kl800.com省心范文网

23个基础的圆锥曲线专题


23 个基础的圆锥曲线专题

23 个基础的圆锥曲线专题 1、设椭圆 E :
x2 y2 3 ? ? 1 ,其焦点在 x 轴上,若其准焦距(焦点到准线的距离) p ? ,求 4 a2 1 ? a2 椭圆的方程. x2 y 2 3 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,其通径(过焦点且垂直于长轴的焦直 2 a 2 b2

2 、设椭圆 E :

径) d ? 1 , F , F 为两焦点, P 是 E 上除长轴端点外的任一点, ?F PF 的角平分线 PM 交 1 2 1 2 长轴于 M (m, 0) ,求 m 的取值范围. 3、设椭圆 E :
x2 y 2 1 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率 e ? , F , F 为两焦点,椭圆 E 与 y 轴的交点 1 2 2 a 2 b2

为 A(0,3) ,求三角形的面积 S
x2 a2 y2 b2

?F 1AF2

??
A N B F O M

4、如图,设椭圆 E :

?

? 1 (a ? b ? 0) , M , N 为长轴顶

点, 过左焦点 F 、 斜率为 k ? 3 的直线 l 交椭圆 E 于 A、B
S 两点,若 FA ? 2 FB ,求 ?FAM ? ? S ?FBN

5、设椭圆 E :

x2 y 2 3 4 3 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,其离心率 e ? ,其通径 d ? ,① 求椭圆 E 的方 3 3 a 2 b2

程.② 两条焦直径(过焦点的弦)AB 与 CD 互相垂直.求

1 1 ? ?? AB CD

6、设椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1 ,左焦点为 F ,在椭圆上任取三个不同 36 27

C

2? FP ? ?P FP ? ?P FP ? 点P ,求: 1、P 2、P 3 ,使得 ?P 1 2 2 3 3 1 3 1 1 1 ? ? ?? FP FP FP 1 2 3

B D

M

A

x ? 1?2 y 2 ? 7、如图所示,椭圆 E : ? ? 1 ,过原点的两条直线交圆 16 9
于 ABCD , AD 与 CB 的延长线相交于 M , AC 与 DB 的延长线 相交于 N ,求 MN 所在的直线方程.
第 1 页 共 20 页

N

23 个基础的圆锥曲线专题

8、 设椭圆 E :
AB 中点.

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , 过右焦点的直线 l : x ? y ? 3 ? 0 交 E 于 A、B 两点,P 为 2 2 a b
1 ,求椭圆 E 的方程; 2

⑴若 OP 的斜率为: k ?

⑵若直线 m : x ? y ? 3 ? 0 交 E 于 C、D 两点, AD 与 BC 相交于 Q ,求 Q 点的坐标. 9 、设椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1 的长轴端点为 A、B ,与 y 轴平行的直线交椭圆 E 于 P、Q 两点, 16 8

PA、QB 的延长线相交于 S 点,求 S 点的轨迹.

10、已知抛物线 P : y 2 ? 2 px ( p ? 0) , F 为 P 的焦点, M 为 P 上任一点,l 为过 M 点的切线, 求证: FM 与 l 的夹角等于 l 与 x 轴的夹角. 11、已知抛物线 P 的顶点为原点,其焦点 F (0, c) 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d ? 在 l 上,过 M 作抛物线 P 的两条切线 MA 、 MB ,其中 A 、 B 为切点. ⑴当 M 的坐标为 (4, 2) 时,求 AB 的直线方程; ⑵当 M 在 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值. 12 、过抛物线 P : x2 ? 2 py ( p ? 0) 的焦点 F 作斜率分别为 k1、k2 两条不同弦 AB 和 CD ,
3 2 ,M 2

k1?k2 ?2 ,以 AB 、 CD 为直径的圆 M 圆 N ( M 、 N 为圆心)的公共弦所在的直线记为 l ,
若圆心 M 到 l 距离的最小值为
7 5 ,求抛物线 P 的方程. 5

13、 已知动圆 C 过定点 A(4, 0) , 且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8, 求动圆圆心 C 的轨迹方程. 14、如图已知,在抛物线 P : y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,其准线与 x 轴的 交点为 A . 过原点的圆 C 其圆心在抛物线 P 上, 与抛物线的准
2 线 l 交于不同的两点 M 、N ,若 AF ? AM ? AN ,求圆 C 的

M N A C

半径. 15、如图,抛物线 P : x2 ? 4 y ,抛物线 P : x2 ? ?2 py ( p ? 0) ,点 1 2
M ( x , y ) 在抛物线 P 上,过 M 作 P 的两条切线 MA 和 MB , 1 0 0 2
第 2 页 共 20 页

23 个基础的圆锥曲线专题

1 当 x ? 1 ? 2 时,切线 MA 的斜率为 k ? ? . 0 2 ⑴求: AB 所在的直线方程;

A B M

⑵当点 M 在抛物线 P 上运动时,求 AB 中点的轨迹方程.

2

16、已知抛物线 P : y 2 ? 8 x ,焦弦 AB 被 F 分为 FA 、 FB 两段, 求:

1 1 ? ?? FA FB

17、 如图, 在正方形 中,O 为坐标原点,点 A 的坐标为 ?10,0? ,
OABC

点 C 的坐标为 ? 0,10? ,分别将线段 OA 和 AB 等分成十等
AB

OA

分,分点分别记为 A 1, A2 ,???, A9 和 B1, B2 ,???, B9 ,连接 OBi ,
OBi

过 Ai 作轴的垂线与 OBi 交于点 P i ? i?N *,1?i ?9 ? . (1)求:点 Pi 的轨迹方程; (2)求:过点 Pi 的切线方程。 18、已知,双曲线 H : x ? y ? 1,过右焦点 F 的直线交 H 于 A、B 两点,以 AB 为直径的圆 C
4 5 2 2

与 H 的准线还有另外两个交点 M 、N ,与原点 O 构成的三角形,求: S?MON 的最小值.

