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湖南省高中会考(2009-2014年)——普通高中学业水平考试数学试卷及答案


科目:数学
(试题卷)

注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷 的封面上,并认真核对答题卡条形码上的姓名、准考证号和科目。 2.选择题和非选择题均须在答题卡上作答,在本试题卷和草稿纸上作 答无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。 3.本试题卷共 7 页。如缺页,考生须及时报告监考老师,否则后果自 负。 4.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。 姓 名____________________________

准考证号____________________________

祝你考试顺利!

2009 年湖南省普通高中学业水平考试试卷





本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 5 页.时量 120 分钟.满分 100 分. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1. 已知集合 A ? {?1,0,1,2} , B ? {?2,1, 2},则 A A. {1} C. {1, 2} A. 4 C. 9 B. {2} D. {?2, 0,1, 2} B. 13 D. 22

B ? ( ).
A=9 A= A+13 PRINT A END

2. 若运行右图的程序,则输出的结果是( ).

(第 2 题图) 3. 将一枚质地均匀的骰子抛掷一次,出现“正面向上的点数为 6”的概率是( ). A. 4. sin A.

1 3

B.

1 4

C.

1 5

D.

1 6

?
4 1 2

cos

?
4

的值为( ). B.

2 D. 2 4 5. 已知直线 l 过点(0,7) ,且与直线 y ? ?4 x ? 2 平行,则直线 l 的方程为( ). A. y ? ?4 x ? 7 B. y ? 4 x ? 7 C. y ? ?4 x ? 7 D. y ? 4 x ? 7 6. 已知向量 a ? (1,2) , b ? ( x, ?1) ,若 a ? b ,则实数 x 的值为( ).
C. A. ?2 B. 2 1 2 C. ?1 3 1 4 4 ). D. (4,5) ). C.(3,4) D. 1 5 7 7. 已知函数 f ( x ) 的图象是连续不断的,且有如下对应值表:

2 2

x f ( x)
A.(1,2)

?4

?2
B. (2,3)

在下列区间中,函数 f ( x ) 必有零点的区间为(

2 2 8. 已知直线 l : y ? x ? 1 和圆 C: x ? y ? 1,则直线 l 和圆 C 的位置关系为(

A.相交

B. 相切

C.相离 ).

D. 不能确定

9. 下列函数中,在区间 (0, ??) 上为增函数的是( A. y ? ( )

1 3

x

B. y ? log 3 x

C. y ?

1 x

D. y ? cos x

?x ? y ? 1 ? 10. 已知实数 x、 y 满足约束条件 ? x ? 0 ,则 z ? y ? x 的最大值为( ? y?0 ?
A. 1 B. 0 C. ?1 D. ?2

).

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 11. 已知函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? x ( x ? 0) ? x ?1 ( x ? 0)

,则 f (2) ? .

.

12. 把二进制数 101(2)化成十进制数为

13. 在△ ABC 中,角 A、B 的对边分别为 a、 b , A ? 60?, a ? 3, B ? 30?, 则 b = 14. 如图是一个几何体的三视图,该几何体的体积为 2 2 3 3 .

.

正视图 2

侧视图

C M A (第 15 题图) B

俯视图 (第 14 题图)

15. 如图,在△ ABC 中,M 是 BC 的中点,若 AB ? AC ? ?AM ,则实数 ? = 三、解答题:本大题共 5 小题,共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 6 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin( x ? ) , x ? R .

.

?

3

(1)写出函数 f ( x ) 的周期;

(2)将函数 f ( x ) 图象上的所有的点向左平行移动 达式,并判断函数 g ( x) 的奇偶性.

? 个单位,得到函数 g ( x) 的图象,写出函数 g ( x) 的表 3

17. (本小题满分 8 分) 某市为节约用水, 计划在本市试行居民生活用水定额管理, 为了较为合理地 确定居民日常用水量的标准, 通过抽样获得了 100 位居民某年的月均用水量 (单 位: 吨) , 右表是 100 位居民月均用水量的频率分布表, 根据右表解答下列问题: (1)求右表中 a 和 b 的值; (2) 请将频率分布直方图补充完整, 并根据直方图估计该市每位居民月均用 水量的众数. 分组 [0,1) [1,2) [2,3) [3,4) [4,5) [5,6] 合计 频数 10 频率 0.10 0.20 0.30

a
30 20 10 10 100

b
0.10 0.10 1.00

(第 17 题图) 18. (本小题满分 8 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, PA ? 底面 ABCD ,且 PA=AB. (1)求证:BD ? 平面 PAC; (2)求异面直线 BC 与 PD 所成的角. P

A B C

D

(第 18 题图)

19. (本小题满分 8 分) 如图,某动物园要建造两间完全相同的矩形熊猫居室,其总面积为 24 平方米,设熊猫居室的一面墙 AD 的长为 x 米 (2 ? x ? 6) . (1)用 x 表示墙 AB 的长; (2)假设所建熊猫居室的墙壁造价(在墙壁高度一定的前提下)为每米 1000 元,请将墙壁的总造价 y(元) 表示为 x(米)的函数; (3)当 x 为何值时,墙壁的总造价最低? D x A E (第 19 题图) B F C

20. (本小题满分 10 分) 在正项等比数列{an } 中, a1 ? 4 , a3 ? 64 . (1) 求数列{an } 的通项公式 an ; (2) 记 bn ? log4 an ,求数列{bn } 的前 n 项和 Sn ; (3) 记 y ? ?? ? 4? ? m, 对于(2)中的 Sn ,不等式 y ? Sn 对一切正整数 n 及任意实数 ? 恒成立,求
2

实数 m 的取值范围.

