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2014珠海一模(理数)【含答案--全WORD--精心排版】


珠海市 2013-2014 学年度第一学期期末学生学业质量监测 高三理科数学试题
一、选择题: 1.设全集 U ? ?1, 2,3, 4? ,集合 A ? ?1,2,4? , B ? ?2,3, 4? ,则 CU ? A A. ?2, 4? B. ?1,3? C. ?1,2,3,4? D. ? )

B? ? (



2.若复数 (a2 ? 3a ? 2) ? (a ?1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为(

A.1 B.2 C.1 或 2 D.-1 3.执行如右图所示的程序框图,则输出的 i ? ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 4.学校为了解学生课外读物方面的支出情况,抽取了 n 个同学进行调查, 结果 显示这些同学的支出都在[10,50) (单位:元) ,其中支出在[10,30) (单位: 元)的同学有 33 人,其频率分布直方图如右图所示,则支出在[40,50) (单位:元)的同学人数是( ) A.100 B.120 C.30 D.300 5.已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60° ,那么 a ? 2b ? ( A. 7 B. 10 C. 3 D. 3 ) D. 2 : 3 :1 )

6.在 ?ABC 中, A : B : C ? 1: 2 : 3 ,则 a : b : c 等于( A. 1: 2 : 3 B. 3 : 2 :1 C. 1: 3 : 2

7.一个四棱锥的三视图如图所示,其中主视图是腰长为 1 的等腰直角三角形, 则这个几何体的体积是( ) A.

1 2

B.1

C.

2 3

D.2

8.对定义域为 D 的函数,若存在距离为 d 的两条平行直线 l1 : y ? kx ? m1 和 l2 : y ? kx ? m2 ,使得当 x ? D 时,

kx ? m1 ? f ? x ? ? kx ? m2 恒成立,则称函数 f ? x ? 在( x ? D )有一个宽度为 d 的通道。有下列函数:
① f ? x? ?

1 2 ;② f ? x ? ? sin x ;③ f ? x ? ? x ? 1 ;④ f ? x ? ? x3 ?1 。 x


其中在 ?1, ?? ? 上通道宽度为 1 的函数是(

A.① ③ B.② ③ C.② ④ D.① ④ 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9.已知 cos ? ? ?

1 ? 0 ? ? ? ? ? ,则 sin 2? ? 3
n

. .

10.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? 3 ? 1 ,则 an ?

?2 x ? y ? 2 ? 11.变量 x、y 满足线性约束条件 ? x ? y ? 0 ,则使目标函数 z ? ax ? y (a ? 0) 取得最大值的最优解有无数个, ? y?0 ?
1

则 a 的值为 12.曲线 y ?

. .

e2 ex 在点 (2, ) 处的切线方程为 2 x

13.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? ?

x?0 ?log3 (1 ? x) ,则 f (2014) ? ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2) x ? 0
C

14. (坐标系与参数方程选做题)已知在平面直角坐标系 xoy 中圆 C 的参数方程为:

?x ? 3 ? 3 c o ?s ? , ( ? 为参数) ,以 ox 为极轴建立极坐标系,直线极坐标方程为: ? n ? ? y ? 1 ? 3 s i?

D

? ? c o s? ( ? ) ? 0,
6

则圆 C 截直线所得弦长为

A O

B

15. (几何证明选讲选做题)如右图, AB 是圆 O 的直径, BC 是圆 O 的切线, 切点为 B , OC 平行于弦 AD ,若 OB ? 3 , OC ? 5 ,则 CD ? 三、解答题:本题共有 6 个小题,12 分+12 分+14 分+14 分+14 分+14 分=80 分. 16. 已知 f ( x) ? 2cos(

.

? ? ? ? x) cos x ? 3 cos 2 x , x ? R .(1)求 f ( ) 的值; (2)当 x ? [0, ] 时,求 f ( x) 的最值. 2 2 6

17. PM2.5 是指 大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可吸入肺颗粒物。我国 PM2.5 标准采用世卫 组织设定的最宽限值,即 PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级;在 35 微克/立方米 ~ 75 微克/立 方米之间空气质量为二级;在 75 微克/立方米以上空气质量为超标。某试点城市环保局从该市市区 2013 年上半 年每天的 PM2.5 监测数据中随机的抽取 15 天的数据作为样本,监测值如右下图茎叶图所示(十位为茎,个位为 叶) 。 (1)在这 15 天的 PM2.5 日均监测数据中,求其中位数; (2)从这 15 天的数据中任取 2 天数据 ,记 ? 表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数,求 ? 的分布列及数学期望; (3)以这 1 5 天的 PM2.5 日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按 360 天计算)中平均有多少天的空气 质量达到一级或二级.

