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【金版学案】2015-2016高中数学 模块综合检测卷 新人教A版选修2-2


模块综合检测卷
(测试时间:120 分钟 评价分值:150 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分;在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 7+i 1.(2014·高考天津卷)i 是虚数单位,复数 =(A) 3+4i A.1-i C. 17 31 + i 25 25 B.-1+i 17 25 D.- + i 7 7

7+i (7+i)(3-4i) 25-25i 解析: = = =1-i,故选 A. 3+4i 25 25 2-i 2.i 是虚数单位,在复平面上复数 对应的点到原点的距离是(D) 1+i A. C. 2 2 6 2 B. D. 5 2 10 2

解析:

2-i (2-i)(1-i) 1-3i 2-i = = ,所以复数 在复平面上对应的点为 1+i 2 2 1+i

?1,-3?,它到原点的距离为 ?2 2? ? ?
1 2 3 2 10 ( ) +(- ) = .故选 D. 2 2 2 3.(2015·广东江门调研)i 是虚数单位,则( A.1 1 3 C. - i 2 2 解析:? 1 3 B.- + i 2 2 1 3 D.- - i 2 2 3 1 1 3 i- )(- + i)=(D) 2 2 2 2

3 3 1 3 1 3 3 ? ? 3 1?? 1 i- ??- + i?=- i- + - i=- - i.故选 D. 4 4 4 4 2 2 2?? 2 2 ? ?2

4.数列 2,5,11,20,x,47,?中的 x 等于(B) A.28 B.32 C.33 D.27

解析:由题中数字可发现:2+3=5,5+6=11,11+9=20,故 20+12=32. 5.(2015·海南省海南中学 5 月模拟改编)已知直线 y=2x+1 与曲线 y=x +ax+b 相
1
3

切于点(1,3),则实数 b 的值为(C) A.1 B.-3 C.3 D.-1

? ? ?1+a+b=3, ?a=-1, 2 解析:y′=3x +a,所以有? 解得? 故选 C. ?3+a=2, ?b=3. ? ?

6.(2014·高考山东卷)用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x +ax+b=0 至 少有一个实根”时,要做的假设是(A) A.方程 x +ax+b=0 没有实根 B.方程 x +ax+b=0 至多有一个实根 C.方程 x +ax+b=0 至多有两个实根 D.方程 x +ax+b=0 恰好有两个实根 解析:反证法的步骤第一步是假设命题反面成立,而“至少有一个根”的否定是“没 有”,故选 A. 7.在复平面内,若复数 z 满足|z+1|=|1+iz|,则 z 在复平面内对应点的轨迹是(A) A.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线
2 2 2 2 2 2

2

解析:设 z=x+yi(x、y∈R),|x+1+yi|= (x+1) +y , |1+iz|=|1+i(x+yi)|= (y-1) +x ,则 (x+1) +y = (y-1) +x . ∴复数 z=x+yi 对应点(x,y)的轨迹为到点(-1,0)和(0,1)距离相等的直线. 8.如图,阴影部分面积为(B)
2 2 2 2 2 2

解析:

2

9.一个物体的运动方程为 s=1-t+t ,其中 s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体 在 3 秒末的瞬时速度是(C) A.7 米/秒 B.6 米/秒 C.5 米/秒 D.8 米/秒

2

解析:s′(t)=2t-1,s′(3)=2×3-1=5.

? 3? 10.(2015·安徽江淮十校 4 月联考)二次函数 f(x)的图像经过点?0, ?,且 f′(x)= ? 2?
-x-1,则不等式 f(10 )>0 的解集为(D) A.(-3,1) C.? B.(-lg3,0) D.(-∞,0)
x

? 1 ,1? ? ?1000 ?

3 3 2 解析:由 f′(x)=-x-1 知 f(x)=-x -x+m,又 f(0)= ,所以 m= ,即 f(x)=- 2 2 1 2 3 1 3 x -x+ ,f(x)=- x2-x+ >0? -3<x<1,所以 10x<1,x<0,故选 D. 2 2 2 2 11.(2014·高考新课标全国Ⅰ卷)已知函数 f(x)=ax -3x +1,若 f(x)存在唯一的零 点 x0,且 x0>0,则 a 的取值范围是(C) A.(2,+∞) C.(-∞,-2) B.(1,+∞) D.(-∞,-1)
2 3 2

解析:当 a=0 时,f(x)=-3x +1,函数 f(x)有两个零点

3 3 和- ,不满足题意, 3 3

2 2 舍去;当 a>0 时,f′(x)=3ax -6x,令 f′(x)=0 ,得 x=0 或 x= ,x∈(-∞,0)时,

a

f′(x)>0;x∈?0, ?时,f′(x)<0;x∈? ,+∞?时,f′(x)>0,且 f(0)>0, 此时在 x∈(- ? a? ?a ?
2? ? ?2 ? ∞,0)必有零点,故不满足题意,舍去;当 a<0 时,x∈?-∞, ?时,f′(x)<0,x∈? ,0?

