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2018版高考数学大一轮复习高考专题突破四高考中的立体几何问题文新人教版


2018 版高考数学大一轮复习 高考专题突破四 高考中的立体几何问 题 文 新人教版

1.正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 为 BC 中点,E 为 A1C1 中点,则 DE 与平面 A1B1BA 的位置关系为 ( ) B.平行 D.不确定

A.相交 C.垂直相交 答案 B

解析 如图取 B1C1 中点为 F,连接 EF,DF,DE,

则 EF∥A1B1,DF∥B1B, ∴平面 EFD∥平面 A1B1BA, ∴DE∥平面 A1B1BA. 2.设 x、y、z 是空间不同的直线或平面,对下列四种情形: ①x、y、z 均为直线;②x、y 是直线,z 是平面;③z 是直线,x、y 是平面;④x、y、z 均为 平面. 其中使“x⊥z 且 y⊥z? x∥y”为真命题的是( A.③④ 答案 C 解析 由正方体模型可知①④为假命题;由线面垂直的性质定理可知②③为真命题. 3. (2016·成都模拟)如图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆), 则该几何体的表 面积是( ) B.①③ C.②③ D.①② )

1

A.20+3π C.20+4π 答案 A

B.24+3π D.24+4π

解析 根据几何体的三视图可知,该几何体是一个正方体和一个半圆柱的组合体,其中正方 1 体的棱长为 2, 半圆柱的底面半径为 1, 母线长为 2, 故该几何体的表面积为 4×5+2×π +2× 2 π =20+3π . 4.如图,在四棱锥 V-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,E、F 分别为侧棱 VC、VB 上的点,且满 足 VC=3EC,AF∥平面 BDE,则 =________.

VB FB

答案 2 解析 连接 AC 交 BD 于点 O,连接 EO,取 VE 的中点 M,连接 AM,MF,

∵VC=3EC,∴VM=ME=EC, 又 AO=CO,∴AM∥EO, 又 EO? 平面 BDE, ∴AM∥平面 BDE, 又 AF∥平面 BDE,AM∩AF=A, ∴平面 AMF∥平面 BDE,
2

又 MF? 平面 AMF,∴MF∥平面 BDE, 又 MF? 平面 VBC,平面 VBC∩平面 BDE=BE, ∴MF∥BE,∴VF=FB,∴ =2. 5.如图,在三棱锥 P-ABC 中,D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点.若 PA⊥AC,PA=6,BC =8,DF=5.则直线 PA 与平面 DEF 的位置关系是________;平面 BDE 与平面 ABC 的位置关系 是________.(填“平行”或“垂直”)

VB FB

答案 平行 垂直 解析 ①因为 D,E 分别为棱 PC,AC 的中点, 所以 DE∥PA. 又因为 PA?平面 DEF,DE? 平面 DEF, 所以直线 PA∥平面 DEF. ②因为 D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点,PA=6,BC=8, 1 1 所以 DE∥PA,DE= PA=3,EF= BC=4. 2 2 又因为 DF=5,故 DF =DE +EF , 所以∠DEF=90°,即 DE⊥EF. 又 PA⊥AC,DE∥PA,所以 DE⊥AC. 因为 AC∩EF=E,AC? 平面 ABC,EF? 平面 ABC, 所以 DE⊥平面 ABC,又 DE? 平面 BDE, 所以平面 BDE⊥平面 ABC.
2 2 2

题型一 求空间几何体的表面积与体积 例 1 (2016·全国甲卷)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,点 E,F 分别在 AD,

CD 上,AE=CF,EF 交 BD 于点 H,将△DEF 沿 EF 折到△D′EF 的位置.

3

(1)证明:AC⊥HD′; 5 (2)若 AB=5,AC=6,AE= ,OD′=2 2,求五棱锥 D′ABCFE 的体积. 4 (1)证明 由已知得 AC⊥BD,AD=CD,又由 AE=CF 得 = ,故 AC∥EF,由此得 EF⊥HD, 折后 EF 与 HD 保持垂直关系,即 EF⊥HD′,所以 AC⊥HD′.

