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【高中全部数学公式】完整本!自己整理~Word2003版


数 学 公 式

三角函数
①合角公式 ④万能公式

⑤和差化积

②倍角公式

③半角公式

⑥积化和差

⑦辅助角公式
1

数 学 公 式
对称中心

⑧诱导公式
sin→cos 和 tan→cot 是加减 的关系,若原来的角加减 后的角的新函数值与原来的符号不同,则要加负号

增区间 减区间

⑨其它

对称中心

增区间

⑾正弦定理

⑿余弦定理 ⑩三角函数的图像

对称轴

不等式
对称性 传递性

对称中心

增区间

减区间

推论

对称轴
2

数 学 公 式
推论 ④

时取等号 若②③中不能取到等号则用调和函数

已知 求 范围?







注:

,再根据 x 的值域来确定定义域

平面向量
三点共线
① ②

均值不等式

三线共点

① ② 当 为定值时,当且仅当 时,

因为 A、G、D 共线

因为 C、G、E 共线 ③ 当 为定值时,当且仅当 时,

3

数 学 公 式
已知过 ,斜率为 k

②斜截式
已知截距为 b,斜率为 k

③截距式







④一般式
基底 不平行,任意 存在唯一实数 (向量 关于 的分解式) 使

平行

① ② 若 ③ ,则







垂直
④ 若 则 ① ② ③ 三点共线 且

空间向量
共面向量

相交
四点共面

直线方程
①点斜式
4





数 学 公 式


重合
焦半径

② 共焦点椭圆系 ③ 且

圆锥曲线
弦长公式

当三角形 PF1F2 面积最大时,P 为短轴端点

椭圆
一个动点到两个定点的距离之和为定值的点形成的轨 迹为椭圆。

双曲线
一个动点到两个定点的距离之差为定值 2a 的点形成的 轨迹为双曲线。离心率越大,开口越大。 |PF1|-|PF2|=2a

渐近线

通径 共焦点双曲线系

共渐近线双曲线系 准线

抛物线
5

数 学 公 式
一个动点到一个定点的距离等于这个动点到定直线的 距离的点形成的轨迹为抛物线。 相离

弦长
焦半径(抛物线上任意一点到 F 的距离)

圆—圆
过焦点的通径最短


(弧度 ) (此式为两圆的交点所在的直线的方程)

圆心

半径 r

①当 ②当

时,表示过两圆交点的所有圆的方程 时,表示过两圆交点的弦的直线方程

一般式

(若两圆相切,则表示两圆的内公切线)

解析平面几何

圆—线

k 不存在

相交 相切
6

距离

数 学 公 式
: : 点—线 线—线 求出 与 的焦点 一点 , 在 上任取 代入已知直线

,找到 A 关于 的对称点 则,P、B 都在所求直线上

线—线

中心直线系
(此处为平行的两个式子 x、y 的系数都相等的时候) : : 与 的焦点为 P,则

对称

: : : 点—点 点—线

表示过 P 的所有直线(表示不了 )

到角
将 逆时针绕 P 旋转到 , 则 所旋转的角θ 叫做 到 的角——到角

线—点 ①直线上任取两点 A、B,找到它们关于 P 的对称点 C、D,求出过这两点的直线 ②P 到两直线距离相等 ③所求直线上任取一点 它关于 点 则 ,找到 与 的夹角

在已知直线上的对称

(P 为 A、B 中点)

解析空间几何

7

数 学 公 式
线—线 平移使两异面直线相交,并确定一个平面, 则直线被平移前直线与所成平面的距离即为 线线间距离 线—面 在 l 上任取一点 A A 与平面任意一点 B 连线 平面单位法向量为 ④关于 xOy 对称 ⑤关于 yOz 对称 ⑥关于 xOz 对称 ⑦关于原点对称 和 的中点

①关于 x 轴对称 ②关于 y 轴对称 ③关于 z 轴对称

立体几何
直棱柱

正棱锥

距离

正棱台

点—点 点—线



圆柱

圆锥 取直线方向向量 圆台 通过 求

通过



8

数 学 公 式

空间位置
平行
线—面 线平行于面内任意直线 面—面 相交直线两两平行

数列
求通项公式 an
①观察法 ②已知 Sn 求 an n=1 a1=S1 n≥2 an=Sn-Sn-1 ③递推公式法 1、an+1-an=d 2、 3、叠加法(a1 已知) a2-a1= a3-a2= a4-a3= a5-a4= a6-a5= …… an-an-1= 叠加之后得 an-a1= a1 已知 所以 an= 4、已知 an+1=Pan+q 倒成(an+1+x)=P(an+x) 所以 an+1= Pan+px-x 令 q=px-x 可求出 x bn= an+x 为等比数列,公比 p