湖南省普通高中学业水平考试数学测试卷参考答案
一、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 题号 答案 1 C 2 D 3 D 4 A 5 C 6 B 7 B 8 A 9 B 10 A

二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 11.2; 12. 5; 13.1 ;14. 3? ;15. 2 三、解答题 16.解:(1)周期为 2? ?????????3 分 (2) g ( x) ? 2sin x ,?????????5 分

g (? x) ? 2sin(? x) ? ?2sin x ? g ( ? x) ? ? g ( x)
所以 g(x)为奇函数????????6 分 17.解:(1) (2)

a =20; ???2 分
b =0.20.???4 分

(第 16 题图) 根据直方图估计该市每位居民月均用水量的众数为 2.5 ??????8 分 (说明:第二问中补充直方图与求众数只要做对一个得 2 分,两个全对的 4 分.) P 18.(1)证明:∵ PA ? 平面ABCD ,

BD ? 平面ABCD , ? PA ? BD ,????????1 分
又 ABCD 为正方形,? BD ? AC ,?????2 分 而 PA, AC 是平面 PAC 内的两条相交直线, A D

? BD ? 平面PAC ????????4 分 (2)解: ∵ ABCD 为正方形,? BC ∥ AD , C B (第 17 题图) ? ?PDA 为异面直线 BC 与 AD 所成的角,?6 分 由已知可知,△ PDA 为直角三角形,又 PA ? AB , ∵ PA ? AD , ??PDA ? 45? , ? 异面直线 BC 与 AD 所成的角为 45?.????????8 分
19.解: (1)

AB ? AD ? 24, AD ? x

? AB ?

24 ???????2 分 x

(2) y ? 3000( x ?

16 )(2 ? x ? 6) ??????5 分(没写出定义域不扣分) x

(3)由 3000( x ? ) ? 3000 2 ? ? x?

16 x

16 24000 ? x

当且仅当 x ?

16 ,即 x ? 4 时取等号 x

? x ? 4 (米)时,墙壁的总造价最低为 24000 元.
答:当 x 为 4 米时,墙壁的总造价最低.?????8 分 20.解:(1).

q2 ?

a3 ? 16 ,解得 q ? 4 或 q ? ?4 (舍去) a1

? q ? 4 ??2 分
?an ? a1qn?1 ? 4 ? 4n?1 ? 4n ?????3 分 ( q ? ?4 没有舍去的得 2 分)
(2)

bn ? log4 an ? n ,???5 分

? 数列{bn } 是首项 b1 ? 1, 公差 d ? 1 的等差数列
? Sn ? n(n ? 1) 2
???7 分

(3)解法 1:由(2)知, Sn ?

n2 ? n , 2

当 n=1 时, Sn 取得最小值 Smin ? 1 ???8 分 要使对一切正整数 n 及任意实数 ? 有 y ? Sn 恒成立, 即 ?? ? 4? ? m ? 1
2

即对任意实数 ? , m ? ?? ? 4? ? 1 恒成立,
2

?? 2 ? 4? ?1 ? ?(? ? 2)2 ? 3 ? 3 ,
所以 m ? 3 ,

). ?????10 分 故 m 得取值范围是[3, ??
解法 2:由题意得: m ? ?? ? 4? ?
2

1 2 1 n ? n 对一切正整数 n 及任意实数 ? 恒成立, 2 2

即 m ? ?(? ? 2) ?
2

1 1 33 (n ? ) 2 ? , 2 2 8
2

1 1 33 (n ? ) 2 ? 有最小值 3, 2 2 8 所以 m ? 3 ,故 m 得取值范围是[3, ??). ?????10 分
因为 ? ? 2, n ?1 时, ?(? ? 2) ?

2010 年湖南省普通高中学业水平考试卷 数学
本试题卷包括选择题,填空题和解答题三部分,时量 120 分钟,每分 100 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求 1 已知集合 M = {1,2}, N ={2,3}, 则 MUN =( ) A {1,2}; B {2,3} ;C {1,3} ; D {1,2,3}

2 已知 a、b、c? R ,则( …) A, a+c>b+c

B a?c?b?c

C

a?c?b?c

D a+c ? b ? c )

3,下列几何体中,正视图。侧视图和俯视图都相同的是( A,圆柱 ; B 圆锥 ; C 球 ; D

三菱柱

4 已知圆 C 的方程为: ( x ?1) 2 + ( y ? 2) 2 =4,则圆心坐标与半径分别为( ) A (1,2) ,r=2; B (-1,-2) ,r=2; C (1,2) ,r=4; D (-1,-2) ,r=4; 5、下列函数中,是偶函数的是( ) A f(x)=x ; B f(x)=

1 x

C

f(x)=x ; D f(x)=sinx

6 如图所示的圆盘由八个全等的扇形构成, 指针绕中心旋转, 可能随机停止, 则指针停止在阴影部分内的概 率是( ) A

1 1 1 ; B ;C 2 4 6

;D )

1 8

7、化简(sin ? +cos ? )2=(

A 1+sin2 ? ; B 1-sin ? ; C 1-sin2 ? ; D 1+sin ? 8、在△ABC 中,若 CA CB ? 0 ,则△ABC 是( )