AE CF AD CD

OH AE 1 (2)解 由 EF∥AC 得 = = . DO AD 4
由 AB=5,AC=6 得 DO=BO= AB -AO =4, 所以 OH=1,D′H=DH=3, 于是 OD′ +OH =(2 2) +1 =9=D′H , 故 OD′⊥OH. 由(1)知 AC⊥HD′,又 AC⊥BD,BD∩HD′=H, 所以 AC⊥平面 DHD′,于是 AC⊥OD′, 又由 OD′⊥OH,AC∩OH=O,所以 OD′⊥平面 ABC. 又由 =
2 2 2 2 2 2 2

EF DH 9 得 EF= . AC DO 2

1 1 9 69 五边形 ABCFE 的面积 S= ×6×8- × ×3= . 2 2 2 4 1 69 23 2 所以五棱锥 D′ABCFE 的体积 V= × ×2 2= . 3 4 2 思维升华 (1)若所给定的几何体是柱体、 锥体或台体等规则几何体, 则可直接利用公式进行 求解.其中,等积转换法多用来求三棱锥的体积. (2)若所给定的几何体是不规则几何体, 则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何 体,再利用公式求解. (3)若以三视图的形式给出几何体, 则应先根据三视图得到几何体的直观图, 然后根据条件求 解. 正三棱锥的高为 1,底面边长为 2 6,内有一个球与它的四个面都相切(如 图).求:

4

(1)这个正三棱锥的表面积; (2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积. 1 3 解 (1)底面正三角形中心到一边的距离为 × ×2 6= 2, 3 2 则正棱锥侧面的斜高为 1 +? 2? = 3. 1 ∴S 侧=3× ×2 6× 3=9 2. 2 1 3 2 ∴S 表=S 侧+S 底=9 2+ × ×(2 6) 2 2 =9 2+6 3. (2)设正三棱锥 P-ABC 的内切球球心为 O,连接 OP,OA,OB,OC,而 O 点到三棱锥的四个面 的距离都为球的半径 r.
2 2

∴VP-ABC=VO-PAB+VO-PBC+VO-PAC+VO-ABC 1 1 1 = S 侧·r+ S△ABC·r= S 表·r 3 3 3 =(3 2+2 3)r. 1 1 3 2 又 VP-ABC= × × ×(2 6) ×1=2 3, 3 2 2 ∴(3 2+2 3)r=2 3, 2 3 2 3?3 2-2 3? 得 r= = = 6-2. 18-12 3 2+2 3 ∴S 内切球=4π ( 6-2) =(40-16 6)π .
2

V 内切球= π ( 6-2)3= (9 6-22)π .

4 3

8 3

题型二 空间点、线、面的位置关系

5

例 2 (2016·济南模拟)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC =2,BC=1,E,F 分别是 A1C1,BC 的中点.

(1)求证:平面 ABE⊥平面 B1BCC1; (2)求证:C1F∥平面 ABE; (3)求三棱锥 E-ABC 的体积. (1)证明 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BB1⊥底面 ABC. 因为 AB? 平面 ABC, 所以 BB1⊥AB. 又因为 AB⊥BC,BC∩BB1=B, 所以 AB⊥平面 B1BCC1. 又 AB? 平面 ABE, 所以平面 ABE⊥平面 B1BCC1. (2)证明 方法一 如图 1,取 AB 中点 G,连接 EG,FG. 因为 E,F 分别是 A1C1,BC 的中点, 1 所以 FG∥AC,且 FG= AC. 2 因为 AC∥A1C1,且 AC=A1C1, 所以 FG∥EC1,且 FG=EC1, 所以四边形 FGEC1 为平行四边形, 所以 C1F∥EG. 又因为 EG? 平面 ABE,C1F?平面 ABE, 所以 C1F∥平面 ABE.

方法二 如图 2,取 AC 的中点 H,连接 C1H,FH. 因为 H,F 分别是 AC,BC 的中点,所以 HF∥AB,
6

又因为 E,H 分别是 A1C1,AC 的中点, 所以 EC1 綊 AH, 所以四边形 EAHC1 为平行四边形, 所以 C1H∥AE, 又 C1H∩HF=H,AE∩AB=A, 所以平面 ABE∥平面 C1HF, 又 C1F? 平面 C1HF, 所以 C1F∥平面 ABE. (3)解 因为 AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC, 所以 AB= AC -BC = 3. 所以三棱锥 E-ABC 的体积
2 2

