kl800.com省心范文网

高三数学一轮复习二项分布及其应用


1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念. 2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布. 3.能解决一些简单的实际问题.

1.条件概率及其性质

2.事件的相互独立性
(1)设A、B为两个事件,如果P(AB)= P(A)P(B) ,则称事 件A与事件B相互独立. (2)如果事件A与B相互独立,那么 A 与 与 也都相互独立. 3.独立重复试验 在 相同 条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验. , 与B,

4.二项分布 在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每 次试验中事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试 验中,事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)= pk(1-p)n-k (k=0,1,2,…,n). 此时称随机变量X服从二项分布,记作 X~B(n,p) ,并 称 p 为成功概率.

1.已知P(AB)= A. C.

,P(A)= B. D.

,则P(B|A)等于

(

)

解析:P(B|A)= 答案:D

2.小王通过英语听力测试的概率是
么其中恰有1次获得通过的概率是 A. C. 解析:所求概率P= 答案:A B. D. · ( )1· (1-

,他连续测试3次,那
( )

)3-1=

.

3.甲、乙两人同时报考某一所大学,甲被录取的概率为 0.6,乙被录取的概率为0.7,两人是否被录取互不影响, 则其中至少有一人被录取的概率为 ( )

A.0.12
C.0.46

B.0.42
D.0.88

解析:至少有一人被录取的概率P=1-(1-0.6)(1-0.7) =1-0.4×0.3=1-0.12=0.88. 答案:D

4.接种某疫苗后,出现发热反应的概率为0.80,现有5人
接种了该疫苗,至少有3人出现发热反应的概率为

________.(精确到0.01)
解析:P= (0.80)5≈0.94. 答案:0.94 ×(0.80)3×(0.20)2+ ×(0.80)4×0.20+

5.有1道数学难题,在半小时内,甲能解决的概率是 乙能解决的概率为



,2人试图独立地在半小时内解

决它.则2人都未解决的概率为________,问题得到解 决的概率为________.

解析:设“半小时内甲独立解决该问题”为事件A,“半小时 内乙独立解决该问题”为事件B,那么两人都未解决该问题

就是事件
∴P( =(1- )=P(


)· P( )=[1-P(A)][1-P(B)] )= .

)×(1-

“问题得到解决”与“问题没得到解决”是对立事件, ∴1-P( 答案: )=1-

条件概率的求法 1.利用定义,分别求P(A)和P(AB),得 P(B|A)= . 2.借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件 数n(A),再在事件A发生的条件下求事件B包含的基

本事件数,即n(AB),得P(B|A)=

.

1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3
个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2 号箱随机取出一球,问从2号箱取出红球的概率是多少? [思路点拨]

[课堂笔记] 记事件A:最后从2号箱中取出的是红球; 事件B:从1号箱中取出的是红球. 则P(B)= P(A|B)= ,P( )=1-P(B)= , ,

,P(A| )= ) )P( )

从而P(A)=P(AB)+P(A =P(A|B)P(B)+P(A|

1.相互独立事件是指两个试验中,两事件发生的概率互 不影响;相互对立事件是指同一次试验中,两个事件

不会同时发生.
2.在解题过程中,要明确事件中的“至少有一个发生” “ 多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生” “ 不都发生”等词语的意义.已知两个事件A、B,它 们的概率分别为P(A)、P(B),则

A、B中至少有一个发生的事件为A∪B; A、B都发生的事件为AB; A、B都不发生的事件为 ;

A、B恰有一个发生的事件为A ∪ B; A、B中至多有一个发生的事件为A ∪ B∪ .

[特别警示] 互斥事件与相互独立事件的区别:两事件互斥 是指同一次试验中两事件不能同时发生,两事件相互独立 是指不同试验下,二者互不影响;两个相互独立事件不一

定互斥,即可能同时发生,而互斥事件不可能同时发生.

甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投
球,命中率分别为 率为 . 与p,且乙投球2次均未命中的概

(1)求乙投球的命中率p; (2)求甲投球2次,至少命中1次的概率; (3)若甲、乙两人各投球2次,求两人共命中2次的概率.

[思路点拨]

[课堂笔记] (1)法一:设“甲投一次球命中”为事件A,“乙 投一次球命中”为事件B.由题意得 (1-P(B))2=(1-p)2= 解得p= 或 p= ,

(舍去),

所以乙投球的命中率为

.

法二:设“甲投一次球命中”为事件A,“乙投一次球命中”

为事件B.由题意得:
P( )P( )= ,

于是P(

)=

或P( )= .

)=-

(舍去),

故p=1-P(

所以乙投球的命中率为

.

(2)法一:由题设知,P(A)=

,P( )=

.
)= .

故甲投球2次至少命中1次的概率为1-P(

法二:由题设知,P(A)=
)+P(A)P(A)=

,P(

)=

.

故甲投球2次至少命中1次的概率为 P(A)P( .

(3)由题设和(1)知,P(A)= P(B)= ,P( )= .

,P( )=



甲、乙两人各投球2次,共命中2次有三种情况:甲、乙

两人各中一次;甲中2次,乙2次均不中;甲2次均不中,
乙中2次.概率分别为 P(A)P( ) P(B)P( )= ,

P(A)P(A)P( )P( )= P( )P( )P(B)P(B)= .



所以甲、乙两人各投球2次,共命中2次的概率为

1.独立重复试验的条件:第一,每次试验是在同样条件下 进行;第二,各次试验中的条件是相互独立的;第三,

每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不
发生. 2.关于P(X=k)= pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n,它是

n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率.其中, n是重复试验的次数,p是每次试验中某事件A发生的概

率,k是在n次独立试验中事件A恰好发生的次数,需要
弄清公式中n、p、k的意义,才能正确地运用公式.

甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的 概率分别为0.7、0.6,且每次试跳成功与否相互之间没有

影响,求:
(1)甲试跳三次,第三次才成功的概率; (2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率; (3)甲、乙各试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次的 概率.

[思路点拨]

[课堂笔记] 记“甲第i次试跳成功”为事件Ai,“乙第i次试跳 成功”为事件Bi,依题意得 P(Ai)=0.7,P(Bi)=0.6,且Ai,Bi(i=1,2,3)相互独立.

(1)“甲第三次试跳才成功”为事件
互独立. 所以P(
2A3)=P( 1)P( 2)P(A3)

2A3,且三次试跳相

=0.3×0.3×0.7=0.063. 即甲第三次试跳才成功的概率为0.063.

(2)记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C. 法一:因为C=A1+ + B1,

且A1、 、 B1彼此互斥, 所以P(C)=P(A1 )+P( B1)+P(A1B1)

=P(A1)P(

)+P(

)P(B1)+P(A1)P(B1)

=0.7×0.4+0.3×0.6+0.7×0.6=0.88.

法二:P(C)=1-P(

)· P(

)=1-0.3×0.4=0.88.

即甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为 0.88. (3)设“甲在两次试跳中成功i次”为事件Mi(i=0,1,2),“乙在

两次试跳中成功i次”为事件Ni(i=0,1,2),因为事件“甲、乙
各试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为 M1N0+M2N1,且M1N0、M2N1为互斥事件. 所以所求的概率为

P(M1N0+M2N1)=P(M1N0)+P(M2N1) =P(M1)P(N0)+P(M2)P(N1) =C×0.7×0.3×0.42+0.72×C×0.6×0.4 =0.067 2+0.235 2=0.302 4. 即甲、乙每人试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次 的概率为0.302 4.

1.判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有二:其一
是独立性,即一次试验中,事件发生与不发生二者必居 其一;其二是重复性,即试验是独立重复地进行了n次. 2.在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为P(X =k)= pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.在利用该公式时一

定要审清公式中的n,k各是多少.

