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参数方程


1.以极坐标系中的点 ? 1,

? ?? ? 为圆心,1为半径的圆的方程是 ? 6?
? x ? 2 cos?

.

11.在直角坐标系 xOy 中,已知圆 C 的参数方程 ? 的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程;

2. 在平面直角坐标系 xOy 中, 过椭圆 ?

? x ? 4 ? 2t (?为参数) 的右焦点, 且与直线 ? (t ?y ? 3?t ? y ? 3 sin ?


? x ? 1 ? cos ? ( ? 为参数) ,以 O 为极点, x 轴 ? y ? sin ?

为参数)平行的直线截椭圆所得弦长为 3.已知圆 M:x +y -2x-4y+1=0,则圆心 M 到直线 ?
2 2

? x ? 4t ? 3, (t 为参数)的距离为 ? y ? 3t ? 1,

(Ⅱ)直线 l ? (sin ? ? 3 cos ? ) ? 3 3 ,射线 OM : ? ? . 为 Q ,求线段 PQ 的长.

?
3

与圆 C 的交点为 O, P ,与直线 l 的交点

4.已知曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 6 cos? ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 曲线 C 2 的交点为 A、B ,则弦 AB 长为 .

?
4

( ? ? R ) ,曲线 C1 、 12. 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C 的参数方程为 ?

5.以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知 直线的极坐标方程为 ? ?

?x ? 2 ? t (t 为参数) , 以该直角坐标系的原点 O 为 ? y ? t ?1
2

?
4

( ? ∈R),它与曲线 ?

? x ? 1 ? 2 cos? ( ? 为参数)相交于两点 A 和 B,则 ? y ? 2 ? 2 sin ?

极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下,曲线 P 的方程为 ? ? 4 ? cos ? ? 3 ? 0 . (1)求曲线 C 的普通方程和曲线 P 的直角坐标方程; (2)设曲线 C 和曲线 P 的交点 A 、 B ,求 AB .

AB ?



6. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系 ( ? , ? ) 中,直线 ? ? 得的弦的长是 .

?
4

( ? ? R )被圆 ? ? 2 sin ? 截 13.已知在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ? 极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ? ⑴写出直线 l 的直角坐标方程和圆 C 的普通方程; ⑵求圆 C 截直线 l 所得的弦长.

7.已知在平面直角坐标系 xoy 中圆 C 的参数方程为: ?

? x ? 3 ? 3cos ? ? , ( ? 为参数) ,以 OX 为 ? ? y ? 1 ? 3sin ?
则圆 C 截直线所得弦长

? ? x ? 3 ? 3cos ? ( ? 为参数) ,以 Ox 为 ? ? y ? 1 ? 3sin ?

?
6

极轴建立极坐标系,直线极坐标方程为: 为 .

? ? c o s? ( ? ) ? 0,
6

) ?0.

8.已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? .以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系, 则曲线 C 的参数方程为 9.将参数方程 ? . . 14.求圆 ? ? 3cos ? 被直线 ?

? x ? 2 ? cos? , (?是参数) 化为普通方程为 ? y ? 1 ? sin ? ,

? x ? 2 ? 2t , ( t 是参数)截得的弦长. ? y ? 1 ? 4t

10 . 已 知 直 线 x ? 2 y ? 4 ? 0与? | AB |= .

? x ? 2 ? 3 cos? , ( ? 为参数)相交于 A 、 B 两点,则 ? y ? 1 ? 3 sin ?

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15.已知在直角坐标系 xOy 中,圆锥曲线 C 的参数方程为 ? 点 P(2,3) ,倾斜角为

? x=4 cos ? (θ 为参数) ,直线 l 经过定 ? y=4 sin ?

19.已知动点 P ,Q 都在曲线 C: ?

? x ? 2 cos t (β 为参数)上,对应参数分别为 t ? ? ? y ? 2 sin t

? . 3

(Ⅰ)写出直线 l 的参数方程和圆的标准方程; (Ⅱ)设直线 l 与圆相交于 A,B 两点,求|PA|·|PB|的值.

与 t ? 2? (0< ? <2π ) ,M 为 PQ 的中点。 (Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程 (Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 ? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点。

16.极坐标系与直角坐标系 xoy 有相同的长度单位,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴.已知

20. 在平面直角坐标系 xOy 中, 圆 C 的参数方程为 ? 倾斜角 ? =

? x ? 4 cos ? (? 为参数) , 直线 l 经过点 P (2,2) , ? y ? 4sin ?

1 ? x ? 2? t ? 2 ? 2 直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程为 ? sin ? ? 8cos ? . ? y? 3t ? ? 2
(Ⅰ)求 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求弦长 | AB | .

?
3



(1)写出圆的标准方程和直线 l 的参数方程; (2)设 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,求 | PA | ? | PB | 的值。

21.已知直线 l 是过点 P(?1,2) ,方向向量为 n ? (?1, 3 ) 的直线。圆方程 ? ? 2 cos( ?? (1)求直线 l 的参数方程; 17.在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程 ? 轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)直线 l 的极坐标方程是 ? (sin ? ? 3 cos ? ) ? 3 3 ,射线 OM : ? ? 与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长.

