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第一课 三角函数 角的概念。弧度制 任意角的三角函数t


第一节 角的概念与弧度制及任意角的三角函数 1.了解任意角的概念. 2.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化 知识梳理. 一、角的概念 1.角的概念的推广:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所 形成的图形,叫做________.按逆时针方向旋转所形成的角叫做________,按顺 时针方向旋转所形成的角叫做________,一条射线没有作任何旋转时,称它形成 一个________.射线的起始位置称为________,终止位置称为________.射线的 端点叫做角的________. 2.角的分类:__________________. 3.象限角的概念:在平面直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,角的________在第几象限,就说这个角是第几象限的角. 4.轴线角的概念:在平面直角坐标系中,使角的顶点与坐标原点重合,角的始 边与 x 轴非负半轴重合,角的终边落在________,就说这个角是轴线角. 5.区间角:区间角是介于两个角之间的所有角,如: 6 .终边相同的角:与 α 角终边相同的角的集合 ( 连同角 α 在内 ) ,可以记为 _____________________________. 7.几种终边在特殊位置时对应角的集合如下表所示: 角的终边所在位置 x 轴正半轴 y 轴正半轴 x 轴负半轴 y 轴负半轴 x轴 y轴 坐标轴 角的集合 ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________

二、弧度制 1.1 弧度角的定义:我们把长度等于________的弧所对的圆心角叫做________ 角.1 弧度记作 1 rad. 用弧度作为度量角的制度,叫做________. (1 度的角:把周角分成 360 等份,则其中 1 份所对的圆心角叫做 1 度的角.用度 作为度量角的制度,叫做角度制) 2.角度制与弧度制的互化:180°=π rad ,1°= rad;1 弧度≈57.3°.

特殊角的互化: 度 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150°

弧度

__

__

__



210°

225°

240°

270°

300°

315°

330°

弧度

__

__

__

__

__

__

3.弧长公式:l=|α |r(α 是圆心角的弧度数). 4.扇形面积公式:S=lr=|α |r2. 三、任意角的三角函数

1.三角函数的定义:以角α 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴正半轴建立直角坐 标系,在角α 的终边上任取一个异于原点的点 P(x,y),点 P 到原点的距离记为 r(r=>0),那么 sin α =________,cos α =________,tan α =________. 注意:上述比值不随点 P 在终边上的位置的改变而改变. 2.三角函数在各象限的符号.

由三角函数的定义, 以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得到三角函数在各 象限的符号如上表.也可概括为如下口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 若终边落在坐标轴上,则可用定义求出三角函数值.

3.特殊角的三角函数值. α 0 π

sin α

____

____

____

____

____

____

____

cos α

____

____

____

____

____

____

____

tan α

____

____

____

____

不存在

____

不存在

4.三角函数的定义域、值域. 函数 y=sin α y=cos α y=tan α 定义域 ________________ ________________ ________________ 值域 ________ ________ ________

考点一终边相同的角的表示 【例 1】 已知角 α=45° , (1)在区间[-720° ,0° ]内找出所有与角 α 终边相同的角 β. ? ? ? ? ? k +45° ,k∈Z ?, (2)设集合 M=?x?x=2×180° ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? k +45° ,k∈Z ?,那么两集合的关系是什么? N=?x?x=4×180° ? ? ? ? ?

考点二象限角的确定 【例 2】 象限角? α (2)已知 α 是第三象限角,则3是第几象限角? α (1)若角 α 是第二象限角,则:①2是第几象限角?②2α 是第几

已知 <α < ,则 kπ +α (k∈Z)所在的象限是 ( ) A.第一象限或第三象限 B.第二象限或第四象限 C.第三象限或第四象限 D.第一象限或第二象限 考点三角度制与弧度制的互化 【例 3】 已知下列各个角:α1=-

855° . (1)其中是第三象限角的是______. (2)将它们化为另一种度量制下的数量分别是多少?

11 511 π, α = π,α =9,α =- 7 6
2 3 4

考点四扇形弧长、面积的计算 【例 4】 一个半径为 r 的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的长,则扇形的 圆心角是多少弧度?多少度?扇形的面积是多少?

练习:设扇形的周长为 8 cm ,面积为 4 cm2 ,则扇形的圆心角的弧度数是 ____________.

考点五利用定义求三角函数值 【例 5】 (1)已知角 α 的终边过点(a,2a)(a≠0),求 α 的三角函数值 sin α, cos α,tan α. (2)已知角 α 的顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边为射线 4x+ 1 ? ? 3y=0(x>0),求 sin α?sin α+tan α?+cos2α 的值. ? ?

练习:已知角α 的终边经过点 P(5,-12),则 sin α +cos α 的值为______.

考点六特殊角三角函数值的计算 π π π 3π π 【例 6】 计算 sin4cos3sin2-cos πcos 2 +tan26的值.

π π π π π 练习:计算:sin3cos6+tan2πsin2-cos4sin4=________. 考点七根据三角函数值的符号确定角所处象限(取值范围) 【例 7】 若 sin θcos θ>0,试确定角 θ 所在的象限. 思路点拨:(1)首先确定 sin θ 与 cos θ 的符号,再判断 θ 所在的象限. (2)先化简关系式再确定 θ 的范围. (3)因判断 θ 所在的象限,故本题可以用特殊值(各个象限各取一个)来判断. 练习:如果点 P(tan θ ,cos θ )位于第二象限,那么θ 所在的象限是 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

知识点总结

1.对角概念的理解要准确. (1)不少同学往往容易把“小于 90°的角”等同于“锐角”,把“0°~90°的角” 等同 于“第一象限的角”.其实锐角的集合是小于 90°的角的集合的真子集, “0°~ 90°的角 ”的集合为 { α |0 °≤ α ≤ 90 ° } ,第一象限角的集合为 { α |k· 360 ° <α <k· 360°+90°,k∈Z}. (2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同,终边相同的角的同一三 角函数值相等. 2.终边关于坐标轴(原点)对称的角的关系. (1)α 终边与θ 终边共线(α 的终边在θ 终边所在直线上)?α =θ +kπ (k∈Z). (2)α 终边与θ 终边关于 x 轴对称?α =-θ +2kπ (k∈Z). (3)α 终边与θ 终边关于 y 轴对称?α =π -θ +2kπ (k∈Z). (4)α 终边与θ 终边关于原点对称?α =π +θ +2kπ (k∈Z). 3.对弧度制概念的理解要准确:等于半径长的弧所对的圆心角等于 1 弧度.容 易错把弦长等于半径的圆心角当成 1 弧度. 4. 引入弧度制后, 角的表示可用弧度制, 也可用角度制, 但两者不能混合使用. 如: α =k×180°+ 或α =2kπ +60°等都是不规范的. 5.在弧度制下,任意一个角α 的弧度数都有唯一的一个实数 x 与之对应;反之, 任何一个实数 x 也都对应唯一的一个角α .也就是说,角的集合与实数的集合建 立一一对应关系.如角α = 对应唯一的实数 . 6.三角函数也是一种函数,它可以看成是从一个角 (弧度制)的集合到一个比值 的集合的函数. 也可以看成是以实数为自变量的函数,定义域为使比值有意义的 角的范围. 如 tan α = 有意义的条件是角α 终边上任一点 P(x,y)的横坐标不等于零, 也就是角α 的终边不能与 y 轴重合,故正切函数的定义域 为 . 7.应掌握任意角的三角函数的定义、三角函数的符号、特殊角的三角函数值.


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