? 是 m 的倍数), 则称 a 与 b 关于 m 同余, 记作: ≡ ( ). (读作"a 同余 b 模 m"). 对任一整数 a, 令 = { | ≡ ( )}, (有时 也用[a]表示). 如: = 3, 0, 1, 2. 则为 Z 的一个子集, 称为模的一个剩余类. 模的剩余类有下列性质: (1) = { + | ∈ }; (2) = 当且仅当 ≡ ( ); (3) 任给 ∈ , 存在 ∈ (0 ≤ ≤ ? 1), 使得 = ; (4) 模 m 的任何两个不同的剩余类都没有公共元素.

由此可以知道: 模 m 恰有 m 个不同的剩余类:0, 1, ? , m ? 1, 且满足 (1) = 0 ∪ 1 ∪ ? ∪ ? 1; (2) 如果0 ≤ ≤ ≤ ? 1, 则 ∩ = ?. 令 = ∪ ∪ ? ∪ ? ,称 为模的剩余类集. 显然, 有 个元素. 要特别指出的是: 的元素 不是一个数, 而是由与

有相同余数的全体整数所组成的 的子集. 对 中任何两个元素 (即剩余类) , ∈ , 我们规定 + = { + | ∈ , ∈ }; ? = { | ∈ , ∈ } ; 可以证明, + 与 ? 还是模 m 的剩余类, 且 + = + ; ? = . (3) (证明) (1) (2)

由此我们知道, (1),(2)两式左边的"+"与"?"是 的代数运算. 它们分别 称为 的加法与乘法. 这说明, 是具有两种代数运算"+" 与" ? "的

代数系统. 以后, 凡提到 的运算, 我们总是指的这两种运算. 例 4 在6 中, 计算:(1)2 + 3;(2) 2 ? 3; (3) 4 + 5; (4) 4 ? 5. 解 (1) 2 + 3 = 5; (3) 4 + 5 = 9 = 3; (2) 2 + 3 = 6 = 0; (4) 4 ? 5 = 20 = 2.

第三次课 1.2 什么是群 1、群的定义
定义 1 设 G 一个具有代数运算"?"的非空集合, 并且满足: (1) 结合律, 即对任意, , ∈ , 有 ? = ? ? ; (2) G 中有元素 e, 使得对任意 ∈ , 有 ? = ? = ; (3) 对 G 中每一个元素 a, 有元素 ∈ , 使得 ? = ? = , 则称 G 关于运算"?"构成一个群, 记作( ,?). 在不致引起歧义的情况 下, 也称 G 为群.
? ?

条件(2)中元素 e 称为群 G 的单位元或恒等元或幺元素; 条件(3)中的元素 b 称为 a 的逆元;

定义 2 设 G 一个具有代数运算"?"的非空集合, 在定义 1 中只满足第 一条结合律, 即对任意, , ∈ , 有 ? = ? ? ,则称 G 关 于运算"?"构成一个半群。 若在定义 1 中满足(1)、(2),则称 G 关于运算"?"构成一个有 幺元素的半群。
?

?

如果群 G 的运算"?"还满足交换律, 即对任何, ∈ , 有 ? = ? , 则称 G 为一个交换群, 或阿贝尔(Abel)群.
? ?

群 G 的单位元 e 和每个元素 a 的逆元都是唯一的. (证明) a 的唯一的逆元记作?1 .

定义 3 如果群 G 的元素个数有限, 则称 G 为有限群, 否则称为无限 群. 当 G 为有限群时, 如果 G 含有 n 个元素, 则称 n 为群 G 的阶, 记作 = . 如果 G 为无限群, 则记作 = ∞. 当一个交换群的运算用加号"+"表示时, 通常将 G 的单位元记作 0, 并称 0 为 G 的零元 a; 将 a 的逆元记作-a, 并称-a 为 a 的负元. 习惯上, 只有当群为交换群时, 才用"+"来表示群的运算, 并称这 种群为加群. 相应地, 把不是加群的群称为乘群. 在运算过程中, 乘群的运算符号常省略不写. 当 G 为加群时, 可以定义 G 中的"减法"运算: ? = + ? , ?, ∈ . 一般说来,




2、群的性质
性质 1 群 G 的单位元和每个元的逆元都是唯一的. 性质 2 在群 G 中, 两个消去律成立, 即对任意的, , ∈ , 如果 ? = ? , 则 = (左消去律);

如果 ? = ? , 则 = (右消去律).

性质 3 在群 G 中, 对任意, ∈ , 方程 = 与 = 都有唯一解.

3、群元素的方幂
在 G 中, 由于结合律成立,说明群 G 中三个元素的乘积与运算 的顺序无关,因此可将乘积( ? ) ? 简记为 . 进一步可以推出, 对任意 n 个元素,1 , 2 , ? , , 它们的乘积(不改变1 , 2 , ? , 的先后 次序)也与运算的顺序无关, 从而可将它们的乘积(按任何一次运算顺 序)记为1 2 , ? , . 据此, 可定义群的元素的方幂: 设 n 为正整数, 则规定: = ? ? ? ? (n 个乘积);

? = ?1 ? ?1 ? ? ? ?1 ; 0 = . 方幂的性质: (1) ? = + ; (2) ( ) = , ?, ∈ . 一般说来,


≠ 。

当群 G 是加群时, 群元素 a 的方幂 相应地改为 a 的 n 倍: = + + ? = ; ? = ? + ? + ? ; 0 = 0. (最后一式中左边的零为数 0, 右边的零为加群 G 的零元). 倍数的性质: (1) + = + ; 2 = ; 3 + = + .;

4、群的例子
例 1 整数集 Z 关于数的加法构成群, 称为整数加群, 这是一个无限交 换群. 例 2 全体非零有理数的集合? , 关于数的乘法构成一个无限交换群. 例 3 全体可逆的 n 阶方阵的集合 ( )关于矩阵的乘法构成

一个非交换群. 这个群的单位元是单位矩阵

. 每个元素(即可逆矩阵) 例4 设 的逆元是 的逆矩阵 的剩余类集 . (提示 8.8) 关于剩余类的

为大于 1 的正整数, 则模

加法构成群. 证明 (1) 对任意的 ,

所以,

的加法满足结合律. ,

(2) 对任意的

所以,

的加法满足交换律. , ; ,

(3) 对任意的

所以,



的零元. , ; .

(4) 对任意的

所以,

中每一个元素都有负元(即加法逆元). ,+)构成一个 Abel 群. 又因为 的 Abel 群. 只有 个元素, 所以

从而知, ( (

,+)为一个阶为

第四次课 例题选讲(典型例题及作业讲评) 第五次课 1.3 子群与陪集分解
1.子群的定义与性质 2. 子群的充要条件 3. 子群的陪集 4. 拉格朗日定理

1、子群的定义与性质
定义 1 设 H 为群的一个非空子集. 如果 H 对于 G 的代数运算也构 成群, 则称 H 为 G 的一个子群,记为 ≤ . 特别地,当 ≠ 时,称为的真子群,记为 < . 由子群的定义, 可以得到子群的下列性质: 定理 1 设 H 为 G 的子群. 则 (1) G 的单位元 e 就是子群 H 的单位元; (2) 设 ∈ , 则 a 在 G 中的逆元就是 a 在 H 中的逆元. 证明 (1) 设 ′ 为 H 的单位元, e 为 G 的单位元, 则 ′ ? ′ = ′ e′ 为 H 的单位元 = ′ ? (e 为 G 的单位元)

(2) = ? = ? ? ?1 = ? ? ?1 = ? ?1 = ?1 ,即, = ?1 . 例 1 对任意群 G, G 本身以及只含单位元 e 的子集H = {e}关于 G 的运 算构成 G 的子群. 这两个子群称为 G 的平凡子群. 例 2 设 m 为一固定整数, 令 = ∈ ,则 mZ 为整数加群 Z 的 子群. (证明)

例 3 整数加群是有理数加群的子群, 有理数加群是实数加群的子群. 一个非空子集H要成为群G的子群, 必须满足下列 3 个条件, 缺一不可: (1) H的元素全是G的元素; (2) H 的代数运算就是G的代数运算在H上的限制; (3) H 满足群的三个条件.

2. 子群的充要条件
定理 2 设 为群 G 的子集,则 为 G的子群的充分必要条件 是: (1) H 非空 (2)任给, ∈ , 有 ? ∈ ; (3) 任给 ∈ ,有?1 ∈ . (证明)

定理 3 设 H为群G的非空子集,则 H为G的子群的充分必要条件是: 任给, ∈ , 有 ?1 ∈ .(p17.2)

由于 G 中有消去律, 所以从 ′ ? ′ = ′ ? 的两边消去 ′ 得: ′ = ; (2) 设 b 是 a 在 H 中的逆元, ?1 是 a 在 G 中的逆元, 证明 (必要性) 设 H 为群 G 的子群, 所以, 对任意的, ∈ , 有 b?1 ∈ H, 且 ?1 ∈ . (充分性) 如果对任意的 , ∈ 有 ?1 ∈ . 则任给 a ∈ H ,

有 = ?1 ∈ , 进而 ?1 = ?1 ∈ . 所以定理 2 的条件(2)成立. 又任给, ∈ , 由上面的证明知道, b?1 ∈ H, 从而知 = ( ?1 )?1 ∈ . 故定理 2 的条件(1)也成立, 因此由定理 2 知, H为G的 子群. 例 4 设 ()是所有 n 阶可逆矩阵关于矩阵的乘法构成的群. ()是所有行列式等于 1 的 n 阶矩阵所组成的集合,则 ()是 ()的子群. 证明 首先, 单位矩阵 的行列式为 1, 所以 ()非空. 又对任一 n 阶方阵 A, 如果 A = 1, 则 A ≠ 0, 所以 A 可逆, 故 ()是 ()的子集. 又对任意的 , ∈ (), 有 = || = 1, 所以 ?1 = ? ?1 = ? ||?1 = 1. 这说明?1 ∈ (). 从而 由定理 3 知, ()是 ()的子群. 设G是群, G中与G的每一个元素都可交换的元素所组成的集合 = ∈ = , ? ∈ 称为G的中心.

例 5 证明: 的中心 是G的子群. 证明 (1) 因为 = , ? ∈ , 所以 ∈ ( ), 这说明 ( )是 的非 空子集. (2) 如果 , ∈ ( ), 则对任意的 ∈ , 有 = = = = = (). 所以, ab ∈ C(G), 从而定理 2 的条件(1)成立. (3) 如果 ∈ ( ), 即 = , 则 ?1 = ?1 = ?1 ?1 = ?1 ?1 = ?1 , 所以, ?1 ∈ ( ). 从而定理 2 的条件(2)也成立. 于是由定理 2 知, ( )为 G 的子群. 显然, ( )是一个交换群. 例 6 群 的任何两个子群的交集也是 的子群(p17.1).
? ?

( 证明)

群 的任意多个子群的交集仍是子群. 群 的两个子群的并一般不是子群. (注:第(2)条不成立 i.e. ? 不一定属于 ∪ )(思考)

例 7 由群G的一个元素生成的生成子群: 设G是群, 是G的任一元素,令 = ∈ .则显然, 是G 的非空子集. 又对任意 , ∈ , (, ∈ ), ?
?1

= ? ? = ? ∈ ()

从而由定理 3 知, 为 G的子群. 这个子群称为G的由元 生成的生 成子群. 显然, 是交换群. 如果G 为加群, 则对任意的 ∈ , 相应地改为 = {| ∈ }. 对群 的一个元素, 总有下列两种情形之一发生: (1) 对任意的, ∈ , ≠ , 有 ≠ . 此时, a 中有无限多个 元素, 因此 是一个无限交换群. (2) 存在, ∈ , ≠ , 使得 = . 不妨设 > , 则 ? = . 于是, 存在正整数 k, 使得 = .设 r 是使得 = 的最小 正整数. 则 = {, , ? , ?1 } 故 是一个 r 阶交换群.
?

(证明)

如果 是一个 r 阶交换群, 则称 a 的阶为 r, 记作 = . 如果 G 为加群, 则 ∈ 的阶 应理解为使得 = 0的最 小正整数 .

?

例 8 在单位根群U18 (见教材第 9 页例 7)中, 令ω = cos 则 Ordω = 18, Ordω4 = 9, Ordω5 = 18.

2π 18

+ isin

2π 18

,

(证明)

例 9 在剩余类加群Z20 中, Ord2 = 10, Ord7 = 20, Ord15 = 4 (证明)

? 群子集的运算 设 G 为群, A,B 是群 G 的两个非空子集, g ∈G. 定义 ? = ∈ , ∈ ; ?1 = {?1 | ∈ }; = {| ∈ }; = ∈ .

群子集的乘法满足结合律: () = ( );
?

如果 H 为 G 的子群, 则有 H? = ;

当 G 为加群时, 相应地应为 + = {| ∈ , ∈ }; + = {| ∈ }; + = ∈ . 一般来说, ≠ , ≠ , 但是对加群而言, 却有 + = + , + = + . 定理 4 设 , 为 G 的两个子群, 则 为 G 的子群的充分必要条 件是 = (17.5). (证明)

第六次课 1.3 子群与陪集(续) 3. 子群的陪集
定义 2 设 G 是群, H 是 G 的子群. 称群 G 的子集 = {| ∈ } 和 = {| ∈ } 分别为 H 在 G中的左陪集与右陪集.
? ? ?

一般来说, ≠ . 当 ∈ 时, = = .

当 G 为加群时, 相应的左、 右陪集应记为 + = { + | ∈ 和 + = + ∈ . 显然有: + = + .