?
3

)

? x ? 1 ? cos ? .以 O 为极点, x 轴的非负半 (? 为参数) ? y ? sin ?

(2)设直线 l 与圆相交于 M 、 N 两点,求 PM ? PN 的值。

?
3

与圆 C 的交点为 O,P,

22.[选修 4 - 4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)
1 ? x? t ? 2 ? 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,若以直角坐标系 xOy 的 O ?y ? 2 ? 3 t ? ? 2 2 点 为 极 点 , Ox 为 极 轴 , 且 长 度 单 位 相 同 , 建 立 极 坐 标 系 , 得 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为

1 ? x? t? ? ? t , ( t 为参数, t ? 0 ).求曲线 C 的普通方程。 18.已知曲线 C 的参数方程为 ? 1 ? y ? 3(t ? ) ? t ?

? ? 2 cos ?( ?

?
4

l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求 AB . .直线 )

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23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 l 的参数方程为: ?

27. (本小题满分 10 分) (选修 4-4:坐标系与参数方程)
2

x ? 2?t y ? 3t

(t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程为: ? cos 2? ? 1 .

(1)求曲线 C 的普通方程; (2)求直线 l 被曲线 C 截得的弦长.

24. 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与 x 轴的正半轴重合.

3 ? ? x ? ?1 ? 5 t 在直角坐标系中,直线 l 的参数方程为 ? t 为参数).若以坐标原点 O 为极点, x 轴正半 4 ? y ? ?1 ? t 5 ? ? 轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 sin(? ? ) . 4 (I)求曲线 C 的直角坐标方程; (II)求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长.
1 ? x? t ? 2 ? 28. (本小题满分 12 分)已知直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,若以直角坐标系 2 3 ?y ? ? t ? 2 2 ?
xOy 的 O 点为极点, Ox 方向为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线 C 的极坐标方
程为 ? ? 2 cos(? ?

? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 直线 l 的参数方程为: ? (t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程为: ? ? 4cos ? . ?y ? 1 t ? ? 2
(Ⅰ)写出 C 的直角坐标方程,并指出 C 是什么曲线; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 P 、 Q 两点,求 PQ 值.

25.本小题满分 10 分) 已知直线 l 经过点 P(

?
4

) (1)将直线 l 的参数方程化为普通方程,把曲线 C 的极坐标方程化为直角

1 ? ,1) ,倾斜角 ? ? ,在极坐标系下,圆 C 的极坐标方程为 2 6

坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求 | AB | .

? ? 2cos?? ?

? ?

??

?。 4?
29. 在直角坐标平面内, 以坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知点 M 的

(1)写出直线 l 的参数方程,并把圆 C 的方程化为直角坐标方程; (2)设 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,求点 P 到 A,B 两点的距离之积。

26. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系 x 轴的正半轴重合.直线的参数

? ? x ? 1 ? 2 cos ? , ) ,曲线 C 的参数方程为 ? . (?为参数) 4 y ? 2 sin ? ? ? (Ⅰ)求直线 OM 的直角坐标方程; (Ⅱ)求点 M 到曲线 C 上的点的距离的最小值.

4 2, 极坐标为 (

?

3 ? ? x ? ?1 ? 5 t ? 方程是 ? ( t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 sin(? ? ) . 4 4 ? y ? ?1 ? t 5 ?
(Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线与曲线 C 相交于 M ,.N 两点,求 M ,.N 两点间的距 离.

30.已知极点与坐标原点 O 重合,极轴与 x 轴非负半轴重合,M 是曲线 C: ? =4sin ? 上任一点,点 P 满足 OP ? 3OM .设点 P 的轨迹为曲线 Q. (1)求曲线 Q 的方程; (2)设曲线 Q 与直线 l : ?

??? ?

???? ?

? x ? ?t , (t 为参数)相交于 A、B 两点,且|AB|=4.求实数 a. ?y ? t ? a

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参考答案 1. ? ? 2sin ? ? ? 【解析】 试题分析:极坐标系中的点 ? 1,

? ?

??

?? ? ? 或 ? ? 2 cos ? ? ? ? 3? 6? ?
? 3 1? ? ?? ? 所对应的直角坐标为 ? ? 2 ,2? ? ,故在以极坐标系中的点 ? 6? ? ?
2

2 ? 3? ? 1? ? ?? y ? ? ?1 , 展 开 得 ?1, ? 为 圆 心 , 1 为 半 径 的 圆 的 方 程 是 ? ?x? 2 ? ? ?? 2? ? 6? ? ? ?

x 2 ? y 2 ? 3x ? y ? 0 ,即 x 2 ? y 2 ? 3x ? y ,
化 为 极 坐 标 方 程 得 ? 2 ? 3? cos ? ? ? sin ? , 化 简 得 ? ? 2sin ? ? ?

? ?

??

? 或 3?

? ? 2 cos ? ? ?

? ?

??

?. 6?

考点:1.极坐标与直角坐标的转化;2.圆的标准方程 2.

