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2012年高考数学 试题解析分项版之专题04 数列--教师版 文


2012 年高考试题解析数学(文科)分项版之专题 04 数列--教师版
一、选择题: 1.(2012 年高考安徽卷文科 5)公比为 2 的等比数列{ an } 的各项都是正数,且 a3a11 ? 16 , 则 a5 =( (A) 1 ) (B)2 (C) 4 (D)8

2.(2012 年高考辽宁卷文科 4)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则 a2+a10= (A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24 【答案】B 【解析】? a4 ? a8 ? (a1 ? 3d ) ? (a1 ? 7d ) ? 2a1 ? 10d ,

a2 ? a10 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 9d ) ? 2a1 ? 10d ,?a2 ? a10 ? a4 ? a8 ? 16 ,故选 B
【考点定位】本题主要考查等差数列的通项公式、同时考查运算求解能力,属于容易题. n 3. (2012 年高考新课标全国卷文科 12)数列{an}满足 an+1+(-1) an =2n-1,则{an}的 前 60 项和为 (A)3690 (B)3660 (C)1845 (D)1830

4.(2012 年高考北京卷文科 6)已知为等比数列,下面结论种正 确的是 (A)a1+a3≥2a2 (B) a1 ? a3 ? 2a2 (C)若 a1=a3,则 a1=a2(D)若 a3>a1,则 a4>a2
2 2 2

1

5. (2012 年高考湖北卷文科 7)定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数 f(x) ,如果对于 任意给定的等比数列{an},{f(an)}仍是等比数列,则称 f(x)为“保等比数列函数” 。现 有定义 在(-∞,0)∪(0,+∞)上的如下函数:①f(x)=x?;②f(x)=2 ;③ ④f(x)=ln|x |. 则其中是“ 保等比数列函数”的 f(x)的序号为( A.①② B.③④ C.①③ D.② ④ )
x



6.(2012 年高考全国卷文科 6)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 1 ? 1 ,Sn ? 2an?1 ,则 Sn ? a , (A) 2
n ?1

(B) ( )

3 2

n ?1

(C) ( )

2 3

n ?1

(D)

1 2 n ?1

【答案】B 【解析】因为 an?1 ? S n?1 ? S n ,所以由 S n ? 2an?1 得 , S n ? 2(S n?1 ? S n ) ,整理得

3S n ? 2S n?1 ,所以
3 2

S n ?1 3 3 ? ,所以数列 {S n } 是以 S1 ? a1 ? 1为首项,公比 q ? 的等比 2 Sn 2

n ?1 数列,所以 S n ? ( ) ,选 B.

7.(2012 年高考四川卷文科 12)设函数 f ( x) ? ( x ? 3) ? x ? 1 ,{an } 是公差不为 0 的等差数
3

列, f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a7 ) ? 14 ,则 a1 ? a2 ? ?a7 ? ( A、0 【答案】D B、7 C、14

) D、21

【解析】∵ {an } 是公差不为 0 的等差数列,且 f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a7 ) ? 14 ∴ [(a1 ? 3) ? a1 ? 1] ? [(a2 ? 3) ? a2 ? 1] ? ? ? [(a7 ? 3) ? a7 ? 1] ? 14
3 3 3

∴ (a1 ? a2 ? ?a7 ) ? 7 ? 14

2

∴ a1 ? a2 ? ?a7 ? 21 【考点定位】本小题考查的知识点较为综合,既考查了高次函 数的性质又考查了等差数列 性质的应用,解决此类问题必须要敢于尝试,并需要认真观察其特点. 8. (2012 年高考福建卷文科 11)数列{an}的通项公式 S2012 等于 A.1006 B.2012 C.503 ,其前 n 项和为 Sn,则 D.0

二、填空题: 9.(2012 年高考北京卷文科 10)已知{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 a1 ? 则 a2=______,Sn=_______。 【答案】 a2 ? 1 , Sn ?

1 ,S2=a3, 2

1 2 1 n ? n 4 4 1 , 2

【解析】因为 S2 ? a3 ? a1 ? a2 ? a3 ? a1 ? a1 ? d ? a1 ? 2d ? d ? a1 ? 所以 a2 ? a1 ? d ? 1, S n ? na1 ? n(n ? 1)d ?