3. 左、右陪集的性质 定理 5 设 H是 G的子群, 则 (1) = 当且仅当 ?1 ∈ , ?; , ∈ ; (2) = 当且仅当 ?1 ∈ , ?; , ∈ . (3) G 的任何两个左(右)陪集或者完全相同, 或者无公共元素. 因 此 G 可以表示成一些不相交的左(右)陪集之并. (证明)

定理 6 群 G 的任何两个陪集(包括左陪集与右陪集)含有相同个数的 元素. 证明 设H为 G 的子群, ∈ , 令 : → ( → ) : → (h→ )

则 σa 与τa 都是双射(证明). 从而知道, 任一陪集都与 H含有相同个数的元素. 进而可知, G 的任何两个陪集都含有相同个数的元素. 定理 7 设H为 G 的子群. 则H在 G 中左陪集的个数与右陪集的个数 相同. 证明 设 A,B 分别表示在 G 中的左、右陪集所组成的集合, 令 : → 则 φ 是 A 到 B 的双射. (证明) → ?1 , ? ∈ .

利用定理 7 的结论, 我们可以提出如下关于群指数的概念. 定义 3 设 G 是群, H 是 G 的子群. 称子群 H 的左(右)陪集的个数(有 限或无限)为 H 在 G 中的指数. 记作:[ : ]. 例 10 设[Z, +]为整数加群, = {5| ∈ }, 则 H 为 Z 的子群, G: H = 5. (证明)在此处键入公式。

4、拉格朗日定理
定理 8 (拉格朗日定理) 有限群 G 的任一子群 H 的阶数是群 G 的阶 数的因子.

证明 设 G = n, 因为 H 是 G 的子群, 所以 H在此处键入公式。也是 有限群. 从而 H 在 G 中左陪集的个数也有限. 设 H 在 G 中全体不同 的左陪集为 1 , 2 , ? , , = : , 则 =


.

由定理 5, ∩ = ?,. 又由定理 6, | | = | |. 所以,

从而, 整除| |. 由此定理可知, 如果 G 为有限群, 则 : =


.

推论 1 有限群 G 的任一元素的阶都是群 G 的阶数的因子. 推论 2 设 G 为有限群. = , 则对任意的 ∈ , = .

第七次课 1.4 循环群
1.(一、群的元素的阶) 2.(二、循环群的性质) 3.(三、群同构的概念) 4.(四、循环群的结构定理)

1、群的元素的阶:
上一讲我们介绍了群元素的阶的概念. 下面我们给出群元素阶的一些性质.

性质 1 设 G 为群, ∈ , 则 = ?1 . (回顾:使得 = 的最小正整数r 称为 a 的阶,记作 = . 若 = 1, 则 ≤ . ) 证明: 设 = , 则 (?1 ) =
?1

= , 所以 ?1 也是有限阶 ?1
?1

的, 且?1 ≤ . 设?1 = , 则 = ≤ .由此得 = , 即 = ?1 .

= . 所以,

如果 = ∞, 则由以上证明知 ?1 的阶不可能是有限的(否 则, 由?1 的有限性可推出的有限性), 故 ?1 = ∞. 性质 2 设 G 为群, ∈G, 如果 = , 且 = , 则|. 证明: 由整数的性质知, 存在, ∈ , 0 ≤ < 使得 = + ,则 = ? = ? 从而由阶的定义知, = 0.
?1

= ,

性质 3 设 G 为群, , ∈ , = , = , 如果 , = 1且 = , 则 = . 证明: 因为 = , = , = , 所以,


= ? =



?



= .

从而, 是有限阶的. 设 = , 则由性质 2 知: |. 另一方 面, = ? =


=





= .

从而又由性质 2 知: |. 因为 = 1, 所以, |. 同理可证, |. 从而由 , = 1进一步可知, |. 所以, = . 定义 1 设 G 为群, ∈ , 如果 G 的每个元素都可以表示成元素 a 的 某个方幂, 即 = ∈ ,则称 G 为循环群, 记作 = (). 例 1 (, +)是一无限循环群, 且 , + = (1). 例 2 n 次单位根群 = = 0,1, ? , ? 1 , = 是 n 阶循环群, 且 = (). 例 3 设 m 为正整数, 模 m 剩余类加群 = 0, 1, ? , ? 1 是 m 阶循 环群, 且 = (1).
2

+

2

,

2、循环群的性质
定理 1 设 G 为 n 阶循环群, G=(a), 则 为 G 的生成元的充分必要条 件是 , = 1. 证明 (必要性) 设 为 G 的生成元, 则 = ( ), 而 ∈ ( ), 于是存 在 k 使得 = .于是, ?1 = , 所以, | ? 1. 从而存在 ∈ , 使得 = ? 1,即 ? = 1. 证得 , = 1. (充分性) 设 , = 1. 则存在, ∈ , 使得 + = 1. 于是, 任 给 ∈ , = + = ( ) ? , 所以 = ( ). 定理 2 循环群的任一子群都是循环群. 证明: 设 G 为循环群, 且 = (),设 H 是 G 的任一子群. 如果 = {}, 则 = ()是循环群. 以下设 ≠ {}. 设 ∈ , ≠ , 则存在 ∈ , 使得 = . 从而 ?1 = ? ∈ . 令 ∈ ,使 r 是使 ∈ 的最小正整数. 下面证明: = ( ) (1) 显然, ( ) ? ; (2) 任给 ∈ , ∈ , 存在, ∈ , 使得 = + , 0 ≤ ≤ . 则 = ? = ? 从而 =
?

∈ ( ).所以, ? ( ). 又

∈ , 所以 t=0 (为什么?). 于是 m=sr.

∈ , 即证 ? ( ). 由此知, = ( ).

从定理 1 和定理 2 可得一个循环群的所有子群.
?

H 是(Z, +)的子群的充分必要条件是 = {| ∈ }.(p19 定理 2 (1))

?

H 是 的子群的充分必要条件是 = , 为的正因子.. (p19 定理 2(1))

例 4 18 的子群有 ; ; ; ; ; . 例 5 设 ∈ , ∈ ,则 + = {1 + 2 |1 , 2 ∈ }是(Z,+)的子 群, 且 + = . 其中 d 是 a 与 b 的最大公因数. (作业)

3、群同构的概念
定义 2 设 G 与G′ 是两个群, τ是 G 到G′ 的一一对应, 如果对任意的 , ∈ , 有 = (), 则称τ是 G 到G′ 的一个同构映射(简称 同构), 并称群 G 与G′ 同构, 记作 τ:G ? G′ . 群同构的性质:

定理 3 设 G 与G′ 为群, τ是 G 与G′ 的同构映射, 则 (1) 如果为 G 的单位元, 则τ(e)为 的单位元;
?1

(2) 任给 ∈ , (?1 )为()的逆元, 即 ?1 = 证明 (1) 因为 = ? = ? . 由消去律知, 为 的单位元.

.

(2) 任给 ∈ , ?1 = ? ?1 = = ′ ′ 的单位元 从而知 ?1 为 的逆元. 所以, ( ) ?1 = ?1 . 定理 4 群同构是一个等价关系, 即有 (1) (2) 如果 (3) 如果 (自反性); , 则 , (对称性); , 则 . (传递性).

4、循环群的结构定理
定理 5 设 (1) 如果 (2) 如果 证明 设 (1) 如果 令 . , 则 当且仅当 (提示). 为循环群, 则 , 则 , 则 . ;

则 (i) (ii) (iii)

为映射; 为单射 (提示); 为满射 (提示); ,

(iv) 任给

所以, (2) 如果

. , 则 当且仅当 (提示). 令

则 (i) 如果 映射. (ii) 任给 . 故 (iii) 任给 (iv) 任给

, 则

, 所以

. 这说明







, 如果 为单射. , , 则 , 有

, 即

, 则

, 所以,

, 所以

为满射.

所以,

.

同构的群, 不但在元素之间存在着一一对应, 而且在此一一对应之下, 其元素之间的运算也保持着相同的性质. 故同构的群有完全相同的

群性质. 从同构的观点看, 循环群仅有两类: 即整数加群(Z,+)与模 n 剩余类加群 . 因此我们可以说, 循环群由它们的阶唯一确定.

第八次课 学生研讨(针对循环群的结构、应用进行讨论) 第九次课 1.6 置换群
1.(一、置换及其运算) 2.(二、轮换与对换) 3.(三、置换群) 4.(四、几何体的对称变换群;五、变换群)

1、置换及其运算
定义 1 集合 = {1,2, ? , }的一个一一对应称为一个 n 阶置换.
?

如果置换σ将 1 变为1 , 2 变为2 , ?, σ= 1 1 2 ? 2 ?

变为 , 则σ可表示为

其中, 第二排表示第一排元素在σ下的象, 且第一排元素的次序可以 是任意的. 当第一排元素固定时, 第二排元素就是1,2, ? , 的一个排 列. 第二排不同的排列得到不同的置换. 不同的阶排列共有!个. 1 2 1 2 ? 称为恒等置换. ? 1 1 2 2 ? ? ,如果(1 , 2 , ? , )为奇排列, 则称σ

定义 2 设σ =

为奇置换, 如果(1 , 2 , ? , )为偶排列, 则称σ为偶置换.
?

如果 ≥ 2, 则 n 阶偶置换与奇置换各有 个.
2

!

设σ =

1 1

1 2 ? , τ = 2 ? 1

2 ? 2 ? ,则任给 ∈ 1,2, ? ,

定义 =

= = , 从而

1 = 1 例 1 设 σ=

2 ? 1 ?1 2 ? , = 1 3 1 ,τ = 1 2 2 3 ,那么 1 3

2 ? . 2 ?

1 2 2 3

, . .
? ?

置换的乘法不满足交换律. 置换的乘法满足结合律.

2、轮换与对换
定义 3 如果置换σ将1 变为2 , 将2 变为3 , 将3 变为4 , ?, 将 变回 到1 , 而1 , 2 , ? , 互不相同, 并保持其余的元素不变, 则称σ为一个 长度为 r 的轮换, 简称为 -轮换, 记作σ = (1 2 ? ).
? ?

1-轮换 (1)=(2)=? = () 就是恒等置换. 2-轮换(1 2 )称为一个对换.

例 2 置换

,

例 3 设 5-轮换σ = (2 4 6 3 1)是一个 7 阶排列, 则 σ=
1 2 3 4 5 6 7 2 4 1 6 5 3 7

,上述式子可如下得到:

(i) 首先在第一排依次写出 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; (ii) 然后分别在 2,4,6,3,1 下写出 4,6,3,1,2; (iii) 最后在 5,7 下写上 5 与 7. 例 4 设σ = 1 3 4 2 , τ = (2 5 1 4 3), 则σ?1 = 2 4 3 1
1 2 3 4 5 2 5 1 4 3

τσ =

= (1 2 5 3), .

如果两个轮换σ = 1 2 ? 与 τ = (1 2 ? )不含公共的元素, 即 ≠ , = 1,2, ? , , = 1,2, ? , ,则称σ与τ为不相交轮换,且στ = τσ.
?

不相交的轮换的乘法是可以交换的. 如(12)(34)=(34)(12).

定理 1 每一 n 个元的置换可唯一表为若干个不相交轮换的乘积. (提 示:归纳法) 如果σ为恒等变换, 则σ = (1); 如果σ不是恒等变换, 假设σ 最多变动 ? 1 ≤ 个元时,定 理成立。下证对变动 r 个元的 σ,定理也成立。 任取一个被σ变动 的元1 ,则必有1 ∈ {1,2, ? , }, 使得 1 = 2 , 1 ≠ 2 . 再看2 ,如 果 2 = 3 , ?, 由于{1,2, ? , }的个数有限, 故必有某个 , 使得对 某个 j, 1 ≤ j ≤ r, 有 = . 因为σ为一一对应, 所以j ? {2, ? , r},

否则, 就有 ?1 = = ( ), 与σ为一一对应矛盾. 所以, 必有 = 1 . 故得到σ中的一个轮换σ1 = 1 2 ? 如果 r=n, 那么σ = 1 2 ? = σ1 为一轮换. 如果 < , 则必有 ∈ 1,2, ? , ? {1 , ? , }, 继续考虑 1 = j2 , 2 = j3 , ?. 则又得一轮换σ2 = (j1 , j2 , ? , js ). 以此类推, 可得若干个不相交轮换σ1 , σ2 , ? , σt . 则σ = σ1 σ2 ? σt . 下证唯一性:设有两种不相交轮换表示: σ = σ1 σ2 ? σt 及σ = σ’1 σ’2 ? σ’t . 设σ1 = 1 2 ? , 则σ1 必与某个σ’k 有公共元素. 不 妨设σ1 与σ’1 有公共元素 i, 则 ′ 1 1 = 1 = 1 1 = 2 , ′ 1 2 = 2 = 1 2 = 3 , ?? ′ 1 = = 1 = 1 , 所以, ′ 1 = σ1 . 从σ2 ? σt = σ’2 ? σ’t . 因为σ2 与σ1 无公共元素, 而 ′ 1 = σ1 , 所以σ2 与 ′ 1 无公共元素, 因 此σ2 必与某个 ′ ( 论可知, . ) 有公共元素, 设 i=2, 从而类似与上面的讨

以此类推, 可得σ2 = σ’2 , ? , σt = σ’t 且 s=t.

例 5 将σ =

1 2 3 4 5 6 7 3 1 4 2 5 7 6

写成不相交的轮换的乘积。

解 σ将 1 变换为 3, 3 变换成 4, 4 变为 2, 2 变为 1, 得轮换(1 3 4 2); σ将 5 变换为 5, 得轮换(5); σ将 6 变换为 7, 7 变为 6, 得轮换(6 7). 所以, . . 即在轮换的乘法中多

上述轮换的乘积可简记为: 余的 1-轮换可以省略不写.

定理 2 每一轮换都可以表为若干个对换的乘积. 证明 设 为一个 -轮换, 则 . 由定理 1 与定理 2 可得 定理 3 每一置换都可表为若干个对换的乘积. 例 6 将

表为对换的乘积. 解 容易验证: . (4 2)(2 6)(1 2)(1 3)(2 7)(1 2).

这说明, 将一个置换表为对换的乘积时,其表法一般不唯一, 且所用 的对换的个数也不唯一. 但我们却可以证明: 定理 4 将一个置换表为对换的乘积时, 其所用对换个数的奇偶性是 唯一的. (提示) σ =? ?
?1 2 3 ? k ? l ? n? ? ? ? i1 i2 i3 ? ik ? il ? in ?