23 个基础的圆锥曲线专题解答 1、设椭圆 E: 的方程. 解:⑴先求 a 2 的范围:
1 ; 2 1 另外, b2 ? 1 ? a2 ? 0 ,所以 a2 ? 1 ;所以 a 2 ? ( ,1) . 2 3 x2 y 2 ? ?1 ,其焦点在 x 轴上,若其准焦距(焦点到准线的距离) p ? ,求椭圆 4 a 2 1? a 2

由焦点在 x 轴上,则: a2 ? 1 ? a2 ,即: a 2 ?

⑵求 a2 的值: 焦点坐标: c 2 ? a 2 ? b2 ? a 2 ? (1 ? a 2 ) ? 2a 2 ? 1 ;

第 3 页 共 20 页

23 个基础的圆锥曲线专题

椭圆的准线: x ? 准焦距: p ?

a2 ; c

a2 a 2 ? c 2 b2 1 ? a2 3 ?c ? ? ? ? c c c 4 2a 2 ? 1

则: 16(1 ? a 2 )2 ? 9(2a 2 ? 1) ,即: 16a4 ? 50a2 ? 25 ? 0 方程有两个解: a 2 ? ⑶确定椭圆方程: 将 a2 ?
5 3 8x2 8 y 2 , 1 ? a 2 ? 代入方程得: ? ?1 8 8 5 3 50 ? 30 5 50 ? 30 5 1 5 ? ? 1 (舍) ? ? ( ,1) ,故 a 2 ? . ,和 a 2 ? 32 2 32 8 2 8

2 、设椭圆 E :

x2 y 2 3 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,其通径(过焦点且垂直于长轴的焦直 2 a 2 b2

P E PM 交 径) d ? 1 , F 1, F2 为两焦点, 是 上除长轴端点外的任一点, ?F 1PF2 的角平分线

长轴于 M (m, 0) ,求 m 的取值范围. 解:⑴通径,即 x ? c 时的 ?yc .

y2 c 2 a 2 ? c 2 b2 c 当 x ? c 时代入方程得: , ? 1? ? ? b2 a2 a2 a2
b4 2b2 即: y 2 ? ,故通径: d ? ?y ? ? 1 ,即: a ? 2b2 c c 2 a a



a 2 ? b2 3 b2 1 c a 2 ? b2 3 ? ,即: ? ⑵由离心率 e ? ? ,即: ? 4 a 2 a2 a2 4 a2 则: a ? 2b ②

联立①②解得: a ? 2 , b ? 1 ,则 c ? 3 ⑶写出椭圆 E 的方程:

x2 ? y2 ? 1 4



PM 的直线方程: ⑷求 ?F 1PF2 的角平分线

x x 由③得过 P ( x , y ) 点的切线方程为: 0 ? y y ? 1 0 0 0 4
即: y ?
x x x 1 1 x0 x (1 ? 0 ) ? ? ,其斜率为: k ? ? 0 y 4 y 4y 4y 0 0 0 0
第 4 页 共 20 页

23 个基础的圆锥曲线专题

1 4y 根据椭圆的切线定理, PM 是过 P ( x , y ) 点的法线,其斜率为: k ' ? ? ? 0 0 0 k x
4y 则 PM 的直线方程为: y ? y ? 0 ( x ? x ) 0 x 0 0 4y 将 M (m, 0) 代入上式得: 0 ? y ? 0 (m ? x ) 0 x 0 0

x 3x 即: m ? x ? ? 0 ,故: m? 0 0 4 4
⑸求出 m 的范围



因为 P ( x , y ) 点是 E 上除长轴端点外的任一点,故: x ? ( ? a, a ) , 0 0 0
3 3 即: x ? ( ?2, 2) . 代入④式得: m ? ( ? , ) . 0 2 2

3、设椭圆 E :

x2 y 2 1 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率 e ? , F , F 为两焦点,椭圆 E 与 y 轴的交点 1 2 2 a 2 b2

为 A(0,3) ,求三角形的面积 S?F AF ?? 1 2 解:⑴先求 E 的方程: 将 A(0,3) 代入 E 的方程得:
02 32 ? ? 1 ,故: b ? 3 a 2 b2

再由 e ?

c 2 a 2 ? b2 1 c 1 4 ? ,即: ? ? , a 2 ? b 2 ? 12 , a 2 3 4 a2 a2

则: a ? 2 3 , c ?

a 2 3 x2 y 2 ? ? 3 , E 的方程为: ? ?1 2 2 12 9



⑵求三角形 ?F : 1AF2 的面积 S?F 1AF2

?F 1AF2 的高,即 OA ? b ? 3 ;
?F 1AF2 的底,即焦距 F1F2 ? 2c ? 2 3 ;
1 1 F OA ? ?2 3?3?3 3 故: S?F AF ? F 2 1 2 2 1 2

⑶ 另 外 , ?F 1AF2 是 椭 圆 的 焦 点 三 角 形 , 可 以 用 椭 圆 的 焦 点 三 角 形 公 式 秒 之 .