某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提
高下岗人员的再就业能力,每名下岗人员可以选择参加一项 培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的 有60%,参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目 的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响. (1)任选1名下岗人,求该人参加过培训的概率; (2)任选3名下岗人员,记ξ为3人中参加过培训的人数,求ξ的

分布列.

[思路点拨]

[课堂笔记] (1)任选1名下岗人员,设“该人参加过财会
培训”为事件A,“该人参加过计算机培训”为事件B,由题 设知,事件A与B互独立,且P(A)=0.6,P(B)=0.75. 法一:任选1名下岗人员,该人没有参加过培训的概率是 P1=P( )=P( )· P( )=0.4×0.25=0.1.

所以该人参加过培训的概率是P2=1-P1=1-0.1=0.9.

法二:任选1名下岗人员,该人只参加过一项培训的概率 是P3=P(A· )+P( · B)=0.6×0.25+0.4×0.75=0.45. 该人参加过两项培训的概率是 P4=P(A· B)=0.6×0.75=0.45.

所以该人参加过培训的概率是
P5=P3+P4=0.45+0.45=0.9. (2)因为每个人的选择是相互独立的,所以3人中参加过培 训的人数ξ服从二项分布B(3,0.9), P(ξ=k)= ×0.9k×0.13-k,k=0,1,2,3,

即ξ的分布列为:
ξ P 0 0.001 1 0.027 2 0.243 3 0.729

以解答题的形式考查二项分布的概念、特征以及相 关计算是高考对本节内容的常规考法.09年辽宁高考将 二项分布同相互独立事件、互斥事件和对立事件概率的 求解以及分布列等相结合考查,是一个新的考查方向.

[考题印证]

(2009· 辽宁高考)(12分)某人向一目标射击4次,每次击
中目标的概率为 .该目标分为3个不同的部分,第一、二、 三部分面积之比为1∶3∶6,击中目标时,击中任何一部分 的概率与其面积成正比. (1)设X表示目标被击中的次数,求X的分布列;

(2)若目标被击中2次,A表示事件“第一部分至少被击中
1次或第二部分被击中2次”,求P(A).

【解】 X P

(1)依题意知X~B(4, 0 1 2 3

),即X的分布列为 4 ┄┄┄(6分)

(2)设Ai表示事件“第一次击中目标时,击中第i 部分”,i=1,2. Bi表示事件“第二次击中目标时,击中第i部分”,

i=1,2.依题意知P(A1)=P(B1)=0.1,P(A2)=P(B2)=0.3,
A=A1 ∪ B1∪A1B1∪A2B2,┄┄┄┄┄┄(9分)

故所求的概率为

P(A)=P(A1
=P(A1)P(

)+P(
)+P(

B1)+P(A1B1)+P(A2B2)
)P(B1)+P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)

=0.1×0.9+0.9×0.1+0.1×0.1+0.3×0.3
=0.28.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(12分)

[自主体验]

在甲、乙两个批次的某产品中,分别抽出3件进行质量检
验.已知甲、乙批次产品检验不合格的概率分别为 假设每件产品检验是否合格相互之间没有影响. (1)求至少有2件甲批次产品不合格的概率; (2)求甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验 不合格件数多1件的概率. ,

解:(1)记“至少有2件甲批次产品检验不合格”为事件A.

由题意,事件A包括以下两个互斥事件:
①事件B:有2件甲批次产品检验不合格.由n次独立重 复试验中某事件发生k次的概率公式,得 P(B)= ;

②事件C:3件甲批次产品检验都不合格.由相互独立
事件概率公式,得 P(C)= . .

所以,P(A)=P(B)+P(C)=

(2)记“甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验 不合格件数多1件”为事件D.

由题意,事件D包括以下三个互斥事件:
①事件E:3件甲批次产品检验都不合格,且有2件乙批次产 品检验不合格. 其概率P(E)= ;

②事件F:有2件甲批次产品检验不合格,且有1件乙批次产
品检验不合格. 其概率P(F)= = ; ③事件G:有1件甲批次产品检验不合格,且有0件乙批次产

品检验不合格.
其概率P(G)= = . .

