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黑龙江省哈尔滨市道里区2015-2016学年八年级数学上学期期末考试试题(含解析) 新人教版


黑龙江省哈尔滨市道里区 2015-2016 学年八年级数学上学期期末考 试试题
一、选择题:每小题 3 分,共 30 分. 1.下列各选项中的式子,是分式的为( A.2+x B. C. D. ) )

2.点 A(4,a)与点 B(b,3)关于 x 轴对称,那么 a 的值为( A.3 B.﹣3 C.4 D.﹣4

3 . 下 列 四 个 图 形 中 , 是 轴 对 称 图 形 的 有 (



A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4.两年前日本近海发生 9.0 级强震.该次地震导致地球当天自转快了 0.0000016 秒.这里 的 0.0000016 用科学记数法表示为( ) ﹣5 ﹣5 ﹣7 ﹣6 A.16×10 B.1.6×10 C.1.6×10 D.1.6×10 5.下列运算中,正确的是( 2 3 2 2 A.aa =a B.(3a) =3a ) 6 3 2 C.3a ÷a =3a

D.(ab ) =a b

2

2

2 2

6.如果把分式

中的 x、y 同时扩大 2 倍,那么该分式的值( C.不变 D.为原来的 )



A.为原来的 2 倍 B.为原来的

7.下列式子中,是最简二次根式的是( A. B. C. D.

8.若 xy≠0,3x﹣2y=0,则 A. B. C.

等于(



D.﹣

9.如图,某小区规划在边长为 xm 的正方形场地上,修建两条宽为 2m 的通道,其余部分种 草,以下各选项所列式子不是计算通道所占面积的为( )

1

A.2x+2x﹣2 B.x ﹣(x﹣2) C.2(x+x﹣2) D.x ﹣2x﹣2x+2

2

2

2

2

2

10.如图,△ABC,AB=AC,AD 为△ABC 的角平分线,过 AB 的中点 E 作 AB 的垂线交 AC 于点 F,连接 BF,若 AB=5,CD=2,则△BFC 的周长为( )

A.7

B.9

C.12

D.14

二、填空题:每小题 3 分,共 30 分. 2 11.分解因式:3x ﹣12= . 12.计算:(a b) =
m n ﹣2 3


m+5n

13.已知 2 =a,32 =b,m、n 都是正整数,则 2

=

. 度.

14.如图,△ABC,AB=AC,点 D 在 AC 上,DA=DB=BC,则∠BDA=

15.已知 x +mx+9 是完全平方式,则常数 m 等于

2



16.在实数范围内式子

有意义,则 x 的取值范围是
2



17 . 一 个 正 方 形 的 边 长 增 加 3cm , 它 的 面 积 就 增 加 45cm , 则 这 个 正 方 形 的 边 长

2





18.观察给定的分式: 是 .

,…,探索规律,猜想第 8 个分式

19.如图,△ABC,∠A=90°,AB=AC,△ABC 的面积为 12,则 BC 的长为



20.在△ABC 中,AB=AC,点 D 在 BA 的延长线上,AD=BC,连接 DC,∠ADC=30°,则∠BAC 为 度.

三、解答题:第 21-25 题每题 8 分,第 26、27 题每题 10 分,共 60 分. 21.计算: (1) (2)( ; )( )

22.计算: (1)5x(x+1)(x﹣1) 2 2 2 2 (2)[x (x y+y)﹣y(x ﹣x) ]÷2xy. 23.在平面直角坐标系中,四边形 ABCD 的位置如图所示.

(1)画出四边形 A′B′C′D′,使四边形 A′B′C′D′与四边形 ABCD 关于 y 轴对称,点 A′,B′,C′,D′分别为点 A、B、C、D 的对称点,直接写出点 A′,B′,C′,D′的坐 标; (2)画两条线段,线段的端点在四边形 ABCD 的边上,这两条线段将四边形 ABCD 分割成三 个等腰三角形,直接写出这三个等腰三角形的面积. 24. 一辆汽车开往距离出发地 240km 的目的地, 出发后, 前两小时按原计划的速度匀速行驶, 两小时后以原来速度的 1.5 倍匀速行驶, 并比原计划提前 40min 到达目的地, 求前两小时的

3

行驶速度.