A 锐角三角形;B 钝角三角形; C 直角三角形;D

等腰三角形;

9、已知函数 f (x) ?a x (a ?0 且 a ?1) ,f(1)=2,则函数 f(x)的解析式是( ) A f(x)=4x ; B f(x)= ( ) x

1 4

C

f(x)=2x ; D f(x)= ( ) x

1 2

10、在△ABC 中, a 、b、c 分别为角 A、B、C 的对边, 若 A=60,b=1,c=2,则 a =( ) A 1; B

3 ; C 2 ;D

7

二、填空题(每小题 4 分,共计 20 分) 11 直线 y=2x+2 的斜率是________ 12 已知如图所示的程序框图,若输入 的 x 值为 1,则输出和 y 值是_____ 13 已知点(x,y)在如图所示的阴影 输入 x 开始

y=x+1

部分内运动,则 z=2x+y 的最大值是______ 14 已知向量 a=(4,2),b=(x,3) , 输出 y (13 题)

若 a||b,则实数 x 的值为______

结束

15 张山同学的家里开了一个小卖部,

(12 题)

为了研究气温对某种冷饮销售量的影响,他收集了这一段时间内这种冷饮每天的销售量 y(杯)与当天最高 气温 x(0C)的有关数据,通过描绘散点图,发现 y 和 x 呈现线性相关关系,并求得回归方程为 y =2x+60,如果 气象预报某天的最高气温为 340C,则可以预测该天这种饮料的销售量为____杯。

三、解答题:本大题共有 5 小题,满分 40 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16、 (6 分)已知函数 f(x)=Asin2x(A>0)的部分图象,如图所示,

(1)判断函数 y=f(x)在区间[ 指出函数 y=f(x)的最大值。

? 3? , ]上是增函数还是减
4
4

函数,并

(2)求函数 y=f(x)的周期 T。

17、 (8 分)如图是一名篮球运动员在某一赛季 10 场比赛的得分的原始记录的径叶图, (1)计算该运动员这 10 场比赛的平均得分; (2)估计该运动员在每场比赛中得分不少于 40 分的概率。

1 2 3 4

6 4 7 3 4 6 9 1 4 6

18 (8 分)在等差数列{ an }中,已知 a 2=2, a 4=4, (1)求数列{ an }的通项公式 an ; (2)设 bn ? 2an ,求数列{ bn }前 5 项的和 S5。

19、 (8 分)如图, ABCD ? A1 B1C1 D1 为长方体,
(1)求证:B1D1||平面 BC1D; (2)若 BC=C1C, 求直线 BC1 与平面 ABCD 所成角的大小。

20 (10 分)已知函数 f(x)=log2(x-1). (1)求函数 f(x)的定义域; (2)设 g(x)= f(x)+ a ;若函数 y=g(x)在(2,3)有且仅有一个零点,求实数 a 的取值范围;

(3)设 h(x)= f ( x) ?

m ,是否存在正实数 m,使得函数 y=h(x)在[3,9]内的最大值为 4?若存在,求出 m f ( x)

的值;若不存在,请说明理由。

参考答案: 一、选择题:1-10 DACACDABCD 2 ; 13 4; 14 6 ; 15 128;

二、填空题:11 2 ; 12 三、解答题:

16 (1)减函数,最大值为 2; (2)T= ? 。 17 (1)34; (2)0.3 18 (1) an = n; (2)S5=62; 19(1)略; (2)450; 20(1){x|x>1};(2) -1<a<0 ;(3) m=4.

2011 年湖南普通高中学业水平考试试卷

数 学
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分.时量 120 分钟,满分 100 分. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.

1,2,3,4,5} , B ? {2,5,7,9} ,则 A 1.已知集合 A ? {
A.{1, 2,3, 4,5} 2.若函数 f ( x) ? A.3 B.{2,5,7,9}

B 等于(

) D.{1, 2,3, 4,5,7,9}

C.{2,5} )

x ?3 ,则 f (6) 等于(
B.6 C.9 D. 6

3.直线 l1 :2 x ? y ?10 ?0 与直线 l2 :3x ?4 y ?4 ?0 的交点坐标为( A. (?4, 2) B. (4, ?2) C. (?2, 4) )

) D. (2, ?4)

4.两个球的体积之比为 8:27,那么这两个球的表面积之比为(

A. 2 : 3

B. 4 : 9

C. 2 : 3 )

D. 2 2 : 3 3

5.已知函数 f (x) ?sin xcos x ,则 f ( x ) 是( A.奇函数 B.偶函数

C.非奇非偶函数 ) B. a ? b

D.既是奇函数又是偶函数

6.向量 a ? (1 ,? 2) , b ? (2,1) ,则( A. a / / b C. a 与 b 的夹角为 60

D. a 与 b 的夹角为 30 )

7.已知等差数列?an ? 中, a7 ? a9 ? 16 , a4 ? 1 ,则 a12 的值是( A.15 B.30 C.31 D.64

8.阅读下面的流程图,若输入的 a , b , c 分别是 5,2,6,则输出的 a , b , c 分别是( A.6,5,2 B.5,2,6



C.2,5,6 D.6,2,5 9.已知函数 f (x) ? x 2 ? 2x ?b 在区间(2,4)内有唯一零点,则 b 的取值范围是( A. R B. ( ??, 0) C. (?8, ??) ) D. (?8, 0) )

10.在 ?ABC 中,已知 A ? 120 , b ? 1 , c ? 2 ,则 a 等于( A. 3 C. 7 B. 5 ? 2 3 D. 5 ? 2 3

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分. 11.某校有高级教师 20 人,中级教师 30 人,其他教师若干人,为了了解该校教师的工资收入情况,拟按分 层抽样的方法从该校所有的教师中抽取 20 人进行调查.已知从其他教师中共抽取了 10 人,则该校共有教 师 12. ( 3)
log3 4

人. 的值是 . . .

