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浙江省2014届高三高考模拟冲刺卷(提优卷)(三)数学理试题 Word版含答案


2014 年浙江省高考模拟冲刺卷(提优卷) 数学 (理科)测试卷(三)
本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸 规定的位置上。 2.每小题选出后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A,B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 Pn(k)= C k n p (1-p) (k=0,1,2,?,n)
k n-k

台体的体积公式 1 V= h( S1 ? S1 S 2 ? S 2 ) 3 其中 S1,S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高

柱体的体积公式 V ? Sh 其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 锥体的体积公式 1 V ? Sh 3 其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 球的表面积公式 S=4π R2 球的体积公式 4 3 V ? πR 3 其中 R 表示球的半径

选择题部分(共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A={x|4≤ 2 ≤16},B=[a,b],若 A?B,则实数 a-b 的取值范围是( A. (-∞,-2] B.
x



?? 2,?? ?

C. (-∞,2]

D. ?2,???

2. “函数 y=sin(x+φ)为偶函数” 是“φ= A.充分不必要条件 C. 充要条件

? ” 的 2
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

? x 2 ? 9, x ? 1 3. 已知函数 f ? x ? ? ? , 记 f1 ?x ? ? f ?x ? ,f 2 ?x ? ? f ? f1 ?x ?? ,f 3 ?x ? ? f ? f 2 ?x ?? , ?lg x, x ? 1 ? ,则 f 2014 ?10 ? ? ( )
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A.lg109

B.2

C.1

D.10

4.一个正三棱柱的三视图如图所示,这个三棱柱的 侧(左)视图的面积为 6 3 ,则这个三棱柱的体积为 ( A.12 B.16 C.8 3 D.12 3 )

5.执行如图所示的程序框图,如果输入的 N 是 4, 那么输出的 p 是( ) A.6 B.24 C.120 D.720

6.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7, a5+b5=11,?,则 a8+b8=( ) A.28 B.47 C.76 D.123 7.已知△ABC 外接圆的半径为 1 ,圆心为 O ,且 CA ? BA ? 2OA ,

??? ? ??? ? | OA |?| AB | ,则 CA ? BC 的值是(
(A) 3 (B) 2 y - ? 2≤0,

) (C) ? 2 (D) ? 3 )

8.已知 x,y 满足?x+3≥0,

?

A. ?0, ? 7

? 3? ? ?

? ?x-y-1≤0, ? 6? B. ?0, ? ? 7?



x? y?6 的取值范围是( x?4
C. ?1,

? 13 ? ? 20 ? D. ? 2, ? ? ? 7? ? 7?

9.在高校自主招生中,某学校获得 5 个推荐名额,其中清华大学 2 名,北京大学 2 名,复 旦大学 1 名。并且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加。学校通过选拔定下 3 男 2 女共 5 个推荐对象,则不同的推荐方法共有( ) (A)20 种 (B)22 种 (C)24 种 (D)36 种

x2 y 2 10. 设双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F, 过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两渐 a b
近线于 A 、 B 两点,且与双曲线在第一象限的交点为 P ,设 O 为坐标原点,若

??? ? ??? ? ??? ? 1 OP ? ? OA ? ? OB(? , ? ? R) , ?? ? ,则该双曲线的离心率为( 8
A.



3 2 2

B.2

C.

2 3 3

D. 2

非选择题部分(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.
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11.设 i 是虚数单位,则复数(1-i)2-

4 ? 2i ? 4i 2014 = 1 ? 2i

.

12.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 cos?B ? C ? ? ? π ? ?π ? bsin? ?4+C?=a+ csin?4+B?,则 C= .

2 , 2

13.已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在平面,连接 PB、PC、PD、AC、BD,则下列垂直关系中正确 的序号是 . ①平面 PAB ? 平面 PBC ②平面 PAB ? 平面 PAD ③平面 PAB ? 平面 PCD 14.已知函数 f(x)=eax-x ? 1,其中 a≠0.若对一切 x∈R,f(x)≥0 恒成 立,则 a 的取值集合 . 15.已知定义在 R 上的函数 f(x),g(x)满足 f ?x ?g ?x ? =ax, 且 f′(x)g(x)+ f(x)·g′(x) <0, f ?1?g ?1? + f ?? 1?g ?? 1? = { f ?n ?g ?n ? }(n∈N*)的前 n 项和等于 16.若 ?3x ? 1?
2014

10 ,若有穷数列 3
.

