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江苏省青阳高级中学2013届高三数学(文科)阶段性检测试题(含答案)


江苏省青阳高级中学 2013 届高三数学(文科)阶段性检测试题
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 有一容量为 10 的样本:2,4,7,6,5,9,7,10,3,8,则数据落在 ?5.5 , 7.5? 内的 频率为 ▲ .
l n 2. 已知直线 l, m,n, 平面 ? ,m ? ? ,n ? ? , 则“ l ? ? ” “ l ?m , 且 ? ”的 ▲ 条 是

件.(填“充分不必要” “必要不充分” “充要” “既不充分也不必要”之一) 、 、 、 3.
{3 , 已知集合 A ? ?2,7,? 4m ? (m ? 2)i (其中 i 为虚数单位, m ? R ) B ? 8 } ,且 , ?
A I B ? ? ,则 m 的值为

▲ .

4.

在区间[0,1]上任取两个数 a,b,则关于 x 的方程 x2 ? 2ax ? b2 ? 0 有实数根的概率为 ▲ .

5. 在区间 ? ?a,a? (a ? 0) 内不间断的偶函数 f ( x) 满足 f (0) ? f (a) ? 0 , f ( x) 在区间 ?0,a? 且 上是单调函数,则函数 y ? f ( x) 在区间 (?a,a) 内零点的个数是 ▲ .
x≥0, ?tan x, 6. 若函数 f ( x) ? ? 则 f 2 f 3π 4 log 2 (? x), x ? 0, ?
开始

? ? ?? ?
?

▲ .

n ?6

S ?0 n ? n ?1
S ?S ?n

7. 执行如图所示的程序框图后,输出的结果是 ▲ . 8. 不等式 x ? 2 ? 1 的解集是 ▲ . x 9. 如图,点 A、B 在函数 y ? tan π x ? π 的图象上, 4 2 则直线 AB 的方程为 ▲ . 10. 已知正三角形的内切圆半径是三角形高的 y 1 O A

?

B B

x

S<15 N
输出 n

Y

1 , 3
(第 9 题)

将这个结论推广到空间正四面体,类似结论:正四 面体的内切球的半径是其高的 ▲ . 11. 在菱形 ABCD 中,若 AC ? 4 ,则 CA ? AB ? ▲ .

结束 (第 7 题)

2 x b 3 12. 已知函数 f ( x) ? x ? 2x , ? ?a ,? 的值域为 ? ?1,? ,则 b ? a 的取值范围是 ▲



13. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0 , b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c , ,F2 (c , ,若椭 0) 0) a 2 b2

圆上存在点 P (异于长轴的端点) ,使得 c sin ?PF F2 ? a sin ?PF2 F ,则该椭圆离心率的 1 1 取值范围是 ▲ .

14. 数列 ?an ? 满足: a1 ? 2,an ? 1 ? 1 (n ? 2, , , ) ,若数列 ?an ? 有一个形如 3 4 ??? an?1
an ? A sin(? n ? ? ) ? B 的通项公式,其中 A、B、?、? 均为实数, A ? 0,? ? 0,? ? π , 2

则 an ?

▲ .(只要写出一个通项公式即可)

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 1 , 15.本小题满分 14 分)如图,在底面为菱形的直四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 中, 1 3 D E、F 分别为 A1B1 、 B1C1 的中点, G 为 DF , 的中点; 5 (1)求证: EF ? 平面 B1BDD1 ; (2)求证: EG ∥平面 AA1D1D . A G D1 F A1 E B1 B

C

C1

16. (本题满分 14 分) 如图, 在△OAB 中, 已知 P 为线段 AB 上的一点, ? x ? OA ? y ? OB. OP (1)若 BP ? PA ,求 x , y 的值; (2)若 BP ? 3PA , | OA |? 4 , | OB |? 2 , 且 OA 与 OB 的夹角为 60°时,求 OP ? AB 的值。

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

17.(本题满分 15 分)△ABC 的外接圆半径为 1,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.向 量 m ? (a,4cos B) , n ? (cos A,b) 满足 m // n . (1)求 sin A ? sin B 的取值范围; (2)若实数 x 满足 abx=a+b,试确定 x 的取值范围.

18. (本题满分 15 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦 点距离的最大值为 3;最小值为 1; (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l:y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A, B 不是左右顶点) ,且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点。求证:直线 l 过定点,并求出 该定点的坐标。

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ?1)2 , g ( x) ? k ( x ?1) , 函数 f ( x) ? g ( x) 其中一个零点为 5, 数列 {an } 满

k ,且 (an?1 ? an ) g (an ) ? f (an ) ? 0 . 2 (1)求数列 {an } 通项公式;
足 a1 ? (2)试证明

?a
i ?1

n

i

? 1? n ;

(3)设 bn ? 3 f (an ) ? g (an?1 ) ,试探究数列 {bn } 是否存在最大项和最小项?若存在求出最 大项和最小项,若不存在,说明理由.

20. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ,g(x)=

1 2 ax +bx,a≠0. 2

(Ⅰ)若 b ? 2 ,且 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 存在单调递减区间,求 a 的取值范围; (Ⅱ)设函数 f(x)的图象\ C 1 与函数 g(x)图象 C 2 交于点 P 、 Q ,过线段 PQ 的中点作 x 轴 的垂线分别交 C 1 , C 2 于点 M 、 N ,判断 C 1 在点 M 处的切线与 C 2 在点 N 处的切线是否 平行,并证明你的结论。

参考答案 1.0.3 2.充分不必要 3.-2 4. 1 2 10. 5.2
学科

6.1 11.-8

7.3

8. ?x x ? ?2或 ? x ? 1? 9. x ? y ? 2 ? 0 0 12. [2 , 4] 15. (本小题满分 14 分)

1 4



13. ( 2 ? 1 ,) 1

14. 3 sin 2π n ? π ? 1 3 3 2

?

?

证明: (1)在 ?A B1C1 中,因为 E、F 分别为 A1B1 、 B1C1 的中点,所以 EF / / AC1 , 1 1 因为底面 A1B1C1D1 为菱形,所以 AC1 ? B1D1 ,所以 EF ? B1D1 , 1 因为直四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 ,所以 DD1 ? 平面A B1C1D1 , 1 1 又因为 EF ? 平面A B1C1D1 ,所以 DD1 ? EF ; 1 又 B1D1 ? DD1 ? D1 ,所以 EF ? 平面 B1BDD1 . (2)延长 FE 交 D1 A1 的延长线于点 H ,连接 DH , 因为 E、F 分别为 A1B1 、 B1C1 的中点, 所以 ?EFB1 ? ?EHA1 ,所以 HE ? EF , 在 ?FDH 中, 因为 G、F 分别为 DF 、 HF 的中点, 所以 GE / / DH , (10 分) 又 GE ? 平面A1 D1 DA , DH ? 平面A1 D1 DA , 故 EG ∥平面 AA1D1D . 16. (本题满分 14 分) (1)∵ BP ? PA , ∴ BO ? OP ? PO ? OA ,即 2OP ? OB ? OA , H (14 分) D (7 分) C B G D1 F A1 E B1 C1 (3 分)

A

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ??? ? ?

3分 5分

? ? 1 ??? 1 ??? 1 1 OA ? OB ,即 x ? , y ? 2 2 2 2 ??? ? ??? ? (2)∵ BP ? 3PA ,
∴ OP ? ∴ BO ? OP ? 3PO ? 3OA ,即 4OP ? OB ? 3OA ∴ OP ?

??? ?

??? ??? ? ?
??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

7分 8分

? ? 3 ??? 1 ??? OA ? OB 4 4

∴x ?

3 1 ,y? 4 4 ??? ??? ? ? ? ? ? ? 3 ??? 1 ??? ??? ??? OP ? AB ? ( OA ? OB) ? (OB ? OA) 4 4 ??? ??? 3 ??? ??? 1 ??? ??? ? ? ? ? ? ? 1 ? OB ? OB ? OA ? OA ? OA ? OB 4 4 2 1 3 1 1 ? ? 22 ? ? 42 ? ? 4 ? 2 ? ? ?9 4 4 2 2
解: (1)因为 m//n, 所以
a ? 4cos B , 即ab ? 4 cos A cos B. cos A b

9分 10 分 12 分 14 分

17.(本题满分 15 分) ………………2 分

因为三角形 ABC 的外接圆半径为 1, 由正弦定理,得 ab ? 4sin A sin B .
即 于是 cos A cos B ? sin A sin B ? 0, cos( A ? B) ? 0 .

因为 0 ? A ? B ? π, 所以 A ? B ? π . 故三角形 ABC 为直角三角形. 2
sin A ? sin B ? sin A ? cos A ? 2 sin( A ? π ) , 因为 π ? A ? π ? 3π , 4 4 4 4

…………5 分

所以 2 ? sin( A ? π ) ? 1 , 故 1 ? sin A ? sin B≤ 2 . 2 4
2(sin A ? sin B) sin A ? cos A (2) x ? a ? b ? . ? ab 4sin A sin B 2sin A cos A
A 设 t ? sin A ? cos A (1 ? t≤ 2) ,则 2sin cos
2 A ?t 1 ? ,

……………7 分 ……………9 分 …………… 11 分

x?