? c S?F AF ?b2 tan ?b2 ? ?bc ?3 3 2 b 1 2
第 5 页 共 20 页

23 个基础的圆锥曲线专题

4、如图,设椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , M , N 为长轴顶 2 2 a b
A N B F O M

点, 过左焦点 F 、 斜率为 k ? 3 的直线 l 交椭圆 E 于 A、B
S 两点,若 FA ? 2 FB ,求 ?FAM ?? S ?FBN

解: 本题由于直线 l 过左焦点 F , 所以采用以左焦点为原点的 极坐标,可使问题大大简化. ep 椭圆的极坐标方程为: ? ? ① 1 ? e cos ? ? 直线 l 的方程为: ? ? ② 3 ep ep 2ep ? 那么: FA ? ? ; ? ? ?? ? ? e 2?e 1? 3 1 ? e cos 3 2 ep ep 2ep FB ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? e 2?e 1 ? e cos( ? ? ) 1 ? 3 3 2 1 2 2 ? 代入 FA ? 2 FB 得: ,即: 2 ? e ? 2(2 ? e) ? 4 ? 2e ,故: e ? 2?e 2?e 3 ep ep ep ep ? ? 于是: FM ? ? ? ? 0 ? ; FN ? ? ? ? ? ? 1 ? e cos 0 1 ? e 1 ? e cos ? 1 ? e 2 1 ? FM FA 1? e 3 ? 5 ?5 故: ? ? ? 2, FN 1 ? e 1 ? 2 1 FB 3 1 FA FM sin ? FA FM S 所以: ?FAM ? 2 ? ? 2 ? 5 ? 10 1 S FB FN FB FN sin ? ?FBN 2 5、设椭圆 E :
x2 y 2 3 4 3 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,其离心率 e ? ,其通径 d ? ,① 求椭圆 E 的方 3 3 a 2 b2

程.② 两条焦直径(过焦点的弦)AB 与 CD 互相垂直.求 解:⑴先求椭圆 E 的方程:

1 1 ? ?? AB CD

c 2 a 2 ? b2 1 b2 2 c 3 ? ? ,则: ? 由离心率 e ? ? 得: 3 a 3 a2 a2 a2 3



由通径 d ?

2b2 4 3 b2 2 3 得: ? ? a 3 a 3



第 6 页 共 20 页

23 个基础的圆锥曲线专题

联立①②得: a ? 3 , b ? 2 ,故椭圆 E 的方程为:

x2 y 2 ? ?1 3 2

⑵两条焦直径都过焦点,所以采用以焦点为原点的极坐标解题更便捷. ep 以左焦点为原点的椭圆极坐标方程为: ? ? ③ 1 ? e cos ? ? 3? 那么,设: A( ? ,? ) ,则: B( ? ,? ? ? ) , C ( ? , ? ? ) , D( ? , ? ? ) 3 4 1 2 2 2 代入方程③式得:

ep ep ep ep 2ep AB ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 1 ? e cos ? 1 ? e cos(? ? ? ) 1 ? e cos ? 1 ? e cos ? 1 ? e2 cos2 ?
于是,
1 1 ? e2 cos 2 ? ? AB 2ep



? 3? 1 ? e cos(? ? ) 1 ? e cos(? ? ) 2 2 1 1 ? e2 sin 2 ? ? 于是, ⑤ CD 2ep
由④式⑤式得:
1 1 1 ? e2 cos 2 ? 1 ? e2 sin 2 ? 2 ? e2 ? ? ? ? AB CD 2ep 2ep 2ep

CD ? ? ? ? ? 3 4

ep

?

ep

?

ep ep 2ep ? ? 1 ? e sin ? 1 ? e sin ? 1 ? e2 sin 2 ?



将e ?

1 1 5 3 3 b2 2 ? ? ,p? ? ? 2 代入⑥式得: AB CD 12 3 c 1

6、设椭圆 E :

x2 y 2 ? ?1 ,左焦点为 F ,在椭圆上任取三个不同点 P 1、P 2、P 3 ,使得 36 27
2? 1 1 1 ? ? ?? ,求: 3 FP FP FP 1 2 3

?P 1FP2 ??P2 FP 3 ??P 3FP 1?

解:椭圆 E 的参数: a ? 6 , b ? 3 3 , c ? 3 , 故离心率 e ?
c 1 a2 b2 27 ? ,准焦距 p ? ?c ? ? ?9. a 2 c c 3

采用极坐标,以左焦点为原点的极坐标方程为:

??

ep 1 1 ? e cos ? ,即: ? 1 ? e cos ? ? ep



2? 2? ) , FP ? ( ? , ? ? ) 设 FP ? ( ? , ? ) ,则 FP ? ( ? , ? ? 2 2 3 3 1 1 3 3 分别代入①式得:
第 7 页 共 20 页

23 个基础的圆锥曲线专题

1 ? e cos ? 1 ? , ? ? ep ? 1 2 1

1 ? e cos(? ? ep

2? 2? ) 1 ? e cos(? ? ) 1 3 , 3 ? ? ep 3

2? 2? ) ? cos(? ? ) ? 0 3 3 1 1 1 3 3 2 所以上三式相加得: ? ? ? ? ? ? ? ? ep 1 ? 9 3 1 2 3 2 1 1 1 1 1 1 2 故: ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 FP FP FP 1 2 3 1 2 3

由于: cos ? ? cos(? ?

C

B M D

A

x ? 1?2 y 2 ? 7、如图所示,椭圆 E : ? ? 1 ,过原点的两条直

16 9 线交圆于 ABCD ,AD 与 CB 的延长线相交于 M ,AC 与 DB 的延长线相交于 N ,求 MN 所在的直线方程.

解:⑴首先看一下原点 O(0, 0) 和椭圆的位置关系 将原点坐标代入

N
1 ?1 ? 0 16

? x ? 1?2 ? y 2 ? 1 得: ? 0 ? 1?2 ? 02 ? 1 ?
16 9 16 9

小于 0 表明原点在椭圆内部. ⑵本题中,原点 O 和直线 MN 是椭圆 E 的一对极点和极线. 这里先简单介绍一下极点和极线: 过椭圆外一点 P 向椭圆 E 作的所有割线点的连线,相交于两点 A 和 B , 一个点在椭圆内(假设 A ), 一个点在椭圆外(假设 B ). 这 3 个点 P 、A 和 B 构成特殊 的三角形,称为自极三点形. 其中,点 P 和直线 AB 是一对极点和极线;点 A 和直线 PB 是一对极点和极线;点 B 和直线 PA 是一对极点和极线.如果将极点的坐标,做等 效代入椭圆方程,得到的就是其极线方程.这样使得求极线方程变得极为简单. 本题,将原点坐标做等效代入椭圆方程,就得到 MN 所在的直线方程. 将极点坐标 ( x , y ) 做等效代入椭圆方程得到极线方程: 0 0 故:代入 x ? 0 , y ? 0 后得到: 0 0

