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高考数学知识专题检测六排列组合二项式定理概率与统计

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知识专题检测六 排列、组合、二项式定理、概率与统计 一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分)

1.在1, 2,3, 4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共有

(A)36 个

(B)24 个

(C)18 个

(D)6 个

2.从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人,分别从事三项不同的工作,若这 3 人中至少有 1 名 女生,则选派方案共有

(A)108 种

(B)186 种

(C)216 种

(D)270 种

3.某外商计划在四个候选城市投资 3 个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过 2

个,则该外商不同的投资方案有 ( )

A.16 种

B.36 种

C.42 种

D.60 种

4. ( x ? 1 )10 的展开式中含 x 的正整数指数幂的项数是 3x

(A)0

(B)2

(C)4

(D)6

n

5.(理科做)已知

? ?

x

2

?

?

i? x ??

的展开式中第三项与第五项的系数之比为- 3 ,其中 i2 =-1, 14

则展开式中常数项是 (A)-45i

(B) 45i

(C) -45

(D)45

? (文科做)若 3 x — 1 ?n 的展开式中各项系数之和为 64,则展开式的常数项为 x

(A)-540 (B)-162

(C)162

(D)540

6.高三(一)班学要安排毕业晚会的 4 各音乐节目,2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演出

顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是

(A)1800

(B)3600

(C)4320

(D)5040

7.袋中有 40 个小球,其中红色球 16 个、蓝色球 12 个,白色球 8 个,黄色球 4 个,从中随

机抽取 10 个球作成一个样本,则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为

A. C41C82C132C146 C 10
40

B. C42C81C132C146 C 10
40

C. C42C83C112C146 C 10
40

D. C41C83C142C126 C 10
40

8.在正方体上任选 3 个顶点连成三角形,则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为( )

A. 1 7

B. 2 7

C. 3 7

D. 4 7

9.为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区 100 名年龄为 17.5 岁-18岁

的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下:

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根据上图可得这 100 名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是

(A)20

(B)30

(C)40

(D)50

10.右图中有一个信号源和五个接收器。接收器与信号源在

同一个串联线路中时,就能接收到信号,否则就不能接收到

信号。若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组,将

右端的六个接线点也随机地平均分成三组,再把所有六组中

每组的两个接线点用导线连接,则这五个接收器能同时接收

到信号的概率是

(A) 4 45

(B) 1 36

(C) 4 15

(D) 8 15

信号源

二、填空题(共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分)

11.某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有 40

人,乙班 50 人. 现分析两个班的一次考试成绩,算得甲班的平均成绩是 90 分,乙班的平均

成绩是 81 分,则该校数学建模兴趣班的平均成绩是

分.

12.安排 7 位工作人员在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能

安排在 5 月 1 日和 2 日,不同的安排方法共有__________种。(用数字作答)13.?1? 2x?10

展开式中的 x3 系数为

(用数字作答)

14.电视台连续播放 6 个广告,其中含 4 个不同的商业广告和 2 个不同的公益广告,要求首

尾必须播放公益广告,则共有

种不同的播放方式(结果用数值表示).

15.若 (ax ?1)5 的展开式中 x3 的系数是-80,则实数 a 的值是

.

16.(理科做)设离散型随机变量? 可能取的值为 1,2,3,4。 P(? ? k) ? ak ? b ( k ? 1,

2,3,4)。又? 的数学期望 E? ? 3 ,则 a ? b ?

;

(文科做)在一个小组中有 8 名女同学和 4 名男同学,从中任意地挑选 2 名同学担任交通安 全宣传志愿者,那么选到的两名都是女同学的概率是______(结果用分数表示)。

三、解答题(共 4 小题,10+12+12+12=46,共 46 分) 17.某单位最近组织了一次健身活动,活动分为登山组和游泳组,且每个职工至多参加了其 中一组。在参加活动的职工中,青年人占 42.5%,中年人占 47.5%,老年人占 10%。登山

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组的职工占参加活动总人数的 1 ,且该组中,青年人占 50%,中年人占 40%,老年人占 10%。 4
为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度,现用分层抽样的方法从参加活 动的全体职工中抽取一个容量为 200 的样本。试确定 (Ⅰ)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别所占的比例; (Ⅱ)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数。

18.(理科做)在添加剂的搭配使用中,为了找到最佳的搭配方案,需要对各种不同的搭配 方式作比较。在试制某种牙膏新品种时,需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为 0, 1,2,3,4,5 的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理,通常首先要随机选取两种不同
的添加剂进行搭配试验。用? 表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。

(Ⅰ)写出? 的分布列;(以列表的形式给出结论,不必写计算过程)

(Ⅱ)求? 的数学期望 E? 。(要求写出计算过程或说明道理)

(文科做)某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案.

方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过; 方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 0.5,0.6,0.9,且三门课程考试是 否及格相互之间没有影响.求: (Ⅰ)该应聘者用方案一考试通过的概率; (Ⅱ)该应聘者用方案二考试通过的概率.

19.每次抛掷一枚骰子(六个面上分别标以数字1, 2,3, 4,5, 6).

