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【上海市2013-2014学年高一寒假作业 数学2


高二数学寒假作业
满分 100 分,考试时间 90 分钟 姓名____________ 班级_________学号__________

一、填空题(本大题满分 36 分,每题 3 分) : 1、下列四个判断正确的个数是 .

① 2 ? N ;② 0 ? Z ;③ ?3 ? Q ;④ ? ? R . 2、设全集 U ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8} , A ? {1, 2,3} , B ? {3, 4,5, 6} 则图中阴影部分所表示的 集合为 .

3、设集合 A ? {2 x ? 5, x2 ? 4 x ,12} ,若 ?3 ? A ,则 x 的值为 4、已知 ?1,3? ? A ,且 ?1,3? 5、集合 ? x

. .

A ? ?1,3,5? ,则集合 A =
. .

? ?

6 ? ? N , x ? N ? 用列举法表示为 3? x ?

6、下列对应关系中,是 A 到 B 的映射的有 ① A ? {1, 2,3} , B ? {0,1, 4,5,9,10} , f : x ? x2 ; ② A ? R, B ? R , f :

x ? x 的倒数;
2

③ A ? N , B ? N* , f : x ? x ; ④ A ? Z , B ? Z , f : x ? 2x-1 7、函数 f ( x) ?

1 ? x ? 1 的定义域是 1? x

.

8、已知函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 1, x ? 0 ,则 f ( f (?2)) ? ?? 2 x, x ? 0
2

.

9、函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? x ? 3 , 则 f ( x) ?

.

10、已知二次函数 f ( x ) 的图象顶点为 A(1,16) ,且图象在 x 轴上截得线段长为 8,则函数

f ( x) 的解析式为

.
2

11、若函数 f ( x) ? ( p ? 2) x ? ( p ? 1) x ? 2 是偶函数,则函数 f ( x ) 的单调递减区间



.

12、设奇函数 f ( x ) 的定义域为 ?6,6 ,当 x ? 0,6 时, f ( x ) 的图象如图,则不等式

?

?

? ?

f ( x) ? 0 的解集是

.

二、选择题(本大题满分 12 分,每题 3 分): 13、函数 y= f ( x) 的值域是[-2,2],则函数 y= f ( x ? 2) 的值域是( A.[-2,2] B.[-4,0] C.[0,4] ) )

D.[-1,1]

14、函数 y ? f ( x) 的图像与 y 轴的交点个数为 ( A.一个 B. 至少一个 C. 至多两个

D.至多一个

?| lg x |, 0 ? x ? 10 ? 15、已知函数 f ( x) ? ? ,若 a, b, c 互不相等,且 f (a) ? f (b) ? f (c) , 1 ?? x ? 6, x ? 10 ? 2 则 abc 的取值范围是( )
A. (1,10) B. (5,6) C. (10,12) D. (20,24) 16、若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数” , 那么函数解析式为 y ? 2 x 2 ? 1 ,值域为 ? 1,17? 的“孪生函数”共有( ) A、10 个 B、9 个 C、8 个 D、4 个 三、解答题(本大题满分 52 分) : 17. (本题满分 10 分)设全集为 R,集合 A ? ?x | x ? 3 或 x ? 6 ? , B ? ?x |? 2 ? x ? 9? . (1)求 A (2)已知 C ? ?x |a ? x ? a ? 1 ? ,若 C ? B ,求实数 a 的取值范围. 18、(本题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? x ?

B, (?R A) B ;

x . x

(1)作出函数 f ( x ) 的图象; (2)写出函数 f ( x ) 的单调区间; (3)判断函数 f ( x ) 的奇偶性,并用定义证明.

19、(本题满分 10 分)已知集合 A ? {x x 2 ? 5 x ? 6 ? 0}, B ? {x x 2 ? 2 x ? 8 ? 0},

C ? {x x 2 ? ax ? a 2 ? 19 ? 0},
(1)求 A

B; (2)若 A ? C ,求实数 a 的值;
(3)若 A

C ? ?, B C ? ? ,求实数 a 的值.