15 4

【解析】 试 题分 析:椭 圆的 普通方 程为

x2 y 2 ? ? 1 , 则右 焦点 为( 1,0 ) ; 直线 的普通 方程 为 4 3

x ? 2 y ? 2 ? 0 , 过 ( 1,0 ) 与 直 线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平 行 的 直 线 为 x ? 2 y ? 1 ? 0 , 由

? x2 y 2 ? ?1 ? 3 ? 4 ?x ? 2 y ?1 ? 0 ?



4 x2 ? 2 x ?11 ? 0



















1 1 11 15 1 ? ( ) 2 (? ) 2 ? 4 ? (? ) ? . 2 2 4 4
考点:1.参数方程与普通方程的互化;2.两点间的距离公式和弦长公式. 3.2. 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意 易 知 圆 的 圆 心 M (1, 2) , 由 直 线 的 参 数 方 程 化 为 一 般 方 程 为 ,所以圆心到直线的距离为 d ? 3x ? 4y ? 5? 0 考点:直线的参数方程及点到直线的距离公式.
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3 ?1 ? 4 ? 2 ? 5 32 ? 42

? 2.

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4. 3 2 【解析】 试题分析:由 ? ? x ? y 、 tan ? ?
2 2 2 2

y 将曲线 C1 与曲线 C 2 的极坐标方程转化为直角坐标 x
2 2 2 2

方程.因为 ? ? 6 cos? ,所以 ? ? 6 ? cos ? ,? x ? y ? 6 x ,即 ( x ? 3) ? y ? 9 ,所 以曲线 C1 表示一个圆.由 ? ?

?
4

,得

y ? 1 ,即 y ? x ,其中 x ? 0 .易知在直角坐标系中, x

曲线 C1 、曲线 C 2 的交点 A、B 分别为(0,0)与(3,3) ,所以弦 AB 长为 3 2 . 考点:极坐标方程与直角坐标方程互化 5. 14 【解析】 试题分析:将直线的极坐标方程 ? ?

?
4

化为直角坐标方程 : y ? x ; 将曲线的参数方程

? x ? 1 ? 2 cos ? 2 2 化为直角坐标方程 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 4 , 圆心坐标 ?1, 2? 半径为 2 , 则 ? ? y ? 2 ? 2sin ?

? 2? 2 圆心到直线的距离为 , 所以 AB ? 2 22 ? ? . ? 2 ? ? ? 14 2 ? ?
考点:参数方程极坐标与直角坐标互化,求直线与圆相交的弦长. 6. 2 【解析】 试题分析:直线方程化为 y ? x ,圆方程化为: x ? y ? 2 y ,即 x ? ( y ? 1) ? 1 ,圆心坐
2 2 2 2

2

标为(0,1) ,半径 r=1,圆心到直线的距离为: d ?

| 0 ? 1| 2 ? ,所以,截得的弦长为: 2 2

2 1? (

2 2 ) ? 2. 2

考点:1、极坐标方程化为普通方程;2、点到直线的距离;3、直线被圆所截弦长的求法;4、 数形结合的数学思想方法. 7. 4 2 【解析】 试题分析: 圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 ? 3cos ? ? 的圆心为 ( 3 ,1) ,半径为 3, 直线普通方程 ? ? y ? 1 ? 3sin ?

答案第 2 页,总 14 页

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为 ? (cos ? cos

?

? 3 1 ? sin ? sin ) ? x ? y ? 0 , 即 3x ? y ? 0 , 圆 心 C ( 3 ,1) 到 直 线 6 6 2 2
| 3? 1 | ?1 , 所 以 圆 C 截 直 线 所 得 弦 长 3 ?1
2

3x ? y ? 0 的 距 离 为 d ?

| AB |? 2 r 2 ? d 2 ? 2 32 ? 12 ? 4 2 .
考点:1.参数方程;2.点到直线的距离. 8. ?

? x ? 1 ? cos ? ( ? 为参数) ? y ? sin ?
2 2 2

【 解 析 】 ? ? ? 2cos ? ,? ? ? 2 ? cos ? ,? x ? y ? 2 x, 先 化 成 直 角 坐 标 方 程

? x ? 1?

2

? x ? 1 ? cos ? ? y 2 ? 1 ,则曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数). ? y ? sin ?

【考点定位】坐标系与参数方程 9. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1
2 2

【解析】 试题分析: ?

? x ? 2 ? cos? , ? x ? 2 ? cos ? , (?是参数) ,即 ? ? y ? 1 ? sin ? , ? y ? 1 ? ? sin ? ,
2 2

两边平方并相加得, ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1 ,即为所求。 考点:参数方程与普通方程的互化 点评:简单题,参数方程化为普通方程,常用的“消参”方法有,代入消参、加减消参、平 方关系消参等。 10.6 【解析】 试题分析: 根据题意, 由于直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 而 与 ?

? x ? 2 ? 3cos ? , ? (x-2)2 ? (y-1)2 ? 9 y ? 1 ? 3sin ? ?