13.已知 m ? 0 , n ? 0 ,且 m ? n ? 4 ,则 mn 的最大值是 14.若幂函数 y ? f ( x) 的图像经过点 (9, 1 ) ,则 f (25) 的值是

y

3

3
2


15.已知 f ( x ) 是定义在? ?2,0?

? 0, 2? 上的奇函数,

当 x ? 0 时, f ( x ) 的图像如图所示,那么 f ( x ) 的值域是

O

2

x

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 6 分)一个均匀的正方体玩具,各个面上分别写有 1,2,3,4,5,6,将这个玩具先后抛 掷 2 次,求: (1)朝上的一面数相等的概率; (2)朝上的一面数之和小于 5 的概率.

17. (本小题满分 8 分)如图,圆心 C 的坐标为(1,1) ,圆 C 与 x 轴和 y 轴都相切. (1)求圆 C 的方程; (2)求与圆 C 相切,且在 x 轴和 y 轴上的截距相等的直线方程.

18. (本小题满分 8 分)如图,在三棱锥 P ? ABC ,PC ? 底面 ABC , AB ? BC ,D 、E 分别是 AB 、

PB 的中点.
(1)求证: DE / / 平面 PAC ; (2)求证: AB ? PB .

19. (本小题满分 8 分)已知数列?an ? 的前 n 项和为 Sn ? n 2 ?n . (1)求数列?an ? 的通项公式; (2)若 bn ? 1

?2?

an

,求数列?bn ? 的前 n 项和为Tn .

20. (本小题满分 10 分)设函数 f ( x) ? a ? b ,其中向量 a ? (cos2 x ? 1 ,1) , b ? (1, 3sin 2x ? m) . (1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)当 x ? ?0, ? ? 时, ?4 ? f ( x) ?4 恒成立,求实数 m 的取值范围.

? ?

6? ?

2012 年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列{ an }的前 3 项分别为 2、 4、 6, 则数列{ an } 第 4 项为 A.7 B.8 C.10 D.12 2.如图是一个几何体的三视图,则该几何体为 A.球 B.圆柱 C.圆台 D.圆锥 3.函数 f ( x) ? ( x ? 1)(x ? 2) 的零点个数是
正视图 侧视图



俯视图 (第 2 题图)

A.0 B.1 C.2 D.3 4.已知集合 ? ? {?1,0,2} , ? ? {x,3} ,若 ? ? ? ? {2} ,则 x 的值为 A.3 B.2 C.0 D.-1 5.已知直线 l1 : y ? 2 x ? 1 , l 2 : y ? 2 x ? 5 ,则直线 l1 与 l 2 的位置关系是 A.重合 B.垂直 C.相交但不垂直 D.平行 6.下列坐标对应的点中,落在不等式 x ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域内的是 A. (0,0) B. (2,4) C. (-1,4) D. (1,8) 7.某班有 50 名同学,将其编为 1、2、3、?、50 号,并按编号从小到大平均分成 5 组.现用 系统抽样方法,从该班抽取 5 名同学进行某项调查,若第 1 组抽取的学生编号为 3,第 2 组抽 取的学生编号为 13,则第 4 组抽取的学生编号为 A.14 B.23 C.33 D.43 8.如图,D 为等腰三角形 ABC 底边 AB 的中点,则下列等 式 C 恒成立的是 B. CD ? AB ? 0 D. CD ? CB ? 0 ? 9.将函数 y ? sin x 的图象向左平移 个单位长度,得到的 3 象对应的函数解析式为 A. CA ? CB ? 0 C. CA ? CD ? 0


A D (第 8 题图) B

A. y ? sin( x ? C. y ? sin( x ?

?
3

)

? B. y ? sin( x ? ) 3
D. y ? sin( x ?
2? ) 3

2? ) 3

10.如图,长方形的面积为 2,将 100 颗豆子随机地撒在长方形内,其中恰好有 60 颗豆子落 在阴影部分内,则用随机模拟的方法可以估计图中阴影部分的面积为 A. C.
2 3 6 5

B. D.

4 5

4 3
(第 10 题图)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分. 11.比较大小: log2 5 ) . log2 3 (填“>”或“<” 12.已知圆 ( x ? a) 2 ? y 2 ? 4 的圆心坐标为 (3,0) ,则实数 a ?

. .

13.某程序框图如图所示,若输入的 a, b, c 值分别为 3,4,5,则输出的 y 值为
1 3 14.已知角? 的终边与单位圆的交点坐标为( , ) ,则 2 2 . cos? = 15.如图,A,B 两点在河的两岸,为了测量 A、B 之间的 离,测量者在 A 的同侧选定一点 C,测出 A、C 之间的距离 100 米,∠BAC=105?,∠ACB=45?,则 A、B 两点之间的 离为 米.
B

开始 输入 a,b,c

距 是 距

y?

a?b?c 3
输出 y

河 结束
105?