2 t ,因为 x ? ? ?2(1 ? t ) <0,故 x ? t 在(1, 2 ]上单调递减函数. (t 2 ? 1) 2 t2 ?1 t2 ?1

所以

t ≥ 2 .所以实数 x 的取值范围是 [ 2, ? ?) . t ?1
2

…………… 14 分

x2 y 2 18.解: (I)由题意设椭圆的标准方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b
a ? c ? 3, a ? c ? 1 , a ? 2, c ? 1, b2 ? 3

?

x2 y 2 ? ? 1 ??????????????5 分 4 3

? y ? kx ? m ? (II)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? x 2 y 2 得 ? ?1 ? 3 ?4

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 8mkx ? 4(m2 ? 3) ? 0 ,

? ? 64m2k 2 ?16(3 ? 4k 2 )(m2 ? 3) ? 0 , 3 ? 4k 2 ? m2 ? 0
x1 ? x2 ? ? 8mk 4(m2 ? 3) , x1 ? x2 ? ??????????????8 分 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3(m2 ? 4k 2 ) 3 ? 4k 2

y1 ? y2 ? (kx1 ? m) ? (kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m 2 ?

? 以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD ? kBD ? ?1 ,????11 分
? y1 y ? 2 ? ?1 , y1 y2 ? x1x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 , x1 ? 2 x2 ? 2

3(m2 ? 4k 2 ) 4(m2 ? 3) 16mk ? ? ? 4 ? 0, 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
7m2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0 ,解得
m1 ? ?2k , m2 ? ? 2k 2 2 ,且满足 3 ? 4k ? m ? 0 ???????????13 分 7

当 m ? ?2k 时, l : y ? k ( x ? 2) ,直线过定点 (2,0), 与已知矛盾;???14 分

2k 2 2 时, l : y ? k ( x ? ) ,直线过定点 ( , 0) 7 7 7 2 综上可知,直线 l 过定点,定点坐标为 ( , 0). ??????????15 分 7
当m ? ? 19、解(1)解:函数 f ( x) ? g ( x) 有一个零点为 5, 即方程 ( x ?1) ? k ( x ?1) ? 0 ,有一个根为 5,
2

将 x ? 5 代入方程得 16 ? 4k ? 0 ,∴k ? 4 ,∴a1 ? 2 ???????2 分 由 (an?1 ? an ) g (an ) ? f (an ) ? 0 得 4(an?1 ? an )(an ?1) ? (an ?1)2 ? 0

(an ?1)(4an?1 ? 4an ? an ?1) ? 0
∴an ?1 ? 0 或 4an?1 ? 4an ? an ?1 ? 0 由(1)知 a1 ? 2 ,∴an ?1 ? 0 不合舍去????????4 分 由 4an?1 ? 4an ? an ?1 ? 0 得 4an?1 ? 3an ? 1

3 (an ? 1) 4 3 ∴ 数列 {an ?1} 是首项为 a1 ? 1 ? 1 ,公比为 的等比数列 4 3 n ?1 3 n ?1 ∴an ? 1 ? ( ) ,∴an ? ( ) ? 1 .??????????6 分 4 4
方法 1:由 4an?1 ? 3an ? 1得 an ?1 ? 1 ? 方法 2:由 4an?1 ? 3an ? 1---① 得当 n ? 2 时 4an ? 3an?1 ? 1----② ① 得 4(an?1 ? an ) ? 3(an ? an?1 ) -② ∴

3 an?1 ? an 3 ? ( n ? 2 )即数列 {an ? an?1} 是首项为 a2 ? a1 ,公比为 的等比数列 4 an ? an?1 4

1 1 1 1 3 ? a1 ? ? ,∴an ?1 ? an ? ? ? ( ) n ?1 ---------------③ 4 4 4 4 4 3 1 3 n ?1 由① an ?1 ? an ? 代入③ 得 整理得 an ? ( ) ? 1 . 4 4 4 3 n ?1 (2)由(1)知 an ? ( ) ? 1 4 3 [1 ? ( )n ] n 3 3 2 3 n?1 4 ? n ? 4[1 ? ( 3 ) n ] ? n ????9 分 ∴? ai ? 1 ? ? ( ) ? ? ? ( ) ? n = 3 4 4 4 4 i ?1 1? 4 3 n 3 3 n 3 1 ? ∵ ?n ? N , 有 ( ) ? ,∴1 ? ( ) ? 1 ? ? 对 4 4 4 4 4
∵a2 ? a1 ? ∴4[1 ? ( ) ] ? n ? 1 ? n ,即
n

3 4

?a
i ?1

n

i

? 1 ? n .???????????12 分

(3)由 bn ? 3 f (an ) ? g (an ?1) 得 bn ? 3(an ?1)2 ? 4(an?1 ?1) ∴bn ? 3[( ) 令u ? ( )

