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江苏省淮安市淮阴区淮海中学2017届高三上学期第一次段考数学试卷(文科)(解析版).doc


2016-2017 学年江苏省淮安市淮阴区淮海中学高三(上)第一次 段考数学试卷(文科)
一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 60 分.请把答案填写在答题纸相应位置 上. 1.已知集合 A={x|x2﹣2x=0},B={0,1,2},则 A∩B= . 2.命题 p“? x∈R,sinx≤1”的否定是 . 3.复数 z= 的虚部是 . 的定义域是 . . .

4.函数 y=lg(3x+1)+

5.曲线 y=﹣x3+2x+1 在点(0,1)处的切线方程为 6.在△ABC 中,已知 BC=2,AC= 7.函数 y= +2lnx 的单调减区间为 , .

,那么△ABC 的面积是

8.若函数 f(x)= ax3﹣ax2+(2a﹣3)x+1 在 R 上存在极值,则实数 a 的取值范围是 9.已知 f(x)= +sinx,则 f(﹣2)+f(﹣1)+f(0)+f(1)+f(2)= . . .



10.已知 θ 为锐角,sin(θ+15°)= ,则 cos(2θ﹣15°)= 11.已知向量 =(x﹣1,2) , =(4,y) ,若 ⊥

,则 4x+2y 的最小值为

12.设函数 f(x)=

,函数 y=f[f(x)]﹣1 的零点个数为



13.在△ABC 中,∠A=60°,M 是 AB 的中点,若|AB|=2,|BC|=2 ,D 在线段 AC 上 运动,则 的最小值为 . 14.一般地,如果函数 y=f(x)的定义域为[a,b],值域也是[a,b],则称函数 f(x)为“保 域函数”,下列函数中是“保域函数”的有 . (填上所有正确答案的序号) 2 ①f1(x)=x ﹣1,x∈[﹣1,1]; ②f2(x)= sinx,x∈[ ,π];

③f3(x)=x3﹣3x,x∈[﹣2,2]; ④f4(x)=x﹣lnx,x∈[1,e2]; ⑤f5(x)= ,x∈[0,2].

二. 解答题: 本大题共六小题, 共计 90 分. 请在指定区域内作答, 解答时应写出文字说明. 证 明过程或演算步骤.

15.已知集合 A={x|(x﹣3) (x﹣3a﹣5)<0},函数 y=lg(﹣x2+5x+14)的定义域为集合 B. (1)若 a=4,求集合 A∩B; (2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数 a 的取值范围. 16.已知向量 =(cosα,sinα) , =(cosβ,sinβ) , =(﹣1,0) . (1)求向量 的长度的最大值; (2)设 α= ,且 ⊥( ) ,求 cosβ 的值.

17.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,φ∈[0,π) )的图象如图所示. 1 f x ( )求 ( )的解析式; (2)求函数 g(x)=f(x)+ f(x+2) ,在 x∈[﹣1,3]上的最大值和最小值.

18.已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=bcosC﹣ (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若点 D 为边 AC 的中点,BD=1,求△ABC 面积的最大值. 19.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A、B、C 三点满足 (Ⅰ)求证:A、B、C 三点共线; (Ⅱ)求 的值; = +

csinB.



(Ⅲ)已知 A(1,cosx) 、B(1+cosx,cosx) ,x∈[0, | |的最小值为﹣ ,求实数 m 的值. x2+ax﹣lnx(a∈R) .

],f(x)=

?

﹣(2m+ )

20.设函数 f(x)=

(Ⅰ)当 a=1 时,求函数 f(x)的极值; (Ⅱ)当 a>1 时,讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅲ)若对任意 a∈(3,4)及任意 x1,x2∈[1,2],恒有 (x2)|成立,求实数 m 的取值范围. m+ln2>|f(x1)﹣f

2016-2017 学年江苏省淮安市淮阴区淮海中学高三(上) 第一次段考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 60 分.请把答案填写在答题纸相应位置 上. 1.已知集合 A={x|x2﹣2x=0},B={0,1,2},则 A∩B= {0,2} . 【考点】交集及其运算. 【分析】求出 A 中方程的解确定出 A,找出 A 与 B 的交集即可. 【解答】解:由 A 中方程变形得:x(x﹣2)=0, 解得:x=0 或 x=2,即 A={0,2}, ∵B={0,1,2}, ∴A∩B={0,2}; 故答案为:{0,2} 2.命题 p“? x∈R,sinx≤1”的否定是 ? x∈R,sinx>1 . 【考点】命题的否定. 【分析】直接把语句进行否定即可,注意否定时? 对应? ,≤对应>. 【解答】解:根据题意我们直接对语句进行否定 命题 p“? x∈R,sinx≤1”的否定是:? x∈R,sinx>1. 故答案为:? x∈R,sinx>1.