所以,P(D)=P(E)+P(F)+P(G)=

1.(2009· 上海高考)若事件E与F相互独立,且P(E)=P(F) = A.0 C. ,则P(E∩F)的值等于 B. D. ( )

解析:E∩F代表E与F同时发生, ∴P(E∩F)=P(E)· P(F)= 答案:B .

2.设随机变量ξ服从二项分布B(6, ),则P(ξ=3)=( A. C. B. D.

)

解析:P(ξ=3)= 答案:A

×(

)3×(1-

)3=

.

3.在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不 大于其恰好发生两次的概率,则事件A在一次试验中发生 的概率p的取值范围是 A.[0.4,1] B.(0,0.4] ( )

C.(0,0.6]
则 p(1-p)3≤

D.[0.6,1)
p2(1-p)2,解得p≥0.4.

解析:设事件A发生的概率为p,

答案:A

4.某人有5把钥匙,一把是房门钥匙,但忘记了开房门的是
哪一把.于是,他逐把不重复地试开,则:恰好第三次

打开房门锁的概率是________;三次内打开的概率是
________.

解析:5把钥匙,逐把试开有 (1)第三次打开房门的结果有 的概率P(A)= (2)三次内打开房门的结果有3 P(A)= 答案: .

种等可能的结果. 种,因此第三次打开房门

种,因此,所求概率

5.(2009· 湖北高考)甲、乙、丙三人将参加某项测试.他们 能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5,则三人都达标的概 率是________,三人中至少有一人达标的概率是____. 解析:P1=0.8×0.6×0.5=0.24;

P2=1-(1-0.8)(1-0.6)(1-0.5)=0.96.
答案:0.24 0.96

6.(2010· 苏州模拟)甲、乙两个乒乓球选手进行比赛,他们 的水平相当,规定“七局四胜”,即先赢四局者胜,若已 知甲先赢了前两局,求: (1)乙取胜的概率;

(2)比赛打满七局的概率;
(3)设比赛局数为ξ,求ξ的分布列.

解:(1)当甲先赢了前两局时,乙取胜的情况有两种:第 一种是乙连胜四局;第二种是在第三局到第六局,乙赢了 三局,第七局乙赢. 在第一种情况下,乙取胜的概率为 在第二种情况下,乙取胜的概率为 所以当甲先赢了前两局时,乙取胜的概率为 , ,

(2)比赛打满七局有两种结果:甲胜或乙胜,记“比赛打满 七局甲胜”为事件A,记“比赛打满七局乙胜”为事件B. 则P(A)= P(B)= , ,

又A,B互斥,所以比赛打满七局的概率为
P(A)+P(B)= .

(3)P(ξ=4)= P(ξ=5)= P(ξ=6)= P(ξ=7)= 所以ξ的分布列为: ξ P 4

; ; ; .

5

6

7


高三一轮复习二项分布及其应用_图文.ppt

高三一轮复习二项分布及其应用 - 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第8课时 二项分布及其应用 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 1.条件概率及其...

高三数学一轮复习二项分布及其应用_图文.ppt

高三数学一轮复习二项分布及其应用 - 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.

高中数学一轮复习二项分布及其应用_图文.ppt

高中数学一轮复习二项分布及其应用 - §12.5 二项分布及其应用 内容索引 基

高三数学课标一轮复习课件:10.6 二项分布及其应用_图文.ppt

高三数学课标一轮复习课件:10.6 二项分布及其应用_数学_高中教育_教育专区。10.6 二项分布及其应用 第十章 10.6 二项分布及其应用 考情概览 知识梳理 核心...

