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【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 同角三角函数的基本关系式及诱导公式学案 理 新人教A版


同角三角函数的基本关系式及诱导公式
π 导学目标: 1.能利用单位圆中的三角函数线推导出 ±α ,π ±α 的正弦、余弦、正 2 sin x 2 2 切的诱导公式.2.理解同角三角函数的基本关系式:sin x+cos x=1, =tan x. cos x

自主梳理 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:____________________. (2)商数关系:______________________________. 2.诱导公式 (1)sin(α + 2kπ ) = ________ , cos(α + 2kπ ) = __________ , tan(α + 2kπ ) = __________,k∈Z. (2)sin(π +α )=________,cos(π +α )=________,tan(π +α )=________. (3)sin(-α )=________,cos(-α )=__________,tan(-α )=________. (4)sin(π -α )=__________,cos(π -α )=__________,tan(π -α )=________. ?π ? ?π ? (5)sin? -α ?=________,cos? -α ?=________. ?2 ? ?2 ? ? π +α ? ?π +α ? (6)sin = __________ , cos = ?2 ? ?2 ? ? ? ? ? ____________________________________. 3.诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,一般步骤为:

(

上述过程体现了化归的思想方法. 自我检测 1 . (2010? 全 ) 3 A.- 2 C. 1 2





)cos

300°





1 B.- 2 D. 3 2 1 的值为 cos α +sin 2α
2

2 . (2009? 陕 西 ) 若 3sin α + cos α = 0 , 则 ( ) 10 A. 3 2 C. 3 5 B. 3 D.-2

3 3.(2010?福建龙岩一中高三第三次月考)α 是第一象限角,tan α = ,则 sin α 等 4 于( )

1

A.

4 5

3 B. 5 3 D.- 5 cos( - 17 4 π) - sin( - 17 4 π) 的 值 是

4 C.- 5 4 ( .

) A. 2

B.- 2 2 C.0 D. 2 π 2 2π 5.(2011?清远月考)已知 cos( -α )= ,则 sin(α - )=________. 6 3 3

探究点一 利用同角三角函数基本关系式化简、求值 π 1 例 1 已知- <x<0,sin x+cos x= . 2 5 2 2 (1)求 sin x-cos x 的值; tan x (2)求 的值. 2sin x+cos x

变式迁移 1 已知 sin(3π +α )=2sin?

?3π +α ?,求下列各式的值. ? ? 2 ?

sin α -4cos α 2 (1) ;(2)sin α +sin 2α . 5sin α +2cos α

探究点二 利用诱导公式化简、求值 π? 5 ? (2011?合肥模拟)已知 sin?α + ?=- ,α ∈(0,π ). 2 5 ? ? π 3 π ? ? ? ? sin?α - ?-cos? +α ? 2? ? ? 2 ? (1)求 的值; π -α + π +α 3π ? ? (2)求 cos?2α - ?的值. 4 ? ? 例2

变式迁移 2 设 f(α )= π +α π -α - π +α ?3π +α ?-sin2?π +α ? 2 1+sin α +cos? ? ?2 ? ? 2 ? ? ?

? 23π ? = (1 + 2sin α ≠0),则 f ?- 6 ? ? ?

2

________. 探究点三 综合应用 例 3 在△ABC 中,若 sin(2π -A)=- 2sin(π -B), 3cos A=- 2cos(π -B), 求△ABC 的三个内角.

1 变式迁移 3 (2011?安阳模拟)已知△ABC 中,sin A+cos A= , 5 (1)求 sin A?cos A; (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形; (3)求 tan A 的值.

转化与化归思想的应用 1 (12 分)已知 α 是三角形的内角,且 sin α +cos α = . 5 (1)求 tan α 的值; 1 (2)把 2 用 tan α 表示出来,并求其值. 2 cos α -sin α 1 2 2 多角度审题 由 sin α +cos α = 应联想到隐含条件 sin α +cos α =1,要求 tan 5 α ,应当切化弦,所以只要求出 sin α ,cos α 即可. 【答题模板】 ? 1 2 2 ① α +cos α =1, ② 解 (1)联立方程?sin α +cos α = , 5 ? 例 1 2 由①得 cos α = -sin α ,将其代入②,整理得 25sin α -5sin α -12=0.[2 分] 5
? 4 ∵α 是三角形的内角,∴?sin α = 5 ?

