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【高考领航】2017届高三数学(理)二轮复习练习:选修4-5.doc


限时规范训练十

选修 4-1、4-4、4

-5

(建议用时 45 分钟) 解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 1.如图,P 是⊙O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与⊙O 相交于点 B,C,PC= 2PA,D 为 PC 的中点,AD 的延长线交⊙O 于点 E.证明:

(1)BE=EC; (2)AD· DE=2PB2. 证明:(1)连接 AB,AC, 由题设知 PA=PD,故∠PAD=∠PDA, 因为∠PDA=∠DAC+∠DCA, ∠PAD=∠BAD+∠PAB, ∠DCA=∠PAB, 所以∠DAC=∠BAD,从而

, 因此 BE=EC. (2)由切割线定理得 PA2=PB· PC. 因为 PA=PD=DC, 所以 DC=2PB,BD=PB. 由相交弦定理得 AD· DE=BD· DC, 所以 AD· DE=2PB2. 2.如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,⊙O 与△ABC 的底边 BC 交于 M,N 两点,与底边上 的高 AD 交于点 G,且与 AB,AC 分别相切于 E,F 两点.

(1)证明:EF∥BC; (2)若 AG 等于⊙O 的半径,且 AE=MN=2 3,求四边形 EBCF 的面积. 解:(1)证明:由于△ABC 是等腰三角形,AD⊥BC, 所以 AD 是∠CAB 的平分线. 又因为⊙O 分别与 AB,AC 相切于点 E,F,所以 AE=AF,故 AD⊥EF.从而 EF∥BC.

(2)由(1)知,AE=AF,AD⊥EF, 故 AD 是 EF 的垂直平分线. 又 EF 为⊙O 的弦,所以 O 在 AD 上. 连接 OE,OM,则 OE⊥AE. 由 AG 等于⊙O 的半径得 AO=2OE,所以∠OAE=30° . 因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形. 因为 AE=2 3,所以 AO=4,OE=2. 1 因为 OM=OE=2,DM= MN= 3,所以 OD=1. 2 10 3 于是 AD=5,AB= . 3 1 ?10 3?2 3 1 3 16 3 所以四边形 EBCF 的面积为 × × - × (2 3)2× = . 2 ? 3 ? 2 2 2 3 3.在直角坐标系 xOy 中,直线 C1:x=-2,圆 C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极 点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 C1,C2 的极坐标方程; π (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ= (ρ∈R),设 C2 与 C3 的交点为 M,N,求△C2MN 的面积. 4 解:(1)因为 x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以 C1 的极坐标方程为 ρcos θ=-2,C2 的极坐标方程为 ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.

π (2)将 θ= 代入 ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得 ρ2-3 2ρ+4=0,解得 ρ1=2 2,ρ2= 2. 4 1 故 ρ1-ρ2= 2,即|MN|= 2.由于 C2 的半径为 1,所以△C2MN 的面积为 . 2
? ? ?x=a-2t, ?x=4cos θ, 4.已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数),圆 C 的参数方程为? (θ 为 ?y=-4t ?y=4sin θ ? ?

参数). (1)求直线 l 和圆 C 的普通方程; (2)若直线 l 与圆 C 有公共点,求实数 a 的取值范围. 解:(1)直线 l 的普通方程为 2x-y-2a=0, 圆 C 的普通方程为 x2+y2=16. (2)因为直线 l 与圆 C 有公共点, |-2a| 故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d= ≤4, 5 解得-2 5≤a≤2 5. 1? 5.设函数 f(x)=? ?x+a?+|x-a|(a>0). (1)证明:f(x)≥2; (2)若 f(3)<5,求 a 的取值范围. 1? ? 1 解:(1)证明:由 a>0,得 f(x)=? ?x+a?+|x-a|≥?x+a- 1? (2)f(3)=? ?3+a?+|3-a|. 5+ 21 1 当 a>3 时,f(3)=a+ ,由 f(3)<5 得 3<a< . a 2 1+ 5 1 当 0<a≤3 时,f(3)=6-a+ ,由 f(3)<5 得 <a≤3. a 2 综上,a 的取值范围是? 1 x-a ?= +a≥2,所以 f(x)≥2. ? a

?1+ 5 5+ 21?. ? ? 2 , 2 ?

1 1 6.若 a>0,b>0,且 + = ab. a b (1)求 a3+b3 的最小值; (2)是否存在 a,b,使得 2a+3b=6?并说明理由. 1 1 2 解:(1)由 ab= + ≥ ,得 ab≥2,且当 a=b= 2时等号成立. a b ab 故 a3+b3≥2 a3b3≥4 2,且当 a=b= 2时等号成立. 所以 a3+b3 的最小值为 4 2. (2)不存在 a,b,使得 2a+3b=6.理由如下:

由①知,2a+3b≥2 6 ab≥4 3. 由于 4 3>6,从而不存在 a,b,使得 2a+3b=6.


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