? x0 ?1?? x?1? ? y0 y ?1
16 9

? 0 ? 1?? x ? 1? ? 0 ? y ? 1
16 9

即: x ? 1 ? 16 ,即: x ? 15 所以 MN 所在的直线方程是: x ? 15
x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , 8、 设椭圆 E : 过右焦点的直线 l : x ? y ? 3 ? 0 交 E 于 A、B 两点,P 为 2 2 a b AB 中点. 1 ⑴若 OP 的斜率为: k ? ,求椭圆 E 的方程; 2
第 8 页 共 20 页

23 个基础的圆锥曲线专题

⑵若直线 m : x ? y ? 3 ? 0 交 E 于 C、D 两点, AD 与 BC 相交于 Q ,求 Q 点的坐标. 解: ⑴由于右焦点在直线 l 上, 将右焦点 F (c, 0) 的坐标代入 l : x ? y ? 3 ? 0 , 得: c ? 0? 3 ? 0, 故: c ? 3 , c2 ? 3

? x2 y 2 ? ? ?1 联立椭圆 E 和直线 l 得到交点 A、B 的坐标: ? a 2 b2 ? ?x ? y ? 3 ? 0
消元法消去 y 得:
x 2 ( 3 ? x)2 ? ?1 2 2 2 a a ?c

即: (a 2 ? 3) x 2 ? a 2 ( 3 ? x)2 ? a 2 (a 2 ? 3) ? 0 整理得: (2a 2 ? 3) x 2 ? 2 3a 2 x ? a 2 (6 ? a 2 ) ? 0 ①

1 由于 P 为 AB 中点,所以 x ? ( x ? x ) , y ? 3 ? x P 2 A B P P 代进①式由韦达定理得:

1 1 2 3a 2 3a 2 x ? (x ? x ) ? ? ? P 2 A B 2 2a 2 ? 3 2 a 2 ? 3 y ? 3?x ? 3? P P 3a 2 3a 2 ? 3 3 ? 2a 2 ? 3 2a 2 ? 3





y 3a 2 ? 3 3 a 2 ? 3 由此得到 OP 的斜率为: k ? P ? ? 2 x 3 a a2 P 1 已知 k ? ,故: a2 ? 6 ,于是 b2 ? a2 ? 3 ? 3 2
所以椭圆 E 的方程为:

x2 y 2 ? ?1 6 3

⑵直线 m : x ? y ? 3 ? 0 经过 F ( 3,0) 点,直线 l 也经过 F ( 3,0) 点, 故 Q 点必在关于椭圆 E 以 F 为极点的极线上. 代入极线方程得:
6 3x 0 ? y ?2 3 ? ? 1;即: x ? Q 6 3 3

由于 AD 与 BC 关于 x 轴对称,根据对称性, y ? 0 Q 所以 Q 点的坐标为: Q(2 3,0)
第 9 页 共 20 页

23 个基础的圆锥曲线专题

9 、设椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1 的长轴端点为 A、B ,与 y 轴平行的直线交椭圆 E 于 P、Q 两点, 16 8

PA、QB 的延长线相交于 S 点,求 S 点的轨迹.

解:设 S ( x , y ) , P(m, n) , Q(m, ?n) 0 0 由 PA / / AS 得: kPA ?k AS
n?0 n k ? ? PA m ? (?a) m ? a

P A Q S B

k

AS

?

0? y y 0 ? 0 (?a) ? x x ?a 0 0

故:

y n 0 ? m?a x ?a 0
BQ ?k QS



由 BQ / /QS 得: k
k ?

BQ

y ?0 y ?n ? 0 n 0 ? ? 0 ? ,k QS x ? a x ? a m?a a?m 0 0

故:

y n ? 0 a?m x ?a 0



y2 0 由① ? ②式得: ? 2 2 2 a ?m x ? a2 0 n2
又, P、Q 两点在椭圆 E 上,满足:



m2 n 2 ? ?1 2 2 a b

即:

n2 m2 a 2 ? m2 b2 a2 a2 n2 ? 1? ? ? ? ? ,即: b2 a2 a2 n 2 a 2 ? m2 n 2 a 2 ? m2

y2 b2 a 2 n2 a2 0 代入③式得: ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 n n a ?m n x ? a2 0

y 2 x2 ? a2 x2 x2 y 2 0 0 0 即: ? ? ? 1,故: 0 ? 0 ? 1 2 2 2 b a a a 2 b2
x2 y 2 即: 0 ? 0 ? 1,这就是 S 点的轨迹方程. 16 8
第 10 页 共 20 页

23 个基础的圆锥曲线专题

10、已知抛物线 P : y 2 ? 2 px ( p ? 0) , F 为 P 的焦点, M 为 P 上任一点,l 为过 M 点的切线, 求证: FM 与 l 的夹角等于 l 与 x 轴的夹角.
p 证明: FM 为抛物线的焦半径,设其倾角为 ? , M ( x , y ) , F ( , 0) M M 2

我们看上半轴即 y ? 0 部分,下半轴与上半轴对称。

? ? ? (0, ? ] , ? ? (0, ]
2

?
y

F ? M 则: tan ? ? M p x ?x M F xM ? 2

y

?y

?

抛物线 y 2 ? 2 px 两边对 x 求导: 2 yy ' ? 2 p ,即 y ' ? 故 M 点的切线为: tan ? ? y '
p y

p y

p x?x ? y M M

tan(2? ) ?

2 tan ? ? 1 ? tan 2 ?

2 py M ? M 2 2 p y ? p2 M 1? y2 M

2?