V= S△ABC·AA1= × × 3×1×2=

1 3

1 1 3 2

3 . 3

思维升华 (1)①证明面面垂直, 将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题, 再将“线面 垂直”问题转化为“线线垂直”问题.②证明 C1F∥平面 ABE:(ⅰ)利用判定定理,关键是在 平面 ABE 中找(作)出直线 EG,且满足 C1F∥EG.(ⅱ)利用面面平行的性质定理证明线面平行, 则先要确定一个平面 C1HF 满足面面平行,实施线面平行与面面平行的转化.(2)计算几何体 的体积时,能直接用公式时,关键是确定几何体的高,不能直接用公式时,注意进行体积的 转化. 如图, 在三棱锥 S-ABC 中, 平面 SAB⊥平面 SBC, AB⊥BC, AS=AB.过 A 作 AF⊥SB, 垂足为 F,点 E,G 分别是棱 SA,SC 的中点.\

求证:(1)平面 EFG∥平面 ABC; (2)BC⊥SA. 证明 (1)由 AS=AB,AF⊥SB 知 F 为 SB 中点, 则 EF∥AB,FG∥BC,又 EF∩FG=F,AB∩BC=B, 因此平面 EFG∥平面 ABC. (2)由平面 SAB⊥平面 SBC,平面 SAB∩平面 SBC=SB,AF? 平面 SAB,AF⊥SB, 所以 AF⊥平面 SBC,则 AF⊥BC. 又 BC⊥AB,AF∩AB=A,则 BC⊥平面 SAB, 又 SA? 平面 SAB,因此 BC⊥SA. 题型三 平面图形的翻折问题
7

π 1 例 3 (2015·陕西)如图 1,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠BAD= ,AB=BC= AD=a,E 2 2 是 AD 的中点,O 是 AC 与 BE 的交点.将△ABE 沿 BE 折起到图 2 中△A1BE 的位置,得到四棱 锥 A1-BCDE.

(1)证明:CD⊥平面 A1OC; (2)当平面 A1BE⊥平面 BCDE 时,四棱锥 A1-BCDE 的体积为 36 2,求 a 的值. (1)证明 在题图 1 中,连接 EC, 1 π 因为 AB=BC= AD=a,∠BAD= , 2 2

AD∥BC,E 为 AD 中点,所以 BC 綊 ED,BC 綊 AE,
所以四边形 BCDE 为平行四边形,故有 CD∥BE, 所以四边形 ABCE 为正方形,所以 BE⊥AC, 即在题图 2 中,BE⊥A1O,BE⊥OC,且 A1O∩OC=O, 从而 BE⊥平面 A1OC,又 CD∥BE, 所以 CD⊥平面 A1OC. (2)解 由已知,平面 A1BE⊥平面 BCDE, 且平面 A1BE∩平面 BCDE=BE, 又由(1)知,A1O⊥BE, 所以 A1O⊥平面 BCDE, 即 A1O 是四棱锥 A1-BCDE 的高, 由题图 1 知,A1O= 2 2 AB= a,平行四边形 BCDE 的面积 S=BC·AB=a2, 2 2

从而四棱锥 A1-BCDE 的体积为

V= ×S×A1O= ×a2×


1 3

1 3

2 2 a= a3, 2 6

2 3 a =36 2,得 a=6. 6

思维升华 平面图形的翻折问题,关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变 化情况.一般地,翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化,不在同一个平面上的性质发 生变化. (2017·深圳月考)如图(1),四边形 ABCD 为矩形,PD⊥平面 ABCD,AB=1,BC
8

=PC=2,作如图(2)折叠,折痕 EF∥DC.其中点 E,F 分别在线段 PD,PC 上,沿 EF 折叠后, 点 P 叠在线段 AD 上的点记为 M,并且 MF⊥CF.

(1)证明:CF⊥平面 MDF; (2)求三棱锥 M-CDE 的体积. (1)证明 因为 PD⊥平面 ABCD,AD? 平面 ABCD, 所以 PD⊥AD. 又因为 ABCD 是矩形,CD⊥AD,PD 与 CD 交于点 D, 所以 AD⊥平面 PCD. 又 CF? 平面 PCD,所以 AD⊥CF,即 MD⊥CF. 又 MF⊥CF,MD∩MF=M,所以 CF⊥平面 MDF. (2)解 因为 PD⊥DC,PC=2,CD=1,∠PCD=60°, 所以 PD= 3,由(1)知 FD⊥CF, 1 1 在直角三角形 DCF 中,CF= CD= . 2 2 如图,过点 F 作 FG⊥CD 交 CD 于点 G,

1 3 3 得 FG=FCsin 60°= × = , 2 2 4 所以 DE=FG= 3 3 3 3 ,故 ME=PE= 3- = , 4 4 4
2

所以 MD= ME -DE =

2

3 3 2 3 2 6 ? ? -? ? = . 4 4 2

S△CDE= DE·DC= ×

1 2

1 2

3 3 ×1= . 4 8

1 1 6 3 2 故 VM-CDE= MD·S△CDE= × × = . 3 3 2 8 16
9

题型四 立体几何中的存在性问题 例 4 (2016·四川双流中学月考)如图, 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 平面 BMD1N 与棱 CC1, AA1 分别交于点 M,N,且 M,N 均为中点.