3.复数 z=

的虚部是 ﹣1 .

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可. 【解答】解: 故答案为:﹣1. ,∴z 的虚部为﹣1.

4.函数 y=lg(3x+1)+

的定义域是 {

}



【考点】函数的定义域及其求法. 【分析】由题意可得 ,解之可得函数的定义域,注意写成集合的形式即可.

【解答】解:由题意可得

,解之可得

故函数

的定义域是{

}.

故答案为:{

}

5.曲线 y=﹣x3+2x+1 在点(0,1)处的切线方程为 y=2x+1 . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 求出函数 y=﹣x3+2x+1 在 x=0 处的导数值, 这个导数值即函数图象在该点处的切线 的斜率,然后根据直线的点斜式方程求解即可. 【解答】解:由曲线 y=﹣x3+2x+1, 所以 y′=﹣3x2+2, 曲线 y=﹣x3+2x+1 在点(0,1)处的切线的斜率为:y′|x=1=2. 此处的切线方程为:y﹣1=2(x﹣0) ,即 y=2x+1, 故答案为 y=2x+1.

6.在△ABC 中,已知 BC=2,AC=



,那么△ABC 的面积是



【考点】正弦定理. 【分析】利用正弦定理解出 sinA,cosA,根据两角和的正弦公式计算 sinC,代入三角形的 面积公式求得面积. 【解答】解:在△ABC 中,由正弦定理得 ,即 ,

解得 sinA=

,∴cosA=

. = = . .

∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= ∴S△ABC= 故答案为 . =

7.函数 y= +2lnx 的单调减区间为 (0, ]



【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】先利用导数运算公式计算函数的导函数 y′,再解不等式 y′<0,即可解得函数的单 调递减区间 【解答】解:∵ = (x>0)

由 y′>0,得 x> ,由 y′<0,得 0<x< , ∴函数 故答案为(0, ] 的单调减区间为(0, ]

8.若函数 f(x)= ax3﹣ax2+(2a﹣3)x+1 在 R 上存在极值,则实数 a 的取值范围是 (0, 3) . 【考点】利用导数研究函数的极值. 【分析】根据函数 f(x)= +(2a﹣3)x+1 存在极值点,可得 f′(x)=0 有两

不等实根,其判别式△>0,即可求得 a 的取值范围. 【解答】解:求导函数,可得 f′(x)=ax2﹣2ax+2a﹣3 ∵函数 f(x)= +(2a﹣3)x+1 存在极值点,

∴f′(x)=0 有两不等实根,其判别式△=4a2﹣4a(2a﹣3)>0 ∴0<a<3. ∴a 的取值范围是(0,3) . 故答案为: (0,3) .

9.已知 f(x)=

+sinx,则 f(﹣2)+f(﹣1)+f(0)+f(1)+f(2)= 5 .

【考点】函数的值. 【分析】根据条件求解 f(x)+f(﹣x)=2,然后即可得到结论. 【解答】解:∵f(x)= +sinx,

∴f(x)+f(x)=

+sinx+

+sin(﹣x)=



则 f(0)=1,f(﹣2)+f(﹣1)+f(0)+f(1)+f(2)=2+2+1=5, 故答案为:5.

10.已知 θ 为锐角,sin(θ+15°)= ,则 cos(2θ﹣15°)= 【考点】两角和与差的正弦函数;两角和与差的余弦函数.



【分析】由二倍角公式可得 cos(2θ+30°)的值,由 sin(θ+15°)= <

,进一步缩小角

的范围,由平方关系可得 sin(2θ+30°)的值,可得 cos(2θ﹣15°)=cos(2θ+30°﹣45°) ,由 两角差的余弦公式展开,代入数据解得可得. 【解答】解:由二倍角公式可得 cos(2θ+30°)=1﹣2sin2(θ+15°)=1﹣2× 又∵θ 为锐角,sin(θ+15°)= < , = ,

∴θ+15°<60°,即 θ<45°,∴2θ+30°<120°, ∴sin(2θ+30°)= 由两角差的余弦公式可得 = ,

cos(2θ﹣15°)=cos(2θ+30°﹣45°)= 故答案为:

=

11.已知向量

=(x﹣1,2) ,

=(4,y) ,若



,则 4x+2y 的最小值为

4 .

