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高中数学三角函数公式


高中数学三角函数公式
1.常见三角不等式 . (1)若 x ∈ (0, (2) 若 x ∈ (0,

π

) ,则 1 < sin x + cos x ≤ 2 . 2 (3) | sin x | + | cos x |≥ 1 .

π

2

) ,则 sin x < x < tan x .

2.同角三角函数的基本关系式

sin 2 θ + cos 2 θ = 1 , tan θ =
3.正弦、余弦的诱导公式 正弦、

sin θ , tan θ ? cotθ = 1 . cosθ
(n 为偶数) (n 为奇数) (n 为偶数) (n 为奇数)
n ? nπ ?( ?1) 2 co s α , +α) = ? co s( n +1 2 ?( ?1) 2 sin α , ?

n ? (?1) 2 sin α , nπ ? sin( + α ) = ? n ?1 2 ?(?1) 2 co s α , ?

4.和角与差角公式

sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β ; cos(α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β ; tan α ± tan β tan(α ± β ) = . 1 m tan α tan β sin(α + β ) sin(α ? β ) = sin 2 α ? sin 2 β (平方正弦公式);

cos(α + β ) cos(α ? β ) = cos 2 α ? sin 2 β .
a sin α + b cos α = b 定, tan ? = ). a
5.二倍角公式

a 2 + b 2 sin(α + ? ) ( 辅 助 角 ? 所 在 象 限 由 点 (a, b) 的 象 限 决

sin 2α = sin α cos α . cos 2α = cos 2 α ? sin 2 α = 2 cos 2 α ? 1 = 1 ? 2sin 2 α . 2 tan α tan 2α = . 1 ? tan 2 α
6. 三倍角公式

sin 3θ = 3sin θ ? 4 sin 3 θ = 4sin θ sin( ? θ ) sin( + θ ) . 3 3 cos 3θ = 4 cos3 θ ? 3cos θ = 4 cos θ cos( ? θ ) cos( + θ ) 3 3 tan 3θ = 3 tan θ ? tan 3 θ π π = tan θ tan( ? θ ) tan( + θ ) . 2 1 ? 3 tan θ 3 3

π

π

π

π

.

7.三角函数的周期公式

函数 y = sin(ω x + ? ) ,x∈R 及函数 y = cos(ω x + ? ) ,x∈R(A,ω, ? 为常数,且 A≠0,ω >0)的周期 T =



ω π ω>0)的周期 T = . ω
8.正弦定理

;函数 y = tan(ω x + ? ) , x ≠ kπ +

π
2

, k ∈ Z (A,ω, ? 为常数,且 A≠0,

a b c = = = 2R . sin A sin B sin C
9.余弦定理

a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A ; b 2 = c 2 + a 2 ? 2ca cos B ; c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cos C .
10. 10.面积定理 (1) S =

1 1 1 aha = bhb = chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2 1 1 1 (2) S = ab sin C = bc sin A = ca sin B . 2 2 2 uuu uuu 2 uuu uuu 2 r r r r 1 (3) S ?OAB = (| OA | ? | OB |) ? (OA ? OB) . 2

11. 11.三角形内角和定理 在△ABC 中,有 A + B + C = π ? C = π ? ( A + B )

?

C π A+ B = ? ? 2C = 2π ? 2( A + B) . 2 2 2

12. 简单的三角方程的通解 12. 简单的三角方程的通解

sin x = a ? x = kπ + (?1)k arcsin a (k ∈ Z ,| a |≤ 1) . co s x = a ? x = 2kπ ± arccos a (k ∈ Z ,| a |≤ 1) . tan x = a ? x = kπ + arctan a (k ∈ Z , a ∈ R) .
特别地,有

sin α = sin β ? α = kπ + (?1) k β (k ∈ Z ) . co s α = cos β ? α = 2kπ ± β (k ∈ Z ) . tan α = tan β ? α = kπ + β (k ∈ Z ) .
13. 13.最简单的三角不等式及其解集

sin x > a (| a |≤ 1) ? x ∈ (2kπ + arcsin a, 2kπ + π ? arcsin a ), k ∈ Z . sin x < a (| a |≤ 1) ? x ∈ (2kπ ? π ? arcsin a, 2kπ + arcsin a ), k ∈ Z . cos x > a (| a |≤ 1) ? x ∈ (2kπ ? arccos a, 2kπ + arccos a ), k ∈ Z . cos x < a (| a |≤ 1) ? x ∈ (2kπ + arccos a, 2kπ + 2π ? arccos a ), k ∈ Z . tan x > a (a ∈ R) ? x ∈ (kπ + arctan a, kπ + ), k ∈ Z . 2 tan x < a (a ∈ R) ? x ∈ (kπ ?

π

π

2

, kπ + arctan a ), k ∈ Z


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