2 py y M ? M M ? tan ? ? 2 2 2 p y ?p 2 px ? p x ? M M M 2

2 py

即: ? ? 2? , FM 与 l 的夹角为 ? ? ? ? 2? ? ? ? ? ,而 ? 就是 l 与 x 轴的夹角. 11、已知抛物线 P 的顶点为原点,其焦点 F (0, c) 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d ? 在 l 上,过 M 作抛物线 P 的两条切线 MA 、 MB ,其中 A 、 B 为切点. ⑴当 M 的坐标为 (4, 2) 时,求 AB 的直线方程; ⑵当 M 在 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值. 解:⑴先求抛物线 P 的方程 由焦点 F (0, c) 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d ?
3 2 得: 2 3 2 ,M 2

d?

0?c?2 12 ? (?1)2

?

c?2 3 2 ,即: c ? 1 ? 2 2

第 11 页 共 20 页

23 个基础的圆锥曲线专题

抛物线 P 的方程为: x 2 ? 4cy ? 4 y



下面求 AB 的直线方程: AB 的直线方程与 M 点是抛物线 P 的一对极线和极点,故用极线方程秒之.
AB 的直线方程: x

M

x ? 2( y ? y) M

将 M (4, 2) 的坐标值代入得: 4 x ? 2(2 ? y) ? 4 ? 2 y ,即: 2 x ? y ? 2 ? 0 ⑵ AF ? A 点到准线的距离, BF ? B 点到准线的距离.
AF ? BF ? ( y ? c)( y ? c) ? ( y ? 1)( y ? 1) A B A B

即: AF ? BF ? ( y ? 1)( y ? 1) ? y y ? ( y ? y ) ? 1 A B A B A B



由于 M ? l ,可将 l : x ? y ? 2 ? 0 作为极线,来求其极点 N . 极点 N ( x , y ) 关于抛物线 P 的极线为: N N
x x ? 2( y ? y ) ,即: x x ? 2 y ? 2 y ? 0 N N N N

与 l : x ? y ? 2 ? 0 对比得: x

N

? 2, y

N

?2

当 M 在 l 上移动时,其极线 AB 必过 N 点. 设 AB 的直线的斜率为 k ,则 AB 的直线方程为: y ? k ( x ? x ) ? y N N 即: y ? kx ? 2k ? 2 ③

AB 点为①与③的交点.

2 2 ?1 ? 2 将③代入①式得: 4 y ? x ? ? y ? ? k ? 1? ? k ?k ?

即: 4k 2 y ? y 2 ? 4(k ? 1) y ? 4(k ? 1) 2 即: y 2 ? 4(k 2 ? k ? 1) y ? 4(k ? 1)2 ? 0 方程④的两个根就是 y 和 y . A B 由韦达定理得: y y ? 4(k ? 1)2 , y ? y ? 4(k 2 ? k ? 1) A B A B 代入②式得: AF ? BF ? 4(k ? 1)2 ? 4(k 2 ? k ? 1) ? 1 ④

? 4(k 2 ? 2k ? 1 ? k 2 ? k ? 1) ? 1 ? 4(2k 2 ? 3k ) ? 9

第 12 页 共 20 页

23 个基础的圆锥曲线专题

3 3 3 4(2k 2 ? 3k ) ? 9 ? 8[k 2 ? 2 ? ? k ? ( )2 ] ? 8 ? ( )2 ? 9 4 4 4 2 2 3? 9 3? 9 9 ? ? ? 8? k ? ? ? 9 ? ? 8? k ? ? ? ? 4? 2 4? 2 2 ? ?
故 AF ? BF 的最小值是
9 . 2

12 、过抛物线 P : x2 ? 2 py ( p ? 0) 的焦点 F 作斜率分别为 k 、k 两条不同弦 AB 和 CD , 1 2 以 AB 、CD 为直径的圆 M 圆 N ( M 、N 为圆心)的公共弦所在的直线记为 l , k ?k ? 2, 1 2 若圆心 M 到 l 距离的最小值为
7 5 ,求抛物线 P 的方程. 5

p 解:抛物线 x 2 ? 2 py 的焦点 F (0, ) . 2 p p 设 AB 直线的方程为: y ? k x ? , CD 直线的方程为: y ? k x ? 1 2 2 2 AB AB 则: 点的坐标满足抛物线方程和 直线的方程

? x 2 ? 2 py ? 即: ? p ? y ? k1x ? ? 2
p 于是: x 2 ? 2 py ? 2 p(k x ? ) ? 2 pk x ? p 2 1 1 2 故: x2 ? 2 pk x ? p2 ? 0 ① 1
AB 是圆 M 的直径,圆心是 M ( x

M

, y ), M

则由韦达定理得: 1 x ? ( x ? x ) ? pk , x ? x ? ? p 2 ② M 2 A B 1 A B p p y ? y ? (k x ? ) ? (k x ? ) ? k ( x ? x ) A B 1 A 2 1 B 2 1 A B 圆 M 的直径平方为:

2 ? ? AB 2 ? ( x ? x )2 ? ( y ? y )2 ? (1 ? k 2 )( x ? x )2 ? (1 ? k 2 ) ? x ? x ? 4x ? x ? A B A B 1 A B 1 ? A B A B?
将②式代入上式得: AB 2 ? (1 ? k 2 )(4 p2k 2 ? 4 p2 ) ? 4 p2 (1 ? k 2 )2 1 1 1 故圆 M 的直径为: AB ? 2 p(1 ? k 2 ) 1 圆 M 的半径为: r ? p(1 ? k 2 ) M 1
第 13 页 共 20 页

?

?