相交, 那么则有圆心到直线的距离 d=

|2?2?4| 22 ? 1

? 0 ,可知圆心过直线, 所以说弦长为直径,

半径为 3,因此||AB|的长度为 6.故答案为 6. 考点:参数方程 点评:主要是考查了直线与圆的位置关系的运用,属于基础题。 11. (Ⅰ)圆 C 的极坐标方程是 ? ? 2cos ? ; (Ⅱ)线段 PQ 的长为 2. 【解析】 试 题 分 析 :( Ⅰ ) 将 圆 的 参 数 方 程 化 为 普 通 方 程 ( x ? 1) ? y ? 1 , 利 用
2 2

答案第 3 页,总 14 页

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(Ⅱ)求线段 PQ 的长,只要 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 即得圆 C 的极坐标方程 ? ? 2cos ? ;

? ?1 ? 2 cos ?1 ? 求出 P, Q 点的坐标即可, 因为射线 OM : ? ? 与圆 C 的交点为 O, P , 故有 ? , ? 3 ?1 ? ? 3 ?

?

? ?1 ? 1 ? ? 解 得 ? 与 直 线 l 的 交 点 为 Q , 则 ? , 又 因 为 射 线 OM : ? ? 3 ? ? 1 ? 3 ?
? ? 2 ( s i ?n ? 2 ? ? ? ??2 ? 3 ? 3 ? c? 2o s ) 3? ? 2 ? 3 ? , 解得 ? ? ,从而可求出线段 PQ 的长. ? ? 2 ? 3 ? 3
2 2

试题解析::(Ⅰ)圆 C 的普通方程是 ( x ? 1) ? y ? 1 ,又 x ? ? cos ? , y?? sin ? , 所以圆

C 的极坐标方程是 ? ? 2cos ? ;

? ?1 ? 2 cos ?1 ? (Ⅱ)设 ( ?1 , ?1 ) 为点 P 的极坐标,则有 ? ? ?1 ? ? 3 ?

? ?1 ? 1 ? 解得 ? ? ,设 ( ? 2 , ? 2 ) 为点 Q 的 ? ? 1 ? 3 ?

? ? 2 (sin? 2 ? ? 极坐标,则有 ? ? ??2 ? 3 ?

3 cos ?2 ) ? 3 3


? ?2 ? 3 ? 解得 ? ? ,由于 ?1 ? ? 2 ,所以 ?2 ? ? 3 ?

PQ ? ?1 ? ? 2 ? 2 ,所以线段 PQ 的长为 2.
考点:参数方程、极坐标方程、一般方程的应用以及相互转化、利用极坐标求两点间距离. 12. (1)曲线 C 的普通方程: x ? y ? 1 ? 0 ;曲线 P 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 x ? 3 ? 0 .
2 2

(2) AB ? 【解析】

2

试题分析: (1)由 ?

?x ? 2 ? t (t 为参数)消去参数 t 得曲线 C 的普通方程 ? y ? t ?1
2

将?

?? 2 ? x2 ? y2 ? ? cos ? ? x

代入 ? ? 4 ? cos ? ? 3 ? 0 得曲线 P 的直角坐标方程.

(2)由于曲线 C 为直线,曲线 P 为圆,所以求出圆的半径 r 及圆心到直线的距离 d ,再由

AB ? 2 r 2 ? d 2 便可求得 AB .

答案第 4 页,总 14 页

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试题解析: (1)由 ?

?x ? 2 ? t (t 为参数)消去参数 t 得曲线 C 的普通方程: x ? y ? 1 ? 0 ? y ? t ?1
曲 线 P 的 直 角 坐 标 方 程 为 ? 3得0

?? 2 ? x2 ? y2 2 将 ? 代 入 ? ?4 ?c o ? s? ? ? cos ? ? x
x2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ? 0 .
4分
2 2

(2)曲线 p 可化为 ( x ? 2) ? y ? 1 ,表示圆心在 (2, 0) ,半径 r ? 1 的圆, 所以圆心到直线 C 的距离为 d ? 所以 AB ? 2 r ? d ?
2 2

2 ?1 ? 0 2

?

2 2
10 分

2

考点:1、参数方程与普通方程的转化;2、极坐标方程与直角坐标方程的转化;3、点到直 线的距离公式;4、圆的弦长的求法 13. (1) 3 x ? y ? 0 和 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9 ; (2) 4 2 . 【解析】 试题分析: (1)圆的参数方程化为普通方程,消去参数即可,直线的极坐标方程化为直角坐 标方程,利用两者坐标之间的关系互化,此类问题一般较为容易; (2)求直线被圆截得的弦 长,一般不求两交点的坐标而是利用特征三角形解决. 试题解析:解:⑴消去参数 ? ,得圆 C 的普通方程为: ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9 ; 由 ? cos(? ?

?
6

) ? 0 ,得

3 1 ? cos? ? ? sin? ? 0 , 2 2
5分

?直线 l 的直角坐标方程为 3 x ? y ? 0 .

⑵圆心 ( 3,1) 到直线 l 的距离为 d ?

3 ? 3 ?1

? 3? ?1
2

? 1,

2

设圆 C 截直线 l 所得弦长为 m ,则

m ? r2 ? d 2 ? 9 ?1 ? 2 2 , 2

?m ? 4 2 .