20、 (本题满分 10 分)某公司将进货单价为 8 元一个的商品按 10 元一个销售, 每天可卖出 100 个,若这种商品的销售价每个上涨 1 元,则销售量就减少 10 个. (1)求函数解析式; (1)求销售价为 13 元时每天的销售利润; (2)如果销售利润为 360 元,那么销售价上涨了几元? 21、(本题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? (1) 求 p 的值; (2) 用定义证明函数 f ( x ) 在 (0, 2) 上是单调减函数; (3) 如果 f (1 ? m) ? f (2m) ,求实数 m 的取值范围.

px ? 3 (其中 p 为常数, x ? [?2, 2] )为偶函数. x2 ? 2

试题答案
1、 【答案】2 试题分析: 2 是无理数,所以①错。0 是整数,所以②错。③④对。 2、 【答案】 ?7,8? 试题分析:阴影部分表示的是: CU ? A ? B? ,因为 A ? {1, 2,3} , B ? {3, 4,5, 6} ,所以

CU ? A ? B? = ?7,8? 。
3、 【答案】3
2 试题分析:因为 ?3 ? A ,所以 2 x - 5 ? -3或x - 4 x ? -3 ,解得 x ? 1或x ? 3 ,由 x=1 不满

足集合的互异性,所以舍去,所以 x=3. 4、 【答案】 ?1,3,5 ?

试题分析:因为 ?1,3? ? A ,所以集合 A 中一定有 1、3 这两个元素;又因为

?1,3?

A ? ?1,3,5? ,所以集合 A 中还有 5 这个元素。所以 A = ?1,3,5 ? 。

5、 【答案】 ?0,1,2 ? 试题分析:因为 x ? N , 且

6 6 ? N ,所以 x ? 0 时, ? 2 满足条件;所以 x ? 1 时, 3- x 3- x 6 6 6 没意义。 ? 3 满足条件;所以 x ? 2 时, ? 6 满足条件;当 x ? 3且x ? N 时, 3- x 3- x 3- x

所以集合 ? x

? ?

6 ? ? N , x ? N ? 用列举法表示为 ?0,1,2 ? 。 3? x ?

6、 【答案】①④ 试题分析:对于①:集合 A 中的每一个元素 1、2、3 在集合 B 中都有唯一的元素和它对应, 所以是映射; 对于②集合 A 中的每一个元素 0 在集合 B 中没有元素和它对应,所以不是映射; 对于③集合 A 中的每一个元素 0 在集合 B 中没有元素和它对应,所以不是映射; 对于④集合 A 中的每一个元素在集合 B 中都有唯一的元素和它对应,所以是映射。 7、 【答案】 x x ? ?1, 且 x ? 1

?

?

试题分析:由 ?

?1 - x ? 0 得: x ? -1且x ? 1 ,所以函数的定义域为 ? x x ? ?1, 且 x ? 1? 。 ?x ? 1 ? 0

8、 【答案】 ?10 试题分析: f (-2) ? 5,f ( f (-2)) ? f (5) ? -10 。 9、 【答案】 x ? 4 x ? 7
2

试题分析:设 x ? 2 ? t , 则x ? t - 2(t ? R) ,所以 f (t ) ? ?t - 2? ? 3 ? t 2 - 4t ? 7 ,所以
2

f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 7 。
10、 【答案】 f ( x) ? - x2 ? 2x ? 15 试题分析:设 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,因为二次函数 f ( x ) 的图象顶点为 A(1,16) ,所
2

以-

b 4ac - b 2 ? 1, ? 16 ????????????① 2a 4a
2

? b ? 4c 因为图象在 x 轴上截得线段长为 8,所以 ? - ? ? 64 ??????????② ? a? a
① 联立解得 a ? -1, b ? 2, c ? 15,所以 f ( x) ? - x ? 2x ? 15 。
2

11、 【答案】 (0,+∞) 试题分析:因为函数 f ( x) ? ( p ? 2) x2 ? ( p ? 1) x ? 2 是偶函数,所以 p - 1 ? 0,即p ? 1,所 以 f ( x) ? - x 2 ? 2 ,所以函数 f ( x ) 的单调递减区间是(0,+∞) 。 12、 【答案】 (?3, 0)

(3, 6]

试题分析:因为函数为奇函数,所以很容易补充 f ( x ) 在[-6,0]上的图像。由图像可得:

f ( x) ? 0 的解集是 (?3, 0) (3, 6] 。
13、 【答案】A 试题分析:把 y= f ( x) 的图像向右平移 2 个单位得到函数 y= f ( x ? 2) 的图像,因为左右平 函数 y= f ( x ? 2) 的值域是[-2,2]。 移不改变函数的值域,所以 14、 【答案】D 试题分析:根据函数的定义任何一个 x 都有唯一的 y 与之对应,所以函数 y ? f ( x) 的图像 与 y 轴的交点个数为 0 个或 1 个,因此选 D。 15、 【答案】C 试题分析:作出函数 f(x)的图象如图, 不 妨 设 a < b < c , 则 -lga=lgb= - lga ? lgb ? -

