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高考数学一轮复习第讲函数及其表示课件理新人教版_图文

第 1 讲
? 夯基释疑

函数及其表示

考点一 概要 ? 考点突破 考点二 考点三

例1 例2 例3

训练1 训练2 训练3

? 课堂小结

夯基释疑

判断正误(在括号内打“√”或“×”) x2 (1)f(x)= 与 g(x)=x 是同一个函数.( ) x (2)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相 等.( ) (3)函数是特殊的映射.( ) (4)分段函数是由两个或几个函数组成的.( )

考点突破 考点一 求函数的定义域
1 【例 1】 (1)(2015· 杭州模拟)函数 f(x)= 1-2 + 的定义域 x+3 为( ) 使解析 A.(-3,0] B.(-3,1] 式中各 C.(-∞,-3)∪(-3,0] D.(-∞,-3)∪(-3,1] 个部分 都有意 lg(x+1) 义的自 (2)函数 f(x)= 的定义域是( ) 变量的 x-1 取值集 A.(-1,+∞) B.[-1,+∞) 合 C.(-1,1)∪(1,+∞) D.[-1,1)∪(1,+∞)
x

解析

x ? ?1-2 ≥0, 解得-3<x≤0. (1)由题意知? ? ?x+3>0,

所以函数f(x)的定义域为(-3,0],故选A.

考点突破 考点一 求函数的定义域
1 【例 1】 (1)(2015· 杭州模拟)函数 f(x)= 1-2 + 的定义域 x+3 为( ) 使解析 A.(-3,0] B.(-3,1] 式中各 个部分 C.(-∞,-3)∪(-3,0] D.(-∞,-3)∪(-3,1] 都有意 lg(x+1) 义的自 (2)函数 f(x)= 的定义域是( ) x-1 变量的 取值集 A.(-1,+∞) B.[-1,+∞) 合 C.(-1,1)∪(1,+∞) D.[-1,1)∪(1,+∞)
x

lg(x+1) (2)要使函数 f(x)= 有意义, 需满足x+1>0且x-1≠0, x-1
得x>-1且x≠1,故选C. 答案 (1)A (2)C

考点突破 考点一 求函数的定义域

规律方法 (1)给出解析式的函数的定义域是使解析式中各个部分都有

意义的自变量的取值集合 ,在求解时,要把各个部分自变
量的限制条件列成一个不等式组,这个不等式组的解集就是 这个函数的定义域,函数的定义域要写成集合或者区间的形 式. (2)对于实际问题中求得的函数解析式,在确定定义域时, 除了要考虑函数解析式有意义外,还要使实际问题有意义.

考点突破 考点一 求函数的定义域
【训练 1】(1)(2014· 江西卷)函数 f(x)=ln(x2-x)的定义域为( A.(0,1) B.[0,1] C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞) 1? ? (2)函数 f(x)=ln?1+x?+ 1-x2的定义域为________. )

解析

(1)由题意可得x2-x>0,

解得x>1或x<0, 所以所求函数的定义域为(-∞,0)∪(1,+∞).

? ? (2)由条件知?x≠0, ? ?1-x ≥0
2

1 1+ >0, x

答案

(1)C

(2)(0,1]

x<-1或x>0, ? ? ?x∈(0,1]. ??x≠0, ? ?-1≤x≤1

考点突破 考点二 求函数的解析式
1? x ? 【例 2】(1)如果 f ?x?= , 则当 x≠0 且 x≠1 时, f(x)等于( ) 1-x 1 1 1 1 A. B. C. D. -1 x x x-1 1- x (2)已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17, 则 f(x)=________. 1? ? (3)已知 f(x)满足 2f(x)+f ?x?=3x,则 f(x)=________.

解析

1 1 (1)令 t= ,得 x= , x t

1 ∴f(x)= . x-1

1 ∴f(t)= = , 1 t-1 1- t

1 t

考点突破 考点二 求函数的解析式
【例 2】 (2)已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)= 2x+17,则 f(x)=________. 1? ? (3)已知 f(x)满足 2f(x)+f ?x?=3x,则 f(x)=________.

(2)设f(x)=ax+b(a≠0), 则3f(x+1)-2f(x-1) =3ax+3a+3b-2ax+2a-2b =ax+5a+b, 即ax+5a+b=2x+17不论x为何值都成立,
? ? ?a=2, ?a=2, 解得? ∴? ? ?b=7, ?b+5a=17, ?

∴f(x)=2x+7.

考点突破 考点二 求函数的解析式
【例 2】 (2)已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)= 2x+17,则 f(x)=________. 1? ? (3)已知 f(x)满足 2f(x)+f ?x?=3x,则 f(x)=________.