2

18. 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,四边形 A1 ABB1 为菱形, ?A 1 为矩形,若 1 AB ? 45? ,四边形 BCC1 B

AC =5 , AB ? 4 , BC ? 3 . (1)求证: AB1 ? 面 A1 BC ;
(2)求二面角 C ? AA 1 ? B 的余弦值;

C

C1

B

B1

A

A1
(第 18 题)

3 3 3 19. 设数列 ?an ? 的各项都是正数,且对任意 n ? N 都有 a1 ? a2 ? a3 ?
*

3 2 ? an ? Sn +2Sn ,其中 S n

为数列 ?an ? 的前 n 项和.(1)求 a1 , (2)求数列 ?an ? 的通项公式; a2 ; (3)设 bn ? 3n ? (?1) n?1 ? ? 2 n ,对任意的 n ? N ,都有 bn?1 ? bn 恒成立,求实数 ? 的取值范围.
a
*

3

20. 已知函数 f ( x) ? ax2 ? ln( x ? 1) . (1)当 a ? ?

1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; 4

? ?) 上为减函数,求实数 a 的取值范围 (2)若函数 f ( x) 在区间 [1,
? ?) 时,不等式 f ( x) ? x ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围. (3)当 x ? [0 ,

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点分别为 F1 、F2 , O 为原点. 21.已知椭圆 C : 2
(1)如图 1,点 M 为椭圆 C 上的一点, N 是 MF1 的中点,且 NF2 ? MF1 ,求点 M 到 y 轴的距离; (2)如图 2,直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 P 、Q 两点,若在椭圆 C 上存在点 R ,使四边形 OPRQ 为平 行四边形,求 m 的取值范围.
M N F1 O F2 x y

图1

4

珠海市 2013-2014 学年度第一学期期末学生学业质量监测 高三理科数学试题参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 1-5 BBBCC 6-8、CAA 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9. ?

4 2 9

10. ?

n ?1 ?4 n ?1 n?2 ?2 ? 3

11. 2

12. e2 x ? 4 y ? 0

13. log 3 2

14. 4 2

15. 4

三、解答题:本题共有 6 个小题,12 分+12 分+14 分+14 分+14 分+14 分=80 分. 16.解: (1) f ( x) ? 2sin x ? cos x ? 3 cos 2x ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ?

?
3

)

f ( ) ? 2sin(2 ? ? ) ? 2sin 0 ? 0 6 6 3
(2)

?

?

?

? ? ? 2? ? 3 x ? [0, ] ,? 2 x ? ? [? , ] ? sin(2 x ? ) ? [? ,1] 2 3 3 3 , 3 2

? 2sin(2 x ? ) ? [? 3, 2] ? f max ( x) ? 2 , fmin ( x) ? ? 3 3 ,
17.解:(1)由茎叶图可得中位数是 45 (2) 依据条件, ? 服从超几何分布:其中 N ? 15, M ? 5, n ? 3 , ? 的可能值为 0,1, 2 ,由 p(? ? k ) ?
2? k C5k ? C10 , 2 C15

?

得 p(? ? 0) ?

2 1 1 0 C50 ? C10 C5 ? C10 C52 ? C10 3 10 2 , , ? p ( ? ? 1) ? ? p ( ? ? 2) ? ? ,所以 ? 的分布列为: 2 2 2 C15 7 C15 21 C15 21

?

0
3 7

1
10 21

2
2 21

P
3 10 2 2 ? E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 7 21 21 3

(2)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为 p ? 一年中空气质量达到一级或二级的天数为? ,则? ~ B (360, )

10 2 ? 15 3

2 2 ? E? ? 360 ? ? 240 3 , 3

? 一年中平均有 240 天的空气质量达到一级或二级
2 2 2 0 18.解: (1)在 ?ABC 中 AC =5 , AB ? 4 , BC ? 3 ,满足 AC =AB ? BC ,所以 ?ABC ? 90 ,即

CB ? AB

5

? CB ? BB1 ? CB ? AB ? ? 又因为四边形 BCC1 B1 为矩形,所以 CB ? BB1 又 ? BB1 ? 面AA1 B1 B ,所以 CB ? 面AA 1B 1B , ? AB ? 面AA B B 1 1 ? BB AB ? B ? ? 1
又因为 AB1 ? 面AA 1B 1B ,所以 CB ? AB 1 , 又因为四边形 A1 ABB1 为菱形,所以 AB1 ? A1B