10 分

考点:极坐标方程和参数方程. 14. 3 . 【解析】 试题分析:先将圆 ? ? 3cos ? 极坐标方程及直线 ?

? x ? 2 ? 2t , 参数方程转化成直角坐标方 ? y ? 1 ? 4t

答案第 5 页,总 14 页

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程,然后利用垂径定理及勾股定理求弦长. 试题解析:将圆的极坐标方程转化成直角坐标方程:

? ? 3cos ? 即: x 2 ? y 2 ? 3x ,即 ( x ? ) 2 ? y 2 ? ;
而直线 ?

3 2

9 4

2分

? x ? 2 ? 2t , 即: 2 x ? y ? 3 , ? y ? 1 ? 4t ,

4分

?3 ? 由于圆心 ? , 0 ? 到直线 2 x ? y ? 3 的距离 d ? ?2 ?

3 2? ? 0 ? 3 2 22 ? (?1) 2

? 0,
7分

6分

即直线经过圆心,所以圆被直线截得的弦长为 3 . 考点:坐标系与参数方程.

1 ? x ? 2? t ? 2 ? 15. (Ⅰ)直线 l 的参数方程 ? ? t为参数 ? ,圆的标准方程 x2 ? y 2 ? 16 ;(Ⅱ) ?y ? 3? 3 t ? ? 2
PA ? PB ? 3
【解析】 试题分析: (Ⅰ)圆的标准方程,两式平方相加,消去参数即可, 直线 l 的参数方程可直接利 用?

? x ? x0 ? t cos ? ? y ? y0 ? t sin ?

t 为参数,来写出; (Ⅱ) 设直线 l 与圆相交于 A, B 两点, 求|PA|· |

PB|的值,而|PA|,|PB|即为直线与圆交点的 t 的值,故将直线方程代入圆的方程即可.

1 ? x ? 2? t ? 2 ? 2 2 试题解析: (Ⅰ) x ? y ? 16 ①, ? ?y ? 3? 3 t ? ? 2

t 为参数②

2 ( Ⅱ ) 把 ② 代 人 ① 得 , t + 2 + 3 3 t - 3= 0③ , 设 t1 , t 2 是 方 程 ③ 的 两 个 实 根 , 则

(

)

t1t2 = - 3 ,
所以 PA ? PB ? t1 t2 ? t1t2 ? 3 考点:参数方程,一般方程的应用以及相互转化,考查学生的转化与化归能力. 16.(Ⅰ) y ? 8 x ; (Ⅱ) | AB |?
2

32 . 3

【解析】 试题分析: 本题考查坐标系和参数方程.考查学生的转化能力和计算能力.第一问利用互化公 式将极坐标方程转化为普通方程; 第二问, 先将直线方程代入曲线中, 整理, 利用两根之和、
答案第 6 页,总 14 页

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两根之积求弦长. 试题解析: (Ⅰ)由 ? sin ? ? 8cos ? ,得 ? sin ? ? 8? cos ? ,即曲线 C 的直角坐标方程
2 2 2

为 y ? 8x .
2

5分 (Ⅱ) 将直线 l 的方程代入 y ? 8 x , 并整理得, 3t 2 ? 16t ? 64 ? 0 , t1 ? t2 ?
2

16 64 , t1t2 ? ? . 3 3

所以 | AB |?| t1 ? t2 |? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ?

32 . 3

10 分

考点:1.极坐标方程与普通方程的互化;2.韦达定理. 17. (Ⅰ) ? ? 2 cos ? ; (Ⅱ)2. 【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 代换可得; (Ⅱ)依题意分别求出 P 、 Q 的极 坐标,利用 ?1 ? ? 2 ,则 | PQ |?| ?1 ? ? 2 | 求解.
2 2 试题解析:(Ⅰ)圆 C 的普通方程是 ( x ? 1) ? y ? 1 ,又 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,

所以圆 C 的极坐标方程是 ? ? 2 cos ? .

(5 分)

? ?1 ? 2 cos ?1 ? (Ⅱ)设 ( ?1 ,?1 ) 为点 P 的极坐标,则有 ? ? ?1 ? ? 3 ?

? ?1 ? 1 ? 解得 ? ? . ?1 ? ? 3 ?

? ? 2 (sin ? 2 ? 3 cos ? 2 ) ? 3 3 ? 设 ( ?2 ,?2 ) 为点 Q 的极坐标, 则有 ? 错误! 未找到引用源。 解 ? ? ? ? 2 3 ?
? ?2 ? 3 ? 得? ? ?2 ? ? 3 ?
由于 ?1 ? ? 2 ,所以 PQ ?

?1 ? ?2 ? 2 ,所以线段 PQ 的长为 2.

(10 分)

考点:圆的参数方程,直线的极坐标方程. 18. 3x ? y ? 6 ? 0
2

【解析】 试 题分析 :因为 x2 ? t ?