高考数学第一轮复习:二项分布及其应用.doc

高考数学一轮复习:二项分布及其应用 - 12.5 二项分布及其应用 一、选择题

高三数学大一轮复习 二项分布及其应用学案 理 新人教A版.doc

高三数学大一轮复习 二项分布及其应用学案 理 新人教A版 - 学案 67 二项分

...高三数学课标一轮复习课件:10.6 二项分布及其应用(....ppt

【高考数学】2018最新高三数学课标一轮复习课件:10.6 二项分布及其应用(专题拔高配套PPT课件)_数学_高中教育_教育专区。10.6 二项分布及其应用 第十章 10.6 ...

2014届高三数学一轮复习 二项分布及其应用提分训练题.doc

2014届高三数学一轮复习 二项分布及其应用提分训练题_高三数学_数学_高中教育

高考数学一轮复习 专题10_6 二项分布及其应用(测).doc

高考数学一轮复习 专题10_6 二项分布及其应用(测)_幼儿读物_幼儿教育_教育...(0,0.6] D.[0.6,1) (6, ) 4.【2017 年福建省数学基地校高三】设...

高考数学课程一轮复习 第64课时 二项分布及其应用.doc

高考数学课程一轮复习 第64课时 二项分布及其应用_高三数学_数学_高中教育_教育专区。I-Study 高考数学课程一轮复习教材 第 64 课时 二项分布及其应用 【考点点...

高三数学大一轮复习 12.5二项分布及其应用教案 理 新人....doc

高三数学大一轮复习 12.5二项分布及其应用教案 理 新人教A版 - §12.5 2014 高考会这样考 二项分布及其应用 1.考查条件概率和两个事件相互独立的概念;2.考...

...高三数学课标一轮复习课件:10.6 二项分布及其应用PP....ppt

2018-2019年最新高三数学课标一轮复习课件:10.6 二项分布及其应用PPT课件_数学_高中教育_教育专区。10.6 二项分布及其应用 第十章 10.6 二项分布及其应用 考...

...届高三数学大一轮复习 12.5二项分布及其应用教案 理....doc

【步步高】届高三数学大一轮复习 12.5二项分布及其应用教案 理 新人教A版 - §12.5 2014 高考会这样考 二项分布及其应用 1.考查条件概率和两个事件相互独立...

...二项分布及其应用-2016年高考数学(理)一轮复习精品....doc

专题63 二项分布及其应用-2016年高考数学(理)一轮复习精品资料(原卷版) - 专题 63 二项分布及其应用 【考情解读】 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念;...

...数学一轮复习讲义:12.5_独立性、二项分布及其应用_....ppt

2013届高考数学一轮复习讲义:12.5_独立性、二项分布及其应用 - 一轮复习讲义 独立性、二项分布及其应用 要点梳理 1.条件概率及其性质 忆一忆知识要点 (1)对于...

...2018年高考数学一轮复习专题10.6二项分布及其应用(....doc

(浙江版)2018年高考数学一轮复习专题10.6二项分布及其应用(讲)-含答案 - 专题 10.6 二项分布及其应用 【考纲解读】 考点考 纲内容 5 年统计 分析预测 1....

...济宁市2015届高考数学一轮复习43二项分布及其应用限....doc

山东省济宁市2015届高考数学一轮复习43二项分布及其应用限时检测新人教A版 - 课时限时检测 二项分布及其应用 题号及难度 基础 1,3 2,7 4,5 中档 9 10 6,...

2015届高三数学 二项分布及其应用考点分类自测试题 理.doc

2015届高三数学 二项分布及其应用考点分类自测试题 理 - 2015 年高考理科数学考点分类自测:二项分布及其应用 一、选择题 1.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形...

...2018年高考数学一轮复习专题10.6二项分布及其应用(....doc

(浙江版)2018年高考数学一轮复习专题10.6二项分布及其应用(测)-含答案_高考_高中教育_教育专区。专题 10.6 二项分布及其应用 班级___ 姓名___ 学号___ 得...

...一轮复习考点突破课件:10.5二项分布及其应用_图文.ppt

2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件:10.5二项分布及其应用 - 第5课时 二项分布及其应用(理科) ? ? (一)考纲点击 了解条件概率和两个事件相互独立的概念,...