(1)求证:AC∥平面 BMD1N. (2)若 AD=CD=2,DD1=2 2,O 为 AC 的中点.BD1 上是否存在动点 F,使得 OF⊥平面 BMD1N? 若存在,求出点 F 的位置,并加以证明;若不存在,请说明理由. (1)证明 连接 MN.

1 1 因为 M,N 分别为 CC1,AA1 的中点,所以 AN= AA1,CM= CC1. 2 2 又因为 AA1∥CC1,且 AA1=CC1, 所以 AN∥CM,且 AN=CM, 所以四边形 ACMN 为平行四边形,所以 AC∥MN. 因为 MN? 平面 BMD1N,AC?平面 BMD1N, 所以 AC∥平面 BMD1N. (2)解 当点 F 满足 D1F=3BF 时,OF⊥平面 BMD1N,证明如下: 连接 BD,则 BD 经过点 O,取 BD1 的中点 G,连接 OF,DG, 又 D1F=3BF,所以 OF 为三角形 BDG 的中位线, 所以 OF∥DG. 因为 BD=2 2=DD1,且 G 为 BD1 的中点, 所以 BD1⊥DG,所以 BD1⊥OF. 因为底面 ABCD 为正方形,所以 AC⊥BD. 又 DD1⊥底面 ABCD,所以 AC⊥DD1, 又 BD∩DD1=D,所以 AC⊥平面 BDD1, 又 OF? 平面 BDD1,所以 AC⊥OF.

10

由(1)知 AC∥MN,所以 MN⊥OF. 又 MN,BD1 是平面四边形 BMD1N 的对角线,所以它们必相交, 所以 OF⊥平面 BMD1N. 思维升华 对于线面关系中的存在性问题,首先假设存在,然后在该假设条件下,利用线面 关系的相关定理、性质进行推理论证,寻找假设满足的条件,若满足则肯定假设,若得出矛 盾的结论则否定假设. 如图, 在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, 已知 DC=DD1=2AD=2AB, AD⊥DC, AB∥DC.

(1)求证:D1C⊥AC1; (2)问在棱 CD 上是否存在点 E,使 D1E∥平面 A1BD.若存在,确定点 E 位置;若不存在,说明 理由. (1)证明 在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, 连接 C1D, ∵DC=DD1,∴四边形 DCC1D1 是正方形, ∴DC1⊥D1C.

又 AD⊥DC,AD⊥DD1,

DC∩DD1=D,
∴AD⊥平面 DCC1D1, 又 D1C? 平面 DCC1D1, ∴AD⊥D1C. ∵AD? 平面 ADC1,DC1? 平面 ADC1,且 AD∩DC1=D,∴D1C⊥平面 ADC1, 又 AC1? 平面 ADC1,∴D1C⊥AC1. (2)解 假设存在点 E,使 D1E∥平面 A1BD.

11

连接 AD1,AE,D1E, 设 AD1∩A1D=M,

BD∩AE=N,连接 MN,
∵平面 AD1E∩平面 A1BD=MN, 要使 D1E∥平面 A1BD, 可使 MN∥D1E, 又 M 是 AD1 的中点,则 N 是 AE 的中点. 又易知△ABN≌△EDN,∴AB=DE. 即 E 是 DC 的中点. 综上所述,当 E 是 DC 的中点时, 可使 D1E∥平面 A1BD.