25.先化简,再求值:(
0



,其中 x=(

) ﹣(

2





26. 先化简, 再求值: (



2

, 其中实数 a、 b 满足

+2a +8b ﹣8ab =0.

2

4

2

27.△ABC 是等边三角形,点 D、E 分别在边 AB、BC 上,CD、AE 交于点 F,∠AFD=60°. (1)如图 1,求证:BD=CE; (2)如图 2,FG 为△AFC 的角平分线,点 H 在 FG 的延长线上,HG=CD,连接 HA、HC,求证: ∠AHC=60°; (3)在(2)的条件下,若 AD=2BD,FH=9,求 AF 长.

2015-2016 学年黑龙江省哈尔滨市道里区八年级(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题:每小题 3 分,共 30 分. 1.下列各选项中的式子,是分式的为(



A.2+x B. C. D. 【考点】分式的定义. 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母,如果含有字母则是分式,如果不含有字 母则不是分式. 【解答】解:A、2+x 是整式,故 A 错误; B、 是整式,故 B 错误; C、 是分式,故 C 正确;

4

D、 是整式,故 D 错误; 故选:C. 【点评】本题考查的是分式的定义,在解答此题时要注意分式是形式定义,只要是分母中含 有未知数的式子即为分式. 2.点 A(4,a)与点 B(b,3)关于 x 轴对称,那么 a 的值为( ) A.3 B.﹣3 C.4 D.﹣4 【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标. 【分析】利用关于 x 轴对称点的坐标特点:横坐标不变,纵坐标互为相反数,即点 P(x,y) 关于 x 轴的对称点 P′的坐标是(x,﹣y),进而得出答案. 【解答】解:∵点 A(4,a)与点 B(b,3)关于 x 轴对称, ∴a=﹣3, 故选:B. 【点评】此题主要考查了关于 x 轴对称点的性质,正确记忆横纵坐标的关系是解题关键.

3 . 下 列 四 个 图 形 中 , 是 轴 对 称 图 形 的 有 (



A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】轴对称图形. 【分析】根据轴对称的概念对各图形分析判断即可得解. 【解答】解:第一个图形是轴对称图形, 第二个图形是轴对称图形, 第三个图形是轴对称图形, 第四个图形不是轴对称图形, 轴对称图形共有 3 个. 故选 C. 【点评】本题考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠 后可重合. 4.两年前日本近海发生 9.0 级强震.该次地震导致地球当天自转快了 0.0000016 秒.这里 的 0.0000016 用科学记数法表示为( ) ﹣5 ﹣5 ﹣7 ﹣6 A.16×10 B.1.6×10 C.1.6×10 D.1.6×10 【考点】科学记数法—表示较小的数. ﹣n 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为 a×10 ,与较大数 的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂, 指数由原数左边起第一个不为零的数字前面 的 0 的个数所决定. ﹣6 【解答】解:0.000 0016=1.6×10 ; 故选:D. ﹣n 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为 a×10 ,其中 1≤|a|<10,n

5

为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定. 5.下列运算中,正确的是( ) 2 3 2 2 6 3 2 2 2 2 2 A.aa =a B.(3a) =3a C.3a ÷a =3a D.(ab ) =a b 【考点】整式的除法;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方. 【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加;积的乘方等于乘方的积;单项式的除法, 系数相除,同底数的幂相除;积的乘方等于乘方的积,可得答案. 【解答】解:A、同底数幂的乘法底数不变指数相加,故 A 正确; B、积的乘方等于乘方的积,故 B 错误; C、单项式的除法,系数相除,同底数的幂相除,故 C 错误; D、积的乘方等于乘方的积,故 D 错误; 故选:A. 【点评】本题考查了整式的除法,熟记法则并根据法则计算是解题关键.