3 4

n ?1 2

3 3 3 ] ? 4( ) n = 3{[( ) n ?1 ]2 ? ( ) n ?1} 4 4 4 1 2
2

3 4

n ?1

,则 0 ? u ? 1 , bn ? 3(u 2 ? u) = 3[(u ? ) ? ]

1 4

1 2 3 3 2 9 27 当 n ? 1 时 u ? 1 , n ? 2 时 u ? , n ? 3 时,u ? ( ) ? 当 当 , n ? 4 时u ? 当 , 4 4 16 64 27 1 9 3 1 27 1 9 ? ? ? ? 1,且 | ? |?| ? | ∵ 64 2 16 4 2 64 2 16
∵ 函数 bn ? 3[(u ? ) ? ] 在 [ ,1] 上为增函数,在 (0, ) 上为减函数
2

1 2

1 4

1 2

∴ n ? 3 时, bn 有最小值,即数列 {bn } 有最小项,最小项为 当

9 9 189 b3 ? 3[( ) 2 ? ] ? ? ??????????????16 分 16 16 256

当 n ? 1 即 u ? 1 时, bn 有最大值,即数列 {bn } 有最大项,最大项为 b1 ? 3(1 ?1) ? 0 . 20.解: (I) b ? 2时, h( x) ? ln x ? 则 h?( x) ?

1 2 ax ? 2 x , 2

1 ax2 ? 2 x ? 1 ? ax ? 2 ? ? . x x

因为函数 h(x)存在单调递减区间,所以 h ?(x ) <0 有解. 又因为 x>0 时,则 ax2+2x-1>0 有 x>0 的解. ①当 a>0 时,y=ax2+2x-1 为开口向上的抛物线,ax2+2x-1>0 总有 x>0 的解; ②当 a<0 时,y=ax2+2x-1 为开口向下的抛物线,而 ax2+2x-1>0 总有 x>0 的解; 则△=4+4a>0,且方程 ax2+2x-1=0 至少有一正根.此时,-1<a<0. 综上所述,a 的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞). ????????7 分 (II)C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行??????8 分 证法一 设点 P、Q 的坐标分别是(x1, y1)(x2, y2) , ,0<x1<x2. 则点 M、N 的横坐标为 x ?

x1 ? x 2 , 2

C1 在点 M 处的切线斜率为 k1 ?

1 2 | x1 ? x2 ? , x? x x1 ? x2 2
x ?x x? 1 2 2

C2 在点 N 处的切线斜率为 k 2 ? ax ? b |

?

a( x1 ? x2 ) ? b. 2

假设 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行,则 k1=k2. 即

a( x1 ? x2 ) 2 ? ? b ,则 x1 ? x2 2

2( x2 ? x1 ) a 2 a 2 a ? ( x2 ? x12 ) ? b( x2 ? x1 ) ? ( x2 ? bx2 ) ? ( x12 ? bx1 ) x1 ? x2 2 2 2
= y2 ? y1 ? ln x2 ? ln x1 .

x2 ? 1) x2 x1 ? . 所以 ln x2 x1 1? x1 2(
令 r (t ) ? ln t ?

设t ?

x2 2(t ? 1) , t ? 1. ① , 则 ln t ? 1? t x1

2(t ? 1) 1 4 (t ? 1) 2 , t ? 1. 则 r ?(t ) ? ? ? . 1? t t (t ? 1) 2 t (t ? 1) 2

因为 t ? 1 时, r ?(t ) ? 0 ,所以 r (t ) 在 [1,?? )上单调递增. 故 r (t ) ? r (1) ? 0. 则 ln t ?

2(t ? 1) . 这与①矛盾,假设不成立. 1? t

故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行. ????????16 分 证法二:同证法一得 ( x2 ? x1 )(ln x2 ? ln x1 ) ? 2( x2 ? x1 ). 因为 x1 ? 0 ,所以 (

x2 x x ? 1) ln 2 ? 2( 2 ? 1). x1 x1 x1

令t ?

x2 ,得 (t ? 1) ln t ? 2(t ? 1), t ? 1. ② x1
1 t

令 r (t ) ? (t ? 1) ln t ? 2(t ? 1), t ? 1, 则r ?(t ) ? ln t ? ? 1.

1 1 t ?1 1 ? 2 ? 2 ,所以 t ? 1 时, (ln t ? ) ? ? 0. t t t t 1 1 故 ln t ? 在[1,+ ?) 上单调递增.从而 ln t ? ? 1 ? 0 ,即 r ?(t ) ? 0. t t
因为 (ln t ? ) ? ?

1 t

于是 r (t ) 在[1,+ ?) 上单调递增. 故 r (t ) ? r (1) ? 0. 即 (t ? 1) ln t ? 2(t ? 1).这与②矛盾,假设不成立. 故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行.


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