1? ? (3)∵2f(x)+f ?x?=3x,①
1? 3 1 ? 把①中的 x 换成 ,得 2f ?x?+f(x)=x.② x 3 ①× 2-②得 3f(x)=6x- , x 1 ∴f(x)=2x- (x≠0). x 1 答案 (1)B (2)2x+7 (3)2x- (x≠0) x

考点突破 考点二 求函数的解析式
规律方法 求函数解析式的常用方法: (1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数), 可用待定系数法; (2)换元法:已知复合函数 f(g(x))的解析式,可用换元法,此 时要注意新元的取值范围; (3)配凑法:由已知条件 f(g(x))=F(x),可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式,然后以 x 替代 g(x),便得 f(x)的解析式; 1? ? (4)方程法:已知关于 f(x)与 f x 或 f(-x)的表达式,可根据 ? ? 已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求 出 f(x).

考点突破 考点二 求函数的解析式
1? 1 ? 2 【训练 2】 (1)已知 f ?x+x?=x + 2,则 f(x)=________. x 1? ? (2)已知函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且 f(x)=2f ?x?· x-1, 则 f(x)=________.
解析
2 1 1 1 x+ ?=x2+ 2=?x+ ? -2, (1)∵f ? x? ? x? x ?

1 1 且 x+ ≥2 或 x+ ≤-2, x x
∴f(x)=x2-2(x≥2 或 x≤-2).

考点突破 考点二 求函数的解析式
1? 1 ? 2 【训练 2】 (1)已知 f ?x+x?=x + 2,则 f(x)=________. x 1? ? (2)已知函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且 f(x)=2f ?x?· x-1, 则 f(x)=________.
1? 1 ? (2)在 f(x)=2f ?x? x-1 中,用 代替 x, x 1? 1 ? 得 f ?x?=2f(x) -1, x 1? 2f(x) 1? ? ? 将 f ?x?= -1 代入 f(x)=2f ?x? x-1 中, x
2 1 可求得 f(x)= x+ . 3 3 答案 (1)x2-2(x≥2 或 x≤-2) 2 1 (2) x+ 3 3

考点突破 考点二 求函数的解析式
【例 3】(1) (2014· 山西四校联考)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x) ? ?log2(8-x),x≤0, =? 则 f(3)的值为( ) ?f(x-1)-f(x-2),x>0, ? A.1 B.2 C.-2 D.-3 x- 1 e ? ? ,x<1, (2) (2014· 新课标全国Ⅰ卷)设函数 f(x)=? 1 则使得 3 ? ?x ,x≥1, f(x)≤2 成立的 x 的取值范围是________.
解析 (1)f(3)=f(2)-f(1)=f(1)-f(0)-f(1) =-f(0)=-log28=-3. (2)当x<1时,ex-1≤2成立, 解得x≤1+ln 2, ∴x<1. 解得x≤8, ∴1≤x≤8. 当 x≥1 时,x ≤2, 综上可知x∈(-∞,8]. 答案 (1)D (2)(-∞,8]
1 3

考点突破 考点二 求函数的解析式

规律方法 (1)求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于 哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现f(f(a)) 的形式时,应从内到外依次求值. (2)求某条件下自变量的值的方法:先假设所求的值在分 段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切 记代入检验,看所求的自变量的值是否满足相应段自变量 的取值范围.

考点突破 考点二 求函数的解析式
(x-a)2,x≤0, ? ? 【训练 3】(1)(2014· 上海卷)设 f(x)=? 1 x+ +a,x>0. ? ? x 若 f(0)是 f(x)的最小值,则 a 的取值范围为( ) A.[-1,2] B.[-1,0] C.[1,2] D.[0,2]

解析 (1)∵当x≤0时,f(x)=(x-a)2, 又f(0)是f(x)的最小值,∴a≥0; 1 当 x>0 时,f(x)=x+ +a≥2+a, x 当且仅当x=1时取“=”. 要满足f(0)是f(x)的最小值, 需2+a≥f(0)=a2,即a2-a-2≤0, 解之,得-1≤a≤2, ∴a的取值范围是0≤a≤2.选D.

考点突破 考点二 求函数的解析式
2 ? x ? +2x+2,x≤0, 【训练 3】(2)设函数 f(x)=? 若 f(f(a))=2, 2 ? ?-x ,x>0.

则 a=________.

解析

当a>0时,f(a)=-a2<0,
2.

f(f(a))=a4-2a2+2=2,
解得 a=

当a≤0时,f(a)=a2+2a+2=(a+1)2+1>0, f(f(a))=-(a2+2a+2)2=2,

此方程无解.
答案 (1)D (2) 2

课堂小结 思想方法

1.在判断两个函数是否为同一函数时,要紧扣两点:一是定 义域是否相同;二是对应关系是否相同. 2.函数的定义域是函数的灵魂,它决定了函数的值域,并且 它是研究函数性质和图象的基础.因此,我们一定要树立函 数定义域优先意识. 3.函数解析式的几种常用求法:待定系数法、换元法、配凑 法、方程法.

课堂小结 易错防范

1. 求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法, 同时要注意函数的定义域,如已知 f( x)=x+1,求函数 f(x) 的解析式时,通过换元的方法可得 f(x)=x2+1,这个函数的定 义域是[0,+∞),而不是(-∞,+∞).
2.求分段函数应注意的问题:在求分段函数的值f(x0)时,首 先要判断x0属于定义域的哪个子集,然后再代入相应的关系 式;分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的 取值范围的并集.