40 ,则 n 等于 81

? a0 ? a1 x ? a 2 x 2 ? ? ? a 2014 x 2014 ?x ? R ? ,则
.

a a 2014 a 1 ? 2 2 ? 3 3 ? ? 2014 = 3 3 a1 3 a1 3 a1
17.已知 A? ?1,

? ? sin ? ? sin ? ? ? 2,1? , B? ? ? ? ,且 OA ? OB ? 0 , sin ? ? 0 ? sin ?? ? 2 ? ? ? ? sin?? ? 2? ? ? ?
.

sin ? ? k cos ? ? 0 ,则 k =

三、解答题 (本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 18. (本小题满分 14 分)已知正项数列 ?an ? 满足: a1 ? (I)求通项 an ; (II)若数列 ?bn ?满足 bn ? a n ? 3?1 ?

3an 3 , an ?1 ? 2 an ? 3 2

? ?

1 ? ? ,求数列 ?bn ?的前 n 和. 2n ?

19.(本小题满分 14 分)袋中共有 10 个大小相同的编号为 1、2、3 的球,其中 1 号球有 1 个,2 号球有 3 个,3 号球有 6 个. (Ⅰ)从袋中任意摸出 2 个球,求恰好是一个 2 号球和一个 3 号球的概率; (Ⅱ)从袋中任意摸出 2 个球,记得到小球的编号数之和为 ? ,求随机变量 ? 的分布列
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和数学期望 E? .

20. (本小题满分 14 分) 已知四棱锥 P—GBCD 中(如图), PG⊥平面 GBCD, GD∥BC, GD= E 是 BC 的中点,PG=4 (Ⅰ)求异面直线 GE 与 PC 所成角的余弦值; (Ⅱ)若 F 点是棱 PC 上一点,且 DF ? GC ? 0 , PF ? k CF , 求 k 的值.

3 BC, 且 BG⊥GC, GB=GC=2, 4

21. (本小题满分 15 分) x2 y2 3 已知椭圆 C: 2 + 2=1 ?a ? b ? 0? 的离心率为 ,左焦点为 F(-1,0), a b 3 (1) 设 A,B 分别为椭圆的左、右顶点,过点 F 且斜率为 k 的直线 L 与椭圆 C 交于 M, N 两点,若 AM ? NB ? AN ? MB ? 7 ,求直线 L 的方程; (2)椭圆 C 上是否存在三点 P,E,G,使得 S△OPE=S△OPG=S△OEG= 6 ? 2

22.(本小题满分 15 分)已知函数 ? ? x ? ? ln x (1)若曲线 g ?x ? ? ? ?x ? ? 值; (2)求证函数 f ?x ? ? ? ?x ? ?

a 求a的 ? 1 在点 ?2, g ?2?? 处的切线与直线 3x ? y ? 1 ? 0 平行, x 2?x ? 1? 在 (0, ??) 上为单调增函数; x ?1
m ? n ln m ? ln n ? . m?n 2

(3)设 m , n ? R ? ,且 m ? n ,求证:

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2014 年浙江省高考模拟冲刺卷(提优卷) 数学理科(三)参考答案
1.[答案]A [解析]集合 A 是不等式 4≤ 2 x ≤16 的解集,由题意,集合 A=[2,4],因为 A?B,故 a ≤2,b≥4,故 a-b≤2-4=-2,即 a-b 的取值范围是(-∞,-2]. 2.[答案] B [ 解 析 ]φ =

??k? ?

?
2

? 时 , y=sin(x + φ)= cos x 为 偶 函 数 ; 若 y=sin(x + φ) 为 偶 函 数 , 则 2

, k ? Z ;选 B.