1.(2016·北京顺义区一模)如图所示,已知平面 α ∩平面 β =l,α ⊥β .A,B 是直线 l 上 的两点,C,D 是平面 β 内的两点,且 AD⊥l,CB⊥l,DA=4,AB=6,CB=8.P 是平面 α 上 的一动点,且有∠APD=∠BPC,则四棱锥 P-ABCD 体积的最大值是( )

A.48 B.16 C.24 3 答案 C

D.144

解析 由题意知,△PAD,△PBC 是直角三角形, 又∠APD=∠BPC,所以△PAD∽△PBC. 因为 DA=4,CB=8,所以 PB=2PA. 作 PM⊥AB 于点 M,由题意知,PM⊥β . 令 AM=t(0<t<6),则 PA -t =4PA -(6-t) , 所以 PA =12-4t. 所以 PM= 12-4t-t ,即为四棱锥 P-ABCD 的高,
12
2 2 2 2 2 2

1 又底面 ABCD 为直角梯形,S= ×(4+8)×6=36. 2 1 2 2 所以 V= ×36× 12-4t-t =12 -?t+2? +16≤12× 12=24 3. 3 2.(2016·江西赣中南五校第一次联考)已知 m,n 是两条不同的直线,α ,β ,γ 是三个不 同的平面,则下列命题中正确的是( A.若 α ⊥γ ,α ⊥β ,则 γ ∥β B.若 m∥n,m? α ,n? β ,则 α ∥β C.若 m∥n,m⊥α ,n⊥β ,则 α ∥β D.若 m∥n,m∥α ,则 n∥α 答案 C 解析 对于 A,若 α ⊥γ ,α ⊥β ,则 γ ∥β 或相交;对于 B,若 m∥n,m? α ,n? β ,则 α ∥β 或相交;对于 D,若 m∥n,m∥α ,则 n∥α 或 n? α .故选 C. 3.(2016·唐山模拟)如图,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,连接 BD,AC1,B1D1,CD1,B1C,现有以 下几个结论:①BD∥平面 CB1D1;②AC1⊥平面 CB1D1;③CB1 与 BD 为异面直线.其中所有正确 结论的序号为________. )

答案 ①②③ 解析 由题意可知,BD∥B1D1, 又 B1D1? 平面 CB1D1,BD?平面 CB1D1, 所以 BD∥平面 CB1D1,①正确; 易知 AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C, 又 B1D1∩B1C=B1, 所以 AC1⊥平面 CB1D1,②正确; 由异面直线的定义可知③正确. 4.如图梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD∶BC∶AB=2∶3∶4,E、F 分别是 AB、CD 的 中点,将四边形 ADFE 沿直线 EF 进行翻折,给出四个结论:

13

①DF⊥BC; ②BD⊥FC; ③平面 DBF⊥平面 BFC; ④平面 DCF⊥平面 BFC. 在翻折过程中,可能成立的结论是________.(填写结论序号) 答案 ②③ 解析 因为 BC∥AD,AD 与 DF 相交不垂直,所以 BC 与 DF 不垂直,则①错误;设点 D 在平面

BCF 上的射影为点 P,当 BP⊥CF 时就有 BD⊥FC,而 AD∶BC∶AB=2∶3∶4,可使条件满足,
所以②正确;当点 P 落在 BF 上时,DP? 平面 BDF,从而平面 BDF⊥平面 BCF,所以③正确; 因为点 D 的投影不可能在 FC 上, 所以平面 DCF⊥平面 BFC 不成立, 即④错误. 故答案为②③.

5.如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 点 E 是棱 BC 的中点, 点 F 是棱 CD 上的动点, 当 时,D1E⊥平面 AB1F.

CF =______ FD

答案 1 解析 如图,连接 A1B,则 A1B 是 D1E 在平面 ABB1A1 内的射影. ∵AB1⊥A1B,∴D1E⊥AB1,

又∵D1E⊥平面 AB1F? D1E⊥AF. 连接 DE,则 DE 是 D1E 在底面 ABCD 内的射影, ∴D1E⊥AF? DE⊥AF. ∵ABCD 是正方形,E 是 BC 的中点,
14

∴当且仅当 F 是 CD 的中点时,DE⊥AF, 即当点 F 是 CD 的中点时,D1E⊥平面 AB1F, ∴ =1 时,D1E⊥平面 AB1F. 6.(2016·咸阳模拟)如图,梯形 ABEF 中,AF∥BE,AB⊥AF,且 AB=BC=AD=DF=2CE=2, 沿 DC 将梯形 CDFE 折起,使得平面 CDFE⊥平面 ABCD.

CF FD

(1)证明:AC∥平面 BEF; (2)求三棱锥 D-BEF 的体积. (1)证明 如图,取 BF 的中点 M,设 AC 与 BD 交点为 O,连接 MO,ME.