垂直
线—面 线垂直面内两相交直线 面—面 线垂直面则过线的面垂直面

交角
线—面

面—面

三垂线定理

求前 n 项和 Sn
①公式法 cos∠AOC=cos∠AOB?cos∠BOC

证明
线—面 点—线(三点共线) 不重合的两个平面一个公共点,那它们只有 一条过这点的公共直线 Sn=12+22+32+……+(n-1)2+n2= ②倒序相加(乘)法(乘用于等比数列且已知 x1 xn) Pn=x1?x2?x3?……?xn-1?xn

9

数 学 公 式
Pn= xn?xn-1?……?x3 ?x2?x1 Pn2= x1 xn ?x2 xn-1?x3 xn-2?……?xn-1 x2?xn x1=( x1 ?xn)n=(ab)n Pn= ③分组求和 ④错位相减(等差{an}等比{bn}求{anbn}的{Sn}) ⑤裂项相消 求 Sn 若 ,则

等比数列

Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an

若 a、G、b 成等比数列,则 等比数列中 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k 成等比数列,公比 qk

推理与证明
推理 其它 等差数列



,则

不等式证明
等差数列中 Sk,S2k-Sk,S3k-S2kn=成等差数列,公差 k d 若 共有 2n 项,则
2



共有 2n+1 项,则

比较法 ①作差 ②作商 综合法 由已知条件推出结论 分析法 从结论入手,找出成立的条件 要证 A 只需证 B …… Z 显然成立 ∴A 反证法 已知 A,求证 B 假设?B 为真 ……

10

数 学 公 式
即 C 矛盾 (不符已知条件或已知公理或已证过结论) ∴原命题正确 换元法 构造函数 缩放法 证 含有绝对值 无理数 ④解题 有平方时

平方 被开方数中有未知数

指数 ……

有意义、底不同化同底、分情况讨论

对数

有意义、底不同化同底、分情况讨论

不等式解法
一元一次 一元二次 ①求?,并判断正负 ② ③借图像用根解题 移项→同分→化积 ①因式分解 ②等于零的根 ③数轴(从右边起,右在上)
11

线性规划 线定界 点定域(ABC 三个域) 含直线时用实线否则用虚线

分式 高次

数学归纳法
适用于与正整数有关的命题 格式 1)当 时

数 学 公 式
带入已知式子,并计算 时命题正确 将已知点 2)可使 时命题正确 求出 则方程可求 代入

k 带入已知式子得到有 k 的式子 A 3)那么,当 时

k+1 带入已知式子得到有 k 的式子 B,利用 A 也就是当 综合(1) (2)知对于 时,命题正确 命题正确

四则运算

常用逻辑用语
命题 可以判断真假的语句 开语句(条件命题) 含有变量的语句 全称命题 针对全体对象的命题 存在性命题 对象中部分 且 p∩q p、q 同时为真,命题为真 或 p∪q p、q 至少有一个为真,命题为 真 非 ?p p 的否定 全称命题的非是存在性命题 存在性命题的非是全称命题 原命题 若p则q 否命题 若?p 则?q 逆命题 若q则p 逆否命题 若?q 则?p 原命题的否定 若 p 则?q

特殊的函数的导数
幂函数 指数函数

对数函数

导数
三角函数

常函数 求过某点的切线方程 设切点 求 并去
12

复合函数

数 学 公 式
定积分

二项式系数

展开式中间的最大, 奇数二项式系数 等于偶数二项式系数。

复数
f(x) 被积函数 a 积分下限 b 积分上限

定积分有正负,转化成面积的时候要注意。

排列组合 统计
从元素个数为 N 的总体中不放回的抽取容量为 n 的样 本,如果每次抽取时总体中的各个个体有相同的可能 性被抽到,这种抽样方法叫做简单的随机抽样。 1、抽签法←←简单的随机抽样 2、随机数表法←←简单的随机抽样 3、分层抽样 4、系统抽样法(等距抽样) 系统抽样法

二项式定理

频率分布直方图

横坐标:很多组距 总体密度曲线

纵坐标:

中,令 x=1,则

频率直方图用一条光滑的曲线 y=f(x) 来描绘, 这条光滑的曲线叫总体密度

13

数 学 公 式
曲线。 方差 并 事件 A 和事件 B 至少有一个发生。 交 事件 A 和事件 B 同时发生。 条件概率 对于任何两个事件 A 和 B, 在已知事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的概率叫做 条件概率。