3.[答案]D [解析]∵10>1,∴ f1 ?10 ? =f(10)=lg10=1≤1,
2

f 2014 ?10 ? ? 10,故选 D.
4.[答案]D

?, ∴ f 2 ?10 ? =f(f(10))=f(1)=1 +9=10,f 3 ?10 ? = f (f(f(10)))= f(10)=lg10=1,

[解析]设此三棱柱底面边长为 a,高为 h,则由图示知

3 a=2 3,∴a=4, 2 3 2 ×4 ×h=12 3. 4

侧视图面积为 2 3×h=6 3,∴h=3,这个三棱柱的体积为

5.[答案]B [解析]k=1 时,p=1; k=2 时,p=1×2=2; k=3 时,p=2×3=6; k=4 时,p=6×4=24. 6.[答案]B 2 2 3 3 4 4 5 5 [解析]由于 a+b=1,a +b =3,a +b =4,a +b =7,a +b =11,?,通过观察发现, 6 6 从第三项起,等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和.因此, a +b =11+7 7 7 8 8 =18,a +b =18+11=29,a +b =29+18=47,故选 B. 7.[答案]D [解析]由 CA ? BA ? 2OA 易得△ABC 是直角三角形,且 A 为直角,又 | OA |?| AB | ,
0 故 C=30°.由此 AC ? 3 , BC ? 2 , CA ? BC = CA ? CB cos150 ? ?3 .

??? ?

??? ?

8. [答案]C [解析] 由题意绘出可行性区域如图所示,

x ? y ? 6 y-2 = +1 x ? 4 x-4

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y-2 的取值范围,即求可行域内任一点与点(4,2)连线的斜率 k 的取值范围,由图像 x-4 y-2 ? 6? x ? y ? 6 ? 13 ? 可得 ∈?0, ?, ? ?1, ? . x-4 ? 7? x?4 ? 7? 求

9.[答案]C [解析]可分成两类:第一类三个男生每个大学各推荐一
3 2 人,共有 A3 A2 =12(种)推荐方法;第二类将三个男生分 2 2 2 成两组分别推荐北京大学和清华大学,其余 2 个女生从剩下的大学中选,共有 C 3 A2 A2 =12

(种)推荐方法,故共有 12+12=24 种推荐方法. 10.[答案] D [解析] 双曲线的渐近线为:y= ?

b ,则 x ,设焦点 F(c,0) a

A(c,

??? ? ??? ? ??? ? b2 bc bc ) ,B(c,- ) ,P(c, ) ,因为 OP ? ? OA ? ? OB a a a

所以, (c,

b2 bc )=( (? ? ? )c , (? ? ? ) ) ,所以, a a

c2 ? b2 1 b 1 c?b c ?b ,又由 ?? ? ,得: ? ? ? ? =1, ? ? ? = ,解得: ? ? ,? ? 8 c 8 2c 2c 4c 2
,解得:

a2 1 ? ,所以,e= 2 ,选 D. c2 2

11.[答案] 4 ?4i [解析] (1-i)2-

(4 ? 2i )(1 ? 2i ) 4 ? 2i 4 ? 8i ? 2i ? 4 +4=-2i- +4 ? 4i 2014 =-2i- (1 ? 2i )(1 ? 2i ) 1 ? 2i 5

=-2i-2i+4=4-4i. 12.[答案]

? . 8
2 π 3? 得B?C ? ,所以 A= , 4 2 4

[解析]由已知 cos?B ? C ? ? ?

π π 由 bsin? 4 +C?-csin? 4 +B?=a,应用正弦定理,得

? ? ? ? π π sinBsin? 4 +C?-sinCsin? 4 +B?=sinA, ? ? ? ? 2 2 2 ? 2 ? ? 2 ? sinB? sinC+ cosC?-sinC? sinB+ cosB?= . 2 2 2 2 2 ? ? ? ?
整理得 sinBcosC-cosBsinC=1,即 sin(B-C)=1,

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3 π 3? ? 由于 0<B,C< π,从而 B-C= ,又 B ? C ? ,故 C ? . 4 2 8 4 13. [答案]①② [解析]易证 BC ? 平面 PAB, 则平面 PAB ? 平面 PBC; 又 AD∥BC, 故 AD ? 平面 PAB, 则 平面 PAD ? 平面 PAB, 因此①②正确. 14.[答案] {1} ax [解析]若 a<0,则对一切 x>0,f(x)=e -x-1<0,这与题设矛盾.又 a≠0,故 a> 0. 1 1 ax 而 f′(x)=ae -1,令 f′(x)=0 得 x= ln .

