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吉林省东北师范大学附属中学2014-2015学年高中数学1.3.1.2用二分法求方程的近似解学案 新人教A版必修1


吉林省东北师范大学附属中学 2014-2015 学年高中数学 1.3.1.2 用 二分法求方程的近似解学案 新人教 A 版必修 1
一.知识点 1.二分法的概念 对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x) 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方 法叫做二分法.由函数的零点与相应方程根的关系,可用二分法来求方程的近似解. 2.用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤 (1)确定区间[a,b],验证 f(a)·f(b)<0,给定精确度 ε ; (2)求区间(a,b)的中点 c; (3)计算 f(c); ①若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点; ②若 f(a)·f(c)<0,则令 b=c(此时零点 x0∈(a,c)); ③若 f(c)·f(b)<0,则令 a=c(此时零点 x0∈(c,b)). (4)判断是否达到精确度 ε :即若|a-b|<ε ,则得到零点近似值 a(或 b);否则重复(2)~ (4). 二、基础过关 1.用“二分法”可求近似解,对于精确到 ε 说法正确的是________.(填序号) ①ε 越大,零点的精确度越高; ②ε 越大,零点的精确度越低; ③重复计算次数就是 ε ; ④重复计算次数与 ε 无关. 2.函数 f(x)=log2x+2x-1 的零点必落在区间________. 1 1 1 1 1 ①( , );②( , );③( ,1);④(1,2). 8 4 4 2 2 3.在用二分法求函数 f(x)零点近似值时,第一次取的区间是[-2,4],则第三次所取的 区间可能是________.
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①[1,4];②[-2,1];③[-2,2.5];④[-0.5,1]. 4.下列关于函数 y=f(x),x∈[a,b]的叙述中,正确的个数为________. ①若 x0∈[a,b]且满足 f(x0)=0,则(x0,0)是 f(x)的一个零点; ②若 x0 是 f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求 x0 的近似值; ③函数 f(x)的零点是方程 f(x)=0 的根,但 f(x)=0 的根不一定是函数 f(x)的零点; ④用二分法求方程的根时,得到的都是近似值. 5.已知函数 f(x)的图象是不间断的,x、f(x)的对应关系见下表,则函数 f(x)存在零点 的区间有________.

x f(x)

1 6

2 5

3

4

5

6

-3 10 -5 -23 1 ? ? ?1? 3 6.用二分法研究函数 f(x)=x +ln?x+ ?的零点时,第一次经计算 f(0)<0,f? ?>0,可 2 ? ? ?2? 得其中一个零点 x0∈________,第二次应计算________. 7.确定函数 f ( x) ? log 1 x ? x ? 4 的零点所在的区间.
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那么方程 2 =x 的一个根位于下列哪个区间内________. ①(0.6,1.0);②(1.4,1.8);③(1.8,2.2);④(2.6,3.0). 9.已知函数 f(x)=logax+x-b (a>0, 且 a≠1). 当 2<a<3<b<4 时, 函数 f(x)的零点 x0∈(n,

x

2

n+1),n∈N*,则 n=________.
10.方程 x -5x -lg x=0 在区间(1,10)内的实数解的个数是________. 11.利用计算器, 求方程 x -6x+7=0 的近似解(精确到 0.1).
2 5 2

2

12.在 26 枚崭新的金币中,混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻),现在只 有一台天平,请问:用二分法的思想你最多称几次就可以发现这枚假币? 三、探究与拓展 13.已知函数 f(x)=3ax +2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,证明 a>0,并利用二 分法证明方程 f(x)=0 在[0,1]内有两个实根.
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附答案: 1.答案 ② 解析 依“二分法”的具体步骤可知,ε 越大,零点的精确度越低. 2.答案 ③ 1 15 1 5 1 解析 f( )=- <0,f( )=- <0,f( )=-1<0,f(1)=1>0,f(2)=4>0,∴函数零点 8 4 4 2 2 1 落在区间( ,1)上. 2 3.答案 ④ 解析 因第一次所取的区间是[-2,4],所以第二次的区间可能是[-2,1]、[1,4];第三