A

45?

C

(第 13 题图)

(第 15 题图)

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 6 分)

已知函数 y ? f ( x) ( x ? [?2,6] )的图象如图.根据图象写出: (1)函数 y ? f ( x) 的最大值; (2)使 f ( x) ? 1 的 x 值. y
2 1 -2 -1 O -1 2 5 6

17. (本小题满分 8 分) 一批食品,每袋的标准重量是 50 g , 为了了解这批食品的实际重量

x

况,从中随机抽取 10 袋食品,称出 袋的重量(单位: g ) ,并得到其茎叶图(如图) .

(第 16 题图)

情 各

(1)求这 10 袋食品重量的众数,并估计这批食品实际重量的平均数; (2)若某袋食品的实际重量小于或等于 47 g ,则视为不合格产品,试估计这批食品重量的合 格率.
4 5 5 6 6 9 0 0 0 1 1 2

(第 17 题图)

18. (本小题满分 8 分) 如图, 在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, D1D⊥底面 ABCD, 底面 ABCD 是正方形, 且 AB=1, D1D= 2 . (1)求直线 D1B 与平面 ABCD 所成角的大小; (2)求证:AC⊥平面 BB1D1D.

D1 A1 B1

C1

19. (本小题满分 8 分) 已知向量 a =( sin x ,1) ,b =( cos x ,1) , x ?R. (1)当 x ? 时,求向量 a + b 的坐标; 4 (2)若函数 f ( x) ? |a + b|2 ? m 为奇函数,求实数 m 的值.

?

20. (本小题满分 10 分)

已知数列{ an }的前 n 项和为 S n ? 2 n ? a ( a 为常数, n ?N*). (1)求 a1 , a2 , a3 ; (2)若数列{ an }为等比数列,求常数 a 的值及 an ; (3)对于(2)中的 an ,记 f (n) ? ? ? a2n?1 ? 4? ? an?1 ? 3 ,若 f (n) ? 0 对任意的正整数 n 恒成 立,求实数 ? 的取值范围.

2012 年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷
参考答案 一、选择题(每小题 4 分,满分 40 分) 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 B 5 D 6 A 7 C 8 B 9 A 10 C

二、填空题(每小题 4 分,满分 20 分)

11.>;

12. 3;

13.4;

14.

1 ; 2

15. 100 2 .

三、解答题(满分 40 分) 16.解: (1)由图象可知,函数 y ? f ( x) 的最大值为 2; (2)由图象可知,使 f ( x) ? 1 的 x 值为-1 或 5. 17.解: (1)这 10 袋食品重量的众数为 50( g ) , 因为这 10 袋食品重量的平均数为

???????3 分 ?????6 分 ??????2 分

45 ? 46 ? 46 ? 49 ? 50 ? 50 ? 50 ? 51 ? 51 ? 52 ? 49 ( g ) , 10 所以可以估计这批食品实际重量的平均数为 49( g ) ; ?????4 分 (2)因为这 10 袋食品中实际重量小于或等于 47 g 的有 3 袋,所以可以估计这批食品重量的

不合格率为

3 7 ,故可以估计这批食品重量的合格率为 . 10 10

8分

18. (1)解:因为 D1D⊥面 ABCD,所以 BD 为直线 B D1 在平面 ABCD 内的射影, 所以∠D1BD 为直线 D1B 与平面 ABCD 所成的角, ???????2 分 又因为 AB=1,所以 BD= 2 ,在 Rt△D1DB 中, tan ?D1 BD ?
D1 D ? 1, BD

所以∠D1BD=45?,所以直线 D1B 与平面 ABCD 所成的角为 45?; 4分 (2)证明:因为 D1D⊥面 ABCD,AC 在平面 ABCD 内,所以 D1D⊥AC, 又底面 ABCD 为正方形,所以 AC⊥BD, ???????6 分 因为 BD 与 D1D 是平面 BB1D1D 内的两条相交直线, 所以 AC⊥平面 BB1D1D. ??????????8 分 19.解: (1)因为 a =( sin x ,1) ,b =( cos x ,1) ,x ? 所以 a + b ? (sin x ? cos x,2) ? ( 2,2) ; (2)因为 a + b ? (sin x ? cos x,2) , 所以 f ( x) ? (sin x ? cos x) 2 ? 4 ? m ? sin 2x ? 5 ? m , ?????6 分

?
4

, ???????4 分

因为 f ( x) 为奇函数,所以 f (? x) ? ? f ( x) , 即 sin(?2 x) ? 5 ? m ? ? sin 2 x ? 5 ? m ,解得 m ? ?5 . ?????8 分 注:由 f ( x) 为奇函数,得 f (0) ? 0 ,解得 m ? ?5 同样给分. 20.解: (1) a1 ? S1 ? a ? 2 , ????????1 分 由 S 2 ? a1 ? a2 ,得 a2 ? 2 , ????????2 分

由 S3 ? a1 ? a2 ? a3 ,得 a3 ? 4 ;

???????3 分

(2)因为 a1 ? a ? 2 ,当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? 2 n?1 , 又{ an }为等比数列,所以 a1 ? 1 ,即 a ? 2 ? 1 ,得 a ? ?1 , 故 an ? 2 n?1 ; ????5 分

