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高中导数[1]

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导数
一、 导数考试考试要求:
1、 了解导数的概念的实际背景; 2、 理解导数的几何意义; 3、 掌握函数 y=c(c 为常数)和 y=xn 的导数公式,会求多项式的导数 4、 理解极大值、极小值、最小值、最小值的概念,并会用导数求多项式函数的单调区间、 极大值、极小值、最大值、最小值及闭区间上的最大值和最小值。 5、 会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值。

二、 导数公式
基本初等函数求导公式 (1) (3) (5) (7) (9)
(C ) ? ? 0

(2) (4)
x

(x

?

)? ? ? x

? ?1

(sin x ) ? ? cos x

(cos x ) ? ? ? sin x
(cot x ) ? ? ? csc
2

(tan x ) ? ? sec

2

(6) (8) (10)

x

(sec x ) ? ? sec x tan x
(a )? ? a
x x

(csc x ) ? ? ? csc x cot x

ln a

(e )? ? e
x

x

(log

(11)

a

x)? ?

1 x ln a

(ln x ) ? ?

1 x ,

(12)

(arcsin

x)? ?

1 1? x
1 1? x
2

(arccos
2

x)? ? ?

1 1? x
1 1? x
2

(13)
(a rc ta n x ) ? ?

(14)
(a rc c o t x ) ? ? ?

2

(15)

(16)

函数的和、差、积、商的求导法则

设 u ? u ( x ) , v ? v ( x ) 都可导,则

(1)

(u ? v ) ? ? u ? ? v ?

(2)

( Cu ) ? ? C u ?

( C 是常数)

(3)

( uv ) ? ? u ?v ? u v ?

(4)

? u ?v ? u v ? ?u ? ? ? ? 2 v ? v ?

1

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复合函数求导法则 设 y ? f (u ) ,而 u ? ? ( x ) 且 f ( u ) 及 ? ( x ) 都可导,则复合函数 y ? f [? ( x )] 的导数为
y ? ? f ?( u ) ? ? ?( x )



三、 考点
1、 导数的概念及应用;
y ? (2 x ? 3)
5

y ? S i n2
3

x

2、 利用导数法判断函数的单调性 (2010 年全国二)已知函数 f ( x ) ? x ? 3 a x ? 3 x ? 1 ,求当 a ? 2 ,求 f ( x ) 的单调区间
3 2

做题步骤:1、求导;2、令 f ( x ) ? 0
/

并求出其解;3、求单调区间
x

( ? ? , x1 )
/

( x1 , x 2 )

( x2 , ? ? )

f (x)

+ 单增

— 单减

+ 单增

f (x)

3、 利用导数求函数的极值 (2010 年全国一)已知函数 f ( x ) ? 3 a x ? 2 ( 3 a ? 1) x ? 4 x ,当 a ?
4 2

1 6

时,求 f ( x ) 的极值

与上面做题步骤 一 样 , f ( x1 ) 、
f ( x2 ) 就 为 函 数

的极值

4、 利用导数求函数的最值与值域
2

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(2008 浙江)已知 a 是实数,函数 f ( x ) ? x ( x ? a ) 求 f ( x ) 在区间 ? 0 , 2 ? 上的最大值?
2

最值分为最大 值、最小值 5、 导函数的几何意义 已知函数 f ( x ) ? a x ? b x ? c x ? d x ? e 为偶函数,它的图象过点 A ( 0 , ? 1) ,且在 x ? 1 处
4 3 2

的切线方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 ,求函数 f ( x ) 的表达式。

偶 函数的 奇次项 为 0;奇函数的偶次项 为0
f ( x0 ) ? k
/

注意:补充一下有关于奇函数与偶函数的性质

3

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