3 α =- 5

,[4 分]

4 ∴tan α =- .[6 分] 3 sin α +cos α 2 2 2 2 cos α 1 sin α +cos α tan α +1 (2) 2 = = 2 = ,[8 分] 2 2 2 2 2 cos α -sin α cos α -sin α cos α -sin α 1-tan α 2 cos α 2 4 1 tan α +1 ∵tan α =- ,∴ 2 = [10 分] 2 2 3 cos α -sin α 1-tan α ?-4?2+1 ? 3? 25 ? ? = =- .[12 分] 4 7 ? ?2 1-?- ? ? 3? 【突破思维障碍】
2 2

3

1 2 2 由 sin α +cos α = 及 sin α +cos α =1 联立方程组, 利用角 α 的范围, 应先求 sin 5 α 再求 cos α .(1)问切化弦即可求.(2)问应弦化切,这时应注意“1”的活用. 【易错点剖析】 在求解 sin α ,cos α 的过程中,若消去 cos α 得到关于 sin α 的方程,则求得两 解,然后应根据 α 角的范围舍去一个解,若不注意,则误认为有两解. 1.由一个角的三角函数值求其他三角函数值时,要注意讨论角的范围. 2.注意公式的变形使用,弦切互换、三角代换、消元是三角代换的重要思想,要尽量 少开方运算,慎重确定符号.注意“1”的灵活代换. 3.应用诱导公式,重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) cos A 12 1. (2011?荆州模拟)已知△ABC 中, =- , 则 cos A 等于 ( ) sin A 5 12 5 A. B. 13 13 5 12 C.- D.- 13 13 5 2 . 已 知 tan α = - , 且 α 为 第 二 象 限 角 , 则 sin α 的 值 等 于 12 ( ) 1 1 A. B.- 5 15 5 5 C. D.- 13 13 π -α π -α 31 3.(2011?许昌月考)已知 f(α )= ,则 f(- π )的值 -π -α α 3 为 ( ) 1 1 1 1 A. B.- C.- D. 2 3 2 3 4.设 f(x)=asin(π x+α )+bcos(π x+β ),其中 a、b、α 、β 都是非零实数,若 f(2 002) = - 1 , 则 f(2 003) 等 于 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 5 . (2010? 全 国 Ⅰ ) 记 cos( - 80°) = k , 那 么 tan 100° 等 于 ( ) 2 2 1-k 1-k A. B.- C.

k k

k

1-k 题号 1 2 答案 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分)

2

D.- 3

k
1-k
2

4

5

4

1 6.(2010?全国Ⅱ)已知 α 是第二象限的角,tan α =- ,则 cos α =________. 2 2 2 2 2 7.sin 1°+sin 2°+sin 3°+?+sin 89°=________. sin α +cos α 8 .(2010?东北育才学校高三第一次模拟考试 ) 若 tan α = 2 ,则 + sin α -cos α 2 cos α =________. 三、解答题(共 38 分) π -α π -α -α +π 9.(12 分)已知 f(α )= . - -α -π -π -α (1)化简 f(α ); 3π 1 (2)若 α 是第三象限角,且 cos(α - )= ,求 f(α )的值. 2 5

10.(12 分)化简:

kπ -α k+ π +α

k-

π -α ]

kπ +α

(k∈Z).

11.(14 分)(2011?秦皇岛模拟)已知 sin θ ,cos θ 是关于 x 的方程 x -ax+a=0(a ∈R)的两个根. 3 π 3 π (1)求 cos ( -θ )+sin ( -θ )的值; 2 2 1 (2)求 tan(π -θ )- 的值. tan θ

2

答案

自主梳理

sin α 2 2 1.(1)sin α +cos α =1 (2) =tan α 2.(1)sin α cos α tan α (2) cos α -sin α -cos α tan α (3)-sin α cos α -tan α (4)sin α -cos α - tan α (5)cos α sin α (6)cos α -sin α 自我检测 1 1.C [cos 300°=cos(360°-60°)=cos 60°= .] 2 2 2 2.A [∵3sin α +cos α =0,sin α +cos α =1, 1 2 ∴sin α = , 10 1 1 ∴ = 2 2 cos α +sin 2α cos α +2sin α -3sin α 1 10 = = .] 2 1-7sin α 3 3.B 17 17 π π π 4.A [cos(- π )-sin(- π )=cos(-4π - )-sin(-4π - )=cos(- ) 4 4 4 4 4

