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高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.5距离选学学案新人教B版选修

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3.2.5 距离(选学)

1.理解图形 F1 与图形 F2 的距离的概念. 2.掌握四种距离的概念. 3.会解决一些简单的距离问题.

1.距离的概念 一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的________,叫做图形与图形的距 离.

此概念中的图形不仅仅是平面图形,也包括空间图形. 【做一做 1】空间直角坐标系中,已知 A(2,3,4),B(-2,1,0),C(1,1,1),则 C 到 AB

中点的距离为( )

A.1

B. 3

C.2

D. 5

2.点到平面的距离

一点到它在一个平面内________的距离,叫做点到这个平面的距离.

求点到平面的距离时,一般是过该点作平面的垂线,也可利用等积法求解.

【做一做 2】在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 A1 到平面 BB1D1D 的距离为( )

A.a

B.12a

C. 43a

D. 22a

3.直线与它的平行平面的距离 一条直线上的任一点,与它平行的平面的距离,叫做直线与这个平面的距离.

求线面距离时,注意在 l 上所取一点的位置,通常借助于面面垂直的性质过这一点作平

面的垂线,从而转化为点到面的距离求解.

【做一做 3】正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,则 BC 到 AB1C1D 的距离为( )

A.1

B.

2 2

C. 2

D. 3

4.两个平行平面的距离

(1)和两个平行平面________的直线,叫做两个平面的公垂线.

(2)公垂线________平行平面间的部分,叫做两个平面的公垂线段.

(3)两平行平面的公垂线段的长度,叫做两平行平面的距离.

两平行平面的公垂线段就是在一个平面内取一点作另一个平面的垂线段,这样公垂线段 的长就是点到平面的距离,所以两平行平面的距离,可转化为点到平面的距离,可以用点到 平面的距离求解.
【做一做 4】已知平面 α ∥平面 β ,空间一点到 α 的距离是 4,到平面 β 的距离是 2, 则平面 α 与平面 β 的距离是( )

1

A.2

B.6

C.2 或 6

D.以上都错

如何求点到平面的距离? 剖析:如图,BO⊥平面 α ,垂足为 O,则点 B 到平面 α 的距离就是线段 BO 的长度.
若 AB 是平面 α 的任一条斜线段,则在 Rt△BOA 中,| BO |=| AB |·cos∠ABO. 如果令平面 α 的法向量为 n,考虑到法向量的方向,可以得到点 B 到平面 α 的距离为
| BO |= | AB ? n | . |n|

因此要求一个点到平面的距离,可以分以下几步完成:(1)求出该平面的一个法向量; (2)找出从该点出发到平面的任一条斜线段对应的向量;(3)求出法向量与斜线段向量的数量 积的绝对值再除以法向量的模,即可求出点到平面的距离.由于|nn|=n0 可以视为平面的单 位法向量,所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段向量的数 量积的绝对值,即 d=| AB ·n0|.
线面距、面面距均可转化为点面距离,用求点面距的方法进行求解.
题型一 用向量求两点间的距离 【例 1】已知平行六面体 ABCD-A′B′C′D′,AB=4,AD=3,AA′=5,∠BAD=90°, ∠BAA′=∠DAA′=60°,求 A 与 C′的距离.
分析:解答本题可先用基底表示 AC ′,然后平方求| AC ′|.
反思:空间距离本质上是点与点的距离,求空间两点的距离常常转化为求向量的模;点 与直线的距离可以运用三垂线定理作直线的垂线,再运用解三角形求.
题型二 求点到平面的距离 【例 2】直三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱 AA1= 3,在底面△ABC 中,∠C=90°,AC=BC =1,求点 B1 到平面 A1BC 的距离. 分析:直接作平面的垂线较难,故可考虑建立平面直角坐标系求解. 反思:点到平面的距离的求法: ①定义法即直接求所作公垂线段的长; ②等体积转化法;
③利用法向量求一个点到平面的距离可用点到平面的距离公式 d=| PA ·n0|= | PA? n | ,其中 d 为点 P 到平面的距离,A 为平面内的一点,n0 为平面的单位法向量,n 为
|n|
平面的法向量. 题型三 求平行平面的距离 【例 3】正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,求平面 AB1D1 与平面 BDC1 的距离. 反思:求两平面之间的距离首先要判定两平面的位置关系即证明它们平行然后再求.面
面距离通常转化为点面距离来求.
2

