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上海市16区县2017届高三上学期期末考试数学试题分类汇编-立体几何 Word版含答案


上海市各区县 2017 届高三上学期期末考试数学试题分类汇编

立体几何
一、填空、选择题 1、 (宝山区 2017 届高三上学期期末) 已知一个底面置于水平面上的圆锥,其左视图是边长 为 6 的正三角形,则该圆锥的侧面积为 2、 (崇明县 2017 届高三第一次模拟)已知圆锥的母线 l ? 10 ,母线与旋转轴的夹角 ? ? 30? , 则圆锥的表面积为 3、 (虹口区 2017 届高三一模)一个底面半径为 2 的圆柱被与其底面所成角是 60 ? 的平面 所截,截面是一个椭圆,则该椭圆的焦距等于 .

4、 (黄浦区 2017 届高三上学期期终调研)关于直线 l , m 及平面 ? , ? ,下列命题中正确的是 ( A.若 l / /? ,? ? ? ? m ,则 l / / m C.若 l ? ? , m / /? ,则 l ? m ) B.若 l / /? , m / /? ,则 l / / m D.若 l / /? , m ? l ,则 m ? ?

5、 (静安区 2017 届向三上学期期质量检测)若空间三条直线 a、b、c 满足 a ? b, b ? c , 则直线 a 与 c 【 A.一定平行; C.一定是异面直线; 】 B.一定相交; D.平行、相交、是异面直线都有可能.

6、 (闵行区 2017 届高三上学期质量调研) 如右图, 已知正方体 ABCD ? A AA1 ? 2 , 1B 1C1D 1,

E 为棱 CC1 的中点,则三棱锥 D1 ? ADE 的体积为________________.

7、 (浦东新区 2017 届高三上学期教学质量检测)已知一个球的表面积为 16? ,则它的体积 为____________.
1

8、 (普陀区 2017 届高三上学期质量调研)如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,

?ABC ? 90? , AB ? BC ? 1 , 若 A1C 与平面 B1 BCC1 所成的角为
锥 A1 ? ABC 的体积 为 .

? ,则三棱 6

9、 (青浦区 2017 届高三上学期期末质量调研)若圆锥的侧面积为 20? ,且母线与底面所成 角为 arccos

4 ,则该圆锥的体积为 5



10 、 ( 松 江 区 2017 届 高 三 上 学 期 期 末 质 量 监 控 ) 如 图 , 在 棱 长 为 1 的 正 方 体

AP 的最小值 中,点 P 在截面 A ABCD ? 1A 1 BC 1 D 1 1 DB 上,则线段
等于

A. C.

1 3

B. D.

1 2

3 3

2 2

11 、 (徐汇区 2017 届高三上学期学习能力诊断)在长方体 ABCD? A 1 B 1 C 1 D 1 中,若

AB ? BC ?1, AA 1 与 CC1 所成角的大小为____________. 1 ? 2,则异面直线 BD
12、 (杨浦区 2017 届高三上学期期末等级考质量调研)过半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作 球 O 的截面,若 OA 与该截面所成的角是 60 ? ,则该截面的面积是__________. 13、 (长宁、嘉定区 2017 届高三上学期期末质量调研)如图,已知正三棱柱的底面边长为 2 cm ,高为 5 cm , 一质点自 A 点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 A1 点 的最短路线的长为__________ cm .

2

14、 (奉贤区 2017 届高三上学期期末)如图,一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图均 为全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边长都为 1,那么这个几何体的表面积 ____________.

15、 (金山区 2017 届高三上学期期末)某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( A. 8 ?



2? 3

B. 8 ? D.

C. 8 ? 2?

2? 3

? 3

3

二、解答题 1、 (宝山区 2017 届高三上学期期末)如图,已知正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面积为 侧面积为 36; (1)求正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积;

9 3 , 4

AB 所成的角的大小; (2)求异面直线 AC 1 与

2、 (崇明县2017届高三第一次模拟)在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? 1, BB1 ? 2 ,求: (1)异面直线 B1C1 与 A1C 所成角的大小; (2)四棱锥 A1 ? B1BCC1 的体积.

3、 (虹口区 2017 届高三一模)在正三棱锥 P ? ABC 中,已知底面等边三角形的边长为 6, 侧棱长为 4. (1)求证: PA ? BC ; (2)求此三棱锥的全面积和体积.