?????????????6 分 ??????7 分

(3)因为 an ? 2 n?1 ,所以 f (n) ? ? ? 2 2n ? 4? ? 2 n ? 3 ,

令 t ? 2 n ,则 t ? 2 , f (n) ? ? ? t 2 ? 4? ? t ? 3 ? ? (t ? 2) 2 ? 4? ? 3 , 设 g (t ) ? ? (t ? 2) 2 ? 4? ? 3 , 当 ? ? 0 时, f (n) ? ?3 ? 0 恒成立, ???????8 分

当 ? ? 0 时, g (t ) ? ? (t ? 2) 2 ? 4? ? 3 对应的点在开口向上的抛物线上,所以 f (n) ? 0 不可能 恒成立, ?????9 分

当 ? ? 0 时, g (t ) ? ? (t ? 2) 2 ? 4? ? 3 在 t ? 2 时有最大值 ? 4? ? 3 ,所以要使 f (n) ? 0 对任
3 3 意的正整数 n 恒成立,只需 ? 4? ? 3 ? 0 ,即 ? ? ? ,此时 ? ? ? ? 0 , 4 4

综上实数 ? 的取值范围为 ?

3 ? ? ? 0. 4

??????????10 分

说明:解答题如有其它解法,酌情给分.

2013 年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分. 1.已知集合 M ? {0,1,2} , N ? {x} ,若 M A.3 B.2 C.1

N ? {0,1, 2,3} ,则 x 的值为(
D.0



?1 ? , ( x ? 1) 2.设 f ( x) ? ? x ,则 f (1) 的值为( ? 2, ( x ? 1) ?
A.0 A.圆柱 C.球 A.-3 C.1 A. 8 B.1 C.2 B. 三棱柱 D.四棱柱 ) B.-1 D.3 D.-1



3.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体是(

).
正视图 侧视图

, x ?R 的最小值是( 4.函数 y ? 2cos x

俯视图 (第3题图)

( ,4) x ,若 a ∥ b ,则实数 x 的值为( 5.已知向量 a ? (1,2), b ?
B. 2 C.-2

) D.-8 )

6.某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为 600,400,800,为了了解教师的教学情况,该校采用分层 抽样的方法, 从这三个年级中抽取 45 名学生进行座谈, 则高一、 高二、 高三年级抽取的人数分别为 ( A.15,5, 25 的概率为( A. ) B. B.15,15,15 C.10,5,30 D.15,10, 20

7.某袋中有 9 个大小相同的球,其中有 5 个红球,4 个白球,现从中任意取出 1 个,则取出的球恰好是白球

1 5
B.2

1 4
C.3

C.

4 9
D.5

D.

5 9

y

8.已知点 ( x, y) 在如图所示的平面区域(阴影部分)内运动,则 z ? x ? y 的最大值是( A.1

(0,2) 9.已知两点 P(4,0), Q
2 2

,则以线段 PQ 为直径的圆的方程是(
2 2



(1,2) (3,2)

A. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 5 C. ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 5
2 2

B. ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 10 D. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 10
2 2

o

(1,0) (第8题图)

x

10.如图,在高速公路建设中需要确定隧道的长度,工程技术人员已测得隧道两端的两点 A, B 到点 C 的距 离 AC ? BC ? 1 km,且 ?ACB ? 1200 ,则 A, B 两点间的距离为( )
B

1km

A. 3 km C.1.5 km

B. 2 km D. 2 km

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分. 11.计算: log2 1 ? log 2 4 ? 开始 .. . . . . 输入 x

12.已知1, x,9 成等比数列,则实数 x ?

13.经过点 A(0,3) ,且与直线 y ? ? x ? 2 垂直的直线方程是 14.某程序框图如图所示,若输入的 x 的值为 2 ,则输出的 y 值为

x ? 0?

y ? 2x ?1



? 15. 已知向量 a 与 b 的夹角为 , a ? 2 , 且a b ? 4 , 则b ? 4

y? x

输出 y 三、解答题:本大题共 5 小题,满分 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或 骤. 16. (本小题满分 6 分) 已知 cos ? ? , ? ? (0, ) (1)求 tan ? 的值; (2)求 sin( ? ? ) 的值. 结束 演算步

(第 14 题图)

1 2

?
2

?

6

17. (本小题满分 8 分) 某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况,抽样调査了 100 位职员的早餐日平均费用 (单位:元) , 得到如 下图所示的频率分布直方图,图中标注 a 的数字模糊不清. (1) 试根据频率分布直方图求 a 的值,并估计该公司职员早餐日平均费用的众数; (2) 已知该公司有 1000 名职员, 试估计 该公司有多少职员早餐日平均费用不少 于 8 元?
a 0.10 0.05 频率 组距

0

2

4

6

8

10

12 早餐日平均费用(元)

(第17题图)

18. (本小题满分 8 分) 如图, 在三棱锥 A ? BCD 中,AB ⊥平面 BCD ,BC ? BD ,BC ? 3 ,BD ? 4 , 直线 AD 与平面 BCD 所成的角为 45 ,点 E , F 分别是 AC , AD 的中点. (1)求证: EF ∥平面 BCD ; (2)求三棱锥 A ? BCD 的体积.
E A F B D
0

C

(第18题图)

19. (本小题满分 8 分) 已知数列?an ? 满足: a3 ? ?13 , an ? an?1 ? 4 (n ? 1, n ? N ) . (1)求 a1 , a2 及通项 an ; (2)设 Sn 是数列?an ? 的前 n 项和 Sn ,则数列 S1 , S2 , S3 ,?中哪一项最小?并求出这个最小值.

20. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ?2 x ? ? ?2 ? x (? ? R ) (1)当 ? ? ?1 时,求函数 f ( x) 的零点; (2)若函数 f ( x) 为偶函数,求实数 ? 的值; (3)若不等式

1 ≤ f ( x ) ≤ 4 在 x ? [0,1] 上恒成立,求实数 ? 的取值范围. 2

2013 年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷 参考答案
一、 选择题

题号 答案

1 A

2 B

3 C

4 A

5 B

6 D

7 C

8 D

9 C

10 A

二、填空题 11、 2 ; 12、 ±3 ; 13、 x ? y ? 3 ? 0 ; 14、 2 ; 15、 4

三、解答题: 16、 (1) ? ? (0, ),?cos? ? 0 ,从而 cos ? ? 1 ?sin

?

2

2

??

3 2

(2) sin 2? ? cos 2? ? 2sin ? cos ? ? 1 ? 2sin 2 ? ? 17、 (1)高一有:

3 ?1 2

200 ;高二有 200 ? 120 ? 80 (人) ?1200 ? 120 (人) 2000
(人)

10 ? 0.03 10 ? 0.025 ? 10 ? 0.005 ? 10 ? 0.75 ? (2) 频率为 0.015 ? ? ?人数为 0.75 ?2000 1500

? f (0) ? b ? 6 ?a ? ?2 18、 (1) ? ?? ? f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 6 ? f (1) ? a ? b ? 1 ? 5 ?b ? 6
(2)

f ( x) ? x2 ? 2x ? 6 ? ( x ? 1)2 ? 5, x ?[?2,2]

? x ? 1 时, f ( x) 的最小值为 5, x ? ?2 时, f ( x) 的最大值为 14.

19、(1) a1 ? 2, an ? 2an?1 ,? a2 ? 4, a3 ? 8

an ? 2(n ? 2, n ? N * ) ,??an ? 为首项为 2,公比为 2 的等比数列,?an ? 2 ? 2 n?1 ?2 n an ?1
(2) bn ? log2 an ? log2 2n ? n ,? Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? 20、 (1)

?n?

n(n ? 1) 2

C : ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 ? k ,?C (?1, 2)

(2)由 5 ? k ? 0 ? k ? 5

?x ? 2 y ? 4 ? 0 (3)由 ? ? 5 y 2 ? 16 y ? 8 ? k ? 0 2 2 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 5 ? k ?
设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), 则 y1 ? y2 ?

16 8? k 24 , ? ? 162 ? 20(8 ? k ) ? 0 ? k ? , y1 y2 ? 5 5 5
4k ? 16 5

x1 ? 2 y1 ? 4, x2 ? 2 y2 ? 4,? x1 x2 ? (2 y1 ? 4)(2 y2 ? 4) ? 4[ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4] ?
OM ? ON ,? x1 x2 ? y1 y2 ? 0, 即

4k ? 16 8 ? k 8 24 ? ? 0 ? k ? (满足k ? ) 5 5 5 5

2014 年湖南省普通高中学业水平考试试卷

数 学
本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 5 页 时量 120 分钟,满分 100 分.

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
1.如图是一个几何体的三视图,则该几何体为 A.圆柱 C.圆台 A.0 B.1 B.圆锥 D.球 C.2 D.3

} ,且 a ?{0,1,2} ,则 a 的值为 2.已知元素 a ?{0,1,2,3
3.在区间[0,5] 内任取一个实数,则此数大于 3 的概率为 A. C.

1 5 3 5
B.3 C.4

B. D.

2 5 4 5
D.5

4.某程序框图如图所示,若输入 x 的值为 1,则输出 y 的值是 A.2 5.在△ ABC 中,若 AB ? AC ? 0 ,则△ ABC 的形状是 A.直角三角形 C.锐角三角形 6. sin120 的值为 A. B.等腰三角形 D.钝角三角形

2 2

B. ?1

C.

3 2

D. ?

2 2

BD 与 7.如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,异面直线

AC 1 1 的位置关系是
A.平行 B.相交 C.异面但不垂直 D. 异面且垂直

2) ? 0 的解集为 8.不等式 ( x ?1)( x ?
A.{x | ?1 ? x ? 2} B. {x | ?1 ? x ? 2}

C. {x | x ? ?1或x ? 2} A. m ? 1 B. m ? 1

D. {x | x ? ?1或x ? 2} C. m ? 1 D. m ? 1

9.点 P (m,1) 不在不等式 x ? y ? ? 0 表示的平面区域内,则实数 m 的取值范围是 10. 某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽误了一些时间,下列函数的 图像最能符合上述情况的是

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分. 11. 样本数据 ?2,0,6,3,6 的众数是 .

C 所对应的边分别为 a 、 b、 12. 在 ?ABC 中, 角 A 、B 、 已知 a ? 1, b ? 2,sin A ? c,

1 s i B= , 则n 3

.

13. 已知 a 是函数 f ? x ? ? 2 ? log2 x 的零点, 则实数 a 的值为 值为 .