1 2 1 n ? n。 4 4

10.(2012 年高考辽宁卷文科 14)已知等比数列{an}为递增数列.若 a1>0,且 2(a n+a n+2) =5a n+1 ,则数列{an}的公比 q = _____________________.

11. (2012 年高考广东卷文科 12)若等比数列{an}满足 a2 a4 ? 【答案】

1 2 ,则 a1a3 a5 ? 2

1 4
2

【解析】因为是等比数列,所以 a1a5 ? a2 a4 ? a3 ?

1 1 ,所以 a1a32 a5 = . 2 4

【考点定位】本题考查等比数列的性质, 属容易题. 12.(2012 年高考新课标全国卷文科 14)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公 比 q=_______

3

13. (2012 年高考湖南卷文科 16)对于 n ? N ,将 n 表示为

?

n ? ak ? 2k ? ak ?1 ? 2k ?1 ? ?? a1 ? 21 ? a0 ? 20 ,当 i ? k 时 ai ? 1 ,当 0 ? i ? k ? 1 时 ai 为 0
或 1,定义 bn 如下:在 n 的上述表示中,当 a0 , a1 ,a2,?,ak 中等于 1 的个数为奇数时,

bn=1;否则 bn=0. (1)b2+b4+b6+b8=__; (2)记 cm 为数列{bn}中第 m 个为 0 的项与第 m+1 个为 0 的项之间的项数,则 cm 的最大值是
___.

14.(2012 年高考重庆卷文科 11)首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 4 项和 S4 ? 【答案】15 【解析】 S4 ?

1 ? 24 ? 15 1? 2

【考点定位】本题考查等比数列的前 n 项和公式 15. (2012 年高考江西卷文科 13)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,公比不为 1。若 a1=1,且 对任意的 都有 an+2+an+1-2an=0,则 S5=_________________。

【答案】11 【解析】由已知可得公比 q=-2,则 a1=1 可得 S5。 16. (2012 年高考上海卷文科 7)有一列正方体,棱长组成以 1 为首项、

1 为公比的等比数 2

4

列,体积分别记为 V1 ,V2 ,...,Vn ,... ,则 lim(V1 ? V2 ? ... ? Vn ) ?
n ??

.

17. (2012 年高考上海卷文科 14)已知 f ( x ) ?

1 ,各项均为正数的数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , 1? x
.

an?2 ? f (an ) ,若 a2010 ? a2012 ,则 a20 ? a11 的值是

三、解答题: 18.(2012 年高考山东卷文科 20) (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的前 5 项和为 105,且 a20 ? 2a5 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)对任意 m ? N* ,将数列 {an } 中不大于 7 2 m 的项的个数记为 bm .求数列 {bm } 的前 m 项和
Sm .

?5a1 ? 10d ? 105, 【解析】 (I)由已知得: ? ?a1 ? 9d ? 2(a1 ? 4d ),

5

解得 a1 ? 7, d ? 7 , 所以通项公式为 an ? 7 ? (n ? 1) ? 7 ? 7n .

19. (2012 年高考广东卷文科 19)(本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 前 n 项和为 Sn ,数列 ?Sn ? 的前 n 项和为 Tn ,满足 Tn ? 2Sn ? n2 , n ? N .
*

(1)求 a1 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式.

所以 ?an ? 2? 是以 3 为首项,2 为公比的等比数列 所以 an ? 2 ? 3 ? 2n?1

6

所以 an ? 3 ? 2n?1 ? 2 , n ? N

*

【考点定位】本题在考查数列的通项公式的求解等基础知识的同时,还考查了同学们分析问 题与解决问题的能力. 20. (2012 年高考浙江卷文科 19)(本题满分 14 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= 2n ? n ,n∈N﹡,数列{bn}满足 an=4log2bn+3,n∈N﹡.
2

(1)求 an,bn; (2)求数列{an·bn}的前 n 项和 Tn.