4

P

A

C

B

4、 (黄浦区 2017 届高三上学期期终调研)在三棱锥 P ? ABC 中,底面 ABC 是边长为 6 的 正三角形, PA ? 底面 ABC ,且 PB 与底面 ABC 所成的角为 (1)求三棱锥 P ? ABC 的体积; (2) 若 M 是 BC 的中点, 求异面直线 PM 与 AB 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示) .
P

π . 6

A

B

M

C

5、 ( 静 安 区 2017 届 向 三 上 学 期 期 质 量 检 测 ) 已 知 正 四 棱 柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 ,

AB ? a, AA 1 ? 2a , E , F 分别是棱 AD, CD 的中点.
(1) 求异面直线 BC1与EF 所成角的大小; (2) 求四面体 CA1 EF 的体积. 6、 (闵行区 2017 届高三上学期质量调研)如图,在 Rt△ AOB 中, ?OAB ?

π ,斜边 6

AB ? 4 , D 是 AB 的中点.现将 Rt△ AOB 以直角边 AO 为轴旋转一周得到一个圆锥, 点 C 为圆锥底面圆周上的一点,且 ?BOC ? 90? , 求:
(1)圆锥的侧面积; (2)直线 CD 与平面 BOC 所成的角的大小.(用反三角函数表示)

5

7、 (浦东新区 2017 届高三上学期教学质量检测)在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中(如图),

AD ? AA1 ? 1, AB ? 2 ,点 E 是棱 AB 的中点.
(1)求异面直线 AD1 与 EC 所成角的大小; (2) 《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.试问四面体 D1CDE 是 否为鳖臑?并说明理由.

8、 (普陀区 2017 届高三上学期质量调研)现有一堆规格相同的正六棱柱型金属螺
3 帽毛坯,经测定其密度为 7.8 g / cm ,总重量为 5.8 kg .其中一个螺帽的三视图如

下图所示(单位:毫米). (1)这堆螺帽至少有多少个; (2)对上述螺帽作防腐处理,每平方米需要耗材 0.11 千克, 共需要多少千克防腐材料(结果精确到 0.01 )

6

9、 (青浦区 2017 届高三上学期期末质量调研)如图所示,三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧面

ABB1 A1 是圆柱的轴截面, C 是圆柱底面圆周上不与 A 、 B 重合的一个点.
(1)若圆柱的轴截面是正方形,当点 C 是弧 AB 的中点时,求异面直线 AC 1 与 AB 的 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) ; (2)当点 C 是弧 AB 的中点时,求四棱锥 A1 ? BCC1B1 与圆柱的体积比.

10 、 (松江区 2017 届高三上学期期末质量监控)如图,在正四棱锥 P ? ABCD 中,

PA ? AB ? a, E 是棱 PC 的中点.
(1)求证: PC ? BD ; (2)求直线 BE 与 PA 所成角的余弦值.

11、 (徐汇区 2017 届高三上学期学习能力诊断)如图,已知 PA ? 平面 ABC , AC ? AB ,
7

AP ? BC ? 2 , ?CBA ? 30? , D 是 AB 的中点.

(1)求 PD 与平面 PAC 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) ; (2)求 ?PDB 绕直线 PA 旋转一周所构成的旋转体的体积(结果保留 ? ) .

12、 (杨浦区 2017 届高三上学期期末等级考质量调研)如图所示, l1 、 l2 是互相垂直的异面 直线, MN 是它们的公垂线段。点 A 、 B 在 l1 上,且位于 M 点的两侧, C 在 l2 上,
AM ? BM ? NM ? CN .

(1)求证:异面直线 AC 与 BN 垂直; (2)若四面体 ABCN 的体积 VABCN ? 9 ,求异面直线 l1 、 l2 之间的距离.

l2 l1 C

A M B N

13 、 (长宁、嘉定区 2017 届高三上学期期末质量调研)如图:已知 AB ? 平面 BCD , BC ? CD , AD 与平面 BCD 所成的角为 30 ? ,且 AB ? BC ? 2 . (1)求三棱锥 A ? BCD 的体积; (2)设 M 为 BD 的中点,求异面直线 AD 与 CM 所成角的大小(结果用反三角函数值表 示) .

8

14、 (奉贤区 2017 届高三上学期期末)已知圆锥母线长为 5,底面圆半径长为 4,点 M 是 母线 PA 的中点, AB 是底面圆的直径,点 C 是弧 AB 的中点. (1)求三棱锥 P ? ACO 的体积; (2)求异面直线 MC 与 PO 所成的角.