1 c ? 6 ? ?0,1? , 所 以 2

1 ab ? 1, 0 ? - c ? 6 ? 1,即 c ? (10,12) ,所以 abc=c∈(10,12).故答案为:(10,12) 2

16【答案】B 试题分析:由已知“孪生函数”的定义:一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同。 当函数解析式为 y=2x2-1,值域为{1,7}时,函数的定义域可能为:{-3,-1},{-3,1},{3, -1},{3,1},{-3,-1,1},{-3,-1,3},{-1,1,3},{-3,1,3},{-3,-1,1,3},共 9 个故选 B

B =R, (?R A) B = ?x |3 ? x ? 6? ; (2) ?3 ? a ? 8 。 试题分析: (1) A B =R?????????3 分(画数轴略,不画数轴不扣分)
17、 【答案】 ( 1) A

?R A= ?x |3 ? x ? 6? ,

(?R A) B = ?x |3 ? x ? 6? ????9 分 ∴

(2)∵ C ? ?x |a ? x ? a ? 1 ? ,且 C ? B , ∴ ? ∴所求实数 a 的取值范围是 ?3 ? a ? 8

?a ? ?2 ????12 分 ?a ? 1 ? 9
????14 分

18、 【答案】 (1)见解析; (2)单调增区间为:(-?, (3)见解析。 0) 和(0,+?) ; 试题分析: f ( x) ? ? 如图

? x ? 1, x ? 0 ?????????2 分 ? x ? 1, x ? 0

?????????6 分 (2)单调增区间为:(-?, 0) 和(0,+?) ???10 分 (3)对任意 x ? R , f (? x) ? ? x ?

?x x ? ? x ? ? ? f ( x) ?x x

? f ( x) 为奇函数?????????14 分

19、 【答案】 (1) ?2,3, (2) a ? 5 ; (3) a ? ?2 。 - 4?; 试题分析: (1) A ? {2,3}, B ? {2, ?4}, A (2)

B ? {2,3, ?4} ?????????4 分

A?C

?2,3 是方程 x2 ? ax ? a2 ? 19 ? 0 的两个根
得 a ? 5 ?????????8 分

?4 ? 2a ? a 2 ? 19 ? 0 ? 由? 2 ? ?9 ? 3a ? a ? 19 ? 0
(3)由 A

C ? ?, B C ? ? ,得 3 ? C , 2 ? C , ? 4 ? C
解得 a ? 5 或 a ? -2

? 32 ? 3a ? a2 ? 19 ? 0

当 a ? 5 时, C ? {2,3}, 与 2 ? C 矛盾; 当 a ? ?2 时, C ? {3, ?5}, 符合题意,所以 a ? ?2 ?????????14 分

20、 【答案】 (1) y ? -10?x - 4? ? 360, 0 ? x ? 10, x ? N ; (2)350 元; (3)4 元。
2

试题分析: (1) 设这种商品的销售价每个上涨 x 元, 则每天销售量为 100 ? 10 x 2分 ∴销售利润为

???

y ? ( x ? 10 ? 8)(100 ? 10x ) ? 10(? x 2 ? 8x ? 20) ? ?10( x ? 4)2 ? 360 (0 ? x ? 10, x ? N )

????8 分

(2)当销售价为 13 元时,即 x ? 3,? y ? 350 答:销售价为 13 元时每天的销售利润 350 元.???????12 分 (2)当 y ? 360时 , x ? 4 答: 销售利润为 360 元,那么销售价上涨了 4 元.???????16 分

1 3 ? px ? 3 px ? 3 ? 2 试题分析:(1) f ( x ) 是偶函数有 2 即 2 px ? 0 ? p ? 0 .????4 分 x ?2 x ?2 3 (2)由(1) f ( x ) ? 2 . 设 0 ? x1 ? x2 ? 2 , ??????6 分 x ?2
21、 【答案】 ( 1) p ? 0 ; (2)见解析; (3) ( ?1, ) 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

3( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ) 3 3 . ????????8 分 ? 2 ? x ? 2 x2 ? 2 ( x12 ? 2)( x2 2 ? 2)
2 1

0 ? x1 ? x2 ? 2, ? x2 ? x1 ? 0, x2 ? x1 ? 0, ( x12 ? 2)( x22 ? 2) ? 0 . ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x) 在 (0, 2) 上是单调减函数. ????????10 分
(3)由(2)得 f ( x ) 在 [0, 2] 上为减函数,又 f ( x ) 是偶函数,所以 f ( x ) 在 [?2, 0] 上为单调增函 数. ?????????????????12 分

不等式 f (1 ? m) ? f (2m) 即 2 ?|1 ? m |?| 2m | ,4> (1 ? m)2 ? (2m)2 . 解得 ?1 ? m ?

1 . 3

所以实数 m 的取值范围是 ( ?1, ) .???????16 分

1 3

说明(3)如果是分情况讨论,知道分类给 2 分.并做对一部分则再给 2 分.


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