6.如果把分式

中的 x、y 同时扩大 2 倍,那么该分式的值(



A.为原来的 2 倍 B.为原来的 C.不变 D.为原来的 【考点】分式的基本性质. 【分析】根据分式的分子分母都乘以(或除以)同一个不为零的数,分式的值不变,可得答 案. 【解答】解:把分式 中的 x、y 同时扩大 2 倍,那么该分式的值缩小为原来的 ,

故选:B. 【点评】本题考查了分式的性质,分式的分子分母都乘以(或除以)同一个不为零的数,分 式的值不变. 7.下列式子中,是最简二次根式的是( )

A. B. C. D. 【考点】最简二次根式. 【专题】计算题. 【分析】 判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法, 就是逐个检查最简二次根式的两个 条件是否同时满足,同时满足的就是最简二次根式,否则就不是. 【解答】解:A、 B、 D、 =x =3 = ,被开方数含分母,不是最简二次根式;

,被开方数含能开得尽方的因式,不是最简二次根式; ,被开方数含能开得尽方的因数,不是最简二次根式;

故选 C. 【点评】本题考查最简二次根式的定义.根据最简二次根式的定义,最简二次根式必须满足 两个条件:

6

(1)被开方数不含分母; (2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式.

8.若 xy≠0,3x﹣2y=0,则

等于(



A. B. C. D.﹣ 【考点】二元一次方程的解. 【分析】根据已知求出 的值,代入求出即可. 【解答】解:∵3x﹣2y=0, ∴3x=2y, ∴ = , ∴ +1= +1= , 故选 C. 【点评】本题考查了二元一次方程的解,比例的性质的应用,主要考查学生的计算能力.

9.如图,某小区规划在边长为 xm 的正方形场地上,修建两条宽为 2m 的通道,其余部分种 草,以下各选项所列式子不是计算通道所占面积的为( )

A.2x+2x﹣2 B.x ﹣(x﹣2) C.2(x+x﹣2) D.x ﹣2x﹣2x+2 【考点】整式的混合运算. 【分析】通道的面积是两个长是 xcm,宽是 2cm 的长方形的面积的和减去边长是 2cm 的正方 形的面积,然后对每个选项化简,即可判断. 2 【解答】解:通道所占面积是:2x+2x﹣2 =4x﹣4. A、是表示通道所占面积,选项错误; 2 2 2 B、x ﹣(x﹣2) =x ﹣x2+4x﹣4=4x﹣4,故是表示通道所占面积,选项错误; C、2(x+x﹣2)=4x﹣4,是表示通道所占面积,选项错误; 2 2 D、x ﹣2x﹣2x+2 =4﹣4x≠4x﹣4,不是表示通道的面积,选项正确. 故选 D. 【点评】本题考查了整式混合运算,正确理解通道的面积的计算方法是关键.

2

2

2

2

2

10.如图,△ABC,AB=AC,AD 为△ABC 的角平分线,过 AB 的中点 E 作 AB 的垂线交 AC 于点 F,连接 BF,若 AB=5,CD=2,则△BFC 的周长为( )

7

A.7 B.9 C.12 D.14 【考点】线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质. 【分析】根据等腰三角形的性质得到 BC=2CD=4,由线段垂直平分线的性质得到 AF=BF,于是 得到 AF+CF=BF+CF=5,即可得到结论. 【解答】解:∵AB=AC=5,AD 为△ABC 的角平分线, ∴BC=2CD=4, ∵EF 垂直平分 AB, ∴AF=BF, ∴AF+CF=BF+CF=5, ∴△BFC 的周长=BF+CF+BC=AC+BC=9, 故选 B. 【点评】本题考查了等腰三角形的性质,线段垂直平分线的性质,三角形的周长的计算,熟 练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键. 二、填空题:每小题 3 分,共 30 分. 2 11.分解因式:3x ﹣12= 3(x﹣2)(x+2) . 【考点】提公因式法与公式法的综合运用. 【分析】原式提取 3,再利用平方差公式分解即可. 2 【解答】解:原式=3(x ﹣4) =3(x+2)(x﹣2). 故答案为:3(x+2)(x﹣2). 【点评】本题考查因式分解.因式分解的步骤为:一提公因式;二看公式.公式包括平方差 公式与完全平方公式, 要能用公式法分解必须有平方项, 如果是平方差就用平方差公式来分 解, 如果是平方和需要看还有没有两数乘积的 2 倍, 如果没有两数乘积的 2 倍还不能分解. 解 答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、 方法掌握不熟练, 对一些乘法公式的特点记不 准确而误选其它选项.要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解,一般来说,如果可以 提取公因式的要先提取公因式.