9

参考答案:
一、填空、选择题 1、详细分析:由题意,得:底面直径和母线长均为 6, S 侧=

1 ? 2? ? 3 ? 6 =18 ? 2
3、 4 3 7、 4、C 5、D

2、 75? 6、

4 3

32? 3

8、如图,

在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∵∠ABC=90°, A1B1⊥平面 BB1C1C,连接 B1C,则∠A1CB1 为 A1C 与平面 B1BCC1 所成的角为 ∵A1B1=AB=1,∴ 又 BC=1,∴ ∴ 故答案为: 9、 16? 10、C . 11、 . . , ,

? 4

12、 ?

13、将正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 沿侧棱展开,再拼接一次,其侧面展开图如图所示,

在展开图中, 最短距离是六个矩形对角线的连线的长度, 也即为三棱柱的侧面上所求距离的 最小值.

10

由已知求得矩形的长等于 6×2=12,宽等于 5,由勾股定理 d= 故答案为:13. 14、

=13

3? 3 2

15、A

二、解答题 1、

2、解: (1)? B1C1 / / BC ,

??BCA1 是异面直线 B1C1 与 A1C 所成角............................2 分
在 ? BCA1 中, BC ? 1, A ? 5, 1B ? 5, AC 1

BC 2 ? CA12 ? BA12 5 ,........................5 分 ?cos ?BCA1 ? ? 2BC ? CA1 10
??BCA1 ? arccos 5 10

11

? 异面直线 B1C1 与 A1C 所成角大小为 arccos

5 ................7 分 10

(2) VABC ? A1B1C ? S? ABC ? AA1 ?

3 .......................................10 分 2

1 3 .........................................13 分 VA1 ? ABC ? S? ABC ? AA1 ? 3 6
所以 VA1 ? B1BCC1 ? VABC ? A1B1C ? VA1 ? ABC ?

3 ...................................14 分 3

3、解: (1)取 BC 的中点 M ,连 AM 、 BM .

? ? ?ABC 是 等 边 三 角 形 , ? AM ? BC . 又 ? P B

P, C

? PM ? BC . AM ? PM ? M ? BC ? 平面 PAM ,? PA ? BC .…………5 分
(2)记 O 是等边三角形的中心.则 PO ? 平面ABC .
P

? ? AO ?

?ABC

是 边 长 为

6

的 等 边 三 角 形 ,
C O M B

2 2 3 AM ? ? 6 ? ? 2 3 . ? PO ? PA2 ? AO2 ? 2 , 3 3 2

A

PM ? PB2 ? BM 2 ? 7 …………8 分
? S?ABC ?
1 3 2 ? 6 ? 9 3 ,? VP ? ABC ? S ?ABC ? PO ? 6 3 3 4

1 S全 =S底 +S侧 ? 9 3 ? 3 ? ? 6 ? 7 ? 9 3 ? 9 7 …………12 分 2
4、解: (1)因为 PA ? 平面 ABC ,所以 ?PBA 为 PB 与平面 ABC 所成的角, 由 PB 与平面 ABC 所成的角为

π π ,可得 ?PBA ? , 6 6

……………………………2 分

因为 PA ? 平面 ABC ,所以 PA ? AB ,又 AB ? 6 ,可知 PA ? 2 3 ,

1 1 3 2 ? 6 ? 2 3 ? 18 . 故 VP ? ABC ? S?ABC ? PA ? ? 3 3 4
N 分别是 (2)设 N 为棱 AC 的中点,连 MN , NP ,由 M ,

……………………………6 分

棱 BC,AC 的中点,可得 MN ∥ BA ,所以 PM 与 MN 的夹 角为异面直线 PM 与 AB 所成的角. ………………8 分 因为 PA ? 平面 ABC ,所以 PA ? AM , PA ? AN , 又 MN ?

1 AB ? 3 , PN ? PA2 +AN 2 ? 21 , 2
12

PM ? PA2 +AM 2 ? 39 , MP 2 +MN 2 ? PN 2 3 39 ? 所以 cos ?PMN ? , 2MP ? MN 26
故异面直线 PM 与 AB 所成的角为 arccos

……………………………12 分 ……………………………14 分

3 39 . 26

5、解: (1)连接 A1C1 ,……………………………….1 分 则 ?A1C1 B 为异面直线 BC1与EF 所成角 …………….1 分

在 ?A1C1 B 中,可求得 C1 B ? A1 B ? 5a , A1C1 ?

2a

2 a 10 10 cos ?A1C1B ? 2 ? ? 异面直线所成角的大小arccos ……… 10 10 5a
…………….4 分 (2) VC ? A1EF ? VA1 ? EFC ? 6、 .[解] (1) S侧 =? rl

1 1 a a a3 ? ? ? ? 2a ? 3 2 2 2 12

……………………………….5 分

…………………………2 分 …………………………6 分

? 2 ? 4 ? ? ? 8?