23 个基础的圆锥曲线专题

圆 M 的方程为: ( x ? x )2 ? ( y ? y )2 ? r 2 ? p2 (1 ? k 2 )2 M M M 1 同理,圆 N 的方程为: ( x ? x )2 ? ( y ? y )2 ? p2 (1 ? k 2 )2 N N 2 由③-④得:

③ ④

(x

? x )[2 x ? ( x ? x )] ? ( y ? y )[2 y ? ( y ? y )] ? p 2 (k 2 ? k 2 )(2 ? k 2 ? k 2 ) N M N M N M N M 1 2 1 2
N ?x M ? p (k ? k ) , x ? x ? p(k ? k ) ? 2 p 2 1 N M 2 1

将x

y

N

? y ? p(k 2 ? k 2 ) , y ? y ? p(1 ? k 2 ? k 2 ) M 2 1 N M 2 1
⑤ 这就是两圆的公共弦 l 的直线方程.

代入上式化简得: x ? 2 y ? 0

x ? 2y x ? 2y M ? M M 由圆心 M 到 l 距离为: M 5 12 ? (?2)2
p p 将 x ? pk , y ? k x ? ? pk 2 ? , M 1 M 2 1 2 M 1

代入上式,并由圆心 M 到 l 距离的最小值为

7 5 得: 5

1 1 2p ? 2 1 1 1 1? ( pk ? 2 pk 2 ? p) ? p(2k 2 ? k ? 1) ? k ? 2?k ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 4 5 5 5? 1 42 42 2 ? 2 p ?? 1 ?2 7 ? 7 p 7 5 ?? k ? ? ? ? ? ? ? 5 5 ?? 1 4 ? 16 ? 8 5 ? ?
故: p ? 8 ,则抛物线方程为: x 2 ? 16 y . 13、已知动圆 C 过定点 A(4, 0) ,且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8,求动圆圆心 C 的轨迹方 程. 解:解题思路:弦 MN 和 AM 的垂直平分线相交于圆心. 设: M (0, y ) ,则: N (0, y ? 8) , 0 0
MN 的垂直平分线方程为: y ?

1 (y ? y ) ? y ? 4 N 0 2 M y ?0 y y ?y A? 0 AM 的斜率为: k ? M ?? 0 AM x ? x 0?4 4 M A



则 AM 的垂直平分线的斜率为: k ? ?
AM 的中点 K 为:

1 k AM

?

4 y 0

第 14 页 共 20 页

23 个基础的圆锥曲线专题

y ?0 y x ?x y ?y A ? 0?4 ? 2, y ? M A? 0 x ? M ? 0 K K 2 2 2 2 2
则 AM 的垂直平分线方程为:
y? y 4 4 (x ? x ) ? y ? ( x ? 2) ? 0 K K y y 2 0 0



4 y?4 ( x ? 2) ? 联立①②,消去 y 得: y ? 0 ( y ? 4) 2

即:

y?4 4 ? ( x ? 2) ,即: y 2 ? 42 ? 8( x ? 2) ? 8 x ? 16 ,即: y 2 ? 8 x 2 ( y ? 4)

这就是求动圆圆心 C 的轨迹方程,是条抛物线. 14、 如图已知, 在抛物线 P : y 2 ? 4 x 的焦点为 F , 其准线与 x 轴的交点为 A . 过原点的圆 C 其 圆心在抛物线 P 上,与抛物线的准线 l 交于不同的两点
M 、N ,若 AF 2 ? AM ? AN ,求圆 C 的半径.

解:抛物线的准线方程: x ? ?

p ? ?1 2

M N A C

设圆 C 其圆心坐标为: ( x , y ) , 0 0
y2 因圆心在抛物线 P 上,则: x ? 0 0 4 y4 2 2 2 又圆 C 过原点,则: r ? x ? y ? 0 ? y 2 C 0 0 16 0



? 故圆 C 得方程为: ? x ? ? ? ?

2 y2 ? y4 2 ? 0 ? y? y ? 0 ? y2 ? 0 0 4 ? 16 ?

?

?

y2 y4 y4 2 2 2 0 0 x? ? y ? 2 y y ? y ? 0 ? y2 即: x ? 0 0 16 0 2 16 y2 2 即: x ? 0 x ? y 2 ? 2 y y ? 0 0 2

对于在准线 l 上的 M 、N 两点,其 x ? ?
y2 代入上式得: 1 ? 0 ? y 2 ? 2 y y ? 0 0 2

p ? ?1 , 2

第 15 页 共 20 页

23 个基础的圆锥曲线专题

y2 2 即: y ? 2 y y ? 0 ? 1 ? 0 0 2 方程的两个解就是 M 、N 的纵坐标. y2 由韦达定理得: y ? y ? 2 y , y ? y ? 0 ? 1 M N 0 M N 2
p ?2 ? 2 ?2 ? AF 2 ? ? c ? ? ? ?1 ? ? ? 4 ; 2? ? ? 2?
AM ? y M



, AN ? y ; N
M ?y N ?4

代入 AF 2 ? AM ? AN 得: y

y2 将结果代入②式得: 0 ? 1 ? 4 ,即: y 2 ? 6 . 0 2 y4 36 9 33 2 ?6? ?6? 将结果代入①式得: r ? 0 ? y 2 ? C 16 0 16 4 4

33 故:圆 C 的半径为: r ? C 2

15、如图,抛物线 P : x2 ? 4 y ,抛物线 P : x2 ? ?2 py ( p ? 0) ,点 M ( x , y ) 在抛物线 P 上, 0 0 1 2 2 过 M 作 P 的两条切线 MA 和 MB ,当 x ? 1 ? 2 时,切线 1 0
MA 的斜率为 k ? ?