21. (2012 年高考湖南卷文科 20)(本小题满分 13 分) 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金 2000 万元, 将其投 入生产,到当年年底资金增长了 50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要 求企业从第一年开始,每年年底上缴资金 d 万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元. (Ⅰ)用 d 表示 a1,a2,并写出 an ?1 与 an 的关系式; (Ⅱ)若公司希望经过 m(m≥3)年使企业 的剩余资金为 4000 万元,试确定企业每年上缴 资金 d 的值(用 m 表示). 【解析】 (Ⅰ)由题意得 a1 ? 2000(1 ? 50%) ? d ? 3000 ? d ,

a2 ? a1 (1 ? 50%) ? d ?

3 a1 ? d , 2

7

an ?1 ? an (1 ? 50%) ? d ?

3 an ? d . 2

故该企业每年上缴资金 d 的值为缴

1000(3n ? 2n ?1 ) 时, 经过 m(m ? 3) 年企业的剩余资金为 3n ? 2n

4000元. 【考点定位】 本题考查递推数列问题在实际问题中的应用, 考查运算能力 和使用数列知识 分 析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型,得出 an ?1 与 an 的关系式 an ?1 ? 二问,只要把第一问中的 an ?1 ?

3 an ? d ,第 2

3 an ? d 迭代,即可以解决. 2

22.(2012 年高考重庆卷文科 16)(本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分) ) 已知 {an } 为等差数列,且 a1 ? a3 ? 8, a2 ? a4 ? 12, (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 记 {an } 的前 n 项 和为 S n ,若 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,求正整数 k 的值。 【答案】 (Ⅰ) an ? 2n (Ⅱ) k ? 6 【 解析】: :(Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d,由题意知 ?

? 2a1 ? 2d ? 8 ?2a1 ? 4d ? 12

解得 a1 ? 2, d ? 2

8

所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 S n ? 所以 a2k ? a1Sk ?2

(a1 ? an )n (2 ? 2n)n ? ? n(1 ? n) 2 2
,即

因 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,

从而 (2k )2 ? 2(k ? 2)(k ? 3)

k 2 ? 5k ? 6 ? 0

解得 k ? 6 或 k ? ?1 (舍去) ,因此 k ? 6 . 23. (2012 年高考湖北卷文科 20)(本小题满分 13 分) 已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为 8. (1) 求等差数列{an}的通项公式; (2)若 a2,a3,a1 成等比数列,求数列 { an } 的前 n 项和。

24.(2012 年高考安徽卷文科 21) (本小题满分 13 分) 设函数 f(x) =

x ? sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为 {xn } . 2

(Ⅰ)求数列 {xn } 的通项公式.

9

(Ⅱ)设 {xn } 的前 n 项和为 S n ,求 sin S n .

25.(2012 年高考天津卷文科 18)(本题满分 13 分) 已知{ }是等差数列,其前 n 项和为 S n , { = =2, a 4 ? b4 ? 27 , - =10 (I)求数列{ }与{ (II)记 = + }的通项公式; , (n ,n>2) 。 }是等比数列,且

10

26. (2012 年高考福建卷文科 17)(本小题满分 12 分) 在等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=b1=1,b4=8,{an}的前 10 项和 S10=55. (Ⅰ)求 an 和 bn; (Ⅱ)现分别从{an}和{bn}的前 3 项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求这两项 的值相等的概率。 【答案】 (1) an ? n , bn ? 2n (2)

2 9

11

【考点定位】本题主要考查等差、等比数列、古典概型的基本知识,考查运算求解能力,考 查转化与划归思想、必然与或然思想, 注意留心学习. 27. (2012 年高考江苏卷 20) (本小题满分 16 分) 已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满足: an?1 ?

an ? bn an ? bn
2 2

, ? N? . n

(1)设 bn ?1 ? 1 ?

?? b ? 2 ? bn ? ? ,n ? N? ,求证:数列 ?? n ? ? 是等差数列; an ?? an ? ? ? ?
bn ,n ? N? ,且 {an } 是等比数列,求 a1 和 b1 的值. an

(2)设 bn ?1 ? 2 ?