1 1 由题设知,CE 綊 DF,MO 綊 DF, 2 2 ∴CE 綊 MO,故四边形 OCEM 为平行四边形, ∴EM∥CO,即 EM∥AC. 又 AC?平面 BEF,EM? 平面 BEF, ∴AC∥平面 BEF. (2)解 ∵平面 CDFE⊥平面 ABCD,平面 CDFE∩平面 ABCD=DC,BC⊥DC, ∴BC⊥平面 DEF. 1 1 1 4 ∴三棱锥 D-BEF 的体积为 VD-BEF=VB-DEF= S△DEF·BC= × ×2×2×2= . 3 3 2 3 7.(2016·山东牟平一中期末)如图,在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AC⊥B1D,BB1⊥底面 ABCD,

E,F,H 分别为 AD,CD,DD1 的中点,EF 与 BD 交于点 G.

15

(1)证明:平面 ACD1⊥平面 BB1D; (2)证明:GH∥平面 ACD1. 证明 (1)∵BB1⊥平面 ABCD,AC? 平面 ABCD,

∴AC⊥BB1. 又 AC⊥B1D,BB1∩B1D=B1, ∴AC⊥平面 BB1D. ∵AC? 平面 ACD1, ∴平面 ACD1⊥平面 BB1D. (2)设 AC∩BD=O,连接 OD1. ∵E,F 分别为 AD,CD 的中点,

EF∩OD=G,
∴G 为 OD 的中点. ∵H 为 DD1 的中点,∴HG∥OD1. ∵GH?平面 ACD1,OD1? 平面 ACD1, ∴GH∥平面 ACD1. 8.(2016·北京东城区一模)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形, 点 O 是对角线 AC 与 BD 的交点,AB=2,∠BAD=60°,M 是 PD 的中点.

(1)求证:OM∥平面 PAB; (2)求证:平面 PBD⊥平面 PAC.

16

(3)当三棱锥 C-PBD 的体积等于

3 时,求 PA 的长. 2

(1)证明 因为在△PBD 中,O,M 分别是 BD,PD 的中点, 所以 OM∥PB. 又 OM?平面 PAB,PB? 平面 PAB, 所以 OM∥平面 PAB. (2)证明 因为底面 ABCD 是菱形,所以 BD⊥AC. 因为 PA⊥平面 ABCD,BD? 平面 ABCD, 所以 PA⊥BD. 又 AC∩PA=A,所以 BD⊥平面 PAC. 又 BD? 平面 PBD, 所以平面 PBD⊥平面 PAC. (3)解 因为底面 ABCD 是菱形,且 AB=2, ∠BAD=60°, 所以 S△BCD= 3. 又 VC-PBD=VP-BCD,三棱锥 P-BCD 的高为 PA, 1 3 3 所以 × 3×PA= ,解得 PA= . 3 2 2 9.(2016·大连测试)如图,已知三棱柱 ABC-A′B′C′中,平面 BCC′B′⊥底面 ABC,

BB′⊥AC,底面 ABC 是边长为 2 的等边三角形,AA′=3,E,F 分别在棱 AA′,CC′上,且 AE=C′F=2.

(1)求证:BB′⊥底面 ABC; (2)在棱 A′B′上找一点 M,使得 C′M∥平面 BEF,并给出证明. (1)证明 如图,取 BC 的中点 O,连接 AO,

17

∵三角形 ABC 是等边三角形, ∴AO⊥BC. ∵平面 BCC′B′⊥底面 ABC,AO? 平面 ABC,平面 BCC′B′∩平面 ABC=BC, ∴AO⊥平面 BCC′B′. 又 BB′? 平面 BCC′B′, ∴AO⊥BB′. 又 BB′⊥AC,AO∩AC=A,

AO? 平面 ABC,AC? 平面 ABC,
∴BB′⊥底面 ABC. (2)解 显然点 M 不是点 A′,B′,若棱 A′B′上存在一点 M,使得 C′M∥平面 BEF, 过点 M 作 MN∥AA′交 BE 于 N,连接 FN,MC′,如图, ∴MN∥C′F,即 C′M 和 FN 共面, 又平面 MNFC′∩平面 BEF=FN,∴C′M∥FN, ∴四边形 C′MNF 为平行四边形,∴MN=2, ∴MN 是梯形 A′B′BE 的中位线,M 为 A′B′的中点. 故当 M 为 A′B′的中点时,C′M∥平面 BEF.

18


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