?

2?

?2

?

?

a?

?a

?

时,f′(x)>0;x∈(0,+∞)时,f′(x)<0,且 f(0)>0,要使得 f(x)存在唯一的零点 x0,

?2? 2 且 x0>0,只需 f? ?>0,即 a >4,则 a<-2,选 C. ?a?
12.若数列{an}是等差数列,则数列{bn}?bn=

? ?

a1+a2+?+an? ?也为等差数列.类比这一 n ?

性质可知,若正项数列{cn}是等比数列,且{dn}也是等比数列,则 dn 的表达式应为(D)

c1+c2+?+c1
A.dn= 2

n

3

B.dn=

c1·c2·?·cn n
n n n n c1 +c2+?+cn n

C.dn=

D.dn= c1·c2·?·cn 解析:若{an}是等差数列,则 a1+a2+?+an=na1+

n

n(n-1) d,
2

(n-1) d d ∴bn=a1+ d= n+a1- ,即{bn}为等差数列; 2 2 2 若{cn}是等比数列,则 c1·c2·?·cn=c1·q
n
1+2+?+(n-1)

n(n-1) =c1·q , 2
n

n-1 ∴dn= c1·c2·?·cn=c1·q 2 ,即{dn}为等比数列,故选 D. n
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分;将正确答案填在题中的横线上) 13.

解析:

1 答案: 2 14.已知函数 f(x)=3x-x ,当 x=a 时取得极大值 b,则 a+b 等于______________. 解析:由 f′(x)=3-3x =0,解得 x=±1,当 x<-1,f′(x)<0;当-1<x<1,f′ (x)>0;当 x>1,f′(x)<0.故 f(x)在 x=1 处取得极大值,所以 a=1,b=3×1-1 =2, 所以 a+b=3. 答案:3 15. 若数列{an}的通项公式 an= 1 * 记 f(n)=(1-a1)(1-a2)?(1-an), 2(n∈N ), (n+1)
3 2 3

试通过计算 f(1),f(2),f(3)的值,推测出 f(n)=________. 1 ? 1 ?? 1 ? 解析:f(n)=?1- 2??1- 2??[1- 2]= (n+1) ? 2 ?? 3 ?

?1-1??1+1??1-1??1+1??(1- 1 )(1+ 1 )=1×3×2×4×3×?× n ×n+2 ? 2?? 2?? 3?? 3? n+1 n+1 2 2 3 3 4 n+1 n+1 ? ?? ?? ?? ?
n+2 = . 2n+2
4

n+2 答案: 2n+2
16.观察下图中各正方形图案,每条边上有 n(n≥2)个点,第 n 个图案中圆点的总数是

Sn.

n=2, S2=4, n=3, S3=8, n=4, S4=12, ?, 按此规律, 推出 Sn 与 n 的关系式为________.
解析:依图的构造规律可以看出:

S2=2×4-4, S3=3×4-4, S4=4×4-4(正方形四个顶点重复计算一次,应减去).
?? 猜想:Sn=4n-4(n≥2,n∈N ). 答案:Sn=4n-4(n≥2,n∈N ) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分;解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演 算步骤) 17.(本小题满分 11 分)已知 z 是复数,z+2i, 均为实数,且(z+ai) 的对应点在 2-i 第一象限,求实数 a 的取值范围. 解析:设 z=x+yi(x,y∈R). 则 z+2i=x+(y+2)i 为实数,∴y=-2.
* *

z

2

z x-2i 1 1 1 又= = = (x-2i)·(2+i)= (2x+2)+ (x-4)i 为实数, 2-i 2-i 5 5 5
∴x=4,∴z=4-2i. 又∵(z+ai) =(4-2i+ai) =(12+4a-a )+8(a-2)i 在第一象限,
?12+4a-a >0, ? ∴? ?8(a-2)>0, ?
2 2 2 2

解得 2<a<6,

∴实数 a 的取值范围是(2,6). 18.(本小题满分 11 分)设 a 为实数,函数 f(x)=x -x -x+a,若函数 f(x)过点 A(1, 0),求函数在区间[-1,3]上的最值. 解析:因为函数过点 A(1,0),代入函数的解析式得 a=1;f′(x)=3x -2x-1. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况见下表:
5
2 3 2