12.计算:(a b) =

﹣2

3



【考点】负整数指数幂. 【分析】根据积的乘方等于乘方的积,可得负整数指数幂,根据负整数指数幂与正整数指数 幂互为倒数,可得答案.

【解答】解:原式=a b =

﹣6 3

.故答案为:



8

【点评】 本题考查了负整数指数幂, 利用负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数是解题关键.

13.已知 2 =a,32 =b,m、n 都是正整数,则 2 = ab . 【考点】幂的乘方与积的乘方;同底数幂的乘法. 【分析】根据幂的乘方和积的乘方以及同底数幂的乘法法则求解. m+5n m 5n m n 【解答】解:2 =2 2 =2 32 =a×b=ab. 故答案为:ab. 【点评】 本题考查了幂的乘方和积的乘方和同底数幂的乘法, 解答本题的关键是掌握幂的乘 方和积的乘方和同底数幂的乘法法则. 14.如图,△ABC,AB=AC,点 D 在 AC 上,DA=DB=BC,则∠BDA= 108 度.

m

n

m+5n

【考点】等腰三角形的性质. 【分析】由条件可得到∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD,结合三角形外角的性质和三角形内角 和定理,用方程可求得∠A,然后根据三角形的内角和即可得到结论. 【解答】解:∵AB=AC,BD=BC=AD, ∴∠ABC=∠C=∠BDC, ∠A=∠ABD, 设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x, 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x. 于是在△ABC 中,有 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°, 解得 x=36°, ∴∠A=36°, ∴∠BDA=180°﹣2∠A=108°. 故答案为:108. 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质,掌握等边对等角是解题的关键,注意三角形内角 和定理和方程思想的应用. 15.已知 x +mx+9 是完全平方式,则常数 m 等于 ±6 . 【考点】完全平方式. 2 2 2 2 【分析】完全平方式有 a +2ab+b 和 a ﹣2ab+b 两个,根据已知得出 mx=±2x3,求出即可. 【解答】解:x +mx+9=x +mx+3 , 2 ∵x +mx+9 是完全平方式, ∴mx=±2x3, 解得:m=±6,
2 2 2 2

9

故答案为:±6. 【点评】本题考查了对完全平方式的应用,能求出符合的两个值是解此题的关键,注意:完 2 2 2 2 全平方式有 a +2ab+b 和 a ﹣2ab+b 两个.

16.在实数范围内式子 有意义,则 x 的取值范围是 x>﹣2 . 【考点】二次根式有意义的条件;分式有意义的条件. 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得 x+2>0,再解即可. 【解答】解:由题意得:x+2>0, 解得:x>﹣2, 故答案为:x>﹣2. 【点评】 此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件, 关键是掌握二次根式的被开方数是 非负数,分式有意义分母不等于 0. 17.一个正方形的边长增加 3cm,它的面积就增加 45cm ,则这个正方形的边长是 6cm . 【考点】平方差公式. 【专题】计算题. 【分析】设这个正方形的边长为 xcm,根据题意列出方程,求出方程的解即可得到结果. 【解答】解:设这个正方形的边长是 xcm, 2 2 根据题意得:(x+3) =x +45, 2 2 整理得:x +6x+9=x +45,即 6x=36, 解得:x=6, 则这个正方形的边长为 6cm, 故答案为:6cm 【点评】此题考查了平方差公式,熟练掌握平方差公式是解本题的关键.
2

18.观察给定的分式:

,…,探索规律,猜想第 8 个分式是





【考点】分式的定义. 【专题】规律型. 【分析】观察分式的分子、分母、符号的变化规律,依据规律回答即可.