1 . 2 ⑴求: AB 所在的直线方程;

A B M

⑵当点 M 在抛物线 P 上运动时, 求 AB 中点的轨迹方程. 2 解:⑴先求 A 点的坐标:
x 抛物线 P : x2 ? 4 y 的导函数为: 4 y ' ? 2 x ,即: y ' ? 1 2

x 1 抛物线在 A 点的斜率 y ' ? A 就是切线 MA 的斜率为 k ? ? , A 2 2
x2 1 1 故: x ? ?1 , y ? A ? ,即: A( ?1, ) A A 4 4 4

再求 AB 所在的直线方程:
M ( x , y ) 点与 AB 所在的直线是关于 P 的一对极点和极线, 1 0 0
第 16 页 共 20 页

23 个基础的圆锥曲线专题

故: AB 所在的直线方程为: x x ? 2( y ? y ) 0 0

x 即: y ? 0 x ? y 0 2



求 M ( x , y ) 的坐标: 0 0 因为方程①过 A 点,故:

x 1 ?? 0 ?y ; 0 4 2

x 1 2 ? 2 2 ?1 3? 2 2 当 x ? 1 ? 2 时, y ? ? 0 ? ? ? ?? 0 0 2 4 4 4
确定 AB 所在的直线方程: 将 M ( x , y ) 代入①式得: y ? 0 0 这就是 AB 所在的直线方程. ⑵设 AB 的中点为 N ( x , y ) ,则: N N
x x x2 1 0 0 x ? (x ? x ) , y ? x ?y ? x ? 0 N 2 A B N N 0 2 2 N 4

1? 2 3 ? 2 2 1? 2 3?2 2 x ? (? )? x? 2 4 2 4

将①代入抛物线 P 方程得: 1

x x2 ? 4 y ? 4( 0 x ? y ) ? 2 x x ? 4 y ,即: x2 ? 2 x x ? 4 y ? 0 0 0 0 0 0 2
由韦达定理得: 1 1 x ? (x ? x ) ? ? 2x ? x N 2 A B 0 0 2 x x2 x2 3 3 0 y ? x ? y ? 0 ? 0 ? x2 ? x2 N 0 2 2 N 4 4 0 4 N 4 或者: x 2 ? y . 这就是 AB 中点的轨迹方程. N 3 N 16、已知抛物线 P : y 2 ? 8 x ,焦弦 AB 被 F 分为 FA 、 FB 两段,求:
p 解:抛物线的焦点 F ( , 0) ,即: F (2, 0) , p ? 4 , e ? 1 2

1 1 ? ?? FA FB

以焦点为原点建极坐标,则抛物线的极坐标方程为: ? ? 设: A( ? , ? ) ,则: B( ? , ? ? ? ) 1 2
第 17 页 共 20 页

ep 4 ? 1 ? e cos ? 1 ? cos ?

23 个基础的圆锥曲线专题

于是:

1 1 1 ? cos ? ? ? FA ? 4 1

1 1 1 ? cos(? ? ? ) 1 ? cos ? ? ? ? FB ? 4 4 2
故:

1 1 1 ? cos ? 1 ? cos ? 1 ? ? ? ? FA FB 4 4 2

17、如图,在正方形 中, O 为坐标原点,点 A 的坐标为 ?10,0? ,点 C 的坐标为 ? 0,10? ,分别
OABC

将线段 OA 和 AB 等分成十等分,分点分别记为 A , A , ???, A 和 B , B , ???, B ,连接 OB , 1 2 9 1 2 9 i
AB
OA

OBi

过 A 作轴的垂线与 OB 交于点 P ? i ? N *,1 ? i ? 9? . i i i ⑴求:点 P 的轨迹方程; i ⑵求:过点 P 的切线方程。 i
y i i 解:⑴因为 B (10, i ) ,所以 OB 的直线方程为: ? ,即: y ? x i i x 10 10
A 所在的的垂线方程为: x ? i i

i2 i2 那么过 A 作轴的垂线与 OB 交于点 P (i, ) ,故: x ? i , y ? , i i p p 10 i 10
则: y ?

x2 ,这就是点 P 的轨迹方程. i 10

i2 ⑵ P 点的坐标为: P (i, ) i i 10
则该点的切线方程为:
2 2

y? y xx x i ? i ,即: y ? i x ? y i 2 10 5

18、已知,双曲线 H : x ? y ? 1,过右焦点 F 的直线交 H 于 A、B 两点,以 AB 为直径的圆 C
4 5

与 H 的准线还有另外两个交点 M 、N ,与原点 O 构成的三角形,求: S 解:该双曲线的基本参数: a2 ? 4 , b2 ? 5 , c2 ? a2 ? b2 ? 9 , 故: c ? 3 ,焦点 F (3, 0) 设过右焦点 F 的直线方程为: y ? k ( x ? 3) ,则: x ?
第 18 页 共 20 页

?MON

的最小值.

y ?3. k

23 个基础的圆锥曲线专题

y 代入双曲线方程 4 y 2 ? 5 x 2 ? 20 ? 0 得: 4 y 2 ? 5( ? 3)2 ? 20 ? 0 k

化简得: 4k 2 y 2 ? 5( y ? 3k )2 ? 20k 2 ? 0 即: (4k 2 ? 5) y 2 ? 30ky ? 25k 2 ? 0 ①

( k ? 0 时)

当 k ? 0 时,直线方程为 y ? 0 ,与 H 的准线的交点,不构成三角形. 圆 C 的方程: 设圆 C 的圆心坐标为: C ( x , y ) , A、B 两点为圆直径上的点, C C 故由①式得韦达定理得:

1 15k y ? (y ? y ) ? C 2 A B 4k 2 ? 5
?25k 2 y ?y ? A B (4k 2 ? 5)




y 15 12k 2 C ?3? ?3? 则: x ? C k 4k 2 ? 5 4k 2 ? 5



圆直径的平方为:

1 AB 2 ? ( x ? x )2 ? ( y ? y )2 ? ( y ? y )2 ? ( y ? y )2 A B A B A B A B 2 k
2 故: AB ? (1 ? 1 1? k 2 )( y ? y )2 ? ( y ? y )2 A B A B k2 k2

即:

2 ? ? 1? k 2 1 ? k 2 ?? 30k ? 25k 2 ? 2 2 AB ? [( y ? y ) ? 4 y ? y ] ? ? ? ? 4? A B A B k2 k 2 ? ? 4k 2 ? 5 ? (4k 2 ? 5) ? ? ?