1 在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是 AA1 的中点,则点 A1 到平面 MBD 的距离为 ()

A. 36a

B. 63a

C. 43a

D. 66a

2 已知矩形 ABCD 的一边 CD 在平面 α 内,AC 与 α 所成角为 60°,若 AB=2,AD=4, 则 AB 到 α 的距离为( )

A. 15

B. 5

C. 10

D.3

3 已知正四棱台 ABCD-A1B1C1D1 的上、下底面边长分别为 2 和 4,侧面与下底面所成的角 为 45°,则两底面的距离为( )

A. 2

B.1

C.2

D.2 2

4 把边长为 a 的正三角形 ABC 沿高 AD 折成 60°的二面角 B-AD-C,则点 A 到直线 BC

的距离等于________.

5 平面 α 内的∠MON=60°,PO 是 α 的斜线段,PO=3,且∠POM=∠PON=45°,则点

P 到 α 的距离为________.

答案:

基础知识·梳理

1.最小值

【做一做 1】B 用空间两点间的距离公式可求得距离为 3. 2.正射影

【做一做 2】D



B1D1 中点为

O,则

A1O

即为点

A1 到平面

BB1D1D

的距离.可求得

A1O=

2 2

a.

【做一做 3】C 设 AB1 中点为 O,则 BO 即为 BC 到 AB1C1D 的距离. 4.(1)同时垂直 (2)夹在

【做一做 4】C 这一点可能在两平面之间也可能在两平面的外侧.

典型例题·领悟

【例 1】

解:如图,因为A→C′= AB + AD +A→A′,所以|A→C′|2=( AB + AD +A→A′)·( AB + AD +A→A′)=| AB |2+| AD |2+|→AA′|2+2( AB · AD + AB ·→AA′+ AD ·→AA′)=42 +32+52+2(0+10+7.5)=85,因此|A→C′|= 85.
【例 2】
3

解:如图,建立空间直角坐标系,由已知得直棱柱各顶点坐标如下:A(1,0,0),B(0,1,0), C(0,0,0),A1(1,0, 3),B1(0,1, 3),C1(0,0, 3).则B→C=(0,-1,0),A→1C=(-1,0,
- 3).设平面 A1BC 的法向量为 n=(x,y,z),则 n·A→1C=0,n·B→C=0,即-x- 3z=0, -y=0,令 x=- 3,则 y=0,z=1,所以平面 A1BC 的一个法向量为 n=(- 3,0,1).所 以点 B1 到平面 A1BC 的距离 d=|n·|nA→|1B1|= 23.
【例 3】解:建立坐标系如图,则 A(a,0,0),B(a,a,0),D(0,0,0),C1(0,a,a),D1(0,0, a),B1(a,a,a).

∴A→B1=(0,a,a),A→D1=(-a,0,a),B→C1=(-a,0,a),D→C1=(0,a,a). 设 n=(x,y,z)为平面 AB1D1 的法向量,

??n·A→B1=a y+z =0, 则???n·A→D1=a -x+z =0,

得?????yx= =- z.z,

取 z=1,则 n=(1,-1,1). 又∵AD1∥BC1,AB1∥DC1,AD1∩AB1=A,DC1∩BC1=C1,∴平面 AB1D1∥平面 BDC1. ∴两平面间的距离可转化为点 C1 到平面 AB1D1 的距离 d.
∵C→1B1=(a,0,0),平面 AB1D1 的法向量为 n=(1,-1,1),

∴d=|C→1B|1n·| n|=|a3|= 33a.

随堂练习·巩固

1.D



A1

到平面

MBD

的距离等于点

A

到平面

MBD

的距离,利用

V =V M-ABD

A-MBD

求解.

2.A 如图,作 AE⊥α 于点 E,由三垂线逆定理可得 ED⊥DC,AC= 42+22=2 5,AE

=ACsin 60°.

4

3.B 4. 415a 5. 3
5