(I)连续抛掷 2 次,求向上的数不同的概率; (II)连续抛掷 2 次,求向上的数之和为 6 的概率; (III)连续抛掷 5 次,求向上的数为奇数恰好出现 3 次的概率。 20.(理科做)某运动员射击一次所得环数 X 的分布如下:

X

6

7

8

9

10

P

0

0.2

0.3

0.3

0.2

现进行两次射击,以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩,记为? .

(I)求该运动员两次都命中 7 环的概率
(II)求 ? 的分布列

(文科做)甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品,甲机床产品的正品率是 0.9,乙 机床产品的正品率是 0.95. (Ⅰ)从甲机床生产的产品中任取 3 件,求其中恰有 2 件正品的概率(用数字作答); (Ⅱ)从甲、乙两台机床生产的产品中各任取 1 件,求其中至少有 1 件正品的概率(用数字 作答).

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答案与点拨:

1

B

解:依题意,所选的三位数字有两种情况:(1)3

个数字都是奇数,有

A

3 3

种方法(2)

3

个数字中有一个是奇数,有

C13A

3 3

,故共有

A

3 3



C13

A

3 3

=24

种方法,故选

B

2 B 解:从全部方案中减去只选派男生的方案数,合理的选派方案共有 A73 ? A43 =186 种,选
B.
3 D 解:有两种情况,一是在两个城市分别投资 1 个项目、2 个项目,此时有 C31 ? A42 ? 36 种

方案,二是在三个城市各投资 1 个项目,有 A43 ? 24 种方案,共计有 60 种方案,选 D.

4 B 点拨:本题主要考查二项式展开通项公式的有关知识.

解:?? ?

x

?

1 3x

?10 ? ?

的展开式通项为

C1r2 (

x )r ( 1 )10?r 3x

?

C1r0

(

1 )10 ? r 3

x

3r 2

?10

,因此含

x

的正整数

次幂的项共有 2 项.选 B

反思:多项式乘法的进位规则.在求系数过程中,尽量先化简,降底数的运算级别,尽量化成加减

运算,在运算过程可以适当注意令值法的运用,例如求常数项,可令 x ? 0 .在二项式的展开式
中,要注意项的系数和二项式系数的区别.

5(理) A 解:第三项的系数为- Cn2 ,第五项的系数为 Cn4 ,由第三项与第五项的系数之

比为- 3 14

可得

n=10,则 Tr?1

?

C10r

(x

2)10

?r (

?

i )r x

40?5r
= (?i)r C1r0 x 2

,令 40-5r=0,解得

r=8,故所求的常数项为 (?i)8 C180 =45,选 A

n

(文)A 解:若 ???3 ?

x?

1 x

????

的展开式中各项系数之和为 2n =64, n ? 6 ,则展开式的常

数项为 C63 (3

x)3 ?(?

1 )3 =-540,选 A. x

6 B 解:不同排法的种数为 A55 A62 =3600,故选 B
7 A 解:依题意,各层次数量之比为 4?3?2?1,即红球抽 4 个,蓝球抽 3 个,白球抽 2 个,黄 球抽一个,故选 A
8 C 解:在正方体上任选 3 个顶点连成三角形可得 C83 =56 个三角形,要得等腰直角三角形

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共有

6×4=24

个(每个面内有

4

个等腰直角三角形),得

24 C83

,所以选

C。

9 C 解:根据该图可知,组距为 2,得这 100 名学生中体重在 ?56.5,64.5?的学生人数所占
的频率为(0.03+0.05+0.05+0.07)×2=0.4,所以该段学生的人数是 40,选 C. 率部分的性质、公式求某事件概率只是解决问题的工具而已

10 D 点拨:本题主要考查平均分组问题及概率问题.

解:将六个接线点随机地平均分成三组,共有 C62

C42 A33

C22

? 15 种结果,五个接收器能同时

接收到信号必须全部在同一个串联线路中,有 C41 C21 C11 ? 8 种结果,这五个接收器能同时
接收到信号的概率是 8 ,选 D 15
11 85 分 解:某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有 40 人,乙班 50 人. 现分析 两个班的一次考试成绩,算得甲班的平均成绩是 90 分,乙班的平均成绩是 81 分,则该校数
学建模兴趣班的平均成绩是 40?90 ? 50?81 ? 85 分 90
12 2400 解:先安排甲、乙两人在后 5 天值班,有 A52 =20 种排法,其余 5 人再进行排列,

有 A55 =120 种排法,所以共有 20×120=2400 种安排方法。

13 -960 ? ? 解: 1? 2x 10 展开式中的 x3 项为 C130 ?17 ? (?2x)3 ? ?960x3 , x3 的系数为-960。
14 48 解:分二步:首尾必须播放公益广告的有 A22 种;中间 4 个为不同的商业广告有 A44 种,从而应当填 A22·A44=48. 从而应填 48.
15 -2 解:(ax ? 1)5 的展开式中 x 3 的系数 C53 (ax)3 ? (?1)210a3x3 = ? 80 x3, 则实数 a 的
值是-2.
16 (理)解:设离散性随机变量? 可能取的值为1, 2,3, 4, P?? ? k ? ? ak ? b?k ?1, 2,3, 4? ,