? AB1 ? CB ? AB ? A B 1 1 ? ? 又 ? CB ? 面A1 BC ,所以 AB1 ? 面A1BC ? A B ? 面A BC 1 ? 1 ? ? CB A1 B ? B
CD , (2)过 B 作 BD ? AA 1 于 D ,连接
由第(1)问已证 CB ? 面AA 1B 1B ,



AA1 ? 面AA1B1B
C

? AA1 ? CB ? AA ? BD 1 ? ? ?CB ? AA1 ,又 ? CB ? 面BCD ,所以 AA1 ? 面BCD , ? BD ? 面BCD ? ? ? CB BD ? B
又因为 CD ? 面BCD ,所以 AA1 ? CD

C1

B

B1

A

D

A1

所以, ?CDB 就是二面角 C ? AA 1 ? B 的平面角在直角 ?ADB 中, AB=4 , ?DAB ? 45? , ?ADB ? 90? ,

? DB=2 2 ,在直角 ?CDB 中, DB=2 2 , CB =3 , CD= 17 ,所以 cos ?CDB ?

2 2 2 34 ? 17 17

3 3 19.解: (1)令 n ? 1 ,则 a1 ? S12 +2S1 ,即 a1 ? a12 +2a1 ,所以 a1 ? 2 或 a1 ? ?1 或 a1 ? 0

又因为数列 ?an ? 的各项都是正数,所以 a1 ? 2



令 n ? 2 ,则 a1 ? a2 ? S2 +2S2 ,即
3 3 2

3 3 解得 a1 ? 3 或 a1 ? ?2 或 a1 ? 0 又因为数列 ?an ? 的各项都是正数, 所以 a2 ? 3 a1 ? a2 ? (a1 ? a2 )2 ? 2(a1 ? a2 ) , ,

(2)

3 3 3 a1 ? a2 ? a3 ?

3 2 ? an ? Sn +2Sn

(1) ,


3 3 3 ?a1 ? a2 ? a3 ?
2

3 2 ? an (2) ?1 ? Sn?1 +2Sn?1 (n ? 2)

3 2 2 由 (1) ? (2) 得 an ? (Sn +2Sn ) ? (Sn ?1 +2Sn?1 )

化简得到 an ? Sn ? Sn?1 ? 2 (3)

2 2 2 ?an (4) ,由 (3) ? (4) 得 an ? an ?1 ? Sn?1 ? Sn?2 ? 2 (n ? 3) ?1 ? (Sn ? Sn?1 ? 2) ? (Sn?1 ? Sn?2 ? 2)

化简得到 an ? an?1 ? an ? an?1 ,即 an ? an?1 ? 1(n ? 3)
2 2



当 n ? 2时,a2 ? a1 ? 1 ,所以 an ? an?1 ? 1(n ? 2)

所以数列 ?an ? 是一个以 2 为首项, 1为公差的等差数列,?an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? (n ?1) ? n ? 1

6

(3) bn ? 3n ? (?1)n?1 ? ? 2n?1



因为对任意的 n ? N ,都有 bn?1 ? bn 恒成立,即有
*

1 3 3n?1 ? (?1)n ? ? 2n?2 ? 3n ? (?1)n?1 ? ? 2n?1 ,化简得 ( ?1) n ?1 ? ? ? ( ) n 3 2 1 1 3 n 1 3 1 当 n 为奇数时, ? ? ? ( ) 恒成立, ? ? ? ( ) ,即 ? ? 2 3 2 3 2
当 n 为偶数时, ? ? ? ? ( ) 恒成立, ? ? ? ? ( ) ,即 ? ? ?
n 2

1 3 3 2

1 3 3 2

3 3 1 ?? ? ? ? 4, 4 2

20.解:(1)当 a ? ?