所以 f(x)的最大值是 f(3)=16, 最小值是 f(-1)=f(1)=0. 19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=a +
x

x-2 (a>1). x+1

(1)证明:函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数; (2)用反证法证明方程 f(x)=0 没有负根. 证明:(1)f′(x)=a ln a+
x

x+1-(x-2) x 3 =a ln a+ 2 2,因为 a>1,所以 ln (x+1) (x+1)

a>0,所以 f′(x)>0 在(-1,+∞)上恒成立,即 f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
(2)设存在 x0<0(x0≠-1)满足 f(x0)=0, 则 ax0=-

x0-2 ,且 0<ax0<1. x0+1 x0-2 1 <1,即 <x0<2,与假设 x0<0 矛盾. x0+1 2

所以 0<-

故方程 f(x)=0 没有负数根. 3 1 3 20.(本小题满分 12 分)已知 f(x)=-x +ax,其中 a∈R,g(x)=- x2,且 f(x)<g(x) 2 在(0,1]上恒成立.求实数 a 的取值范围. 3 1 解析:设 F(x)=f(x)-g(x)=-x +ax+ x2, 2
3

∵f(x)<g(x)在(0,1]上恒成立;F(x)<0 在(0,1]上恒成立, 1 1 2 ∴a<x - x2,这样,要求 a 的取值范围,使得上式在区间(0,1]上恒成立,只需求函 2 1 1 2 数 h(x)=x - x2在(0,1]上的最小值. 2 ∵h′(x)=2x- 2 x+1)=0. 1 ? 1? ?1 ? ∵4x+2 x+1>0,∴2 x-1=0,x= .又∵x∈?0, ?时,h′(x)<0,x∈? ,1?时, 4 ? 4? ?4 ?
6

1 4 x



(2 x-1)(4x+2 x+1) 4 x

,由 h′(x)=0,(2 x -1)(4x+

h′(x)>0,∴x= 时,h(x)有最小值 h? ?=- ,∴a<- . 4
21.(本小题满分 12 分)设 f(x)=3ax +2bx+c,若 a+b+c=0,f(0)·f(1)>0,求证: (1)方程 f(x)=0 有实根; (2)-2< <-1; (3)设 x1,x2 是方程 f(x)=0 的两个实根,则 3 2 ≤|x1-x2|< . 3 3
2 2

1 4

?1? ? ?

3 16

3 16

b a

证明:(1)若 a=0,b=-c,f(0)·f(1)=c(3a+2b+c)=-c ≤0, 与已知矛盾,所以 a≠0. 方程 3ax +2bx+c=0 的判别式 Δ = 4(b - 3ac) , 由 条 件 a + b + c = 0 , 消 去 b , 得 Δ = 4(a + c - ac) = 1 3 2? 2 ? 4?(a- c) + c ?>0. 2 4 ? ? 故方程 f(x)=0 有实根. (2)由 f(0)·f(1)>0,得 c(3a+2b+c)>0. 由条件 a+b+c=0,消去 c,得(a+b)(2a+b)<0. ∵a >0,∴?1+ ??2+ ?<0.故-2< <-1. a a
2 2 2 2 2

? ?

b??

??

b?

?

b a

2b c a+ b (3)由条件,知 x1+x2=- ,x1x2= =- , 3a 3a 3a 4?b 3?2 1 2 2 ∴(x1-x2) =(x1+x2) -4x1x2= ? + ? + . 9?a 2? 3

b 1 3 2 2 4 ∵-2< <-1,∴ ≤(x1-x2) < .故 ≤|x1-x2|< . a 3 9 3 3
22.(本小题满分 12 分)(2015·佛山一模)设函数 f(x)= 常数,e=2.71828?是自然对数的底数). (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)求实数 a, 使曲线 y=f(x)在点(a+2, f(a+2))处的切线斜率为-

ex

x-a

的导函数为 f′(x)(a 为

a3+6a2+12a+7
4

.

解析: (1) 函数 f(x)的定义域是 ( -∞, a)∪(a,+∞),对 f(x) 求导得:f′(x)=

ex(x-a-1) , 2 (x+a)
由 f′(x)>0 得 x>a+1;由 f′(x)<0 得 x<a 或 a<x<a+1, 所以 f(x)在(-∞,a),(a,a+1)上单调递减,在(a+1,+∞)上单调递增.

7

(2)由(Ⅰ)得 f′(a+2)= 令

ea+2
4


a+2

ea+2
4

=-

a3+6a2+12a+7
4
t
3

得e

+a +6a +12a+7=0???①

3

2

令 a+2=t,则有 e +t -1=0, 令 h(t)=e +t -1,则 h′(t)=e +3t >0, 故 h(t)是 R 上的增函数,又 h(0)=0,因此 0 是 h(t)的唯一零点,即-2 是方程①的唯 一实数解, 故存在唯一实数 a=-2 满足题设条件.
t
3

t

2

8


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