a a

1 1 1 1 当 x< ln 时, f′(x)<0, f(x)单调递减; 当 x> ln 时, f′(x)>0, f(x)单调递增. 故

a a

a a

1 1 ?1 1? 1 1 1 当 x= ln ,f(x)取最小值 f? ln ?= - ln -1.

a a

?a a? a a a

1 1 1 于是对一切 x∈R,f(x)≥0 恒成立,当且仅当 - ln -1≥0.

a a a



令 g(t)=t-tlnt-1,则 g′(t)=-lnt. 当 0<t<1 时,g′(t)>0,g(t)单调递增;当 t>1 时,g′(t)<0,g(t)单调递减. 故当 t=1 时,g(t)取最大值 g(1)=1-1=0. 1 因此,当且仅当 =1,即 a=1 时,①式成立.综上所述,a 的取值集合为{1}.

a

15.[答案]4 [解析] 由 ? f ? x ?g ? x ?? = f′(x)g(x)+ f(x)·g′(x) <0,即 a ln a<0,故 0<a<1.
x

?

由 f ?1?g ?1? + f ?? 1?g ?? 1? = { f ?n ?g ?n ?

1 10 10 1 ,得 a+ = ,解得 a= ,所以有穷数列 a 3 3 3
n

1? 1? ?1 ? ? ? ? * ? 3 ?3? }(n∈N )是等比数列,其前 n 项和 Sn= ? 1 1? 3

? ? ? ? ?

40 ,得 n=4. 81

16.[答案]

1 6042

[解析]令 x ? 0 ,由通项公式可得 a0 ? 1 , a1 ? 令x ?

C

2013 1 2014

3 ?? 1?

2013

? ?6042

a 2014 1 a1 a 2 a3 ? 2 ? 3 ? ? 2014 ? ?1 , 3 3 3 3 3

a a 2014 a a 2014 a a 2 a3 1 1 1 1 ? 2 2 ? 3 3 ? ? 2014 ? 3 ? ? 2014 = ( 1 ? 2 )= ? = . 3 3 a1 3 a1 a1 6042 3 3 3 a1 a1 3 3
17.[答案] ?

sin ? sin ? ?2? ? 0, sin(? ? 2? ) sin(? ? 2? ) 2 1 1 ? ? 即 , sin ? sin(? ? 2? ) sin(? ? 2? ) 故 2 sin(? ? 2? ) ? sin(? ? 2? ) ? [sin(? ? 2? ) ? sin(? ? 2? )] sin? ,
[解析] 由已知有

2

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即 2 sin(? ? 2 ? ) ? sin(? ? 2 ? ) ? 2 sin ? ? cos 2 ? ,? cos 4 ? ? cos 2? ? 2 sin ? ? cos 2 ?
2 2

? cos2 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? cos 2? ? sin 2 ? ? 2 sin 2 ? ? sin 2 ? ,
即 sin 2 ? ? 2 sin ? ? sin ? ,
2 2 2

因为 sin ? ? 0 ,所以有 2 cos ? ? sin ? ,于是 k =
2 2

sin ? ?? 2. cos ?

18.[解析](1)∵ an ?1 ? f ? an ? ,∴ an ?1 ?

3an 1 1 2 ,即 ? ? , 2 an ? 3 an ?1 an 3



1 1 2 2 3 . ? ? ? n ? 1? ? n ,则 an ? an a1 3 3 2n
1 ? ? ? ? ,? bn = 2n?1 ? n ? ? ? 2 ? n ? ? 2 3 ? S n = b1 ? b2 ? ?bn = ?2 ? 4 ? ? ? 2n? ? ?1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? 2 ? ? 2 2
2 3 n ? 2 ? ? ? n ?1 ) 2 2 2 2 3 n 1 1 2 3 n 令 Tn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 则 Tn ? ? ? ? ? ? n ,两式相减得 2 2 2 2 2 2 2 23 2 ? n(n ? 1) ? (1 ?
1 1 1 1 1 n 1 n Tn ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n ? 2(1 ? n ) ? n , 2 2 2 2 2 2 2 2

(2)? bn

1 ? ? a n ? 3?1 ? n ? 2

?Tn ? 4(1 ?

1 2n )? n n 2 2

? Sn ? n2 ? n ? 4 ?