? ? 900 100 ? 9 4k 2 ? 5 ? 2 2 ? ? ? 100(1 ? k ) ? ? 1? k ? ? ? 2 ? 5)2 (4k 2 ? 5) ? 2 ? 5)2 (4k 2 ? 5)2 ? ? ? (4 k (4 k ? ? ? ?
100(1 ? k 2 ) 400(1 ? k 2 )2 2 ? (4 ? 4k ) ? (4k 2 ? 5)2 (4k 2 ? 5)2
故: AB ?
20(1 ? k 2 ) 10(1 ? k 2 ) ,圆的半径为: r ? . C 2 2 4k ? 5 4k ? 5

圆的方程为: ( x ? x )2 ? ( y ? y )2 ? C C

100(1 ? k 2 )2 (4k 2 ? 5)2



第 19 页 共 20 页

23 个基础的圆锥曲线专题

求 M 、N 点坐标: 双曲线的准线方程为: x ?

a2 4 ? c 3

4 对于圆,当 x ? x ? 时,圆此时的坐标就是 M 、N 点的坐标. z 3 4 100(1 ? k 2 )2 故由⑤得: ( ? x )2 ? ( y ? y )2 ? C 3 C (4k 2 ? 5)2

( y ? y )2 ? C

100(1 ? k 2 )2 4 ? ( ? x )2 2 2 3 C (4k ? 5)

2 100(1 ? k 2 )2 4 12k 2 2 100(1 ? k 2 )2 ? 4(4k 2 ? 5) 3 ?12k 2 ? 2 ? (y ? y ) ? ?( ? ) ? ?? ? C 2 2 2 2 2 2 2 3 ? (4k ? 5) 4k ? 5 (4k ? 5) ? 3(4k ? 5) 3(4k ? 5) ? ? 2 2 100(1 ? k 2 )2 ? 4(4k 2 ? 5) 3 ?12k 2 ? 100(1 ? k 2 )2 ? ?20k 2 ? 20 ? ? ? ? ? ?? ? ?? 2 ? 5) 3(4k 2 ? 5) ? 2 ? 5) 2 ? 3(4k 2 ? 5) ? (4k 2 ? 5)2 ? 3(4 k (4 k ? ? ? ?

?

900(1 ? k 2 )2 400(1 ? k 2 )2 500(1 ? k 2 )2 ? ? 9(4k 2 ? 5)2 9(4k 2 ? 5)2 9(4k 2 ? 5)2 ?y ?? A、B C
?MON

y

10 5(1 ? k 2 ) 20 5(1 ? k 2 ) ,故: ?y ? y ? y ? A B 3(4k 2 ? 5) 3(4k 2 ? 5)



求S
S

的最小值:

1 1 4 20 5(1 ? k 2 ) 40 5 ? 1 ? k 2 ? ? ? ? x ? ?y ? ? ? ? ?? ?MON 2 z 2 3 3(4k 2 ? 5) 9 ? 4k 2 ? 5 ? ? ?

只要求出

1? k 2 的最小值,就可以得到 S 的最小值. ?MON 4k 2 ? 5 1? k 2 进行分类讨论: 4k 2 ? 5

对 f (k ) ?

k ? 0 ,前面已说明;

k ??

5 ,与准线只有一个交点; 2
1 40 5 1 10 5 ,此时, S . ? ? ? ?MON 4 9 4 9
第 20 页 共 20 页

k ? ?? , f (k ) ?


赞助商链接

2017高考数学专题复习:圆锥曲线(基础)

2017高考数学专题复习:圆锥曲线(基础)_高考_高中教育_教育专区。本资料适合高一...( A. ) 1 4 B. 3 5 C. 3 4 D. 4 5 23.双曲线 x2 y2 ? ? ...

圆锥曲线基础测试题大全

圆锥曲线基础题训练一、选择题: x2 y2 ? ? 1 上的一点 P 到椭圆一个...23.已知抛物线顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上的点 A(?3, n) 到焦点...

圆锥曲线基础练习题

圆锥曲线基础练习题 - 圆锥曲线基础练习题 一、选择题 1. 椭圆 x2 y2 ? ? 1 的焦距是( 3 5 B. 4 2 ) A. 2 2 C. 2 )(B) 4 y ? 1 ? ...

圆锥曲线基础题及答案

专题推荐 北师大二附理科学霸高中... 东北师大附中理科学霸高... 西安交大附中...第九章 圆锥曲线基础训练... 8页 免费 圆锥曲线测试题 23页 免费 高中数学知识...

圆锥曲线基础知识和练习

圆锥曲线基础知识和练习_数学_高中教育_教育专区。高中高二数学的圆锥曲线章节,...2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点为 F(1,0) ,且过点 (2, a b (...

高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题

高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题 第一部分:椭圆 1. 椭圆的概念 在平面内与两定点 F1、F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点...

圆锥曲线基础必备

圆锥曲线基础必备_数学_高中教育_教育专区。平常觉得...(CO ) y OA ,即: OA / /CO CO 第 23 页 ...专题推荐 2014教师资格材料分析辅... 2014小学教师资格...

高三圆锥曲线复习(基础和大题含答案)

高三圆锥曲线复习(基础和大题含答案)_数学_高中教育_教育专区。考纲要求(1)...1 , b ? ? 2 . 2 2 2k 2k 2 2k 23 / 46 又( 由方程(*)有两个...

圆锥曲线基础练习题(文科)

圆锥曲线基础练习题(文科)_数学_高中教育_教育专区。2016 专题圆锥曲线》 1....双曲线 C1 上的动点,试证明: P 到双曲线 C1 的两渐近线距离之积是一 个定...

圆锥曲线基础必备20

圆锥曲线基础必备20_高三数学_数学_高中教育_教育专区...yB ? y A yB 2 第 23圆锥曲线必备 2.0 ...专题推荐 2014教师资格材料分析辅... 2014小学教师资格...