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最新人教版高中数学必修3第三章古典概型_图文

3.2.1 古典概型 1.学习古典概型的意义. 古典概型是一种特殊的数学模型. 由于它在概率论发展初期曾是主要的研究 对象,许多概率的最初结果也是由它得到的,所以称它为古典概型.古典概型在 概率论中占有相当重要的地位,是学习概率的必不可少的内容,其意义在于: (1)有利于理解概率的概念.当研究这种概型时,频率的稳定性容易得到验 证, 频率的稳定值与理论上算出的概率值的一致性容易得到验证,从而概率值的 存在性易于被学生理解. (2)有利于计算事件的概率.在古典概型范围内研究问题,避免了进行大量 重复试验, 通过分析基本事件的个数就可以计算随机事件的概率,而且得到的概 率是精确值. (3)能解释生活中的一些问题,可以激发学生的学习兴趣.比如中奖概率的 问题,游戏的公平性问题,储蓄卡密码的设计问题,质检中检测出次品的概率问 题,掷骰子的问题,等等. 2.古典概型的两个特征. 教学中应让学生理解古典概型的两个特征: (1)试验的所有可能出现的基本事件只有有限个; (2)每个基本事件出现的可能性相等. 一个模型只有满足这两个特征时,才能用下面计算随机事件的概率公式 P( A) ? A包 含 的 基 本 事 件 个 数 . 总的基本事件 这里,条件特征(1)保证了公式中的分母是有限数,特征(2)保证了能够由统计事 件 A 包含的基本事件个数占总的基本事件个数的比例,计算事件 A 的概率.教 学中,可以引导学生推导古典概型计算概率的公式,从中体会 (2)的必要性.实 际上,当(2)不满足时,利用古典概型计算概率的公式,会导致错误的结果,如 本节的例 3. 在推导公式时, 教科书采用了从特殊到一般的思路,先利用掷硬币和掷骰子 的试验推导出上面的公式(这里使用了概率的加法公式和每个基本事件出现的可 能性相等这一性质),然后再推广到一般的古典概型. 由于排列组合的内容已放在选修 2—3 中, 所以在古典概型的例题和习题中, 仅限于能用列举法列出全部基本事件的问题. 3.例题的教学建议. (1)例 1 的说明. 本例的目的是训练学生用列举法表示一个随机试验的全部基本事件. 列举基 本事件时要做到既不重复,也不遗漏.为此,应当按照一定的规律列出全部的基 本事件.另外,在列举的过程中,可以与二元子集作比较. (2)例 2 的说明. ①讨论这个问题什么情况下可以看成古典概型,这是本题的关键.如果考生 掌握了考察的内容,选择了唯一正确的答案,那么这种情况不属于古典概型,不 满足古典概型的第 2 个条件——等可能性;如果考生掌握了部分考察的内容,用 排除法选择了一个答案, 这也不满足古典概型的第 2 个条件;只有在假定考生不 会做,随机地选择了一个答案的情况下,才可以化为古典概型. ②边空中的问题: “假设有 20 道单选题,如果有一个考生答对了 17 道题, 他是随机选择的可能性大,还是他掌握了一定的知识的可能性大” ,可以运用极 大似然法的思想解决. 假设他每道题都是随机选择答案的。可以用模拟的方法估 计他答对 17 道题以上的概率,可以发现这个概率是很小的;如果掌握了一定的 知识,绝大多数题他是会做的,那么他答对 17 道题以上的概率会比较大,所以 他应该掌握了一定的知识. ③ 讨 论 单 选 题 与 多 选 题 的 区 别 . 在 多 选 题 中 , 基 本 事 件 为 15 个 : (A)(B)(C)(D)(A,B)(A,C)(A,D)(B,C)(B,D)(C,D)(A,B,C)(A,B,D)(A, C,D)(B,C,D)(A,B,C,D).假定考生不会做,在他随机地选择任何答案是 等可能的情况下,他答对的概率为 小得多.所以多选题更难猜对. 教学中可以先让学生思考,分析出全部的基本事件,然后,讨论是否可以用 古典概型求概率的公式. (3)例 3 的说明. ①通过此题的教学要使学生体会到, 不要一看到试验包含的基本事件是有限 个就用古典概型的公式求概率,特别要验证“每个基本事件出现是等可能的”这 1 ≈0.066 7,比单选题答对的概率 0.25 15 个条件,否则计算出的概率将是错误的. ②教学方式可以采用先提出问题让学生做,学生给出的答案可能会有两种, 然后再引导学生分析原因,发现解答中存在的问题.为了加深理解,教师可以引 导学生验证该试验是否满足古典概型的两个条件, 发现问题出在每个基本事件不 是等可能的.同时可以让学生再回顾一下古典概型的概率公式的推导过程. ③可以通过模拟和分析两种方式验证每个基本事件的等可能性, 但模拟的方 式可能要花比较多的时间,所以应事先编好程序.下面是用 Excel 软件模拟的结 果,试验次数为 1 000 次. 其中: A,B 两列是模拟掷骰子出现的点数; C 列是两次掷骰子的点数和; D 列表示如果两次均出现点数 1,则 D 为 1,否则 D 为 0; E 列表示如果两次出现点数之和为 5,则 E 为 1,否则 E 为 0; F 列表示如果两次出现点数为(1,4)或(4,1),则 F 为 l,否则 F 为 0; G 列表示如果两次出现点数为(2,3)或(3,2),则 G 为 1,否则 G 为 0; H1 统计在 1 000 次同时掷两个骰子的试验中出现(1,1)的个数; H2 统计出现点数之和为 5 的个数; H3 统计出现(1,4)或(4,1)的个数; H4 统计出现(2,3)或(3,2)的个数. 多做几次试验可以发现,出现(1,4)或(4,1)的个数大约是出现(1,1)的个数 的两倍. 使用分析方法, 可以列出下表,这样学生就比较容易理解每个基本事件是否 具有等可能性. (4)例 4 的说明. 选此题的目的是让学生理解什么情况下可以把问题看成古典概型, 什么情况 下不可以,了解概率在实际中的应用.本例所涉及的具体计算是非常简单的. ①利用概率解释实际问题:让学生体会密码的位数不能太少.位数越少,选 择就越少,也就越不安全. ②让学生理解为什么自动取款机不能无限制地让用户

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