首先, 设



σ =

1 2 3 ? k ? l ? n . i1 i2 i3 ? il ? ik ? in

因为排列(1 , 2 , 3 , ? , , ? , , ? , )与(1 , 2 , 3 , ? , , ? , , ? , )的 奇偶性不同, 故用一对换 乘一置换 , 则 的奇偶性与 不同.设

因(1)为偶置换, 所以 的奇偶性是 (1)的奇偶性(为偶数)经改变 改变奇偶性而得到. 因此,
?



与 有相同的奇偶性. 这就证明了结论. 只能表为奇数个对换之积, 如果 为偶

如果

为奇置换, 则

置换, 则
?

只能表为偶数个对换之积.



表为不相交轮换的乘积, 如果其中长度为偶数的轮换的个 为奇置换, 否则为偶置换. (提示)

数为奇数, 则

证明:每一长度为

的轮换可表为

个对换之积. 因此长度为

奇数的轮换为偶置换, 长度为偶数的轮换为奇置换, 由此即得结 论.

3、置换群
定理 5 n 个元素的全体置换关于置换的乘法构成群. 证明 设 S 为 n 个元素的全体置换组成的集合, 则 (1) 置换的乘法显然是 S 上的代数运算; (2) 置换的乘法满足结合律; (3) 恒等置换1 = 1 2 ? 显然是 S 的单位元; 1 2 ?

(4) 任给 ∈ , σ?1 也是 n 阶置换, 且σ?1 = σ?1 = 1 . 所以 S 关于置换的乘法构成群. 定义 4 n 个元素的全体置换关于置换的乘法所构成的群称为 次对 称群, 记作 .
? ?

的阶为 n! 当n ≥ 3时, 是非交换群.

例 7 3 次对称群3 共有 6 个元素, 其元素的置换表示为 , , , , , .

如果将上述置换用轮换(或轮换的乘积)来表示, 那就是 (1), (1 2), (2 3), (1 3), (1 2 3), (1 3 2). 定义 5 的任一子群称为置换群. 定理 6 n 个元素的全体偶置换关于置换的乘法构成 的一个子群. 证明 设σ, τ为任意两个偶置换, 则σ和τ都可表为偶数个对换的乘积:

. 于是 ,

都是偶数个对换之积, 从而由子群的判别法知道结论成立. 定义 6 n 个元素的全体偶置换关于置换的乘法构成的群称为 交错群, 记作 .
? ?



当 ≥ 4时, 为非交换群. | | =
! 2

, ( ≥ 2).

例 8 3 的元素为 (1), (1 2 3), (1 3 2). 例 9 设按顺序排列的 13 张红心纸牌 A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K 经一次洗牌后牌的顺序变为 3, 8, K, A, 4, 10, Q, J, 5, 7, 6, 2, 9

问: 再经两次同样方式的洗牌后牌的顺序是怎样的? 解 每洗一次牌, 就相当于对牌的顺序进行一次新的置换. 由题意知, 第一次洗牌所对应的置换为

则 3 次同样方式的洗牌所对应的置换为

4、几何体的对称变换群
使图形不变形地变到与它重合的变换称为这个图形的对称变换. 图形的一切对称变换关于变换的乘法构成群,称为这个图形的对称变 换群. 本小节的主要目的是给出几个简单几何体的对称变换群. 例 10 正三角形的对称变换群. 设正三角形的三个顶点分别为 1, 2, 3. 显然, 正三角形的每一对称 变换都导致正三角形的三个顶点的唯一一个置换. 反之, 由正三角形 的三个顶点的任一置换都可得到正三角形的唯一一个对称变换, 从 而可用3 = { 1 , 12 , 13 , 23 , 123 , (132)} 表示正三角形的对称 变换群。 其中(1)为恒等变换, (1 2), (1 3), (2 3) 分别表示关于正三角

1 l2 l3 O 2 l1 3

形的三个对称轴 1 , 2 , 3 的反射变换, (1 2 3), (1 3 2)分别表示关于正三角形 的中心按逆时针方向旋转 变换. 的旋转

11 正方形的对称变换群. 正方形的四个顶点分别可用 1, 2, 3, 4 来表示. 于是正方形的每一对 称变换可用一个 4 阶置换来表示. 显然, 不同的对称变换所对应的置 换也不同, 而对称变换的乘积对应了置换的乘积. 这说明, 正方形的 对称变换群可用一置换群来表;示. 容易看出, 正方形的对称变换有两类:

第一类: 绕中心的分别旋转

,

,

,

的旋转, 这对应

于置换(12 3 4), (1 3)(2 4), (1 4 3 2), (1). 第二类: 关于正方形的 4 条对称轴
l3 2 1 l2

l4

l1

1 , 2 , 3 , 4 的反射, 这对应于置换 (12)(3 4), (2 4), (1 4)(2 3), (2 4), (1 3). 所以, 正方形的对称 变换群有上述 8 个元素. 这是4 的一个子群.

O

3

4

?

可以证明: 正 n 边形的对称变换群有 2n 个元素. 这种群称为 2n 元二面体群.

5、变换群
设 A 为任一非空集合, 为 A 的全体一一变换所组成的集合. 可以 证明, 关于变换的合成构成群. 这个群称为集合 A 的完全一一变换 群, 记作. 的任一子群称为一个变换群. 关于变换群, 有下面重要的凯莱定理. 定理 7 (凯莱定理) 任一群都同构于一个变换群. 由定理 7, 又可以得到 定理 8 任一有限群都同构于一个置换群. 第十次课 1.5 正规子群与商群 1.(一、正规子群的定义) 2.(二、正规子群的判别) 3.(三、商群的定义与性质) 4.(四、商群的例子)

1、正规子群的定义
定义 1 设 H 是群 G 的子群. 若对任意的 ∈ , 都有 = ,则称

H 是 G 的一个正规子群, 记作 ? . 例 1 设 = 3 , = { 1 , 123 , (132)}. 那么(1)=H(1),

, 因此,(12) = (12). 而且 123 = 123 ,(132) = (132), 23 = 12 = 12 = 23 , 13 = 12 = 12 = 13 , 所以,H 是3 的正规子群. 例 2 设 = 3 , = 1 , 12 . 因为 , 所以, 13 ≠ (13). 故不是3 的正规子群. .

.

例 3 如果 G 是交换群, 则 G 的每个子群 H 都是 G 的正规子群. (练习) 例 4 设 H 为群 G 的子群. 若 : = 2, 那么 ? . 证明 任给 ∈ , 如果 ∈ , 那么 = = . 如果 ? H , 那 么 H 与 aH 是 H 在 G 中的两个不同的左陪集, 所以 = ∪ , 同理, = ∪ .

因为 ? , 而 ∩ = ?, 所以 ? . 同理可证: ? . 从而 = . 由此知 ? . 例 5 是 的正规子群. (练习)

2、正规子群的判别
定理 1 设为 G 的子群, 则下列四个条件等价: (1) (2) (3) (4) 证明 (1) (2): 设 ; , , , , 则 ; ; , . , 有 . 所以,

(2) (3):显然. (3) (4):显然. (4) (1): , . 由于 . 又 . 由 h 的任意性知, . 因此, . 所以, (提示) . , 故 = , ,

?1 ? ∈ ,由 h 的任意性知

例 6 设 = , = , 则 ? .

证明 (1)

,

,

, 则

所以, 为 的子群. (2) 任给 ∈ , ∈ ,则 ?1 = ? ? 所以, ?1 ∈ , 从而 ? (). 例 7 群 的任何两个正规子群的交还是 的正规子群. 证明 设与为 的两个正规子群, = ∩ , 则为 的子群. 又 任给 ∈ , ∈ = ∩ , 则因为与都是 的正规子群, 所以 ?1 ∈ , ?1 ∈ . 所以, ?1 ∈ ∩ . 故 ∩ ? .
?1

= 1.

3、商群的定义与性质
设为 的正规子群, 则的任一左陪集也是的右陪集. 于是我们不必区分的左陪集与的右陪集, 而把的任一左陪集 (也是右陪集)称为 的陪集. 设 / 表示 的所有陪集所组成的集合, 即 / = {| ∈ }. 下面我们来定义 /的运算, 并证明 /关于此运算构成群. (1) 设 , ∈ /, 令 ? = {1 ? 2 |1 , 2 ∈ }. 因为对任意的1 , 2 ∈ ,

1 ? 2 ∈ ? = = ? ? = 所以, ? ? . 又 = ? ? ? , 所以, ? = . 这说明, 陪集与的乘积是陪集 . 所以, 陪集的乘积为 /的代数运算. (2) 任给, , ∈ ,

所以, 陪集的乘积满足结合律. (3) 任给 ∈ , ? = ? = () = ; ? = ? = () = ; 所以, ? = = ? . 这说明, 单位元的陪集(即正规子群 ) 为陪集乘法的单位元. (4) 任给 ∈ , ?1 ? = = = ? ?1 , 所以, ?1 是 的乘法逆元, 即 定理 2
?1

= ?1 . 这就证明了

设为 的正规子群, 则在 中的全体陪集 /所组成的

集合关于陪集的乘法构成群.
? ?

如果 为乘群, 则 /的运算仍用"."表示. 如果 为加群, 则 /的运算仍用"+"表示.

?

/中的元素 表示.

(当

为乘群) 或

(当

为加群)常用

定义 2

设为 的正规子群, 则在 中的所有陪集 /所组成的

集合关于陪集的乘法构成的群称为 关于它的正规子群的商群.
? ?

/ = : . 如果 是有限群, 则 / = : =
| | | |

?

有限群 的商群还是有限群, 且其任一商群的阶是群 的阶的 因子. 商群有下列常用的性质: (1) 设为 的正规子群, 则 = = 为 /的单位元,

?1 为的逆元. (2) 交换群的任一子群都是交换群, 且其商群也是交换群. (3) 循环群的任一商群也都是循环群. (练习)

4、商群的例子
例 8 设 = (, +), 为加群, 所以它的任一子群都是正规子群. 设为一大于 1 的正整数, = (), 则 . 且 , 与 中的加法相同, 故 /() = .

例 9 设 = 18 , = 18 , 为 18 的正因子. 则 . 令 : / →

则 是 /到 的同构, 所以: 18 /18 ? /().

例 10 设 = 3 , = { 1 , 123 , (132)}. 则

, 且

, 这是一个循环群, 其生成元为 12 .

第十一次课 群的共轭类
1、群元素共轭的定义
定义 1: 设 A 和 B 是群 G 的两个子群。 如果存在 ∈ 使得? = , 则称 A 和 B 共轭,用“~”表示,A~B 。 注:共轭关系是一个等价关系。 定义 2:群 G 的每个等价类叫做 G 的一个共轭类。 若 A~B,即? = , 则,|? | = ? ∈ , 元素? 叫做的共轭元素。 || = ||

2、正规化子及中心化子
定义 3:设 M 是 G 的子群,则 = { ∈ |? = }为 G 的子群,叫做 M 的正规化子。 定义 4: 设 M 是 G 的子群, 则 = { ∈ |? = , ? ∈ }为 G 的子群,叫做 M 的中心化子。? ∈ , = ? ∈ 。 ≡ ()称为 G 的中心, 中的元素称为 G 的中心元素。
1 是 的子群; 注:○ 2 ○

? ∈ , = ();

3 ○ G 为阿贝尔群? = ().

定:1:设 M 是 G 的子集,则与 M 共轭的子集个数等于[G: ()] 证明: 。 。 。 。 。p16 注:设 ∈ ,则与 a 共轭的元素个数等于[G: ()](作业)

3、循环群、置换群的共轭类
例 1:写出循环群 = = 的所有共轭类。 例 2:写出对称群 的所有共轭类。 定义 5:划分(partition) 定理 2:对称群 中两个置换共轭的充要条件是它们有相同的型。

第十二次课 1.5 群同态与同态基本定理
1、群同态的定义
定义 1 设 , 有 则称 是群 到
?



是两个群,

是 到 的映射. 如果对任意的

的一个同态映射, 简称同态. 的满同态, 并称 与

当同态映射 是满射时, 称 为群 到 同态, 记作

?

当同态 是单射时, 称 为群 到 当且仅当 是群 到 的同构映射.

的单同态.

?

的既单且满的同态时, 称 为群 到

?

例 1 设群

是整数加群

,

是全体非零实数



成的乘法群. 令

则 是 到

的映射, 且对任意的

,

因此



到 是两个群,

的同态映射. 是 的单位元. 令

例 2 设 与

则 是 到

的映射, 且对任意的

,

因此 是 到 例 3 设群 与

的同态映射. 都是整数加群. 为任一整数. 令

则 是 到 的映射, 且对任意的

, 有

所以,





的同态映射.

例 4 设 为群,

是 的正规子群. 令

则 是 到

的满映射, 且对任意的

,

所以 是 到它的商群

的同态映射, 称这样的映射为自然同态.

显然, 自然同态是满同态, 故

2、群同态的性质
定理 1 设 与 是群, 是 到G′ 的同态映射. 是G′ 的单位元; 是 在G′ 中的逆元. 即

(1) 如果 是 的单位元, 则 (2) 对于任意的 ,

证明 (1) 因为

是 的单位元, 设

是G′ 的单位元, 则

从而有消去律得: (2) 因为 从而可知, 定理 2 设 与G′ 是群,

.

. 是 到G′ 的同态映射. 是G′ 的子群; 是 的子群; 是 的正规子群. , 使得 . 则

(1) 如果 是 的子群, 则 (2) 如果H ′ 是G′ 的子群, 则

(3) 如果H ′ 是G′ 的正规子群, 则 证明 任给 , 存在

所以 (2) 设

为G′ 的子群. , 即 . 则

所以, (3) 由(2)知, 有 所以, 定理 3 则 设 是

. 从而

为 的子群. , ,

是 的子群. 又对于任意的

的正规子群. 是 到G′ 的满同态.如果 是 的正规子群,

与G′ 是群,

是G′ 的正规子群. 是G′ 的子群. 又对任意的′ ∈ ′ , 因为 , 使得 = ′ . 从而 是满

证明 由定理 2 知, 同态, 所以存在

所以,

是 ′ 的正规子群.