所以

(a ? b) ? (2a ? b) ? (3a ? b) ? (4a ? b) ?1,即10a ? 4b ?1,又? 的数学期望 E? ? 3 ,

则 (a ? b) ? 2(2a ? b) ? 3(3a ? b) ? 4(4a ? b) ? 3 , 即 3 0a ? 1 b0 ? 3, a ? 1 ,b ? 0 , ∴ 10
a?b? 1 . 10
(文)解:在一个小组中有 8 名女同学和 4 名男同学,从中任意地挑选 2 名同学担任交通安

全宣传志愿者,那么选到的两名都是女同学的概率是 P ?

C82

?

14
.

C122 33

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17 本小题主要考查分层抽样的概念和运算,以及运用统计知识解决实际问题的能力。

解:(Ⅰ)设登山组人数为 x ,游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例分别为 a、b、

c,则有 x 40% ? 3xb ? 47.5%, x 10% ? 3xc ? 10% ,解得 b=50%,c=10%.

4x

4x

故 a=100%-50%-10%=40%,即游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例分别为 40%、

50%、10%。

(Ⅱ)游泳组中,抽取的青年人数为 200? 3 ? 40% ? 60 (人);抽取的中年人数为 4

200 ? 3 ?50%=75(人);抽取的老年人数为 200 ? 3 ? 10%=15(人)

4

4

18 (理)解:(Ⅰ)

?1 2 3 4 5 6 7 8 9

P1 1 2 2 3 2 2 1 1 15 15 15 15 15 15 15 15 15

(Ⅱ) E? ? 1? 1 ? 2? 1 ? 3? 2 ? 4? 2 ? 5? 3 ? 6? 2 ? 7? 2 ? 8? 2 ? 9? 1 ? 5 15 15 15 15 15 15 15 15 15
(文)解:记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为 A,B,C, 则 P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(C)=0.9. (Ⅰ) 应聘者用方案一考试通过的概率

p1=P(A·B· C )+P( A ·B·C)+P(A· B ·C)+P(A·B·C)

=0.5×0.6×0.1+0.5×0.6×0.9+0.5×0.4×0.9+0.5×0.6×0.9

=0.03+0.27+0.18+0.27=0.75.

(Ⅱ) 应聘者用方案二考试通过的概率

p2=

1 3

P(A·B)+

1 3

P(B·C)+

1 P(A·C) 3

= 1 ×(0.5×0.6+0.6×0.9+0.5×0.9)= 1 ×1.29=0.43

3

3

19 本小题主要考查概率的基本知识,运用数学知识解决实际问题的能力。满分 12 分。

解:(I)设 A 表示事件“抛掷 2 次,向上的数不同”,则 P( A) ? 6?5 ? 5 . 6?6 6

答:抛掷 2 次,向上的数不同的概率为 5 . 6
(II)设 B 表示事件“抛掷 2 次,向上的数之和为 6”。

向上的数之和为 6 的结果有 (1,5) 、 (2, 4) 、 (3,3) 、 (4, 2) 、 (5,1) 5 种,

?P(B) ? 5 ? 5 . 6? 6 36
答:抛掷 2 次,向上的数之和为 6 的概率为 5 . 36
20 (理)解:(Ⅰ)求该运动员两次都命中 7 环的概率为 P(7) ? 0.2 ? 0.2 ? 0.04 ;

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(Ⅱ) ? 的可能取值为 7、8、9、10

P(? ? 7) ? 0.04

P(? ? 8) ? 2 ? 0.2 ? 0.3 ? 0.32 ? 0.21

P(? ? 9) ? 2 ? 0.2 ? 0.3 ? 2 ? 0.3? 0.3 ? 0.32 ? 0.39

P(? ? 10) ? 2 ? 0.2 ? 0.2 ? 2 ? 0.3? 0.2 ? 2 ? 0.3? 0.2 ? 0.22 ? 0.36

? 分布列为

? 7 8 9 10

P 0.04 0.21 0.39 0.36
(Ⅲ) ? 的数学希望为 E? ? 7 ? 0.04 ? 8? 0.21? 9 ? 0.39 ?10? 0.36 ? 9.07 .
(文)解:(I)任取甲机床的 3 件产品恰有 2 件正品的概率为
P3 (2) ? C32 ? 0.92 ? 0.1 ? 0.243.
(II)解法一:记“任取甲机床的 1 件产品是正品”为事件 A,“任取乙机床的 1 件产 品是正品”为事件 B。则任取甲、乙两台机床的产品各 1 件,其中至少有 1 件正品的概率为
P( A.B) ? P( A.B) ? P( A.B) ? 0.9? 0.95 ? 0.9? 0.05 ? 0.1? 0.95 ? 0.995.
解法二:运用对立事件的概率公式,所求的概率为
1? P( A.B) ? 1? 0.1? 0.05 ? 0.995.