1 1 y ? 2 , 所 以 x2 ? 2 ? t ? ? , 故 曲 线 C 的 普 通 方 程 为 t t 3

3x 2 ? y ? 6 ? 0

答案第 7 页,总 14 页

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考点:参数方程与直角坐标方程的互化 点评:简单题,参数方程化为普通方程,常用的“消参”方法有,代入消参、加减消参、平 方关系消参等。 【答案】(Ⅰ) ?

? x ? cos ? ? cos 2? ,( ? 为参数, 0 ? ? ? 2? )(Ⅱ)过坐标原点 ? y ? sin ? ? sin 2?

【解析】(Ⅰ)由题意有, P(2cos ? , 2sin ? ) , Q(2cos 2? , 2sin 2? ) , 因此 M (cos ? ? cos 2? ,sin ? ? sin 2? ) ,

M 的轨迹的参数方程为 ?

? x ? cos ? ? cos 2? ,( ? 为参数, 0 ? ? ? 2? ). ? y ? sin ? ? sin 2?

(Ⅱ)M 点到坐标原点的距离为

d ? x 2 ? y 2 ? 2 ? 2 cos ? (0 ? ? ? 2? ) ,
当 ? ? ? 时, d ? 0 ,故 M 的轨迹过坐标原点. 本题第(Ⅰ)问,由曲线 C 的参数方程,可以写出其普通方程,从而得出点 P 的坐标,求出答 案; 第(Ⅱ)问,由互化公式可得.对第(Ⅰ)问,极坐标与普通方程之间的互化,有一部分 学生不熟练而出错;对第(2)问,不理解题意而出错. 【考点定位】本小题主要考查坐标系与参数方程的基础知识,熟练这部分的基础知识是解答 好本类题目的关键.

1 ? x ? 2? t ? 2 ? 20. (Ⅰ) ? ( t 为参数) ; (Ⅱ) PA ? PB =8 。 ?y ? 2 ? 3 t ? ? 2
【解析】 试题分析: (Ⅰ)圆的标准方程为 x ? y ? 16 .
2 2

1 ? ? ? x ? 2? t x ? 2 ? t cos ? ? 2 ? ? 3 直线 l 的参数方程为 ? ,即 ? ( t 为参数) ?y ? 2 ? 3 t ? y ? 2 ? t sin ? ? ? 3 ? ? 2 1 ? x ? 2 ? t ? 2 ? 2 2 (Ⅱ)把直线的方程 ? 代入 x ? y ? 16 , ?y ? 2 ? 3 t ? ? 2
得 (2 ?

5分

6分

1 2 3 2 t ) ? (2 ? t ) ? 16 , t 2 ? 2( 3 ? 1)t ? 8 ? 0 2 2

8 分

所 以 t1t2 ? ?8 , 即

PA ? PB =8 10 分
答案第 8 页,总 14 页

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考点:简单曲线的参数方程,直线参数方程的应用。 点评:中档题,利用在修订参数方程,研究直线与圆的位置关系,基本思路是,将在修订参 数方程代入圆的方程,应用韦达定理,进一步确定线段长度。 21. (1) ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ) l 的参数方程为 ?

? x ? ?1 ? t ? y ? 2 ? 3t

(2) 6 ? 2 3

? x ? ?1 ? t ? y ? 2 ? 3t

( t 为参数)

5分

(Ⅱ)由 ?

? ? cos ? ? x, ? 可将 ? ? 2cos(? ? ) ,化简得 x 2 ? y 2 ? x ? 3 y ? 0 。 3 ? ? sin ? ? y.

将直线 l 的参数方程代入圆方程得 2t 2 ? (3 ? 2 3 )t ? 3 ? 3 ? 0 ∵ t1t 2 ?

3? 3 2 2 ,∴ PM ? PN ? ( 1 ? ( 3 ) ) t1t 2 ? 6 ? 2 3 2

10 分

考点:参数方程极坐标方程及直线与圆相交的位置关系 点评:极坐标方程化直角坐标方程时的关系式 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? , ? ?
? 2 2? 6 10 22.圆心 ? ? 2 , 2 ? ? 到直线 l 的距离 d ? 4 ,? AB ? 2 。 ? ?

x2 ? y2

【解析】 试 题 分 析 : l 的 直 角 坐 标 方 程 为 y ? 3x ?
(x ? 2 ? , ? ? 2cos(? ? ) 的 直 角 坐 标 方 程 为 2 4

? 2 2? 6 2 2 2 2 10 ) ? (y ? ) ?1 , 所 以 圆 心 ? ? 2 , 2 ? ? 到 直 线 l 的 距 离 d ? 4 , ? AB ? 2 2 2 ? ?