2?n . 2n ?1

19. [解析](Ⅰ)从袋中任意摸出 2 个球,恰好是一个 2 号球和一个 3 号球的概率为
1 1 C3 ? C6 2 = . 2 C10 5
1 2 1 (Ⅱ) ? 可能的取值为 3,4,5,6。 P(? ? 3) ? 1 ? C3 ? 1 , P(? ? 4) ? 1 ? C6 ? C3 ? 1 , 2 2

C10

15

C10

5

P(? ? 5) ?

1 1 C3 C6 2 , C2 1 ? P(? ? 6) ? 6 ? 2 2 C10 5 C10 3

? 的分布列为

?

3
1 15

4
1 5

5
2 5

6

P

1 3

E? ? 3 ?

1 1 2 1 ? 4? ? 5? ? 6? ? 5 . 15 5 5 3

20.[解析]
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解法一: (I)如图所示,以 G 点为原点建立空间直角坐标系 o—xyz, 则 B(2,0,0) ,C(0,2,0) ,P(0,0,4)故 E(1,1,0)

GE ? (1,1,0), PC ? (0,2,?4) cos ? GE , PC ?? GE ? PC | GE | ? | PC | ? 2 2 ? 20 ? 10 10

故异面直线 GE 与 PC 所成角的余弦值为 (Ⅱ)设 F(0,y , z)

10 . 10

3 3 3 3 则DF ? OF ? OD ? (0, y, z ) ? (? , ,0) ? ( , y ? , z ) , 2 2 2 2 3 3 3 ? DF ? GC ? 0 ? ( , y ? ,0) ? (0,2,0) ? 2( y ? ) ? 0 2 2 2
在平面 PGC 内过 F 点作 FM⊥GC,M 为垂足,则 GM ?

GC ? (0,2,0) ?y ? 3 2

3 1 , MC ? 2 2

?

PF GM ? ? 3 ,∴ K ? ?3 FC MC

解法二: (Ⅰ)在平面 ABCD 内,过 C 点作 CH//EG 交 AD 于 H,连结 PH,则∠PCH(或其补角)就是异 面直线 GE 与 PC 所成的角. 在△PCH 中, CH ?

2 , PC ? 20 , PH ? 18

由余弦定理得,cos∠PCH=

10 10
10 . 10

∴异面直线 GE 与 PC 所成角的余弦值为

(Ⅱ)在平面 GBCD 内,过 D 作 DM⊥GC,M 为垂足,连结 MF,又因为 DF⊥GC ∴GC⊥平面 MFD, ∴GC⊥FM 由平面 PGC⊥平面 ABCD,∴FM⊥平面 ABCD ∴FM//PG 由 DF ? GC ? 0 得 GM⊥MD,∴GM=GD·cos45°=

3 2

3 PF GM 2 ? ? ? ? 3 ,∴ k ? ?3 FC MC 1 2
21.[解析] x y (1)由题意:椭圆的方程为 + =1. 3 2
2 2

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设点 M(x1,y1),N(x2,y2),由 F(-1,0)得直线 MN 的方程为 y=k(x+1). ?y=k(x+1), 由方程组?x2 y2 + =1, ? ?3 2
2

?

消去 y,整理得(2+3k )x +6k x+3k -6=0,
2

2

2

2

2

6k 3k -6 可得 x1+x2=- 2,x1x2= 2. 2+3k 2+3k 因为 A(- 3,0),B( 3,0), 所以 AM ? NB ? AN ? MB =(x1+ 3,y1)·( 3-x2,-y2)+(x2+ 3,y2)·( 3-x1, -y1) =6-2x1x2-2y1y2 2 =6-2x1x2-2k (x1+1)(x2+1) 2 2 2 =6-(2+2k )x1x2-2k (x1+x2)-2k 2k +12 =6+ 2 . 2+3k 2k +12 10 . 由已知得 6+ 2 =7,解得 k=± 2+3k 故所求直线 L 的方程为: y ? 10 ?x ? 1? 和 y ? ? 10 ?x ? 1? (2) 假设存在 P(u,v),E(x1,y1),G(x2,y2)满足 S△OPE=S△OPG=S△OEG= 不妨设 E(x1,y1),G(x2,y2)两点确定的直线为 l, (ⅰ)当直线 l 的斜率不存在时, E, G 两点关于 x 轴对称, 所以 x2=x1,y2=-y1, 因为 E (x1,y1)在椭圆上, 所以 + =1.① 3 2 又因为 S△OEG= 6 , 2 6 ,② 2 6 . 2
2 2