3、群同态的核
定义 2 设 称 ′ 在 . 在例 1 中, 同态映射 的核 . 与 ′ 是群. 是 到 ′ 的同态映射. ′ 是 ′ 的单位元. 为同态映射 的核, 记作

中的原象

在例 2 中, 同态映射 在例 3 中, 同态映射 在例 4 中, 自然同态 例 5 设 与 ′ 是群. 要条件是 证明 (必要性) 设

的核 的核 的核

. . .

是 到 ′ 的同态映射. 则 是单同态的充分必

, 其中 是 的单位元. , 则



是单同态, 所以 ,

, 从而 , 则

.

(充分性) 设

所以, 单同态. 定理 4 设 与 是 证明 记 (1) 因为 (2) 对任意的

. 而

, 故

. 于是

. 所以 是

是群.

是 到

的同态映射. 则同态映射 的核

的正规子群. . , 所以 , 则 , 故 非空.

所以

. 从而 ,



的子群. ,

(3) 对任意的

所以

, 从而知



的正规子群.

第十三次课 群同态基本定理及习题选讲
定理 5 (群同态基本定理 ) 设 与G′ 为群, 是 到G′ 的满同态, 则

证明 记 一个商群. 令

. 由定理 4 知,

是 的正规子群, 所以

是 的

(1) 若

, 则 . 这说明,

. 所以, 的定义与

. 由此得

的代表元素的选取无关. 从而 为

到G′ 的映射. (2) 对任意的 ,

所以



到 ′ 的同态映射. , 如果 , 由此得知 , 即 , 则

(3) 对任意的 , 于是

, 所以 为单映射.

对任意的′ ∈ ′ , 因为 是满同态, 所以存在 = ′ . 则 于是由群同构的定义知, , 故 为满映射. 为 到 ′ 的同构, 即

, 使得

?

群同态基本定理是群论中最重要的定理之一. 它是研究群与群 之间关系的有力工具.

例 6 设

,

. 令

则 是 到 ′ 的满同态, 而

从而 例 7 设 ,

. . 令

则 是 到 ′ 的满同态, 而

从而

.

例 8 设 为群 的子群,

是 的正规子群, 则

, 且

证明 令

: ,

,

. 则 是 到

的映射.

(1) 任给

所以,

为 到

的同态映射. , , 这里 , 则

(2) 任给

所以 为 到 (3)

的满同态.

从而由同态基本定理得, 有同构

例 9 设 与 ′ 为群, , 则

是 到 ′ 的满同态, ′ 是 ′ 的正规子群,

证明 设 为 ′ 到

的自然同态. 令

. 则 为 到

的同

态. 因为 和 都是满同态, 故

也是满同态. 而

从而由同态基本定理得

例 10 设 和 是群 的正规子群, 且

, 则

证明 令

(1) 若 从而知, 为

, 则 到

, 而 的映射. ,

, 故

. 所以

.

(2) 对任意的

所以 为 (3)



的同态映射. . 从而由

同态基本定理得

?

例 8, 例 9, 例 10 分别称为群的第一, 第二, 第三同构定理.

第十四次课 1.7 群在集合上的作用
1、群在集合上的作用
定义 1 设 是一个群, 得对每个 应(记作 (i) , 是一个非空集合. 如果存在某个法则" ", 使 中唯一的元素 与它们对

, 通过 " ", 存在 ), 并且满足:

(e 为 G 的单位元); = 1 (2 ).

(ii) 对任意的1 , 2 ∈ , ∈ , 1 2

则乘法" "定义了 在集合 上的一个作用, 简称 作用在集合 上.
?

在不会引起误解的情况下,

也常简记作

. , , 令

例 1 设 = {1,2, ? , }, G 为 的子群, 对任意的 = ∈ . 则显然有 (i) (ii) 从而, ;

定义了置换群 在集合 上的作用, 我们常应用这种作用来

讨论计数问题. 例 2 设 为群, , 对任意的 , , 令 则显然

有 (i) = ; (ii) 1 2 = 1 (2 ). 从而得到群 在它自身上的一个作用.

例 3 设 为群,

, 对任意的

,

, 令

则对

任意的 ∈ , 1 , 2 ∈ , 有 (1) ? = ?1 = ; (2) (1 2 ) ? = 1 2 1 2
?1 2 2 = 1 ? (2 ? ). ?1 ?1 ?1 = 1 2 2 1 = 1 ?

于是又得到 在它自身上的一个作用, 这个作用称为共轭作用.
?

例 2 与例 3 中的作用常用来讨论群的结构.

2、轨道稳定子群与不动元素
定义 2 设群 作用于非空集合 上. 对任意的 , 集合 =

{| ∈ }是包含 的 的子集, 称 为 的含元素 的轨道. 如果 X 本身是一个轨道, 即 = , 则称 在 上的作用是传递的. 例 3 设 = {1,2,3,4,5,6},G 是由六个置换 (1), (1 2), (3 5 6), (3 6 5), (1 2)(2 5 6), (1 2)(3 6 5) 所组成的群, 则1 = 1,2 , 4 = 4 , 3 = {3,5,6}. 定理 1 设群 作用于非空集合 上, 则 (1) 的任何两个轨道或者完全相同, 或者无公共元素;

(2)

是一些不同轨道的并, 即 =
=1 | |.

=1 ;

(3) =

证明 (1) 设 ∈ ∩ , 则存在1 , 2 ∈ , 使得 = 1 且 = 2
?1 所以, 1 = 2 , 从而 = 2 1 ∈ . 由此得 ? . 同理可证

? ,所以 = . (2) 设 1 , 2 , ? , s 是 X 的全部不同的轨道, 则
=1

? . 又

任给 ∈ , 则 ∈ , 必与某个 相同, 所以 ∈ . 由此可知, ?
=1 .

故 =

=1 . =1 | |

(3) 由(2), 因为 ∩ = ?, ≠ , 所以 = 定义 3 设 作用于非空集合 上, 对于

, = { ∈ | =

} 为 的子群, 称 为元素 的稳定子群(简称稳定子). 定理 2 设 G 作用于非空集合 X 上, ∈ , 则: → / , ( → )为 到 / 的一一对应. 证明 (1) 如果1 = 2 , 则2 ?1 1 = , 所以2 ?1 1 ∈ , 从而 1 = 2 . 由此可知φ为 到 / 的映射. (2) 对任意的 ∈ / , ∈ , 则 ∈ , 使得φ = , 所以为满映射. 设1 , 2 ∈ , 如果φ(1 ) = (2 ), 即1 = 2 , 则 2 ?1 1 ∈ , 从而2 ?1 1 = . 由此得1 = 2 , 所以为单映 射. 这就证明了为一一对应.

由定理 1 与定理 2 立即得到下述定理 3.

第十五次课
定理 3

西罗定理

设群 作用于非空集合 上, 则有 ; G /|Sx i |, 其中 xi 取遍不同的轨道的代表元素. . 如果 , 则

(1) (轨道公式) (2) X =
s i=1

定义 4 设群 作用于非空集合 上, ∈ , 称 为 的一个不动元素.
?

的所有不动元素组成的集合记为 . . 如果对任意的 ∈ ,

定义 5 设群 作用于非空集合 上, 则称 为群 的一个不动元素. 1) 的所有不动元素组成的集合记为 .

2) 为 的不动元素当且仅当 = {}成立, 也当且仅当 = 成立. 例 5 设 与 分别为例 4 中的群与集合. 试求 的每个元素的稳定子, 的每个元素的不动元素与 的不动元素. = {1,2,3,4,5,6}, G={(1), (1 2), (3 5 6), (3 6 5), (1 2)(2 5 6), (1 2)(3 6 5)} 解:1 = 2 = { 1 , 356 , (365)}; 3 = 5 = 6 = { 1 , (12)}; 4 = ; 1 = ; 12 = 3,4,5 ; (356) = 365 = {1,2,4}; (12)(356) = (12) 365 = 4 ; = 4 . 例 5 求立方体的旋转对称群 的阶数.

解 设立方体的六个面按上下、左右、前后依次编号为 , , . 令

,

,

,

.X 的立方体的每一旋转都导致了

的一个变换. 这就定义了 在 上的一个作用. 易知 = ,| | = 4. 所以 = | | ? | | = 24.
3、伯恩赛德引理(Burnside)

定理 4 (伯恩赛德引理) 设有限群 作用于非空有限集合 上, 在 作用下的轨道数, 则 = 素的个数. 证明 对任意的 , , 定义
1 | | ∈ ,其中,



表示 的不动元



于是, 如果 ∈ ′ , 则有 = ′ , 从而 =


= /| ′ |.

令1 , 2 , ? , 为 的不同轨道的代表元素, 则


=

∈ 1 | |

=

=1

? =

=1

= | |.

由此得 =

∈ .

例 6 今有红、黄、蓝三种颜色的小珠子各两颗. 问: 用它们可串成多 少种不同的手链?

解 设想这六颗珠子置于正六边形的六个顶点上. 如果这六颗珠子的 排列在某个正六边形的对称变换下变为另一排列, 则这两个排列所 对应的是同一个手链. 因此, 不同型的手链数恰好为六颗珠子所有可 能的排列所组成的集合 X 在正六边形的对称变换群的作用下的轨道
2 2 数. 易知, = 6 4 = 90, = { 1 , = 1, ? ,5 , , (1,2,3)}

其中, 为围绕正六边形的中心的作逆时针/3的旋转, 为关于正 六边形的对边中线的反射, 为关于正六边形的过中心的对角线的反 射. 由此得下表 群 的元素 (1) , , 不动元素数 90 0 0 6 εi 6 6

从而有伯恩赛德引理得

所以, 可串成 11 种不同的手链. 以下是全部 11 种手链:

设有限群 共轭作用于集合 上. 设

, 则

即Sx 由所有与 可交换的元素组成. 称Sx 为 由定理 3 知,

的中心化子, 记作C(x).

从而 = 1当且仅当 = 当且仅当 ∈ (). 于是又由定理 3 的(2)得
4、群方程

定理 5 (群方程) = + 元素的共轭类的代表元.

[: ()], 其中

取遍群 的非中心

群方程是讨论有限群的有力工具.

第十六次课

自由群和群的表现

讲授自由群的定义, 群表现的一个例子, 然后让学生讲解定理及结论, 并举例,不但培养了学生自主学习的能力,还锻炼学生的授课能力。

第十七次课
1、 2、 3、

第一章小测验及课后习题研讨

H 为群 G 的非空子集, 则 H 为 G 的子群的充要条件是 。 写出 的所有子群。 设 H 是群 G 的子群,证明 H 在 G 中的任何两个左(右)陪集 含有相同个数的元素,都等于|H|。 4、 H 是群 G 的子群, 证明 H 在 G 中的左陪集与右陪集个数相等。 5、 重述拉格朗日定理的内容。 6、 写出对称群 的子群 H={(1),(12)}在 中的左陪集和右陪集。 7、 写出置换群 的所有共轭类。 8、 H 为 G 的正规子群的四个充要条件是 . 9、 写出 的所有正规子群,以及相应的商群。 10、 设 H={(1),(123),(132)}为 的子群,证明为 的正规子群, 并写出其商群。

第十八次课 第二章环和域基本概念
1.(一、环的定义) 2.(二、环的性质) 3.(三、环的例子) 4.(四、特殊类型的环)

定义 1



是一个非空集合. 如果在 商定一了两个代数运算"+"

与 " "(分别称为加法与乘法), 并且满足 (1) 关于加法构成一个交换群;

(2) 乘法结合律成立, 即对任何 ,

(3) 乘法对加法两个分配律成立, 即对任何

, 有

则称
? ?

为环, 或简称 为环. 如果环 的乘法还满足交换律, 则称 为交换环. 如果环 中存在元素 , 使得 为 的单位元. 的单位元是唯一的.

则称 为有单位元的环, 并称 定理 1 设 是一个环, 如果 .

有单位元, 则

的单位元常记作

是一个交换群, 其加法恒等元常用 0 表示, 称为环 设 , 的加法逆元称为 的负元, 记作 .

的零元. 的

的零元与

每个元素的负元都是唯一的.
?

由环的定义, 还可以导出下列运算与法则:

1. 减法 则有下列移项法则: 2. 倍数: 设 , 规定 当且仅当 .

则有以下倍数法则:对任意
(1) (2) (3) (4) ;

,

3. 方幂:设

,

, 规定

则有下列指数法则: (1) (2) 注意: 如果环 不是交换环, 则等式 , , 一般不成立.
, 则

4. 广义分配律:设

(1)

;

(2)

;

(3)

;

定理 2

设 为环, 则对任意的 (1) (2) (3) (4) . ; ;

, 有

(这里, 0 为 的零元);

证明 (1) 因为 同理可证: (2) 因为 为 . 的负元, 所以 为 的负元, 所以

, 所以

.

.

由负元的定义知, (3) 因为 元, 即 同理可证: (4) 例 1 整数集

, 所以 . . .



的负

关于数的加法与乘法构成有单位元的交换环. 这个

环的零元是数 0, 单位元是数 1. 这个环称为整数环. 同样, 有理数集 , 实数集 , 复数集 关于数的加法与 与一般环的记号

乘法构成有单位元的交换环(注意实数集的记号 在字体上的区别).

例 2 全体偶数 个没有单位元的交换环. 证明 (1) 任给 , 则

关于通常的数的加法与乘法构成一

所以, 数的加法与乘法是

的代数运算.

(2) 因为数的加法与乘法满足交换律, 结合律, 且乘法对加法满 足分配律, 所以 (3) 因为 的加法与乘法也满足这些运算律. , 且对任意的 , 有

所以数零是 (4) 任给

的加法零元. , ,

所以

的每个元都有负元, 且

. 无单位

从而由环的定义知, 元.