5

π π π -sin(- )=cos +sin = 2.] 4 4 4 2 5.- 3 2π 2π 解析 sin(α - )=-sin( -α ) 3 3 π π =-sin[( -α )+ ] 6 2 π 2 =-cos( -α )=- . 6 3 课堂活动区 例 1 解题导引 学会利用方程思想解三角函数题,对于 sin α +cos α ,sin α cos α ,sin α -cos α 这三个式子,已知其中一个式子的值,就可以求出其余二式的值,但 要注意对符号的判断. 1 解 由 sin x+cos x= 得, 5 1 24 1+2sin xcos x= ,则 2sin xcos x=- . 25 25 π ∵- <x<0,∴sin x<0,cos x>0, 2 即 sin x-cos x<0. 则 sin x-cos x 2 2 =- sin x-2sin xcos x+cos x 24 7 =- 1+ =- . 25 5 2 2 (1)sin x-cos x=(sin x+cos x)(sin x-cos x) 1 ? 7? 7 = ??- ?=- . 5 ? 5? 25 1 sin x+cos x= ? ? 5 (2)由? 7 sin x-cos x=- ? ? 5 3 sin x=- ? ? 5 得? 4 ? ?cos x=5



3 ,则 tan x=- . 4

3 - 4 tan x 15 即 = = . 2sin x+cos x 6 4 8 - + 5 5 变式迁移 1 解 ∵sin(3π +α )=2sin? ∴-sin α =-2cos α . ∴sin α =2cos α ,即 tan α =2. 方法一 (直接代入法): 2cos α -4cos α 1 (1)原式= =- . 5?2cos α +2cos α 6
6

?3π +α ?, ? ? 2 ?

sin α +2sin α cos α sin α +sin α 8 (2)原式= = = . 2 2 sin α +cos α 1 2 5 2 sin α + sin α 4 方法二 (同除转化法): tan α -4 2-4 1 (1)原式= = =- . 5tan α +2 5?2+2 6 2 (2)原式=sin α +2sin α cos α 2 2 sin α +2sin α cos α tan α +2tan α 8 = = = . 2 2 2 sin α +cos α tan α +1 5

2

2

2

? π +α ?的本质是: 解题导引 三角诱导公式记忆有一定规律: 奇变偶不变(对 ?2 ? ? ? k 而言,指 k 取奇数或偶数),符号看象限(看原函数,同时可把 α 看成是锐角).诱导公式 的应用是求任意角的三角函数值,其一般步骤: (1) 负角变正角,再写成 2kπ + α , 0≤α <2π ;(2)转化为锐角三角函数. π? 5 ? 解 (1)∵sin?α + ?=- ,α ∈(0,π ), 2? 5 ?
例2

k

∴cos α =-



5 2 5 ,sin α = . 5 5 π? ? ?3π ? sin?α - ?-cos? +α ? 2? -cos α -sin α 1 ? ? 2 ? = =- . π -α + π +α sin α -cos α 3

5 2 5 ,sin α = , 5 5 4 3 ∴sin 2α =- ,cos 2α =- , 5 5 3π ? 2 2 2 ? cos?2α - ?=- cos 2α + sin 2α =- . 4 ? 2 2 10 ? (2)∵cos α =- 变式迁移 2 3 -2sin α -cos α +cos α 2 2 1+sin α +sin α -cos α 2sin α cos α +cos α cos α +2sin α 1 = = = , 2 2sin α +sin α sin α +2sin α tan α 1 ? 23π ?= ∴f?- ? 6 ? ? ? 23π ? tan?- 6 ? ? ? 1 1 = = = 3. π π ? ? tan?-4π + ? tan 6? 6 ? 例 3 解题导引 先利用诱导公式化简已知条件, 再利用平方关系求得 cos A. 求角时, 一般先求出该角的某一三角函数值,再确定该角的范围,最后求角.诱导公式在三角形中常 A B C π 用结论有:A+B=π -C; + + = . 2 2 2 2 解析 ∵f(α )= 解
2