【解答】解:第一个分式为 =



第二个分式为﹣

=﹣



10

第三个分式为 …

=



第 n 个分式为



第 8 个分式为=﹣



故答案为:﹣



【点评】本题主要考查的是分式的定义,找出分子、分母以及分式的符号的变化规律是解题 的关键.

19.如图,△ABC,∠A=90°,AB=AC,△ABC 的面积为 12,则 BC 的长为 4



【考点】等腰直角三角形. 【分析】根据△ABC 的面积等于 12 得出 ACAB 的值,进而可得出 AB,AC 的值,然后根据勾 股定理即可求得 BC 的长. 【解答】解:∵△ABC,∠A=90°,△ABC 的面积为 12, ∴S△ABC= ABAC=12, ∵AB=AC, 2 2 ∴AB =AC =24, 2 2 2 ∵AB +AC =BC , ∴BC= 故答案为:4 =4 . .

【点评】本题考查的是等腰直角三角形、勾股定理,熟知在任何一个直角三角形中,两条直 角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键. 20.在△ABC 中,AB=AC,点 D 在 BA 的延长线上,AD=BC,连接 DC,∠ADC=30°,则∠BAC 为 60 度. 【考点】全等三角形的判定与性质. 【分析】作 AE⊥DC 于 E,AF⊥BC 于 F,利用条件可证得 Rt△AEC≌Rt△CFA,得到 CE=AF, 再结合条件证得四边形 AECF 是矩形,从而可求得∠BAC.

11

【解答】解:如图,作 AE⊥DC 于 E,AF⊥BC 于 F,

∵∠D=30°, ∴AE= AD, ∵AB=AC,AF⊥BC, ∴BF=CF= BC, ∵AD=BC, ∴AE=CF, 又∵∠AEC=∠CFA=90°,AC=CA 在△AEC 和△CFA 中,

, ∴Rt△AEC≌Rt△CFA(HL), ∴CE=AF, 又∵AE=CF,∠AFC=90°, ∴四边形 AECF 是矩形, ∴∠ECF=90°, 则∠B=60°, ∵AB=AC, ∴△ABC 是等边三角形, ∴∠BAC=60°, 故答案为:60°. 【点评】 本题主要考查等腰三角形的性质及矩形的判定和性质, 构造三角形全等证明四边形 AECF 是矩形是解题的关键. 三、解答题:第 21-25 题每题 8 分,第 26、27 题每题 10 分,共 60 分. 21.计算: (1) (2)( ; )( )

【考点】二次根式的混合运算. 【专题】计算题.

12

【分析】(1)利用二次根式的乘法法则运算; (2)利用平方差公式计算. 【解答】解:(1)原式= (2)原式=(2 ) ﹣(
2 2

=2; ) =20﹣6=14.

【点评】本题考查了二次根式的计算:先把各二次根式化为最简二次根式,再进行二次根式 的乘除运算,然后合并同类二次根式.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活 运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍. 22.计算: (1)5x(x+1)(x﹣1) 2 2 2 2 (2)[x (x y+y)﹣y(x ﹣x) ]÷2xy. 【考点】整式的混合运算. 【分析】(1)先根据平方差公式进行计算,再根据单项式乘以多项式进行计算即可; (2)先算括号内的乘法,再合并同类项,最后算除法即可. 【解答】解:(1)5x(x+1)(x﹣1) 2 =5x(x ﹣1) 3 =5x ﹣5x; (2)[x (x y+y)﹣y(x ﹣x) ]÷2xy 4 2 4 3 2 =[x y+x y﹣x y+2x y﹣x y]÷2xy 3 =2x y÷2xy 2 =x . 【点评】 本题考查了整式的混合运算法则的应用, 能运用整式的运算法则进行化简是解此题 的关键,注意运算顺序. 23.在平面直角坐标系中,四边形 ABCD 的位置如图所示.
2 2 2 2