(2)∵ an > 0,bn > 0 ,∴ ∴ 1 < an?1 ?

? an ? bn ?
2

2

? an 2 ? bn 2 < ? an ? bn ? ,
2

an ? bn an ? bn
2 2

? 2 (﹡)

设等比数列 {an } 的公比为 q ,由 an > 0 知 q > 0 ,下面用反证法证明 q =1

12

【考点定位】本题综合考查等差数列的定义、等比数列的有关知识的灵活运用、指数幂和根 式的互化.数列通项公式的求解.注意利用等差数列的定义证明问题时一般思路和基本方法, 本题是有关数列的综合题;从近几年的高考命题趋势看,数列问题仍是高考的热点 、重点 问题,在训练时,要引起足够的重视. 28.(2012 年高考全国卷文科 18) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... 已知数列 {an } 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 S n ? (Ⅰ)求 a2 , a3 ; (Ⅱ)求 {an } 的通项公式。 【解析】

n?2 an 。 3

13

14

29.(2012 年高考四川卷文科 20) (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 常数

? ? 0 ,且 ?a1an ? S1 ? Sn 对一切正整数 n 都成立。
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 a1 ? 0 , ? ? 100 ,当 n 为何值时,数列 {lg

1 } 的前 n 项和最大? an

(2)当 a1>0,且 ? ? 100 时,令bn ? lg

1 , 所以,bn ? 2 ? n lg 2 an

所以,{bn}单调递减的等差数列 (公差为-lg2)

100 100 ? lg ? lg1 ? 0 6 64 2 100 100 ? lg1 ? 0 当 n≥7 时,bn≤b7= lg 7 ? lg 128 2
则 b1>b2>b3>?>b6= lg 故数列{lg

1 }的前 6 项的和最大. ??????????12 分 an

【考点定位】本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一,知识层面:考查等差数列、 等比数列、对数等基础知识;第二,能力层面:考查思维、运算、分析问题和解决问题的能 力;第三,数学思想:考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.

15

30. (2012 年高考陕西卷文科 16) 已知等比数列 ?an ? 的公比为 q=(1)若

1 . 2

a

3

=

1 ,求数列 ?an ? 的前 n 项和; 4

(Ⅱ)证明:对任意 k ? N ? ,

a

k



a

k ?2



a

k ?1

成等差数列解 : (1)由通项公式可得

1 1 a3 ? a1 (? ) 2 ? 得a1 ? 1, 再由等比数列求和公式得: 2 4 1 ? ? 1? ?1 ? (? ) n ? 2 ? (? 1 ) n ?1 2 ? 2 Sn ? ? ? . 1 3 1 ? (? ) 2

31. (2012 年高考江西卷文科 17)(本小题满分 12 分) 已知数列|an|的前 n 项和 Sn ? kcn ? k (其中 c ,k 为常数) ,且 a2=4,a6=8a3 (1)求 an; (2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn。 【解析】

32. (2012 年高考上海卷文科 23)(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分 对于项数为 m 的有穷数列 ?an ? ,记 bk ? max ?a1 , a2 ,..., ak ? ( k ? 1, 2,..., m ) ,即 bk 为

a1 , a2 ,..., ak 中的最大值,并称数列 ?bn ? 是 ?an ? 的控制数列,如 1,3,2,5,5 的控制数列
是 1,3,3,5,5.

16

(1)若各项均为正整数的数列 ?an ? 的控制数列为 2,3,4,5,5,写出所有的 ?an ? ; (2)设 ?bn ? 是 ?an ? 的控制数列,满足 ak ? bm?k ?1 ? C ( C 为常数, k ? 1, 2,..., m ) ,求证: ; bk ? ak ( k ? 1, 2,..., m )

?1 ? (3)设 m ? 100 ,常数 a ? ? ,1? ,若 an ? an2 ? (?1) ?2 ?
求 (b1 ? a1 ) ? (b2 ? a2 ) ? ... ? (b100 ? a100 ) . 【解析】

n ( n ?1) 2

n , ?bn ? 是 ?an ? 的控制数列,

17

18


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