10 分 考点:本题主要考查极坐标与直角坐标方程的互化,点到直线的距离公式,直线与圆的位置 关系。 点评:中档题,将极坐标方程与直角坐标方程互化,很好体现了参数方程的应用,将问题转 化成计算点到直线的距离问题。利用“特征三角形”求得弦长。
2 2 23.(1) x ? y ? 1 (2) 2 10

【解析】 试题分析:解: (1)由曲线 C : ? cos 2? ? ? (cos ? ? sin ? ) ? 1,
2 2 2 2

得 ? cos 2? ? ? sin ? ) ? 1, 化成普通方程
2 2 2

x2 ? y 2 ? 1 ①

5分

答案第 9 页,总 14 页

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(2)方法一:把直线参数方程化为标准参数方程

1 ? x ? 2? t ? 2 ? ( t 为参数) ② ? ?y ? 3 t ? ? 2
把②代入①得:
2 1 ? ? 3 ? ? t? ?2? t? ?? ? ?1 2 ? ? ? ? 2 ? 2

整理,得 t 2 ? 4t ? 6 ? 0 设其两根为 t1 , t 2 , 则 t1 ? t2 ? 4, t1 ? t2 ? ?6 从而弦长为 | t1 ? t2 |? 8分

(t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? 42 ? 4(?6) ? 40 ? 2 10. 10 分

考点:参数方程,极坐标方程与直线与圆的位置关系 点评:解决该试题的关键是将参数方程和极坐标方程化为普通方程, 结合直线与圆的位置 关系来求解,属于基础题。 24. (Ⅰ)曲线 C 的直角坐标方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 ,它是以 (2, 0) 为圆心,
2 2

半径为 2 的圆. (Ⅱ) PQ ? t1 ? t2 ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ)? ? ? 4cos ? ,

(t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? 7 。

? ? 2 ? 4 ? cos ? ,????????????????????????2 分
由 ? ? x ? y , ? cos ? ? x 得: x ? y ? 4 x
2 2 2 2 2

所以曲线 C 的直角坐标方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 ,??????????4 分
2 2

它是以 (2, 0) 为圆心,半径为 2 的圆. ????????????????5 分

? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 代入 x 2 ? y 2 ? 4 x 整理得 t 2 ? 3 3t ? 5 ? 0 ,??7 分 (Ⅱ)把 ? ? y ? 1t ? ? 2
设其两根分别为 t1 、 t 2 ,则 t1 ? t2 ? 3 3, t1t2 ? 5 ,??????????8 分

答案第 10 页,总 14 页

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? PQ ? t1 ? t2 ? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? 7 ??????????????10 分
另解: 化直线参数方程为普通方程,然后求圆心到直线距离,再用垂径定理求得 PQ 的值. 考点:本题主要考查极坐标方程与普通方程的互化,参数方程的应用。 点评:中档题,学习参数方程、极坐标,其中一项基本的要求是几种不同形式方程的互化, 其次是应用极坐标、参数方程,简化解题过程。参数方程的应用,往往可以把曲线问题转化 成三角问题,也可在计算弦长时发挥较好作用。

? 1 3 t ?x ? ? ? 2 2 25.(1) 直线 L 参数方程是 ? ? y ? 1? 1 t ? 2 ?
圆的普通方程是 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? 【解析】

1 2

1 2

1 1 (2) 2 4

? 1 3 x ? ? t ? ? 2 2 试题分析: (1)直线 L 参数方程是 ? ? y ? 1? 1 t ? 2 ?
圆的普通方程是 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ?

1 2

1 2

1 ?????????5 分 2

? 1 3 ? 1 1 1 ?x ? 2 ? 2 t (2)又 ? 代入 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? 得: 2 2 2 ? y ? 1? 1 t ? 2 ?
1 1 t2 ? t ? ? 0 2 4

? PA PB ? t1t 2 ?

1 ????????????????10 分 4

考点:本试题考查了直线与圆的位置关系的运用。 点评: 熟练的表示直线的参数方程, 以及将极坐标方程能化为普通方程, 这是基本的知识点, 那么在研究直线与圆的相交弦的长度的时候, 可以借助于参数方程中 t 的几何意义, 和韦达 定理快速得到结论。属于基础题。 26. (Ⅰ) x ? y ? x ? y ? 0 (Ⅱ)
2 2

41 5

【解析】 试题分析: (Ⅰ)由 ? ?

2 sin(? ?

?
4

) 得, ? ? sin ? ? cos? ,两边同乘 ? 得,

答案第 11 页,总 14 页

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? 2 ? ? cos? ? ? sin? ? 0 ,再由 ? 2 ? x 2 ? y 2 , ? cos? ? x, ? sin ? ? y 得
曲线 C 的直角坐标方程是 x ? y ? x ? y ? 0 ;----5 分
2 2

(Ⅱ)将直线参数方程代入圆 C 方程得, 5t 2 ? 21t ? 20 ? 0 ,

t1 ? t 2 ?

41 21 . , t1t 2 ? 4 ,MN ? t1 ? t 2 ? (t1 ? t 2 ) 2 ? 4t1t 2 ? 5 5

??

10 分 考点: 本小题主要考查参数方程和直角坐标方程的互化以及弦长公式的应用, 考查学生的转 化能力和运算求解能力. 点评:参数方程和直角坐标方程的互化只要记住公式代入求解即可,难度不大.弦长公式在 解题过程中经常用到,要牢固掌握. 27. (I) ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? 【解析】 试题分析: (I) 由 ? ?
2

1 2

1 2

41 1 . (II) 5 2

2 sin(? ?