次所取的区间可能为[-2,-0.5],[-0.5,1],[1,2.5],[2.5,4],只有④在其中,故 答案为④. 4.答案 0 解析 ∵①中 x0∈[a,b]且 f(x0)=0,∴x0 是 f(x)的一个零点,而不是(x0,0),∴①错误; ②∵函数 f(x)不一定连续, ∴②错误; ③方程 f(x)=0 的根一定是函数 f(x)的零点, ∴③ 错误;④用二分法求方程的根时,得到的根也可能是精确值,∴④也错误.

3

1 0+ 2 1 1 第二次计算应计算 0 和 在数轴上对应的中点 x1= = . 2 2 4 7.解 (答案不唯一) 设 y1 ? log 1 x ,y2=4-x,则 f(x)的零点个数即 y1 与 y2 的交点个数,作出两函数图象,
2

如图.

由图知,y1 与 y2 在区间(0,1)内有一个交点, 当 x=4 时,y1=-2,y2=0,f(4)<0, 当 x=8 时,y1=-3,y2=-4,f(8)=1>0, ∴在(4,8)内两曲线又有一个交点. 故函数 f(x)的两零点所在的区间为(0,1),(4,8).

9.答案 2 解析 ∵2<a<3, ∴f(x)=logax+x-b 为定义域上的单调函数.

f(2)=loga2+2-b,f(3)=loga3+3-b.
lg 2 lg 2 ∵2<a<3<b,∴lg 2<lg a<lg 3,∴ < <1. lg 3 lg a 又∵b>3,∴-b<-3,∴2-b<-1, ∴loga2+2-b<0,即 f(2)<0. lg 3 lg 3 ∵1< < ,3<b<4,∴-1<3-b<0, lg a lg 2

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∴loga3+3-b>0,∴f(3)>0,即 f(2)·f(3)<0. 由 x0∈(n,n+1),n∈N 知,n=2. 10.答案 1 解析 设 f(x)=x -5x -lg x, 由于 f(1)=-4<0,f(10)>0, 而函数 f(x)=x -5x -lg x 在(1,10)内单调, 那么方程在区间(1,10)内的实数解的个数为 1 个. 11.解 设 f(x)=x -6x+7,通过观察函数的草图得:
2 5 2 5 2 *

f(1)=2>0,f(2)=-1<0,∴方程 x2-6x+7=0 有一根在(1,2)内,设为 x1,
∵f(1.5)=0.25>0,∴1.5<x1<2, 1.5+2 又∵f( )=f(1.75)=-0.437 5<0,∴1.5<x1<1.75,如此继续下去,得 2

f(1)>0,f(2)<0? x1∈(1,2),f(1.5)>0,f(2)<0? x1∈(1.5,2), f(1.5)>0,f(1.75)<0? x1∈(1.5,1.75),f(1.5)>0, f(1.625)<0? x1∈(1.5,1.625) f(1.562 5)>0,f(1.625)<0? x1∈(1.562 5,1.625)
∵1.562 5,1.625 精确到 0.1 的近似值都为 1.6,所以方程 x -6x+7=0 的一个近似解为 1.6,用同样的方法,可求得方程的另一个近似解为 4.4.
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三、探究与拓展 13.证明 ∵f(1)>0, ∴3a+2b+c>0,即 3(a+b+c)-b-2c>0, ∵a+b+c=0,∴-b-2c>0,

5

则-b-c>c,即 a>c. ∵f(0)>0,∴c>0,则 a>0. 1 在[0,1]内选取二等分点 , 2 1 3 3 1 ? ? 则 f? ?= a+b+c= a+(-a)=- a<0. 4 4 ?2? 4 ∵f(0)>0,f(1)>0, ? 1? ?1 ? ∴f(x)在区间?0, ?和? ,1?上至少各有一个零点, ? 2? ?2 ? 又 f(x)最多有两个零点,从而 f(x)=0 在[0,1]内有两个实根.

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