互斥事件

不可能同时发生的两个事件。 (互不相容 事件) 互斥事件的概率加法公式 标准差 一般加法公式 数学期望 互为对立事件 不能同时发生且必有一个发生的两 个事件。 相互独立 事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没 有影响,这两个事件 A、B 相互独立。 相互独立事件的概率 散点图 把表中的数据在直角坐标系中描点表示。 线性相关 散点图中的数据点大致分布在一条直线 附近,叫这两个数据近似成线性相关关 系。 回归直线方程 总离差

古典概型
在一次试验中,可能出现的结果只有有限个,即只有 有限个不同的基本事件。 (有限性)每个基本事件发生 的可能性是均等的。 (等可能性) 每个基本事件发生的可能性是均等的

事件 A 包含的基本事件数为 m

随机现象

当在相同的条件下多次观察同一现象, 每次观察到的结果不一定相同,事先很 难预料哪一种结果出现。 基本事件 是实验中不能再分的最简单的随机事件, 其它事件可以用它们来描绘。 基本事件空间 所有基本事件构成的集合。
14

几何概型
事件 A 为区域 Ω 的某一子区域,A 的概率知与子区域 A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与 A 的位置和形状无关。 (无限性、等可能性)

数 学 公 式
X P 0 1 ? ? k ? ? n

概率
随机变量 试验可能出现的结果可以用一个变量 X 来表示,并且 X 是随着实验的结果的不 同而变化的,这样的变量 X 叫做一个随 机变量。 离散型随机变量 随机变量 X 的所有可能的取值都能 一一列举出来,则 X 为离散型随机 变量。 X P x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn

表中的第二行恰好是二项式展开式各对应项的值,称 这样的离散型随机变量 X 服从参数为 n、 p 的二项分布

正态分布
正态变量概率密度曲线的函数表达式

这个表为离散型随机变量 X 的概率分布(分布列) 。 分布列中概率大于等于零,和为 1。 二点分布 q=1-p 0<p<1

X 数学期望:μ P

1 p

0 q 标准差:σ

正态曲线

(1)曲线在 x 轴上方,关于 x=μ 对称, 且在 x=μ 时最大为 (2)曲线取与 μ 邻近的值的概率大 , 取离 μ 越远的值的概率越小 (3)σ 越小,分布越集中在 μ 附近,σ 越大,分布越分散。

超几何分布
有总数为 N 件的两类物品,其中一类有 M 件,从所有 物品中任取 n 件,这 n 件中所含这类物品件数 X 是一 个离散型随机变量,它取值为 m 时的概率为

独立重复试验
在相同的条件下,重复的做 n 次试验,各次实验的结 果相互独立,那么称为 n 次独立重复试验。 (只考虑有 两个可能结果 A 和 ) 在一次试验中事件 A 发生的概率是 p,那么在 n 次独 立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为

统计案例
独立性检验
频数 A B n11 n21 合计 n+1 n12 n22 n+2 合计 n1+ n2+ n

15

数 学 公 式
直线 α 为极轴到极点与直线的垂线的角(到角) 垂直极轴 (2) (3) 时,有 95%的把握说事件 A 与 B 有关 时,有 99%的把握说事件 A 与 B 有关 平行极轴

(1)

时,事件 A 与 B 有无关

回归分析
射线 圆

表示过极点且极轴到 l 的角为 的

以极点为圆心,R 为半径的圆

r 用来检验线性相关关系。 (1) (2) 越接近 1,线性相关程度越强; 越接近 0,

以(a,0)为圆心 a 为半径的圆

以(0,a)为圆心 a 为半径的圆 三角形面积 (A(ρ1,θ1)B(ρ2,θ2)与极点形成的三角形)

线性相关程度越弱 用 n-2(n 为样本容量)在表中查找 r0.05。 如果 ,表明有 95%的把握认为 x 与 Y 之间具 ,无线性相关关系,

图像的变换
有线性相关关系;如果 回归直线方程无意义。

坐标系
平面上任意一点 M 的位置可以由线段 OM 的长度 ρ 和 从 Ox 到 OM 得角度 θ 表示为 M(ρ,θ) 直角坐标—极坐标

参数方程
参数方程—直角坐标方程 (1)直接代入消参法 (2)平方后消参法 (3)配项后消参

极坐标—直角坐标 圆

极坐标方程
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椭圆

数 学 公 式
(x0,y0)为中心,半长轴 a,半短轴 b M(x,y)时 θ 为以椭圆的中心为圆心,长 轴长为半径的圆上与 M 点横坐标一致的点 A (x,z)与极点的连线与极轴的夹角。 图中∠AOx

直线

方向向量

直线过 M(x0,y0)

(只有 t 的系数的平方和为 1 时才有



方程与其它方程联立后弦长

附加

AD 平分∠BAC 则

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