【考点】平面向量数量积的运算;基本不等式. 【分析】利用数量积的坐标运算可得 2x+y=2,然后利用基本不等式求最值. 【解答】解:∵ =(x﹣1,2) , =(4,y) ,若 ⊥ ,

则 4(x﹣1)+2y=0,即 4x+2y=4,2x+y=2, ∴4x+2y ≥ = .

当且仅当 4x=2y 上式取等号. 故答案为:4.

12.设函数 f(x)=

,函数 y=f[f(x)]﹣1 的零点个数为 2 .

【考点】函数的零点;根的存在性及根的个数判断. 【分析】根据函数 ,根据指数函数和对数函数的性质,我们可以

分类讨论,化简函数函数 y=f[f(x)]﹣1 的解析式,进而构造方程求出函数的零点,得到 答案. 【解答】解:∵函数 当 x≤0 时 y=f[f(x)]﹣1=f(2x)﹣1= 令 y=f[f(x)]﹣1=0,x=1(舍去) 当 0<x≤1 时 y=f[f(x)]﹣1=f(log2x)﹣1= ﹣1=x﹣1 ﹣1=x﹣1 ,

令 y=f[f(x)]﹣1=0,x=1 当 x>1 时 y=f[f(x)]﹣1=f(log2x)﹣1=log2(log2x)﹣1 令 y=f[f(x)]﹣1=0,log2(log2x)=1 则 log2x=2,x=4 故函数 y=f[f(x)]﹣1 的零点个数为 2 个 故答案为:2

13.在△ABC 中,∠A=60°,M 是 AB 的中点,若|AB|=2,|BC|=2 运动,则 的最小值为 .

,D 在线段 AC 上

【考点】平面向量数量积的运算;余弦定理. 【分析】把向量用 , 表示,可化简数量积的式子为 ,由余弦定理

可得 AC 的长度,进而可得 【解答】解:∵ 故 = = = = =( = ) ?( ,

的范围,由二次函数区间的最值可得答案. = ) = ,

, ,

设 AC=x,由余弦定理可得 整理得 x2﹣2x﹣8=0,解得 x=4 或 x=﹣2(舍去) , 故有 ∈[0,4],由二次函数的知识可知当 取最小值 故答案为: = 时,

14.一般地,如果函数 y=f(x)的定义域为[a,b],值域也是[a,b],则称函数 f(x)为“保 域函数”,下列函数中是“保域函数”的有 ②③⑤ . (填上所有正确答案的序号) 2 f x =x 1 x 1 1 ① 1( ) ﹣ , ∈[﹣ , ]; ②f2(x)= sinx,x∈[ ,π];

③f3(x)=x3﹣3x,x∈[﹣2,2]; ④f4(x)=x﹣lnx,x∈[1,e2]; ⑤f5(x)= ,x∈[0,2].

【考点】进行简单的合情推理. 【分析】求出题目中所给 5 个函数的值域,根据已知中“保域函数”的定义逐一进行判断,即 可得到答案. 【解答】解:对于①,f1(x)=x2﹣1,x∈[﹣1,1]的值域为[﹣1,0],不符合,故①舍 去; 对于②,f2(x)= sinx,x∈[ ,π]的值域为 ,故②正确;

对于③,

,于是 f3(x)在(﹣2,﹣1)上单调递增,在(﹣1,1)上

单调递减,在(1,2)上单调递增,其值域为[﹣2,2],故③正确; 对于④, , 单调递增,其值

域为[1,e2﹣2],不符合题意,故④舍去; 对于⑤,f5(0)=0, 当 x>0 时, 其值域为[0,2],故⑤正确. 故答案为:②③⑤. 二. 解答题: 本大题共六小题, 共计 90 分. 请在指定区域内作答, 解答时应写出文字说明. 证 明过程或演算步骤. 15.已知集合 A={x|(x﹣3) (x﹣3a﹣5)<0},函数 y=lg(﹣x2+5x+14)的定义域为集合 B. (1)若 a=4,求集合 A∩B; (2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数 a 的取值范围. 【考点】交集及其运算;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】 (1)利用 a=4,求出集合 A,对数函数的定义域求出集合 B,即可求解集合 A∩B. (2)通过“x∈A”是“x∈B”的充分条件,推出关于 a 的表达式,求出 a 的范围. 【解答】解: (1)因为集合 A={x|(x﹣3) (x﹣3a﹣5)<0}, a=4,所以(x﹣3) (x﹣3a﹣5)<0? (x﹣3) (x﹣17)<0, 解得 3<x<17,所以 A={x|3<x<17}, 由函数 y=lg(﹣x2+5x+14)可知﹣x2+5x+14>0,解得:﹣2<x<7, 所以函数的定义域为集合 B={x|﹣2<x<7}, 集合 A∩B={x|3<x<7}; (2)“x∈A”是“x∈B”的充分条件,即 x∈A,则 x∈B,集合 B={x|﹣2<x<7}, 当 3a+5>3 即 a>﹣ 时,3a+5≤7,解得﹣ <a≤ . 当 3a+5≤3 即 a≤﹣ 时,3a+5≥﹣2,解得﹣ ≥a≥﹣ . 综上实数 a 的取值范围: . (当且仅当 x=1 时, 等号成立) ,