. 的

14.已知函数 y ? sin ? x( ? ?0) 在一个周期内的图像如图所示,则? 15. 如图 1,矩形 ABCD 中, AB ? 2BC ,E ,F 分别是 AB ,CD 的中 点,现在沿 EF 把这个矩形折成一个二面角 A ? EF ? C (如图 2)则 图 2 中直线 AF 与平面 EBCF 所成的角为 .



三、解答题:本大题共 5 小题,满分 40 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .

16.(本小题满分 6 分)

? x, x ?[0,2], ? , x ? (2, 4]. ? ?x (1)画出函数 f ( x ) 的大致图像; (2)写出函数 f ( x ) 的最大值和单调递减区间.
已知函数 f ( x) ? ? 4

17.(本小题满分 8 分) 某班有学生 50 人,期中男同学 300 人,用分层抽样的方法从该班抽取 5 人去参加某社区服务活动. (1)求从该班男、女同学中各抽取的人数; (2)从抽取的 5 名同学中任选 2 名谈此活动的感受,求选出的 2 名同学中恰有 1 名男同学的概率.

18. (本小题满分 8 分) 已知等比数列{an } 的公比 q ? 2 ,且 a2 , a3 ?1 , a4 成等差数列. (1)求 a1及an ; (2)设 bn ? an ? n ,求数列{bn } 的前 5 项和 S5 .

19. (本小题满分 8 分) 已知向量 a ? (1 ,sin ? ), b ? (2,1). (1)当? ?

?
6

时,求向量 2a ? b 的坐标;

(2)若 a ∥ b ,且? ? (0, ) ,求 sin( ? ? ) 的值.

?

?

2

4

20. (本小题满分 10 分)

已知圆 C : x2 ? y 2 ? 2 x ? 3 ? 0 . (1)求圆的圆心 C 的坐标和半径长; (2)直线 l 经过坐标原点且不与 y 轴重合, l 与圆 C 相交于 A(x1, y1),B( x 2 , y 2) 两点,求证: 定值; (3)斜率为 1 的直线 m 与圆 C 相交于 D, E 两点,求直线 m 的方程,使△CDE 的面积最大.

1 1 ? 为 x1 x2

2014 年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷 参考答案及评分标准
一、选择题(每小题 4 分,满分 40 分) 题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 B 5 A 6 C 7 D 8 A 9 C 10 A

二 、填空题(每小题 4 分,满分 20 分) 11.6 12.

2 3

13.4

14.2

15. 45 (或

? ) 4

三 、解答题(满分 40 分) 16. 解:(1)函数 f ? x ? 的大致图象如图所 示; ???????????2 分 (2)由函数 f ? x ? 的图象得出,
f ? x ? 的最大值为 2, ??????4 分

其单调递减区间为? 2, 4? .????6 分 17. 解: (1)

30 20 ? 5 ? 3 (人), ? 5 ? 2 (人), 50 50
2

所以从男同学中抽取 3 人, 女同学中抽取 人; ??????????????4 分 (2)过程略.

3 P( A) ? . ?????????????????????????????8 分 5
18. 解: (1) an ? 2n?1 ; 19. 解: (1) ? 4, 2 ? ; (2)
2? 6 . 4

????????????????????????4 分 ?????????????????????????4 分

(2) S5 ? 46 . ?????????????????????????????8 分

???????????????????????????8 分
2

,0 ? ,????????2 分 20. 解: (1)配方得 ? x ? 1? ? y2 ? 4 , 则圆心 C 的坐标为 ? ?1

圆的半径长为 2 ; ???????????????????????????4 分 (2)设直线 l 的方程为 y ? kx ,
? x2 ? y 2 ? 2 x ? 3 ? 0 联立方程组 ? , ? y ? kx

消去 y 得 1 ? k 2 x2 ? 2x ? 3 ? 0 ,
2 ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1? k2 则有: ? ?x x ? ? 3 1 2 ? 1? k2 ?

?

?

??????????????????5 分

??????????????????6 分

所以

1 1 x1 ? x2 2 ? ? ? 为定值. x1 x2 x1 x2 3

??????????????????7 分

(3)解法一 设直线 m 的方程为 y ? kx ?b , 则圆心 C 到直线 m 的距离

d?

b ?1 2

, 所以 DE ? 2 R 2 ?d 2 ? 2 4 ? d 2 , ?????????????8 分
2 2

S?CDE ?

?4 ? d ? ? d ? 2 , 1 DE ? d ? 4 ? d 2 ? d ? 2 2
? 2 , 解之得 b ? 3 或 b ? ?1 ,

当且仅当 d ? 4 ? d 2 ,即 d ? 2 时, ?CDE 的面积最大, ??????????9 分 从而
b ?1 2

故所求直线方程为 x ? y ? 3 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 .??????????????10 分 解法二 由(1)知 CD ? CE ? R ? 2 , 所以 S?CDE ?

1 CD ? CE ? sin ?DCE ? 2sin ?DCE ? 2 ,当且仅当 CD ? CE 时, ?CDE 的面积最大, 此时 2
?????????????????????8 分

DE ? 2 2 ,

设直线 m 的方程为 y ? x ?b 则圆心 C 到直线 m 的距离 d ?
b ?1 2

,???????????????????9 分

由 DE ? 2 R2 ? d 2 ? 2 4 ? d 2 ? 2 2 , 得 d ? 2 , 由
b ?1 2 ? 2 ,得 b ? 3 或 b ? ?1 ,

故所求直线方程为 x ? y ? 3 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 .??????????????10 分

w w w x z . c . x s o m


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