x2 y2 1 1

所以|x1|·|y1|=

6 ,|y1|=1, 2 2 2 2 2 此时 x1+x2=3,y1+y2=2. (ⅱ)当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=kx+m, 由①、②得|x1|= 由题意知 m≠0,将其代入 + =1 得 3 2 2 2 2 (2+3k )x +6kmx+3(m -2)=0, 2 2 2 2 其中 Δ=36k m -12(2+3k )(m -2)>0, 2 2 即 3k +2>m ,(★) 2 6km 3?m -2? 又 x1+x2=- 2,x1x2= 2 , 2+3k 2+3k 所以|EG|= 1+k · ?x1+x2? -4x1x2 2 2 6 3k +2-m 2 2 = 1+k · . 2 2+3k
2 2

x2 y2

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因为点 O 到直线 l 的距离为 d= 1 所以 S△OEG= |EG|·d 2 = =

| m| 1+k

2



1 6 3k +2-m |m| 2 2 1+k · · 2 2 2 2+3k 1+k 6|m| 3k +2-m . 2 2+3k
2 2

2

2

6 , 2 2 2 整理得 3k +2=2m ,且符合(★)式. 2 2 2 此时 x1+x2=(x1+x2) -2x1x2= 2 ?- 6km 2?2-2×3?m -2?=3, ? 2+3k ? 2 2+3k ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2 y2 1+y2= (3-x1)+ (3-x2)=4- (x1+x2)=2. 3 3 3 2 2 2 2 综上所述,x1+x2=3,y1+y2=2,结论成立. 2 2 2 2 2 2 2 2 同理可得:u +x1=3,u +x2=3,v +y1=2,v +y2=2, 3 2 2 2 2 2 2 解得 u =x1=x2= ;v =y1=y2=1. 2 又 S△OEG= 因此 u,x1,x2 只能从± 因此 P、E、G 只能在?± 6 中选取,v,y1,y2 只能从±1 中选取. 2

? 6 ? ,±1?这四点中选取三个不同点, ? 2 ?

而这三点的两两连线中必有一条过原点, 6 与 S△OPE=S△OPG=S△OEG= 矛盾, 2 所以椭圆 C 上不存在满足条件的三点 P、E、G. 22.[解析]

a a 1 a ? 1 = ln x ? ? 1 ( x ? 0 ), g ??x ? ? ? 2 ( x ? 0 ), x x x x a 因为曲线 g ?x ? ? ? ?x ? ? ? 1 在点 ?2, g ?2?? 处的切线与直线 3x ? y ? 1 ? 0 平行, x 1 a g ??2? ? ? ? ?3 ,解得 a ? 14 。 2 4 2?x ? 1? 2?x ? 1? (2) f ?x ? ? ? ?x ? ? = ? ln x ? ( x ? 0) x ?1 x ?1
(1) g ?x ? ? ? ?x ? ?

f ??x ? ?

1 2?x ? 1? ? 2?x ? 1? ?x ? 1? ? ? ?0 2 x ?x ? 1?2 x? x ? 1?
2

所以函数 f ?x ? ? ? ?x ? ?

2?x ? 1? 在 (0, ??) 上为单调增函数; x ?1
m ? 1. n
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(3)不妨设 m ? n ? 0 ,则

m ? n ln m ? ln n . ? m?n 2 m m m ? 1 ln 2( ? 1) m 只需证 n . ? n , 即证 ln ? n m m 2 n ?1 ?1 n n m 2( ? 1) m 2( x ? 1) 只需证 ln ? n . ? 0 .设 h( x) ? ln x ? m x ? 1 n ?1 n m , ? ?? 上是单调增函数,又 ? 1 , 由(2)知 h( x ) 在 ?1 n m 2( ? 1) m m ? n ln m ? ln n m 所以 h( ) ? h(1) ? 0 .即 ln ? n . ? 0 ,即 ? m m ? n 2 n n ?1 n
要证 所以不等式

m ? n ln m ? ln n 成立. ? m?n 2

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