?
4

) 得: ? ? cos? ? sin ? ,

两边同乘以 ? 得: ? ? ? cos? ? ? sin ? , ∴ x ? y ? x ? y ? 0 ,即 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ?
2 2

1 2

1 2

1 . 2

??5 分

(2)将直线参数方程代入圆 C 的方程得: 5t 2 ? 21t ? 20 ? 0 ,

? t1 ? t 2 ?

21 , t1t 2 ? 4 5
41 5

??8 分

?| MN |? t1 ? t 2 ? (t1 ? t 2 ) 2 ? 4t1t 2 ?

??10 分

考点: 本小题主要考查了极坐标和平面直角坐标之间的转化以及弦长公式, 考查了学生的转 化和划归意识. 点评: 抓住极坐标与平面直角坐标互化公式并准确应用是解决此类问题的关键, 高考中对该 部分重点考查极坐标与直角坐标的互化以及圆的极坐标问题.
2 2 28. (1) x ? y ? 2 x ? 2 y ? 0 ;

3?
(2) d ?

2 2 2 ? ? 2 2 2 11 ?

? 3?

2

? 6? 6 10 , AB ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 12 ? ? 。 ? ? ? ? 4 ? 4 2 ? ?

2

【解析】 本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法, 直线的参数方程中参数的几何意
答案第 12 页,总 14 页

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义,是一道基础题 (1)消去参数可得直线 l 的普通方程,曲线 C 的方程可化为 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 (2)由上知配方,得圆 C 的标准方程为 ( x ?

2 2 2 2 ) ?(y ? ) ?1 2 2

那么利用圆心到直线的距离公式,结合勾股定理得到弦长的求解。 解: (1) l 的直角坐标方程为 y ?

3x ?

2 , (或 2 3x ? 2 y ? 2 ? 0 )..(2 分) 2

曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 ?????????(5 分) (2)配方,得圆 C 的标准方程为 ( x ?

2 2 2 2 ) ?(y ? ) ?1 2 2

知圆心 C ?

? 2 2? ? 2 , 2 ? ? ,半径 r ? 1 , ? ?

所以圆心 (

2 2 , ) 到直线 l 的距离 d ? 2 2
2

3?

2 2 2 ? ? 2 2 2 11 ?

? 3?

2

?

6 ,??(9 分) 4

? 6? 10 ???????????(12 分) AB ? 2 r ? d ? 2 1 ? ? ? ? ? 4 ? 2 ? ?
2 2 2

(注:可用弦长公式 AB ? t1 ? t2 求解,酌情给分) 29 . (Ⅰ) y ? x ; (Ⅱ) ? ? ? 【 解 析 】 (I) 由 极 坐 标 根 据 公 式 x ? ? c o s ? y , ?? ,可 得 M 的 直 角 坐 标 为 s? in

(4,4). (II) 由 于 M 在 圆 C 外 , 所 以 最 小 距 离 应 等 于 |MC|-r.

4 2, 解: (Ⅰ)由点 M 的极坐标为 (

?
4

) 得点 M 的直角坐标为 ( 4, 4) ,??2 分

所以直线 OM 的直角坐标方程为 y ? x .????????????5 分 (Ⅱ)由曲线 C 的参数方程 ?
2 2

? ? x ? 1 ? 2 cos ? , ? ? y ? 2 sin ?

(?为参数)

化为普通方程为 ( x ? 1) ? y ? 2 ,???????????8 分 圆心为 A(1, 0) , ,半径为 r ? 2 .10 分
答案第 13 页,总 14 页

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由于点 M 在曲线 C 外,故点 M 到曲线 C 上的点的距离最小值为 MA ? r ? 5 ? 2 30. (1) x ? ( y ? 6) ? 36 ; (2) a ? ?2 或 14 .
2 2

12 分

【解析】 (1)结合向量的知识,将极坐标化为普通方程; (2)先将参数方程化为普通方程, 并利用线与圆的位置关系求解. 解: (1)设 P( x, y ), M ( x1 , y1 ) , Q ? ? 4 ? sin ? ,? x ? y ? 4 y,? x ? ( y ? 2) ? 4 ,①
2 2 2 2 2

1 ? x1 ? x uuu r uuur ? x ? 3 x1 ? ? 3 2 2 Q OP ? 3OM ,? ? 则? ,代入①整理得, x ? ( y ? 6) ? 36 , y ? 3 y ? 1 ?y ? 1 y 1 ? 3 ?

? 点 P 轨迹方程为 x 2 ? ( y ? 6)2 ? 36 .
(2)将 ?

??5 分

? x ? ?t , (t 为参数 ) 化为普通方程得 x ? y ? a ? 0 , ?y ? t ? a

由(1)知曲线 Q 是圆心为 N (0, 6) ,半径 r ? 6 的圆, ?圆心 N 到直线 l 的距离 d ?

|6?a| . 2

?|6?a|? 2 ?6 ? ? ? ? 2 ,解得 a ? ?2 或 14 . 2 ? ?
2

2

??10 分

答案第 14 页,总 14 页


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