1 2 1 1 ( x ? 2)( x ? 1) 1 时, f ( x) ? ? x ? ln( x ? 1) ( x ? ?1) f ?( x) ? ? x ? ?? 4 2 x ?1 2( x ? 1) 4 ,
1 ? 0 对 ? x ? [1, ? ?) 恒成立 x ?1

1) ,单调递减区间是 (1, ? ?) 解 f ?( x) ? 0 得 ?1 ? x ? 1 ;解 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x ) 的单调递增区间是 (?1,

? ?) 上为减函数,所以 f ?( x) ? 2ax ? (2)因为函数 f ( x) 在区间 [1,
1 1 ? ?) 恒成立,? a ? ? 对 ? x ? [1, 4 2 x( x ? 1) ? ?) 时,不等式 f ( x) ? x ? 0 恒成立, (3)因为当 x ? [0 ,
即a ? ? 即 ax ? ln( x ? 1) ? x ? 0 恒成立,设 g ( x) ? ax2 ? ln( x ? 1) ? x
2

( x ? 0) ,只需 g ( x)max ? 0 即可

1 x[2ax ? (2a ? 1)] ?1 ? x ?1 x ?1 x ? ?) 上单调递减, ① 当 a ? 0 时, g ?( x ) ? ? ,当 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 在 (0 , x ?1 故 g ( x) ? g (0) ? 0 成立 1 x[2ax ? (2a ? 1)] ?1 ? 0 ,因为 x ? 0 ,所以解得 x ? ② 当 a ? 0 时,令 g ?( x) ? 2a x ?1 1 1 ? 1 ? 0 ,即 a ? 时,在区间 (0 , ? ?) 上 g ?( x) ? 0 ,则函数 g ( x) 在 (0 , ? ?) 上单调递增, 1)当 2a 2 ? ?) 上无最大值,不合题设。 故 g ( x) 在 [0 , 1 1 1 1 ? 1 ? 0 时,即 0 ? a ? 时,在区间 (0 , ? 1) 上 g ?( x) ? 0 ;在区间 ( ? 1 , ? ?) 上 g ?( x) ? 0 . 2) 当 2a 2 2a 2a 1 1 ? ?) 单调递增, ?函数 g ( x) 在 (0 , ? 1) 上单调递减,在区间 ( ? 1, 2a 2a ? ?) 无最大值,不满足条件。 同样 g ( x) 在 [0 , x[2ax ? (2a ? 1)] ?0, ③ 当 a ? 0 时,由 x ? 0 ,故 2ax ? (2a ? 1) ? 0 ,? g ?( x) ? x ?1 ? ?) 上单调递减,故 g ( x) ? g (0) ? 0 成立 故函数 g ( x) 在 [0 , 0] 综上所述,实数 a 的取值范围是 (?? , x ?1 y 21.解:(1)由已知得 F 0) , F2 (1, 0) ,设 M ( x0 ,y0 ) ,则 MF1 的中点为 N ( 0 , 0 ) 1 (?1, 2 2 x ? 3 y0 , )?0 MF1 ? NF2 ? F1M ? F2 N ? 0 ,即 ( x0 ? 1,y0 ) ? ( 0 2 2
由 g ?( x) ? 2ax ? 整理得 x0 ? 2 x0 ? 3 ? y0 ? 0
2 2



又有

2 x0 2 ? y0 ? 1 …………………………………② 2

由① ② 联立解得 x0 ? 2 ? 2 2 或 x0 ? 2 ? 2 2 (舍)

7

?点 M 到 y 轴的距离为 2 2 ? 2

(2)设 P( x1 ,y1 ) , Q( x2 ,y2 ) , R( xR ,yR )

四边形 OPRQ 是平行四边形,?线段 PQ 的中点即为线段 OR 的中点,即 x1 ? x2 ? xR , y1 ? y2 ? yR 点 R 在椭圆上,?

( x1 ? x2 )2 ( x ? x )2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 1 即 1 2 ? [k ( x1 ? x2 ) ? 2m]2 ? 1 2 2 ,

化简得 (1 ? 2k 2 )( x1 ? x2 )2 ? 8km( x1 ? x2 ) ? 8m2 ? 2 ? 0 ……………………………③

? x2 ? ? y2 ? 1 2 2 由? 2 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 ,由 ? ? 0 得 2k ? 1 ? m ………………④ ? y ? kx ? m ?
且 x1 ? x2 ? ?
2

4km 16(1 ? 2 k 2 ) k 2m2 32 k 2m2 ,代入③ 式得 ? ? 8m2 ? 2 ? 0 2 2 2 2 1 ? 2k (1 ? 2k ) 1 ? 2k
2 2 2

整理得 4m ? 1 ? 2k 代入④ 式得 m ? 0 ,又 4m ? 1 ? 2k ? 1 ,? m ? ?

1 1 或m? 2 2

? ] [ , ? ?) ? m 的取值范围是 (?? ,

1 2

1 2

8


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