(2)取 OB 的中点 E ,连接 DE 、 CE , 则 DE // AO ,所以 DE ? 平面BOC ,

………………8 分

所以 ?DCE 是直线 CD 与平面 BOC 所成的角, …………10 分 在 Rt△DEC 中, CE ? 5, DE ? 3 , tan ?DCE ?

3 15 …………12 分 ? 5 5

所以 ?DCE ? arctan

15 5 6 15 ( arcsin )…………14 分 4 5

所以直线 CD 与平面 BOC 所成的角的大小为 arctan
13

7、解:

? ? ? (1)作 AE ? / / CE 交 CD 于 E ? ,因为 AD ? AA 1 ? DE ? 1 ,所以 AE ? D 1E ? 2 ,故 ?AD1E? 为正三角形,异面直线 AD1 与 EC 所成角为 60°……………………………6 分

(2) E 是棱 AB 上的中点,则 ?ADE、?CBE 均为等腰直角三角形,

而 显 然 ?DD1E、?DD1C 均 为 直 角 三 角 形 , 故 四 面 体 D1CDE 四 个 面 均 为 直 角 三 角 形, . . . . . . . 14 分 8、 【解】设正六棱柱的底边边长为 a ,高为 h ,圆孔的半径为 r ,并设螺帽的表面 积为 S表 ,根据三视图可知,a ? 12 ,h ? 10 ,r ? 5 ,则(1)设螺帽的体积为 V , 则 V ? S底 ? h ,其中

1 S底 ? 6 ? ? a 2 ? sin 60 ? ? ?r 2 ? 216 3 ? 25? 2
高 h ? 10 ,螺帽的体积 V ? 216 3 ? 25? ? 10,

?

?

5.8 ? 1000? 7.8 ? 100 ? 252 个 216 3 ? 25? ? 10

?

?

(2) S 表 ? 6ah ? 2 ? ? 6 ?

? ?

1 ? ? a 2 ? sin 60? ? ? ? r 2 ? ? 2? ? a ? h 2 ?

? ? 1 3 2 2 ? ? 2? ? 5 ? 10 ? 6 ? 12 ? 10 ? 2 ? ? 6 ? ? 12 ? ? ? ? 5 ? ? 2 2 ? ?

720 ? 2 ? 216 3 ? 25? ? 100? ? 252? 0.11 ? 0.05(千克) 106
答:这堆零件至少有 252 个,防腐共需要材料 0.05 千克。

?

?

14

9、解: (1)连接 A1B1 ,则 AB / / A1B1 , 直线 AC 1 与A 1 与 AB 的所成角 , 1 B1 的所成角等于直线 AC 设圆柱的底面半径为 r ,即 A ? B1C ? 6r , 1B 1 ? 2r , AC 1
2 AC ? A1B12 ? B1C 2 6 1 在△ A ? ? 1B 1C 中, cos ?B 1 AC 1 2 AC 6 1 ?A 1B 1

直线 BO1 与 O1E 所成角等于 arc cos

6 ; 6

(2)设圆柱的底面半径为 r ,母线长度为 h , 当点 C 是弧 AB 的中点时, AC ? BC ? 2r ,且 A1C1 ? 平面 C1CBB1 ,

1 2 VA1 ? BCC1B1 ? ? ( 2r ) ? ( 2r ) ? h ? r 2 h , 3 3

V圆柱 =? r 2h ,
∴ VA1 ?BCC1B1:V圆柱 =2:3? . 10、 解: (1)证明:∵四边形 ABCD 为正方形,且 PA ? AB ? a ∴ ?PBC , ?PDC 都是等边三角形 ………………2 分 ∵ E 是棱 PC 的中点, ∴ BE ? PC, DE ? PC ,又 BE ? DE ? E ∴ PC ? 平面 BDE 又 BD ? 平面 BDE ∴ PC ? BD ………………5 分 ………………6 分

(2)连接 AC,交 BD 于点 O,连 OE. 四边形 ABCD 为正方形,∴O 是 AC 的中点………………8 分 又 E 是 PC 的中点 ∴OE 为△ ACP 的中位线,∴ AP / / OE ∴∠BOE 即为 BE 与 PA 所成的角 ……………………10 分 在 Rt△ BOE 中, BE ? ∴ cos ?BOE ?