构成交换环, 显然

例 3 设 维数域, 则 上的全体

阶方阵的集合

关于矩阵的 时,

加法与乘法构成环. 这个环称为数域 上的

阶矩阵环. 当

这是一个非交换环, 它的零元为零矩阵, 单位元为单位矩阵. 例 4 证明数集 关于数的加法与乘法构成一个有单位元的交换环. 这个环称为高斯 整环. 证明 (1) 任给 , , 则

所以, 数的加法与乘法是

的代数运算.

(2) 因为数的加法与乘法满足交换律, 结合律, 且乘法对加法有分 配律, 所以 (3) 因为 的加法与乘法也满足这些运算律. , 且对任意的 , 有

所以数零为 (4) 任给 且 所以,

的零元. , ,

的负元为

.

(5) 因为

, 且对任意的

, 有

所以数 1 为

的单位元. 为非平方整数, 则

类似地可证, 如果

关于数的加法与乘法都构成有单位元的交换环. 1. 无零因子环 定义 2 设 为环, 为 的两个非零元素. 如果 ,则称 为

的一个左零因子, 称为零因子. 例 5 设

为 的一个右零因子. 左零因子与右零因子统

(这里

为实数集),

都是 的非零元, 而 子. 定义 3

. 所以

分别为 的左右零因

一个无零因子的环称为无零因子环.

定义 4 整环.

一个交换的, 有单位元



的无零因子环

称为

例 6 整数环 , 高斯整环 环.

都是整环, 而偶数环

为无零因子

定理 3 在一个无零因子环中, 两个消去律成立. 即设 , 如果 证明 设 , 从而 2. 除环 定义 5 得 称 为 设 为有单位元 ,则称 的逆元. 为 的环, 的可逆元(有时也叫 , 如果存在 为 , 或 , 则 , 则 . 无零因子, 且

,

. 因为

, 所以

. 同理可证另一个消去律成立.

, 使

的单位), 并

如 可逆, 则 的逆元唯一, 且 的逆元也可逆. 可逆元 的唯一的逆 元记作 例 7 元. 例 8 可逆当且仅当 的单位. . , 且 . 由于没有单位元, 所以它没有可逆

的可逆元仅有 1, -1;

例 9 试求高斯整环

解 设 使得

( , 于是

) 为

的单位, 则存在

,

因为

, 所以

. 从而

,

, 或

. 因此可能的单位只有

显然它们都是

的单位. 所以

恰有四个单位: . 如果 中每个非零元

定义 7 设 是有单位元的交换环, 且 都可逆, 则称 例 10 , ,

为一个除环(也叫体). 交换的除环称为域. 都是域. 为域. 是有单位元的交换环. 下证, 的

例 11 证明 证明 类似于例 4, 可证 每个非零元都可逆.

设 则 , 且

,

, 则 . 故

. 令

,

由此知,

为域.

?

类似地可证: 设

为无平方因子的整数, 则 是域.



为域, 则对任意的

,

, 有

从而可将

记作

. 的"除法": 设 , ,规定

由此可定义域

称 为以 除 的商, 且有下列运算法则: (1) (2) (3) (4) ; 当且仅当 ; ;

第十九次课 基本概念续——三类重要的环
1.(一、剩余类环) 2.(二、四元数体) 3.(三、多项式环)

一、剩余类环
1. 剩余类环的构造

设 规定

为大于 1 的正整数, 则有剩余类加群 , 则

, 对任意的

,

(1) "." 为

的代数运算(称为剩余类的乘法);

(2) "." 满足交换律, 结合律, 且乘法对加法右分配律; (3) 所以, 是 的(乘法)单位元. 关于剩余类的加法与乘法构成一个有单位元的交换环.

2. 剩余类环的性质 定理 1 (1) (2) 为 为 设 , (即 ), 则 ; .

的零因子的充分必要条件是 的可逆元的充分必要条件是 为域的充分必要条件是 为域, 则 为素数.

定理 2

证明 (必要性) 设

中每一个非零元都可逆, 从而 , 当 时, 必有

中无零因子, 于是, 对任意的 . 所以 为素数. (充分性) 设 为素数, 则任给 , 使得

,

, 即

, 有

. 所以存在 从而 故 可逆. 所以 为域.

?

( 域).

为素数)称为模

剩余类域. 这是具有

个元素的有限

例 1 试求 素.

中的所有零因子与可逆元, 并确定每个可逆元的逆元

解 由定理 1 可知: (1) (2) 为 为 的全部零因子.

的全部可逆元. 直接计算可知, 相应的逆元为 , , , . 上的一横常省略不写,

注: 在

中进行运算时, 为了方便起见, . 但要记住, 这里的

而直接写作 因此在 例 2 在

已经不是数, 仍然表示剩余类. 5 7=35=11, ,

中, 就有 3=15,

5-7=-2=10,

中, 解下列线性方程组:

解:



,

.

二、四元数体




关于矩阵的加法与乘法构成一个有单位元的非交换环, 其单位 . 设

元为单位矩阵



, 从而

, 故

可逆, 且

(I) 故 中每个非零元都可逆. 关于矩阵的加法与乘法构成体, 称为四元数体. 令

于是,

,

,

,

则有

(i) (ii) (iii) (iv) 又设 , . ;

;

;

, 则

如将 记作 , 则

, 从而

这样, 应用公式(i)-(iv)以及加法与乘法的运算关系,

的元

素就可以如通常的数那样进行运算(注意乘法不满足交换律). 由于 是由实数以及 数. 例 3 设 , 解 (1) , . . , . 试求: , , , , 所生成的, 所以 的元素称为四元

(2) (3) .

(4) 有公式(I)知

.

三、多项式环
1. 多项式环的构造 设 是一个有单位的环, 是 如 的表达式为 集合记作
?



上的一个未定元. 又设

中的一组元素, 且其中只有有限个不等于零, 称形 (I) 上的一个 . 称为多项式 (也可写作 的 次项, 称为多项式 的零次 的多项式. 环 上的全体 的多项式的

在(I)式中, 的

次项系数,

)称为多项式

项或常数项. 系数全为零的多项式称为零多项式, 记作 0.
?

在(I)式中, 如果 的次数为 . , 记作

, 而对所有

, 有

, 则称

. 零多项式的次数规定为

?

如果多项式的某项系数为零, 则该项可省略不写, 所以, 如(I) 式中 , 则可写作 , .



规定 (1)

, 其中

,

(2)

, 其中

则"+", "." 为 成一个环, 称为环
? ? ?

的代数运算, 且 上的多项式环.

关于多项式的加法与乘法构

如果 如果 如果

为交换环, 则 为无零因子环, 则 为整环, 则 中, 令

也是交换环; 也是无零因子环;

也是整环.

例 4 在

计算:


,

.

2. 多项式的根

定义 1 设 对 称 多项式 定理 3 设 使得 定理 4

为有单位元的交换环,

.

, 令 为多项式 在 处的值. 如果 , 则称 为

的一个根. , 则对任意的 , 存在多项式 ,

为 , 使得

的根的充分必要条件是, 存在多项式 . 中, 如果 还是 , 于是 的根, 则有

?

在等式 , 使得

依次类推, 则有 而 时, 称 定理 5 设 不再是 为

, 使得 的根. 我们称 的重根. , , 则 的根的个 为 的 重根. 当

为无零因子环,

数(重根按重数计算)不超过它的次数. 证明 对 (1) 当 的根, 则存在 用归纳法. 时, 设 , 使得 , . 设 为

因 即 . 显然 , 故 在

, 所以 中无根. 所以

, 至

多只有一个根. (2) 假设结论对次数小于 设 为 且 设 为 的多项式成立. 的根, 则存在 的根. 的根, 则 , 于是 , 使得

的任一重数为 不是

的任一不同于

因 为

无零因子,

, 故

, 从而

, 于是



的根. 由此知,

例 5 在 解

中, 求

的全部根. , , , , , 为 , 将它们分别代入 的根. ,可知

共有 16 个元素:

共有下列 4 个元素 ,
?

这个例子说明, 如果 大于它的次数.

有零因子,则其上某个多项式的根可能

例 6 在 解 因在 从而知

中, 试求多项式 中, 至少有两个根 , , 恰为

的根.

. 又由定理 5 知, 的全部根.

至多

有两个根, 故知

第二十次课 同态的同构定理——子环、理想
1.(一、子环的定义与判别) 2.(二、理想的定义与判别) 3.(三、理想的运算) 4.(四、素理想与极大理想)

一、子环的定义与判别
定义 1 设 是一个环, 为 是 的一个非空子集, 如果 关于 的

运算构成环, 则称
? ?

的一个子环.

相应地, 也有子整环、子除环、子域等概念. 如果 是 的子环, 则 的零元, 是 中元素 在 的子加群. 因此, 中的负元就是 在

的零元就是 中的负元. 例 1 环 构成

本身及由单独一个零元所构成的集合关于 的平凡子环.

的运算显然

的子环. 这两个子环称为

例 2



的子整环, 是



的子域,



又是

的子域,

高斯整环 定理 1 设

的子整环. 是 的非空子集, 则 为 的子环的充

是一个环,

分必要条件是 (1) (2) 关于 是 的子群; 的乘法封闭, 即, 任给 , 有 .

证明 必要性显然. 今证充分性. 由(1), (2)知, 明, 从而 关于 为 的加法与乘法是 的代数运算. 条件(1), (2)说 构成环.

的加法与乘法满足环定义中的三个条件. 故 的子环. 是一个环, 是 的非空子集, 则 为

定理 2 设

的子环的充 , 有

分必要条件是, , 证明 由 关于 .

关于 的减法与乘法封闭, 即任给

的减法封闭, 从而



的子环. 进一 为 的子环.

步由定理条件知,

满足定理 1 的两个条件, 所以

于是, 充分性得证, 而必要性是显然的. 例 3 设 为 的非空子集. 证明: 存在非负整数 , 使得 为 的子环的充分必要条件时,

证明 (充分性) 设 (1) (2) 从而由定理 2 知,

. 则任给 ; . 为 的子环. 为 , 使得

,

, 有

(必要性) 设 为 的子环, 则 为无限循环群, 所以存在非负整数 例 4 求 群, 而 , 的所有子环.解 设 为

的子群. 因
.

的任一子环, 则 是

的子加

为有限阶循环群, 从而 , 使得 .

也是循环群, 且存在

的可能取值为 1, 2, 3, 6, 9, 12

相应的子加群为 , ,
, , , .

直接验证可知, 以上六个子加群都关于剩余类的乘法封闭, 所 以它们都是 的子环. 于是 恰有 6 个子环:

例 6 设 为环. 证明 的中心 是 的子环. 证明 (1) 因为对任意 (2) 对 , , , , 所以 . 故 .

所以,

,

. 从而由定理 2 知,



的子环.

二、理想的定义与判别
定义 2 设 为环, 为 的非空子集. 如果 满足: ; ,

(1) 对任意 (2) 对任意

, 有 , 有

则称 为 的一个理想.
? ?

由定义可知, 如 与



的理想, 则

一定是

的子环.

本身显然都是

的理想. 这两个理想称为平凡理想. 的真理想.

的不等于它自身的理想(如果有的话)称为 例 7 试求 解 设 为 的所有理想. 的任意理想, 则 , 为 ,

的子环(例 3), 则 且 .

对任意的 , 从而由理想的定义知, 为

,

, 有

的理想. 由此知, 且 .

的全部理想为

三、理想的运算
定义 3 设 为环, 为 的理想. 集合 分别称 为理想 定理 3 环 想. 证明 (1) 设 , , . 则 的和与交. 的两个理想 与 的和 与交 都是 的理

且对任意的

,

所以,



的理想.

(2) 设 , 所以 . 故
?

, 则

,

, 从而 ,有 为

, 且 , 且

. 又对任意的 . 从而知,

的理想.

类似地, 可以定义环

的任意有限多个理想的和与任意多个

理想的交的概念, 并且可以证明: 定理 4 环 的任意有限多个理想的和还是理想. 环 的任意多个

理想的交还是理想. 例 8 设 与 为环 的两个理想, 称集合

为理想 与 的积. 证明:

为 的理想.

证明 设 (1) (2)对任意的

,

,

,

. 则 .

,

, 所以 设为环, 为 的理想. . 令 是 的所有包含 的理想所组成的集合

则 定义 4

(因为



的理想, 且

).

设 为环,

, 称环 中所有包含 的理想的交还是 的 , 即

理想(见定理 4), 称这个理想为由 生成的主理想, 记作

?



中包含

的最小理想.

?

定理 5 设 为有单位元的交换环, 证明 首先, 因 . 又因

, 则 , 为 , 故 的理想, 且 . 于是

, 所以, 对任意的 是由单位元的交换环, 故 为包含

, 所以 . 定义 5 称为由 设 为环,

的理想, 从而

, 则



的理想,

生成的理想, 记作

由例 7 以及定理 5 可得: 定理 6 整数环 的每个理想都是主理想.

例 9 在

中, 如果 都是零, 则 不全为零. 设

, 则

是怎样的主理想? .

解 (1) 如果 (2) 如果 , 使得 又因 都是



的最大公因数, 则存在
.

,从而 的倍数, 即 . 从而 . ,

, 所以

即理想

是由

的最大公因数生成的理想. 中, 理想 由哪些元素组成? . 所以对任何 , 有 .

例 10 在高斯整环 解 首先, 从而当 又因为方程 为奇数时 由此知: 为偶数时



中无解, 所以

, 从而当

第二十一次课
1.(一、商环的定义与性质) 2.(二、环同态的定义与性质) 3.(三、环同态基本定理) 4.(四、环的扩张定理)

同态的同构定理

一、商环的定义与性质
1 商环的构造 设 (1) 为环, 为 的理想.

(2)

的加法与乘法:

,

,

.

则 定义 1


关于如上所定义的运算构成环.

(提示 18.1)

称为环

关于理想

的商环.

?



为交换环, 则

也是交换环.

?