16.已知向量 =(cosα,sinα) , =(cosβ,sinβ) , =(﹣1,0) . (1)求向量 的长度的最大值; (2)设 α= ,且 ⊥( ) ,求 cosβ 的值.

【考点】平面向量数量积的运算;向量的模;数量积判断两个平面向量的垂直关系. 【分析】 (1) 利用向量的运算法则求出 , 利用向量模的平方等于向量的平方求出 的平方,利用三角函数的平方关系将其化简,利用三角函数的有界性求出最值. (2)利用向量垂直的充要条件列出方程,利用两角差的余弦公式化简得到的等式,求出值. =(cosβ﹣1,sinβ) 【解答】解: (1) ,则

| |2=(cosβ﹣1)2+sin2β=2(1﹣cosβ) . ∵﹣1≤cosβ≤1, ∴0≤| |2≤4,即 0≤| |≤2. 当 cosβ=﹣1 时,有|b+c|=2, 所以向量 的长度的最大值为 2. =(cosβ﹣1,sinβ) (2)由(1)可得 , ?( )=cosαcosβ+sinαsinβ﹣cosα=cos(α﹣β)﹣cosα. ∵ ⊥( ) , =0 ∴ ?( ) ,即 cos(α﹣β)=cosα. 由 α= 即 β﹣ ∴β=2kπ+ ,得 cos( =2kπ± ﹣β)=cos (k∈Z) , ,

或 β=2kπ,k∈Z,于是 cosβ=0 或 cosβ=1.

17.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,φ∈[0,π) )的图象如图所示. (1)求 f(x)的解析式; (2)求函数 g(x)=f(x)+ f(x+2) ,在 x∈[﹣1,3]上的最大值和最小值.

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;三角函数的最值. 【分析】 (1)由图易知 A=3,T=8,f(1)=3,从而可求 ω 及 φ; (2)由(1)知 f(x)=3sin( x+ ) .当 x∈[﹣1,3]? x+ x+ ) ,于是可求 g(x)=f(x)+ ∈[ , f(x+2)=6sin(

],利用正弦函数的单调性即可求得

g(x)在 x∈[﹣1,3]上的最大值和最小值. 【解答】解: (1)由图可得 A=3, f(x)的周期为 8,则 =8,即 ω= ;

f(﹣1)=f(3)=0,则 f(1)=3, ∴sin( ∴φ= +φ)=1,即 , x+ ) ; +φ= +2kπ,k∈Z,又 φ∈[0,π) ,

综上所述,f(x)的解析式为 f(x)=3sin( (2)g(x)=f(x)+ f(x+2)

=3sin( =3sin( =6[ sin( =6sin(

x+ x+ x+ x+

)+3 )+3 )+ ) .

sin[ cos(

(x+2)+ x+ x+ )

)]

cos(

)]

当 x∈[﹣1,3]时, 故当 x+ =

x+

∈[

, x+

], )取得最大值为 1,

即 x=﹣ 时,sin(

则 g(x)的最大值为 g(﹣ )=6; 当 x+ = 即 x=3 时,sin( x+ )取得最小值为﹣ )=﹣3 . ,

则 g(x)的最小值为 g(3)=6×(﹣

18.已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=bcosC﹣

csinB.

(Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若点 D 为边 AC 的中点,BD=1,求△ABC 面积的最大值. 【考点】正弦定理. 【分析】 (Ⅰ)由正弦定理,三角形内角和定理,三角函数恒等变换化简已知可得 cosBsinC= ﹣ sinCsinB,

又 sinC≠0,从而可求 tanB=﹣ ,结合 B 为三角形内角,即可得解 B 的值. (Ⅱ) 由 D 为边 AC 的中点, 可得 2 = + , 两边平方, 设| |=c, | |=a, 可得 4=a2+c2 ﹣ac,结合基本不等式的应用可得 ac 的最大值,利用三角形面积公式即可得解. 【解答】 (本题满分为 12 分) 解: (Ⅰ)∵a=bcosC﹣ csinB, sinCsinB,