1 3 a , EO ? PA ? a 2 2

……12 分

OE 3 ? BE 3

……………………14 分

15

11、解: (1)? PA ? 平面 ABC , PA ? AB ,又? AC ? AB , ? AB ? 平面 PAC , 所以 ?DPA 就是 PD 与平面 PAC 所成的角.………4 分 在 Rt?PAD 中, PA ? 2 , AD ? 所以 ?DPA ? arctan

3 ,………………………………………6 分 2

3 , 4

3 .………………………8 分 4 (2) ?PDB 绕直线 PA 旋转一周所构成的旋转体,是以 AB 为底面半径、 AP 为高 的圆锥中挖去一个以 AD 为底面半径、 AP 为高的小圆锥. ………10 分 1 1 3 3 所以体积 V ? ? ? ( 3 ) 2 ? 2 ? ? ? ( ) 2 ? 2 ? ? . ……………14 分. 3 3 2 2 12、解: (1)因为 AB ? CN , MN ? CN , AB ? MN ? M
即 PD 与平面 PAC 所成的角的大小为 arctan 所以 CN ? 平面ABN (2 分) 因为 BN ? 平面ABN ,所以 CN ? BN

?

(4 分)
l2 l1 C

又因为 AM ? BM ? NM ,根据平面几何知识,知 AN ? BN 所以 BN ? 平面ACN (6 分) 因为 AC ? 平面ACN ,所以 AC ? BN (8 分)

?

A M N B

(2)MN 就是异面直线 l1 、 l2 之间的距离(10 分) 设 d ? AM ? BM ? NM ? CN

1 1 1 所以 VABCN ? ( (2d ? d ) ? d ? d 3 ? 9 (12 分) 3 2 3
所以 d ? 3 ,即异面直线 l1 、 l2 之间的距离为 3 (14 分) 13 、 ( 1 ) 因 为 AB ? 平 面 BC D , 所 以 ? ADB 就 是 AD 与 平 面 BC D 所 成 的 角 , 即 ?ADB ? 30? ,且 AB 为三棱锥 A ? BCD 的高. …………………………(2 分) 由 AB ? BC ? 2 ,得 BD ? 2 3 ,又由 BC ? CD ,得 CD ? 2 2 . …………(3 分)

1 1 1 4 2 S?BCD ? h ? ? ? BC ? CD ? AB ? . ……………………(5 分) 3 3 2 3 (2)取 AB 中点 E ,连结 EM , EC ,则 EM ∥ AD ,所以 ?EMC 就是异面直线 AD 与 CM 所成的角(或其补角) , ……………………………………(1 分) 在△ EMC 中, EM ? 2 , CM ? 3 , EC ? 5 , …………………………(3 分)
所以, V ? 所以,cos?EMC ?

EM 2 ? CM 2 ? EC2 4 ? 3 ? 5 3 , ? ? 2EM ? CM 6 2?2? 3

…………………… (6 分)

16

即 ?EMC ? arccos

3 . 6 3 . 6
……………………(7 分) 2分 4分

所以异面直线 AD 与 CM 所成角的大小为 arccos 14、 (1)点 C 是弧 AB 的中点, OC ? AB ,

PO ? 面 AOC
三棱锥 P ? ACO 的体积 V ?

1 1 ? ? 4? 4?3 ? 8 3 2

7分

(2)如图,建立空间直角坐标系,

A ? 0, ?4, 0 ? , B ? 0, 4, 0 ? , C ? 4, 0, 0 ? , P ? 0, 0, 3 ?

9分

? 3? M ? 0, ?2, ? 2? ?

z
10 分
P

???? ? ? ? ? 3? MC ? ?4, 2, ? ? 2? ? ? ?
???? PO ? ?0, 0, ?3?

M

???? ? ???? MC ? PO 3 89 cos ? ? ???? ? ? ???? ? 89 9 MC PO 3? 4 ? 4

3 ?3 2

A

O

B

y

C
x

13 分

所以异面直线所出的角是 也可以用平移法:

arccos

3 89 89

14 分

连 MO ,过 M 作 MD ? AO 交 AO 于点 D ,连 DC . 又 PO ? 52 ? 42 ? 3 ,? MD ?

3 5 .又 OC ? 4,OM ? . 2 2

P

? MD / / PO ,? ?DMC 等于异面直线 MC 与 PO 所成的角或其补角.
可知 MD ? DC , DC ? 2 5 , tan ?DMC ?

DC 2 5 4 5 ? ? 3 MD 3 2
A

M

异面直线 MC 与 PO 所成的角 arctan

4 5 3

D C

O

B

17


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