有单位元, 则

也有单位元, 且

.

2 商环的性质 定理 1 设 是 为 是有单位元的交换环, 则 是整环的充分必要条件

的素理想. 是整环, 所以 , 则 或 , 所以 为 , 即 , 而 , 所以 是整环, 故

证明 (必要性) 因为 为 的真理想. 又设 或 , 即有

的素理想.

(充分性) 因为



的素理想, 故 . 又设 为



的真理想, 所以 , 或 , 则



有单位元的交换环, 且 , 即 或 定理 2 设 为 , 而 , 所以

的素理想, 故有

, 即有

是整环.

是有单位元的交换环, 则

是域的充分必要条件是

的极大理想. 是域, 所以 , 但 , 即 . 设 , 则 为 的任一理想, 是 , 使

证明 (必要性) 因为 且 ,

. 故有 , 使

. 因为 , 故有

域, 所以存在 得 , 从而

由此得

. 所以 为



的极大理想. 为 的真理想, 所以 , 即 . 而 , 为 为 . 令 的极大理

(充分性) 因为

的极大理想, 故 . 又设 ,

是有单位元的交换环, 且 , 则 想, 所以 , 故 是域. 为 的理想, 且

. 于是

, 从而存在 , 所以

, 使得 的可逆元, 从而

例 1 设 商环

为大于 1 的正整数, 则



的理想, 从而有

即商环
?

就是模

的剩余类环. 为域的充分必要条件是 为素数. (提

由定理 2 可知, 示 18.2)

例 2 设 解

为高斯整环, 试确定

.

(提示 18.3). 从而, 对任意的 则 以 , 如 为奇数, 则

, 如果

为偶数, . 所

这是一个仅有两个元素的域.

二、环同态的定义与性质
定义 2 设 R 和R′ 是两个环, φ是集合 R 到R′ 的映射. 如果对任意的 , ∈ , 有

(1)

+ = + ()

(2) ( ? b) = ? ()

则称φ为环 R 到R′ 的一个同态. 环同态是环之间保持运算的映射. 如果φ为单映射, 则称φ为单同态. 如果φ为满映射, 则称φ为满同态. 如果φ既是单映射又是满映射 , 则称φ为同构. 同构是环之间的一个 等价关系, 且同构的环之间有完全相同的代数性质. 定理 3 设φ为环 R 到R′ 的同态, 则 (1) φ 0 = 0 . (2) ? = ?() . (3) = 证明:略 定义 3 设φ为环 R 到R′ 的同态, 称集合Kerφ = {r ∈ R|φ r = 0} 为同态的核.


.

第二十二次课 同态的同构定理(续) 三、环同态基本定理
定理 4 设φ为环 R 到R′ 的同态, 则 (1) Kerφ为 R 的理想.

(2) 存在环同态φ: R/Kerφ → R′ , 使得 = ().

证明:略

例 3 一些常见的同态. (1) 零同态. (2) 自然同态 (3) 恒等同构 定理 5 (环同态基本定理)设 构 : 为环的满同态, 则有环同

且 证明 令: (1) 将

. 其中, :

为自然同态: , .

.

看成加法群的同态, 则它是满同态. 因此由群的同态基本 是一个映射. 且由于 是单映射, 且由于 是环同构, 只要证明 也是加群同态的核, 也是满映射.

定理, 这样定义的 所以这样定义的 (2) 所以, 要证

是满射, 故

保持乘法运算.

所以,

为 , :



的同构. . 所以, , , 则 是满同态, 且 . .

(3) 任给 例 4 设

从而由同态基本定理得:

又因为 . 例 5 设 :

为自然同态, 所以此同构实际上是恒等同构, 即

,

(提示 18.5). 证明:

证明 (1) 如果 是有理数. 所以 (2) 任给

的系数都是有理数, 则 是 , 到 的映射.

中的



(3) 任给 , 所以, (4) 设

, 为

, 令 到 的满同态.

, 则

,由多项式的带余除法知, 存在 ,使



(1) 如果 . (2) 如果 由此得

, 则

, 所以

. 于是

, 则有

, 所以

.

从而由同态基本定理, 由同构

.

四、环的扩张定理
定理 6 (环的扩张定理)设 . 则存在环 . 证明大意 (1) 构作集合 (2) 构作映射: : , . : , 使得 为环的单同态, 且 为环 的子环, 且



为一一对应. (3) 定义 的运算: 任给 , (4) 则 为环, 且 为 :
?

, 规定

的子环, 并且 .

环的扩张定理使我们将一个较小的环扩张为一个较大的环. 定理 6 告诉我们, 的扩张环 是按下述方式构造的:

(1) 作为集合, 上而得到的. (2) (i) 如果

是在

中将

挖去, 然后再将



中的运算按下法进行: , 则 就按 中的运算进行; , 则将 换

(ii) 如果 成 中的对应元素, 在

有一个, 或两个都不属于

中做加发与乘法, 然后再把结果替换成

中相应的元素. 例 6 设 使 为 是一个没有单位元的环. 则存在一个有单位元的环 的子环. . (1) 规定: 任给 , 则 关于所给的运算构成环, 且 (1,0)为 (2) 令 : , , 则 的单位元. 为环的单同态. 于是 , , ,

证明 令

由定理 6 的证明, 环



的扩环, 且 (3) 又, 如果

. , 则易知, : , ,

也是环单同态, 于是知, 环

所以, 子环.

也是有单位元的环, 且

的单位元为

. 显然





由于在

中,

, 所以



中的运算为: 任给 ,

,

,

第二十二次课 同态的应用——素理想与极大理想
定义 6 , 由 定义 7 设 想 , 必有 设 是环, 必可推出 是环, 或 是个交换环, 是 是 的真理想. 如果对 的任何两个理想 或 , 则称 为 的一个素理想. 的任意包含 的理 和

的真理想. 如果对 , 则称 是 为

的一个极大理想. 是 的素理想的 或

定理 7 设

的真理想, 则 , 由

充分必要条件是: 对任意的 . 证明 (必要性) 设 , 故有 为素理想, 或

必可推出

, 则 . 由此知,

, 而 或 .

(充分性) 设 , 则有 从而可推出



为 ,

的两个理想, . 又 , 与

. 如果 , 所以

, 且 ,



的选取矛盾. 既是素理想又是极大理

例 11 设 是整数环, 想. 证明 (1) 设 , 于是必有 素理想. (2) 设 所以 . 如果 , 故 , 则 . 所以 例 12 设 , 则

是一个素数, 则

, 如果 或

, 则 或

,

, 从而 . 所以, 为

. 因此有

, 但 ,

, 则 . 而 , 与

, (

). 因为 或 , 则

,

为素数, 所以必有 矛盾. 从而

为极大理想. 为 的理想. 证明: 为 的极大理

想, 但不是素理想. 证明 设 . 故 所以 理想. 另一方面, , 而 . 所以 不是 的素理想. , 但 为奇数. 令 , 从而 , 为 , 则 , 即 . 所以 为 的极大 的理想. 则有 , 但

定理 8 设 是有单位元的交换环, 则 的每个极大理想都是素理想. 证明 设 为 为 的极大理想. 设 , 但 . 从而 , 故存在 , . 令 . 因为 , 为 , 使得 , 则 的极大

的理想, 且

理想, 所以

所以,

. 这就证明了 为 的素理想.

第二十三次课 同态的应用——整环的商域
1.(一、商域的概念) 2.(二、商域的构造) 3.(三、商域的同构唯一性定理)

一、商域的概念
定义 1 在
?



是一个域,



的子环. 如果对任意的 为 的商域.

, 存

, 使得

, 则称

只有无零因子的交换环才可能有商域. 的商域就是 .

例 1

例 2 域

的商域就是它本身. 的商域.

例 3 求高斯整环

解 设 又因为任给 使得 ,

, 则

为域. , 因 , 故存在 ,

. 于是

而 例 4 设

, 为域, 为

, 所以



的商域. 的商域为

上的未定元, 则

称域 设 在 为



上的有理分式域. , , 方程

的商域, 则任给

中都有解.

二、商域的构造
设 为整环. 下面由 . 当且仅当 出发, 构造 的商域.

1. 构造集合 2. 在

上规定关系 上的等价关系. .

则 " " 为

3. 由等价关系得商集

记 令 则 4. 规定

所在的等价类为

, 即

当且仅当 的加法与乘法运算





, 规定

则"+", "." 为的代数运算, 且关于这两个运算构成域. 5. 由 构作一个包含 的域 ,令



为单同态. 从而由环的扩张定理(提示 19.4), 存在 . 因 为域, 所以 也是域, 这里

的扩环

, 使得

, 6. 对任意的 (ii) 如果 ,(i)如果 , 则 , 则 , , . . 那么在 内,

于是在

内,

所以,

由此知,



的商域.

三、商域的同构唯一性定理
定理 1 : 证明 令 设 与 为两个整环, : 与 分别为它们的商域. 如果 , 使得 .

, 则存在域的同构



(1) 如果

, 则 . 这说明, 为

, 故 到 的映射.

. 于是

(2) 任给

, 则

(3) 任给

所以,

为环同态.

(4) 设

, 如果

, 即 .

, 则

因为

为同构, 所以 , , 则

. 故 , 则

. 故

为单同态. , 使得

(5) 任给

为同构, 故存在

所以,

为满同态. 为同构: 时, 即 : 与 . 都是 的商域, 则因恒等同构

由此知: 当

故由定理 1 知:

. 的商域是唯一的. 不为零时, 也

这说明, 从同构的观点看, 类似地可以证明, 当 有商域.

为无零因子的交换环, 且

第二十四次课 学生研讨——给出三类重要环的极大理想与 素理想
1.(一、整环的概念) 2.(二、唯一分解环) 3.(三、主理想环) 4.(四、欧几里德环)

一、整环的概念
本讲中, 总假定 1. 整除 定义 1 设 整除
?

为整环,



的商域.

为整环, ; 并称

, 如果存在 是 的一个因子,

, 使得 是

,则称

, 记作

的倍元.

整环中的整除概念是整数环中整除概念的推广 , 因此有许多与 整数的整除相类似的性质.

?

整除有下列常用的性质: (1) 如果 (2) 如果 , , , 而 中, , 则 , , 则 . , 而 , 而 . . ; .

例 1 在

中, 在

例 2 在

中, 证明: ,

证明 (1) 因为 (2) 因为 所以 例 3 设 证明 且仅当 2. 相伴 定义 2 设 为整环, . . 为整环, 当且仅当存在 . , 则

, 所以

.

当且仅当

. , 当

, 使得

, 当且仅当

, 如果



互相整除, 则称



相伴, 记作
? ?

元素的相伴是一个等价关系. 当且仅当存在 的单位

(提示 20.4) , 使得 . (提示 20.5) 有2个

例 4 因为整数环 相伴元: 例 5 ( 例 6 设 与 .

的单位仅有 1 与 -1, 故任一非零元

有 4 个单位, 1, -1, )有 4 个相伴元: . 证明: ,

,

, 所以任一非零元 , . , 使得 .所以 , .

,

当且仅当 , 则存在 . 的单位

证明 (必要性) 设

(充分性) 如果 即 ; 同理 , 故

, 则 .

, 所以存在

, 使得

,

第二十五次课 交换环中的因子分解(唯一因子分解整环) 二、唯一分解环
3. 素元与不可约元 定义 3 称 为 设 , 且 . 如果 既非单位, 也不与 相伴, 则

的真因子.

例 7 在 中, 6 有因子: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6. 其中 1 与 -1 为单位, 6 和-6 与 6 相伴, 2, -2, 3, -3 为 6 的真因子. 定义 4 设 , 由 定义 5 则称 设 在 为整环, 必可推出 为整环, 且 上不可约. 中, 任一素数 既是素元又是不可约元. 是不可约元, 但不是素元. , 且 或 既非零也非单位. 如果任给 , 则称 为 的一个素元. 无真因子,

既非零也非单位. 如果

例 8 在 例 9 在 证明

中, 证明:

(1) 首先证明



中不可约.



, 则 .

. 所以

即 (i) (i) 如果 如果 当 当 , , ,

. 由此得 ; (ii) , 则 , 则 时, 时, , , , 则 , 则 为 . 在 . . 的单位. , ; (iii) , 所以 . , . .

(ii) 如果 (iii) 如果 由此知,

的任一因子都不是真因子, 故 中不可约.

(2) 证明 由于 定理 1

不是 , 而

中的素元. , 故 不是素元.

在整环中, 每一素元都是不可约元.

证明 设 存在

为素元. 如果 , 使得 , 从而 , 从而

, 则



. 不妨设

, 则

由消去律得, 于是 不可约.

为单位, 所以

, 故

无真因子,

4. 最高公因子 定义 6 设 为整环, . 如果 且 , 则称 为 与

的一个公因子. 定义 7 设 为整环, (1) 为 与 为 . 如果 的公因子; 与 的任一公因子, 则有 . 满足:

(2) 如果 则称 如果 为 为 与 与

的一个最高公因子(或最大公因子). 的任一最高公因子, 则任给单位 与 都是 与 , 还是 与 .

的最高公因子. 又如 故 表示 与 与

的最高公因子, 则有

的最高公因子在相伴的意义下是唯一的. 我们用记号 的任一最高公因子. , 则称 中, 都是 与 互素. 与 4 无最高公因子. 与 4 的公因子.

定义 8 如果 例 10 证明: 在

证明 容易知道, 2 与

设 , 于是

是 . 因 . 又由例 9 知, 或 . 当 时,

与 4 的最高公因子, 则 , 所以 不可约, 所以 . 于是 , 故 或 不是 的选取矛盾.

与 4 的公因子. 在这两种情况下, 都与 故 与 4 无最高公因子.

第二十六次课 环) 三、主理想环
定义 11 设

交换环中的因子分解(主理想整环、欧式整

为整环, 如果

的每一理想都是主理想, 则称



主理想整环, 记作 PID. 例 13 定理 3 定理 4 件等价: (1) (2) 是素元; 是不可约元; 是主理想整环. 每一个主理想整环都是唯一分解环. 设 为主理想整环, 是 中的非零非单位元. 则下列条

(3) (4)

是极大理想; 是素理想.