① ?sin A= 2sin B, 由已知得? ? 3cos A= 2cos B, ②
2 2

① +② 得 2cos A=1,即 cos A=±

2 . 2

7

2 3 时,cos B= , 2 2 又 A、B 是三角形的内角, π π 7 ∴A= ,B= ,∴C=π -(A+B)= π . 4 6 12 (1)当 cos A= 2 3 时,cos B=- . 2 2 又 A、B 是三角形的内角, 3 5 ∴A= π ,B= π ,不合题意. 4 6 π π 7 综上知,A= ,B= ,C= π . 4 6 12 (2)当 cos A=- 1 变式迁移 3 解 (1)∵sin A+cos A= ,① 5 1 ∴两边平方得 1+2sin Acos A= , 25 12 ∴sin A?cos A=- . 25 12 (2)由(1)sin A?cos A=- <0,且 0<A<π , 25 可知 cos A<0,∴A 为钝角, ∴△ABC 为钝角三角形. 49 2 (3)∵(sin A-cos A) =1-2sin A?cos A= , 25 又 sin A>0,cos A<0,∴sin A-cos A>0, 7 ∴sin A-cos A= ,② 5 4 3 ∴由①,②得 sin A= ,cos A=- , 5 5 sin A 4 ∴tan A= =- . cos A 3 课后练习区 cos A 12 1.D [∵A 为△ABC 中的角, =- , sin A 5 5 ∴sin A=- cos A,A 为钝角,∴cos A<0. 12 12 2 2 代入 sin A+cos A=1,求得 cos A=- .] 13 5 2.C [已知 tan α =- ,且 α 为第二象限角, 12 1 12 5 =- ,所以 sin α = .] 2 1+tan α 13 13 sin α cos α 31 3.C [∵f(α )= =-cos α ,∴f(- π ) -cos α tan α 3 31 π π 1 =-cos(- π )=-cos(10π + )=-cos =- .] 3 3 3 2 4.C [∵f(2 002)=asin(2 002π +α )+bcos(2 002π +β ) =asin α +bcos β =-1, ∴f(2 003)=asin(2 003π +α )+bcos(2 003π +β ) 有 cos α =-
8

=asin[2 002π +(π +α )]+bcos[2 002π +(π +β )] =asin(π +α )+bcos(π +β )=-(asin α +bcos β )=1.] 5.B [∵cos(-80°)=cos 80°=k, 2 2 sin 80°= 1-cos 80°= 1-k . 2 1-k ∴tan 100°=-tan 80°=- .]

k

2 5 6.- 5 1 sin α 1 解析 ∵tan α =- ,∴ =- , 2 cos α 2 2 2 又∵sin α +cos α =1,α 是第二象限的角, 2 5 ∴cos α =- . 5 89 7. 2 2 2 2 2 解析 sin 1°+sin 2°+sin 3°+?+sin 89° 2 2 2 2 =sin 1°+sin 2°+?+sin 45°+?+sin (90°-2°)+ 2 sin (90°-1°) ? 2?2 2 2 2 2 =sin 1°+sin 2°+?+? ? +?+cos 2°+cos 1° 2 ? ? 1 1 2 2 2 2 2 2 = (sin 1°+ cos 1°)+ (sin 2°+ cos 2°)+?+ (sin 44°+ cos 44°)+ = 44 + 2 2 89 = . 2 16 8. 5 2 tan α +1 cos α 解析 原式= + 2 2 tan α -1 sin α +cos α 1 1 16 =3+ 2 =3+ = . tan α +1 5 5 π -α π -α -α +π 9.解 (1)f(α )= - -α -π -π -α sin α cos α -tan α = = - cos tan α sin α α .??????????????????????(5 分) 3π 1 (2)∵α 是第三象限角,且 cos(α - )=-sin α = , 2 5 1 ∴sin α =- ,?????????????????????????????(8 5 分) 1 2 2 6 2 ∴cos α =- 1-sin α =- 1- - =- , 5 5 ∴f(α )=-cos α = 2 6 .????????????????????????? 5

(12 分) 10.解 当 k 为偶数 2n (n∈Z)时, nπ -α n- π -α ] 原式= n+ π +α nπ +α

9

-π -α π +α α -sin α π +α -cos α = = = - -sin α ?cos α cos α 1;????????????????????(6 分) 当 k 为奇数 2n+1 (n∈Z)时, n+ π -α nπ -α 原式= n+ π +α n+ π +α ] π -α -α sin α ?cos α = = =-1. π +α π +α sin α -cos α ∴当 k∈Z 时,原式=-1.????????????????????????(12 分) 11.解 由已知原方程的判别式 Δ ≥0, 2 即(-a) -4a≥0,∴a≥4 或 a≤0.?????????????????????(3 分) ?sin θ +cos θ =a ? 2 2 又? ,(sin θ +cos θ ) =1+2sin θ cos θ ,则 a -2a-1=0, ?sin θ cos θ =a ? (6 分) 从而 a=1- 2或 a=1+ 2(舍去), 因 此 sin θ + cos θ = sin θ cos θ = 1 - 2.???????????????????(8 分) 3 π 3 π 3 3 (1)cos ( -θ )+sin ( -θ )=sin θ +cos θ 2 2 = =(sin θ +cos θ )(sin θ -sin θ cos θ +cos θ )=(1- 2)[1-(1- 2)]= 2- 2.???(11 分) 1 1 (2)tan(π -θ )- =-tan θ - tan θ tan θ sin θ cos θ 1 1 =-( + )=- =- =1+ 2. cos θ sin θ sin θ cos θ 1- 2 ??????????????????????????????????? (14 分)
2 2

-α

10


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