∴由正弦定理可得:sinA=sinBcosC﹣ ∴sin(B+C)=sinBcosC﹣ sinCsinB,

∴sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC﹣ ∴cosBsinC=﹣ sinCsinB,

sinCsinB,

又∵C 为三角形内角,可得 sinC≠0, ∴tanB=﹣ ,

又∵B 为三角形内角,可得 B=



(Ⅱ)如图,∵点 D 为边 AC 的中点, ∴2 = + , ∴两边平方可得:4| |2=| |2+2| |?| 又∵由(Ⅰ)知 B= 设| ,

|?cos∠ABC+|

|2,…

|=c,| |=a, 即:4=a2+c2﹣ac≥ac, (当且仅当 a=c=2 时等号成立) , ∴S△ABC= acsin∠ABC= ac≤ . .…

∴当且仅当 a=c=2 时,△ABC 面积的最大值为

19.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A、B、C 三点满足 (Ⅰ)求证:A、B、C 三点共线; (Ⅱ)求 的值;

=

+



(Ⅲ)已知 A(1,cosx) 、B(1+cosx,cosx) ,x∈[0, | |的最小值为﹣ ,求实数 m 的值.

],f(x)=

?

﹣(2m+ )

【考点】三点共线;三角函数的最值. 【分析】 (Ⅰ)求证:A、B、C 三点共线,可证由三点组成的两个向量共线,由题设条件不 难得到; (II)由(Ⅰ) (Ⅲ)求出 为 ,由参数即可, ,即 , 变形即可得到两向量模的比值; 的解析式,判断其最值取到的位置,令其最小值

【解答】解: (Ⅰ)由已知 ∴ ∥ .又∵ 、

有公共点 A,∴A,B,C 三点共线. ,∴ = ∴ ,∴ .

(Ⅱ)∵

(Ⅲ)∵C 为 ∴

的定比分点,λ=2,∴





,∴cosx∈[0,1]

当 m<0 时,当 cosx=0 时,f(x)取最小值 1 与已知相矛盾; 当 0≤m≤1 时,当 cosx=m 时,f(x)取最小值 1﹣m2,得 当 m>1 时,当 cosx=1 时,f(x)取得最小值 2﹣2m,得 综上所述, 为所求. (舍)

20.设函数 f(x)=

x2+ax﹣lnx(a∈R) .

(Ⅰ)当 a=1 时,求函数 f(x)的极值; (Ⅱ)当 a>1 时,讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅲ)若对任意 a∈(3,4)及任意 x1,x2∈[1,2],恒有 m+ln2>|f(x1)﹣f

(x2)|成立,求实数 m 的取值范围. 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用. 【分析】 (Ⅰ)确定函数的定义域,利用导数的正负,确定函数的单调性,从而可求函数的 极值; (Ⅱ)求导函数 f′(x)= ,分类讨论,利用导数的正负,确定

函数的单调性; (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 a∈(3,4)时,f(x)在[1,2]上单调递减,从而可得 对任意 a∈(3,4) ,恒有

,等价于 m> 论. 【解答】解: (Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞) 当 a=1 时,f(x)=x﹣lnx,则 f′(x)= 令 f′(x)>0,可得 x<0 或 x>1,∵x>0,∴x>1; 令 f′(x)<0,可得 0<x<1,∵x>0,∴0<x<1; ∴x=1 时,函数 f(x)取得极小值为 1;

,求出右边函数的值域,即可求得结

(Ⅱ)f′(x)=



,即 a=2 时,

,f(x)在(0,+∞)上是减函数;

当 当

′ x) , 即 a>2 时, 令f ( <0, 得

′ x) 或 x>1; 令f ( >0, 得 ;令 f′(x)>0,得

,即 1<a<2 时,令 f′(x)<0,得 0<x<1 或 x>

综上,当 a=2 时,f(x)在定义域上是减函数; 当 a>2 时,f(x)在(0, )和(1,+∞)上单调递减,在( ,1)上单调递增; )上单调递

当 1<a<2 时,f(x)在(0,1)和(

,+∞)上单调递减,在(1,

增; (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 a∈(3,4)时,f(x)在[1,2]上单调递减 ∴当 x=1 时,f(x)有最大值,当 x=2 时,f(x)有最小值 ∴

∴对任意 a∈(3,4) ,恒有

∴m>

构造函数

,则

∵a∈(3,4) ,∴

∴函数

在(3,4)上单调增

∴g(a)∈(0, ∴m≥ .



2016 年 12 月 3 日


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