证明 (1)推出(2): 由定义 1 可得. (2)推出(3): 设 因为 是主理想整环, 所以 是单位或 , 其中, . 又 . 如果 为 的理想, , 故 , 则 , 故 , 而 , 与 是极大理想. .

不可约, 所以

的选取矛盾. 因此

是单位, 则

(3)推出(4): 由第十七讲定理 8 可得. (4)推出(1): 设 . 而 或 , 于是 , 则 是素理想, 故必有 是素元. 设 为主理想整环, 则对任 . 为主理想整环, 则存在 , 故存在 , 使得 . 又 或 , 故 , 即有

定理 5 (最高公因子的存在表示定理) 意的 , 存在 , 使得 . 因为 , 于是

证明 设理想 , 使得 . 又 公因子, 即 , , 故 , 所以

, 同理,

. 又设 , 于是





的任一

.

推论

当且仅当存在

, 使得

.

证明 必要性: 由定理 5 可得. 充分性: 显然, 1 为 则 , , 所以, 的公因子. 又设 (从而 是 与 的任一公因子, .

是单位), 于是

四、欧几里德环
定义 12 足: 任给 或 设 为整环, , , 则称 为 , 存在 为 到 , 使得 的映射. 如果 。 这里, 满 ,

上的一个欧氏映射. 具有欧氏映射的整

环称为欧几里德环, 记作 ED. 例 14 是欧几里德环, 其欧氏映射为: 为域, 证明: , , : . 令 为环 , . 上的欧氏映射.

例 15 设 证明 设

(1) 如果

, 则存在

, 使得



,

, 则有

(2) 如果 项式, 则存在

, 取

, 使得 , 使得



中次数最小的多

下证: (反证) 如果

. , 令 (
(

)
)

. 令



. 而

与在此处键入公式。 例 16 证明: 证明 令 : 到

的选取矛盾.

为欧几里德环. , 的映射. , 那么可知, 将 限制到

上, 称为

对任意的 如果 使得 则 ,

, 有 , 令 ,

. .取 ,

,于是



, = { ? + ? },则 , 而

, 且

所以, 定理 6



的欧氏映射, 从而

为欧几里德环.

每一个欧几里德环都是主理想整环, 因而也是唯一分解环. ,

证明 设 为欧几里德环 的任一理想, 为欧氏映射.(1)如果 则 .(2)如果 . 设 . 任给 , 因为 . , 所以存在 , 使得 . 于是, , 令 , 使得 ,则 非空, 且 为 中的最小数, 下证

如果 ,于是 从而 .

, 则

, 与

的选取矛盾.所以, . 又

,则 ,

. 由 的任意性可知

, 所以

这就证明了, 辗转相除法:

的任一理想都是主理想, 故

为主理想整环.

练习 1: f = 3 3 + 4 2 ? 5 + 6; = 2 ? 3 + 1, 求 , , 使得 = + (). 练习 2: = 4 + 3 3 ? 2 ? 4 ? 3; = 3 3 + 10 2 + 2 ? 3, 求( , )使得 , 设 , 为欧氏映射, 则有 , 因为 , , , . )为零.从而有 = + .

, 故最后必有某个(不妨设为 而且

因此, 在欧几里德环中, 最高公因子可通过辗转相除法求得, 且可通过"回代"法求得相应的表示式.由于辗转相除法与回代的方法 与我们在高等代数中学到的方法是一致的, 所以我们在这里就不详 细介绍了.

例 17 设 , 使得

,

, 求

,

解 应用辗转相除法得,1 = , 2 = ,

. 所

以. = ?2 = ? = , = 1 + 1 2 = 1 ? 2 = 1 + 2 , + 1 + 2 = 1. 例 18 在 中, , , 求 使得



, ,

, ,

,

, 且

课题练习:写出下列定义: 1、 2、 3、 4、 环、整环、除环、域 理想、极大理想、素理想、整环的商域 相伴、素元、不可约元 主理想整环、唯一分解环、欧氏环,并分别举至少一个例子。

第二十七次课 第二十八课

课后习题研讨 向量空间

1.(一、域的例子) 2.(二、域上的线性空间) 3.(三、素域与域的特征)

一、域的例子
例 1 是域, 其中 是任一素数.

这是我们已经熟悉的例子. 设 是域, 若 是有限集, 则称 为有限 域; 若 是无限集, 则称 为无限域. 若 是域, 则 (即

中非零元全体组成的集合)关于乘法构成一个交换群. 当 为有限 域时, 设 , 则 . 由群的性质知
( )

这里的 1 是 的单位元. 由此, 若取 定理 1 (费马定理)

, 我们得

设 是一个素数,则对任何 ∈ ? ,有

若将上述结果用同余的语言重新写出, 就是 定理 1'设 是一个素数,若整数 与 互素,那么?1 ≡ 1(). 例 2 (九个元素的域)设

其中

. 这是模 3 的高斯整环, 元素间的加法与乘法跟复数的 ,

运算是一致的, 但系数要作模 3 剩余运算. 例如:设 , 则

例 3 设 若要验证 零元在

, 则容易验证 是域, 我们只要验证任何形如 中的逆可写成 的形式:

是一个环. 的非

所以

是域. 上的多项式环 的商域 :

例 4 复数域


?

是一个域. 一般地, 设 是个域, 则我们也可以构造 上多项式环 商域 : 的

一个域 如果满足如下性质: 对于 上的任一次数大于零的多项式

在 中必存在一个根 , 即 则称域 为代数闭域. 例如:复数域 是代数闭域, 而实数域 则不是. 我们可以证明

不是代数闭域 (虽然

),怎么证?

第二十九次课
2.(二、域上的线性空间) 3.(三、素域与域的特征)

向量空间(续)

二、域上的线性空间
我们已经在线性空间一讲中介绍了数域 上线性空间的概念. 在 有了域的概念之后, 我们知道数域是域的一种, 当然除了数域之外 还有其他类型的域. 我们可以把数域上的线性空间的概念推广到一 般域上的线性空间: 只要讲数域上的线性空间的定义中"数域"一词 改为"域"即可, 或简单地说: 设 是个域, 是个非空集合. 如果在 上定义了一个加法运算,

在 与 之间定义了标量乘法(或数量乘法)运算, 并且 关于加法构 成一个加法群(即满足(A1)-(A4)), 关于标量乘法满足(M1)-(M4), 则 称为域 上的线性空间. 是数域 上的线性空间, 则 也是域 上的

例 5 设 是个数域, 线性空间.

例 6 设

是模 的剩余类环, 这里 是一个素数, 则 (即: 系数在 是域

是 个元素

的域. 考虑 组成的集合), 则 例 7 设

上的次数小于 的多项式全体

上的线性空间. 上的所有 矩阵全体组成的集 上的线性空间. 来代替, 则

系数在域

合. 则 关于矩阵的加法与数量乘法构成域
?

事实上, 在例 6 与例 7 中的 仍是域 上的线性空间. 都是域, 且

可以用任一域

例 8

设 ,

, 则称域 为域 的扩域, 而称

为 的子域. 此时 关于域的加法和乘法自然构成域 上的线性空 间. 例如, 例 2 中的 9 个元素的域 空间. 域上的线性空间与数域上的线性空间相比绝大部分性质是一致 的. 例如: 在域上的线性空间中我们同样可以定义线性相关、 线性无 关、线性表示, 向量组的等价、秩的概念的等等, 也可以定义基和维 数的概念. 例如: 在例 6 中, 1, 的维数等于 . , , 是 的一个基, 而 关于域 就是剩余类域 上的线性

在例 7 中, . 但在例 8 中, 关于 作为



的基,

关于

的维数为

上的线性空间可能是有限维的(如: 例 2 中

是 2 维的, 大家想一下, 它的基该怎样取?) 也可能是 看成 上的线性空间.

无限维的(例如将

我们也可以建立其域上的线性空间上的线性变换的相应理论 系数在 域上的线性方程组的理论以及行列式的理论. 这些理论与我们线性 代数中建立起的理论几乎完全一样. 但是一般域上的线性代数的理论与数域上的相应理论相比, 有 些结果可能会不同. 下面先举两个例子. 考虑 是 2 维的几何空间. 我们从直观上可以知道, 中任一有 是

限多条过原点的直线的并不可能等于整个平面 数域 上维数大于零的线性空间, 则

. 一般地, 设

不可能写成有限多个真子空

间 (即: 维数比

的维数小的子空间) 的并. 但是这一结果对于一 作为 的线性

般域上的线性空间可能不对. 如: 在例 2 中,

空间是 2 维的, 但它总共只有 9 个元素, 每个非零元可以张成一个 1 为子空间. 因此 可以写成 8 个 1 维子空间的并. 事实上, 它可

以写成 4 个子空间的并: 这里,

另一个不同之处在于: 对于数域 来说, 它们作为多项式环 为

上的两个多项式



中的元相等的充要条件是它们作 上的多项式

上的多项式函数相等. 但是如果考虑域 和 , 则它们作为 上的函数, 则
, , (注意: 这是在Z3 中运算!)

中的元素显然不相等. 但

如果将

看成

因此, 作为 作为

中的函数

的作用与零函数的作用完全相同, 即 . 中有无限多个元素, 而

上的函数, 有

上述两处不同的关键之处在于: 数域

一般域中元素可能有无限多个, 也可能只有有限多个!

.三、素域与域的特征
定义 1 数 作 域 环 的特征是使 , 对 中所有 都成立的最小正整 的特征记

. 如果这样的整数不存在, 则称环 . 的特征就是将 看成环时的特征

的特征为 0.

.

于是整数环的特征为 0, 有限的特征. 例如: 系数在

的特征为

. 一个无限环可能会有 的特征为 2. 当

上的多项式环

环有单位元时, 确定环的特征的任务可由以下定理加以简化: 定理 2 设 是有单位元 1 的环. 如果 1 关于加法的阶是无限的, 则 , 则 的特征为 . , 于 , 且

的特征是 0, 如果 1 关于加法的阶为

证明 如果 1 的阶无限, 那么不存在正整数 是 的特征为 0. 现假设 1 关于加法的阶为

, 使得 , 则 , 有

是具有该性质的最小正整数. 于是对任何

从而,

的特征为

.

对于整环而言, 其特征有一定的限制. 定理 3 整环的特征是 0 或素数.

证明 由定理 2, 只要证明如果 1 关于加法的阶是有限数, 则它必为 素数. 假设 1 的阶为 , 且 , , , 则

因此, 以 推论 或 设

或 . 于是

. 因为

是满足该性质的最小正整数, 所

是素数. 的特征 等于 0 或素数.

是一个域, 则域

定理 4



是一个域.如果 , 则

, 则

含有一个和

同构

的子域. (2) 如果

含有一个和 的单位元 在

同构的子域. 中生成的子

证明: 我们在此讲一个大概: 考虑 域 . 如果 , 则

关于加法的阶为 0. 因此

构成

到 的单一同态. 该同态的象在 中的商域必须等于 (因为 是包 含 的最小子域). 而 如果 , 则由 . 关于加法生成的子群等于 的一个子域 , 而 .

, 它构成了 定义 2

不包含真子域的域称为素域. 是特征为 0 的素域, 而 是特征为 的素域.

由定理 4 可知,

从同构的意义上来说, 每个特征 0 的域都是 征 的域都是 的扩域.

的扩域, 而每个特

对于有限域, 我们有如下的结果: 定理 5 设 是一个有限域, 则 , 且存在正整数 , 使得

(也就是说, 有限域的元素个数必定是某个素数的方幂.)

证明 我们知道, 由于

是有限域, 故

作为加法是一个有限群,

从而单位元 1 关于加法的阶是有限数. 由定理 2 以及定理 3 知 是一个素数 由于 不妨设 域, 故 作为 是 . , 因此 . 则由例 8, 包含一个与 是 同构的域, 为方便起见, 是有限 , 并设 , 使得

上的线性空间. 由于

的线性空间是有限维的, 设其维数为 , 存在

的基, 则对任意

而任何形如上式的元素都在 中, 且不同的坐标对应于 中不同的元 素. 但 共有 此 中共有 个元素, 从而 共有 种选法, 共有 种选法, 种选法. 因 ,

种选法. 因此形如上式的元素 共有 .

第三十次课 课后习题研讨 第三十一次课 域的扩张——有限域
1.(一、有限域的构造) 2.(二、有限域的例子) 3.(三、原根)

一、有限域的构造
我们已经知道一个有限域 而 是 在它的素域 有 个元素, 这里 是 的特征,

上的次数.

定理 1 令有限域 个元素, 那么 样的域都同构. 证明

的特征是素数 是多项式

, 在

所含素域是

, 而



上的分裂域. 任何两个这

的非零元对于乘法来说, 作成一个群, 这个群的阶是 , , 的元. 在 里多项式 ,

,

单位元是 1. 故 由于 因此, 用 , 所以有

来表示

且显然 这样, 是多项式 在 上的分裂域. 在同构的域上的分裂

但特征

的素域都同构, 而多项式

域也同构. 所以任何有 定理 2 令 在 证明 的特征是 , 是特征为 上的分裂域

个元的有限域都同构. 的素域, 而 是一个有 是 ( ), 那么多项式

个元的有限域. 在域 里的根. 由于

, 这里 的导数

所以 可知

与 的

互素. 这样, 与第五讲第四节重因式中类似的讨论 个根都不相同. 的这 个根作成 的子域 . 这是因为,

我们可以证明:





(

) 仍是

的根, 故属于

, 因而



的一个子域. 但 域, 于是 含 , 也含一切 , 而 恰有 , 所以 个元. 个元素的素域作为其子 就是 在 上的分裂

个元素的有限域显然包含一个

域. 那么一个有限域究竟有多少个子域呢? 请参见提示 23.1. 我们下面还进一步证明, 一个有限域一定是它所含素域的单扩 域, 因此使较易掌握的一种扩域. 我们先证明一个辅助的结果. 引理 令 那么 是一个有限交换群, 而 的每一元的阶整除. 和 是 的两个元素, 它 . 是 的元的阶中最大的一个.