(1)画出四边形 A′B′C′D′,使四边形 A′B′C′D′与四边形 ABCD 关于 y 轴对称,点 A′,B′,C′,D′分别为点 A、B、C、D 的对称点,直接写出点 A′,B′,C′,D′的坐 标; (2)画两条线段,线段的端点在四边形 ABCD 的边上,这两条线段将四边形 ABCD 分割成三 个等腰三角形,直接写出这三个等腰三角形的面积. 【考点】作图-轴对称变换. 【分析】 (1)分别作出各点关于 y 轴的对称点,再顺次连接即可得到四边形 A′B′C′D′, 根据各点在坐标系中的位置写出其坐标即可; (2)画出符合条件的线段,再判断出△ADE 的形状,根据三角形的面积公式即可得出结论.

13

【解答】解:(1)如图所示,A′(6,4),B′(7,1),C′(1,1),D′(3,5);

(2)如图,线段 AE,DE 即为所求. 2 2 2 2 2 2 2 ∵AE =AD =1 +3 =10,DE =2 +4 =20, 2 2 2 ∴AE +AD =DE , ∴△ADE 是等腰直角三角形, ∴S△ADE= ADAE= × × =5,S△ABE= ×2×3=3;S△CDE= ×4×4=4.

【点评】 本题考查的是作图﹣轴对称变换, 熟知关于 y 轴对称的点的坐标特点是解答此题的 关键. 24. 一辆汽车开往距离出发地 240km 的目的地, 出发后, 前两小时按原计划的速度匀速行驶, 两小时后以原来速度的 1.5 倍匀速行驶, 并比原计划提前 40min 到达目的地, 求前两小时的 行驶速度. 【考点】分式方程的应用. 【分析】首先设前两小时的行驶速度为 xkm/时,则 2 小时后的速度为 1.5xkm/时,根据题意 可得等量关系:原计划所用时间﹣实际所用时间=40 分钟,根据等量关系列出方程,再解即 可. 【解答】解:设前两小时的行驶速度为 xkm/时,由题意得:

﹣(2+

)=



解得:x=60, 经检验:x=60 是原分式方程的解, 答:前两小时的行驶速度为 60km/时. 【点评】此题主要考查了分式方程的应用,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系, 设出未知数,列出方程.

25.先化简,再求值:(
0



,其中 x=(

) ﹣(

2



. 【考点】分式的化简求值;零指数幂. 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再求出 x 的值代入进行计算即可.

14

【解答】解:原式=[



]

=

=

=



当 x=(

) ﹣(

2

) =2+1+2

0

﹣1=2+2

时,原式=

=

=



【点评】本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.

26. 先化简, 再求值: (



2

, 其中实数 a、 b 满足

+2a +8b ﹣8ab =0.

2

4

2

【考点】分式的化简求值;非负数的性质:偶次方;非负数的性质:算术平方根;配方法的 应用. 【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则将除法转化成乘法,进行约分计算,由非负数 之和为 0,两非负数分别为 0 求出 a 与 b 的值,代入计算即可得到结果.

【解答】解:∵





=0,



、2(a﹣2b ) 是非负数,

2

2

∴a﹣1=0,a﹣2b=0, ∴a=1,b= ,

∴原式=



=


15

=



= =O. 【点评】此题考查了分式的化简求值,以及非负数的性质,分式的加减运算关键是通分,通 分的关键是找最简公分母;分式的乘除运算关键是约分,约分的关键是找公因式.