能被

证明 我们在循环群一讲已经证明: 若 们的阶分别是 和 , 且

, 那么

的阶是

假定

的元

的阶

不能整除

, 那么存在素数 ;

, 使得

令 所以

是元

的阶, 于是 . 这与

的阶为 是

,

的阶是

.

的阶等于

的元素的阶中最大的一个

的假设相矛盾. 证完. 定理 3 证明 设 群 得 这就是说, 多项式 至少有 个不同的根. 因此 , 故 , 它的阶是 , 从而 , 因而 是 . 一个有限域 含有 是它的素域 的单扩域. 的乘法构成一个交换

个元素, . 令

的非零元对于 是

, 其阶为

中元素的阶中最大者, 则由引理

另一方面, 由拉格朗日定理, . 这就是说, 一循环群: 于是, . 是添加 于 中有一元

的单扩域:

.

第三十二次课 域的扩张——有限域
2.(二、有限域的例子) 3.(三、原根)

二、有限域的例子
例 1 四个元素的域. 0, 1 都不是 为欧氏环, 是 , 所以 在 上不可约 (因为

的根), 所以 为域. 由于

的极大理想. 从而 . 故 可看成 的扩域.



, 则

的加法和乘法表如下: 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0

0 0 1 0 0 0 0

1 0 1 1 1 0 0

根据定理 2,





上的分裂域. 我们来验证这一点: 首先,

而 0, 1

.



中的两个根为



:

( , 而



中分别记作 0 和 1).

所以,





上的分裂域(也是

的分裂域). 同时, (注意: ) 是

是一个单扩域. 一个 3 阶循环群. 例 2 考虑上一讲中九个元素的域 多项式 , 则 在 , 则 中可分解为

. 考虑

上的

所以 则可知





上的分裂域.

是一个 8 阶循环群. 若令

,

,

,

,

,

,

,

.

所以, 作为乘法循环群, 以及 .

. 同时

中还有其他 3 个生成元:

,

三、原根
由定理 3 的证明, 事实上得到了这样的结果: 若 那么它的非零元全体构成的群 特征为 的素域, 则 ( 与 是个有限域, 是

是一个循环群. 特别地, 设

也是循环群. 互素), 使得 是模 在 中所对应的剩余类 的正原根中

若有整数 是

中的乘法生成元, 则称 的最小原根.

的原根. 模

的最小者称为模

?



的原根有许多, 但模 , 由于 ,

的最小原根是唯一的. , (mod 5), 所以,

例 3 对于域 2 是

的生成元. 由于 1 不可能是模 5 的生成元, 所以, 模 5 的 , 故 3 也是乘法的生成元, 即 3 也是

最小原根是 2. (由于

模 5 的原根, 但 3 不是最小原根.) 我们常常在模 的剩余类域 的讨论中, 将 就简写为 ,

因此我们可能会写出诸如 模 中的运算.

的等式, 希望大家能注意到这是

例 4 求模 23 的最小原根. 解 设 , 由计算知, , 但 , 故 . . , , . 是乘法群, 则 , 则 的阶必等于 22, 从而 . 所以如果 必为原根. , 且

所以模 23 的最小原根等于 5. 由于 , 故 共有 10 个生成元(想一想, 为什么?), 这

些生成元对应于 10 个小于 23 的正原根. 它们分别是: , , , , ,

,

,

,

,

.

第三十三次课 习题讲解 第三十四次课 域的伽罗瓦理论
1.(一、校验数) 2.(二、尺规作图问题) 3.(三、多项式的根式解)

在我们这个 21 世纪充满数字的时代, 各种商品、证件等都被赋 予了体现它们身份的代码. 例如: 我们经常阅读的书籍就都有一个 独一无二的书号, 即: 国际标准书号 (International Standard Book Number, 简称 ISBN): 确定其身份的号码. 例如: , 它的前九个数是 表示的是科学出版社, 则表示 表示的什么呢?

表示的是高等教育出版社, 而 华东师范大学出版社. 那么这余下的第十位数 我们称

为校验数(check), 它单独作为一个数字并不起任何作用 ,

只有与前九个数结合在一起才起作用. 它是为了在计算机阅读书号 是检验输入的号码是否为一个正确的 ISBN 时特意添上去的. 其工作 原理是保证

也就是向量的点积

.

我们称这样的向量(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1) 为权向量. 由于模 11 是素数, 因此上述等式可以认为是在素域 中进行的运算.

我们用由科学出版社 2002 年出版的新书《高等代数与解析几何 习题精解》的 ISBN:7-03-009804-8, 来验证一下上述事实. 可知它 的校验数 , 而

如果需要取

为 10 才能使得点积(在

中)为 0, 则选取字母

X 来作为校验数. 例如上海教育出版社 1999 年出版的通俗数学名著 译丛《数学与联想》的书号为: 7-5320-6266-X, 这里的 X 就代表 10, 而书号向量与权向量的点积为 231 . 所以一旦激光

阅读器在阅读书号时误读了一位数字, 电脑在进行了上述点积运算 后就能识别出错误, 从而发出警告. 该校验数除了能识别一位数的 错误外, 还能识别出两相邻位数字的换位错误. 例 1 ISBN 0-669-03925-4 是不涉及第一位及最后位数字的两相邻位 数字错位后的结果. 试确定出正确的 ISBN. 解 设正确书号向量为 , 其中存在 . 设权向量为 , 使得 . 设 , 相应的错误书号向量为 , , 则 , 而其余的

在我们的情形中, 及

, 而只有



. 又由已知错位不涉及第一位, 故出错位是第 6, 7

位. 正确的书号应该是: ISBN 0-669-09325-4. 校验数的设计是多种多样, 并不是所有的校验数都使用素数模, 也有用其他的数作为模的, 例如: UPC(通用商品码, 即我们通常接 触到的商品的条形码)的校验数使用的是模 10, 而权向量则选的是 (3,1,3,1,3,1,3,1,3,1,3,1). 此外, 也有用更高级的原理来设计校验数的, 例如, 有使用群 论的思想来设计的.

二、尺规作图问题
几何作图问题最早可追溯到古希腊时代. 目前流传下来的较有 名的有这样的三大问题, 他们用现在的语言来叙述就是 I. 倍立方问题. 即: 能否构作一个体积等于原立方体体积二倍的立 方体, 即要作一立方体, 使该立方体的边长是原立方体 II. 三等分角问题. 即能否构作出已知角的三等分角. III. 化圆为方问题.求作一正方形, 使其面积等于给定的圆的面积. 倍.

现在已经, 这三个问题如果只用直尺和圆规来求解是不可能的. 这一点, 直到十九世纪才被人证明, 它距第一次提出这三个问题已 达两千年了. 那么, 什么叫只用直尺和圆规来作图(或尺规作图)呢? 定义 1 在平面上给定一个有限点集 方法归纳地定义子集 , : , ( 是 ), 按如下 与以下三

个子集的并集: (1) 连接

中不同点的直线对的交点所组成的集合; 中的点为圆心, 以 中两点为

(2) 在(1)中所定义的直线与以

端点的线段为半径的圆的交点所组成的集合; (3) 在(2)中所定义的圆之间的交点所组成的集合.



那么平面上的点 , 就称它是从

如果满足

出发(用直尺和圆规)可以 出发构造. 是无限个 的并集, 但 , 也就是说 是从

构造的, 否则就称 注意到, 虽然

不能从

出发的可构造点当切仅当 个点

属于某个

是由有限多

出发经过有限步的尺规作图后得到的.

那么, 这样一个几何问题是如何与域联系起来的呢? 这就要将 几何问题代数化. 我们知道引入直角坐标系是代数化的主要手段. 我们可以将问题中的平面看作一个复平面, 则平面中的点一一对应

于复平面中的点, 也就是一个复数. 适当建立坐标系, 可使 , 复数集合为 对应于复数 , (设 ). 记

,

所对应的 , 则

对应的复数集合为

是复数域 的充分必要条件是 定理 1 是

的子集. 显然点 . 的包含 以及

可用直尺圆规作出

的关于开平方和共

轭运算封闭的最小子域. 由域的性质还可得 定理 2 设 件是存在扩域塔 . 上述两定理的详细证明, 请大家参阅教材第三章第五节. 对于倍立方问题, 由 , 因此由定理 2 知 是方程 的根, 所以 , 则 使得 , 且 的充分必要条 ,

不能由直尺圆规作出. , 则所求角 .

对于三等分角问题, 可证若取给定角为 所以 是 上不可约多项式

的根, 所以同样有

, 从而不能将

角三等分. , 所

至于化圆为方问题. 设所给圆的半径为 1, 则圆面积为 求正方形的边长为 , 因为

为超越数 (提示 24.2), 所以 不可能是有限数.

也是超越数 (想一想, 为什么?). 从而

因此古希腊的三大几何作图问题用直尺圆规都不可解.

第三十五次课 域的伽罗瓦理论 三、多项式的根式解
我们在中学里已经学过, 对于如下的一元二次方程 可以推导出求根公式

这一结果早在古巴比伦时代就已被人熟知. 对于一般的一元三次方程, 早在 1545 年出版的一本数学著作 Ars Magma 中已有介绍, 现在称三次方程的求根公式为卡丹公式. 我们这里来简单介绍一下. 设一元三次方程为

则通过以

代替变量

, 可将上述方程化为如下简约方程:



是该简约方程的三个根. 令

称为简约方程的判别式. 令 , 则卡丹公式为

,

,

这里两公式中

的取值要相同, 且立方根的选取要满足条件

然后通过解线性方程组

就可求出简约方程的根

.

对于一元四次方程求解的一般方法, Ars Magma 一书中也有介绍. 由于比较复杂, 我们这里就不作介绍了, 但是它的方法与三次是类 似的, 最后也能得出根式解的公式.

由于对于三次、四次方程求解公式探索的成功, 激励了许多大数 学家从十六世纪中期至十九世纪初探索一般的五次方程的根式解问 题, 其中虽然由一些有用的结果, 但总的来说是失败的. 直到鲁非 尼(Ruffini) (1813 年发表) 以及阿贝尔 (1827 年发表) 独立地证明 了一般的五次方程是没有根式解的这一重要结果. 但最终将这一问 题彻底解决的是法国数学家伽罗瓦(Galois), 他在此基础上建立起 了一套完整的理论, 即现在人们所称的伽罗瓦理论. 在这一理论中 我们可以将一般的 次多项式 有无根式解的问题转化为

所对应的所谓伽罗瓦群的性质的判别问题. 为了介绍鲁非尼 - 阿贝尔的工作 , 我们首先要介绍 方程的概念. 设 是个域, 是不同的不定元, 那么方程 次“一般”

称为

上的

次一般方程. (特征为 0), 那么 次的一般

定理 3 (鲁非尼-阿贝尔) 如果 方程没有根式解.

但是这一定里没有回答出究竟什么样的方程式有根式解的. 事 实上, 如果 上的一个 5 次多项式在域 上可约, 那么它就能分解

为两个

上次数小于 5 的多项式的乘积. 因此它一定是有根式解的.

而如何判别有无根式解的问题正是伽罗瓦解决的. 设 分裂域为 是域 上的一个 次多项式. 并假设 在域 上的

. 然后考虑

中所有使得 , 即

中元素都保持不变的所有

域自同构的全体

可以证明

是一个有限群(事实上, 它可看成 的伽罗瓦群. . 则 . 则对于 上的作用: 在

的根的置换群),

这个群称为多项式 例 2 设 设

上的分裂域 中的元素

.

, 我们来考虑它在

由于 定出



中的数保持不变, 所以 就能确定 , 也就能确定出

. 因此只要确 了. 但是,

因此,

是方程 , 那么

的根, 即 . 显然 .

. 如果

如果

, 那么

(*)

且容易验证, 由(*)式定义的变换 (其中 例 3 设 解 因为 的 4 个根为 . 设 设 , 则 由(*)式定义).

确实属于

. 所以

. 求 . 所以



上的伽罗瓦群 在 上的分裂域

.

,

. 于是,

且可知

,

. 由于

, 所以

是个 4 阶

交换群, 但不是循环群. 如果取 设 是群. 对 , 则可证 , 称 在 上的伽罗瓦群同构于 为 的换位子, (或 .

的由所有换位子所生成的子群叫做 )(见提示 24.3). 的换位子群记作 .

的换位子群, 记作 或

的换位子记作

. 一般地,

定义 2 群.



是群. 若存在正整数

, 使得

, 则称

为可解

现在我们可以来叙述伽罗瓦理论的主要结果了.

定理 4 (伽罗瓦) 特征零的域

上的多项式方程

用根式可

解的充分必要条件是其伽罗瓦群为可解群. 例 4 设 从而 是交换群. 则 的任何换位子 . 因此 ,

是可解群. . 则对任何 是偶置换, 即 . 又 . 但是 , 由于 与 奇偶性相同, 所

例 5 设 以 的子群

. 从而由所有换位子生成 , 所以 . 而 是可解群. 的子群, 而根据例 5, 是循环群,

是非交换群, 故存在 只有平凡子群, 因此 . 因此

所以

. 于是

由于三次多项式的伽罗瓦群是 3 次对称群

是可解群. 但是可解群的子群是可解群(见提示 24.4), 所以三次 多项式的伽罗瓦群是可解群, 因此三次方程是根式可解的. 关于可解群, 还有一个值得一提的结果就是如下的 定理 5 (菲特, 汤姆森)任何奇数阶的群都是可解群. 可以证明, 当 (即 是均有 . 但当 时 , 是单群 . 因此,

只有平凡的正规子群), 所以





不是可解群. 而这正是一般的 5 次或 5 次以上的方程 次的一般方程的伽罗瓦

不能用根式解的关键所在 (因为可以证明: 群就等于 ).

第三十六次课

大复习


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