27.△ABC 是等边三角形,点 D、E 分别在边 AB、BC 上,CD、AE 交于点 F,∠AFD=60°. (1)如图 1,求证:BD=CE; (2)如图 2,FG 为△AFC 的角平分线,点 H 在 FG 的延长线上,HG=CD,连接 HA、HC,求证: ∠AHC=60°; (3)在(2)的条件下,若 AD=2BD,FH=9,求 AF 长.

【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质. 【分析】(1)根据等边三角形的性质得出 AB=BC,∠BAC=∠C=∠ABE=60°,根据 SAS 推出 △ABE≌△BCD,即可证得结论; ( 2 ) 根 据 角 平 分 线 的 性 质 定 理 证 得 CM=CN , 利 用 ∠CEM=∠ACE+∠CAE=60°+∠CAE , ∠CGN=∠AFH+∠CAE=60°+∠CAE,得出∠CEM=∠CGN,然后根据 AAS 证得△ECM≌△GCN,得 出 CG=CE,EM=GN,∠ECM=∠GCN,进而证得△AMC≌△HNC,得出∠ACM=∠HCN,AC=HC,从而 证得△ACH 是等边三角形,证得∠AHC=60°; (3)在 FH 上截取 FK=FC,得出△FCK 是等边三角形,进一步得出 FC=KC=FK,∠ACF=∠HCK, 证得△AFC≌△HKC 得出 AF=HK ,从而得到 HF=AF+FC=9 ,由 AD=2BD 可知 AG=2CG ,再由

=

,根据等高三角形面积比等于底的比得出

=

=

=2,再由 AF+FC=9

求得. 【解答】解:(1)如图 1,∵△ABC 是等边三角形, ∴∠B=∠ACE=60°BC=AC, ∵∠AFD=∠CAE+∠ACD=60°∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°, ∴∠BCD=∠CAE, 在△ABE 和△BCD 中,

16

∴△ABE≌△BCD(ASA), ∴BD=CE; (2)如图 2,作 CM⊥AE 交 AE 的延长线于 M,作 CN⊥HF 于 N, ∵∠EFC=∠AFD=60° ∴∠AFC=120°, ∵FG 为△AFC 的角平分线, ∴∠CFH=∠AFH=60°, ∴∠CFH=∠CFE=60°, ∵CM⊥AE,CN⊥HF, ∴CM=CN, ∵∠CEM=∠ACE+∠CAE=60°+∠CAE,∠CGN=∠AFH+∠CAE=60°+∠CAE, ∴∠CEM=∠CGN, 在△ECM 和△GCN 中

∴△ECM≌△GCN(AAS), ∴CE=CG,EM=GN,∠ECM=∠GCN, ∴∠MCN=∠ECG=60°, ∵△ABE≌△BCD, ∵AE=CD, ∵HG=CD, ∴AE=HG, ∴AE+EM=HG+GN,即 AM=HN, 在△AMC 和△HNC 中

∴△AMC≌△HNC(SAS), ∴∠ACM=∠HCN,AC=HC, ∴∠ACM﹣∠ECM=∠HCN﹣∠GCN,即∠ACE=∠HCG=60°, ∴△ACH 是等边三角形, ∴∠AHC=60°; (3)如图 3,在 FH 上截取 FK=FC, ∵∠HFC=60°, ∴△FCK 是等边三角形, ∴∠FKC=60°,FC=KC=FK, ∵∠ACH=60°, ∴∠ACF=∠HCK, 在△AFC 和△HKC 中

17

∴△AFC≌△HKC(SAS), ∴AF=HK, ∴HF=AF+FC=9, ∵AD=2BD,BD=CE=CG,AB=AC, ∴AG=2CG,



=

= ,

作 GW⊥AE 于 W,GQ⊥DC 于 Q, ∵FG 为△AFC 的角平分线, ∴GW=GQ,



=

=

= ,

∴AF=2CF, ∴AF=6.

【点评】 本题考查了全等三角形的判定和性质, 等边三角形的判定和性质, 角平分线的性质, 找出辅助线根据全等三角形和等边三角形是解题的关键.

18


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