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2013年7月顾源的高中数学组卷2


2013 年 7 月顾源的高中数学组卷 2
一.选择题(共 5 小题) 1.(2010?江西)等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数 f(x)=x(x﹣a1) (x﹣a2)…(x﹣a8),则 f′(0)=( 6 9 12 15 A 2 B 2 C 2 D 2 . . . . )

2.(2012?九江一模)已知 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意的 x∈(0,+∞),都有 f[f(x)﹣ 3 x ]=2,则方程 f(x)﹣f′(x)=2 的解所在的区间是( ) A (0,1) B (1,2) C (2,3) D (3,4) . . . .

3.(2012?德阳三模)已知

,将函数

的图象按向量

平移后,所得图象恰好为函数 y=﹣f′(x) (f′(x)为 f(x)的导函数)的图象,则 c 的值 可以为( A . ) B π . C . D .
x k

4.(2013?浙江)已知 e 为自然对数的底数,设函数 f(x)=(e ﹣1) (x﹣1) (k=1,2),则( A 当 k=1 时,f B 当 k=1 时,f (x) (x) . 在 x=1 处取得极. 在 x=1 处取得极 小值 大值 C 当 k=2 时,f D 当 k=2 时,f (x) (x) . 在 x=1 处取得极. 在 x=1 处取得极 小值 大值



5.用反证法证明命题“设 a,b∈R,|a|+|b|<1,a ﹣4b≥0 那么 x +ax+b=0 的两根的绝对值都小于 1”时,应假设 ( ) A 方程 x2+ax+b=0 . 的两根的绝对 值存在一个小 于1 B 方程 x2+ax+b=0 . 的两根的绝对 值至少有一个 大于等于 1

2

2

C 方程 x2+ax+b=0 . 没有实数根 D 方程 x2+ax+b=0 . 的两根的绝对 值都不小于 1 二.填空题(共 11 小题) x 6.已知函数 f(x)=(x+2)e ,则 f′(0)= _________ . 7.设函数 f(x)=(2x+5) ,则导函数 f′(x)中的 x 的系数是 _________
6 3



8.已知函数 f(x)=2sin3x+9x,则

= _________ .

9.函数 y=ln

的导数为

_________ .

10.(2013?四川)已知函数

在 x=3 时取得最小值,则 a= _________ .
2

11.(2012?浙江)设 a∈R,若 x>0 时均有[(a﹣1)x﹣1](x ﹣ax﹣1)≥0,则 a= _________ . 12.(2010?江苏)将边长为 1m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记 ,则 S 的最小值是 _________ .

13.(2011?广东)函数 f(x)=x ﹣3x +1 在 x= _________ 处取得极小值. 14.(2013?泉州模拟)对于 30 个互异的实数,可以排成 m 行 n 列的矩形数阵,右图所示的 5 行 6 列的矩形数阵就 是其中之一. 将 30 个互异的实数排成 m 行 n 列的矩形数阵后,把每行中最大的数选出,记为 a1,a2,…am,并设其中最小的数 为 a;把每列中最小的数选出,记为 b1,b2,…bn,并设其中最大的数为 b. 两位同学通过各自的探究,分别得出两个结论如下: ① 和 b 必相等; a ② 和 b 可能相等; a ③ 可能大于 b; a ④ 可能大于 a. b 以上四个结论中,正确结论的序号是 _________ (请写出所有正确结论的序号).

3

2

15.(2013?上海) 在 xOy 平面上,将两个半圆弧(x﹣1) +y =1(x≥1)和(x﹣3) +y =1(x≥3),两条直线 y=1 和 y=﹣1 围成的封闭图形记为 D,如图中阴影部分,记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为 Ω.过(0,y) (|y|≤1)

2

2

2

2

作 Ω 的水平截面,所得截面积为 4π 值为 _________ .

+8π.试利用祖恒原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出 Ω 的体积

16.(2013?重庆)已知复数 z=

(i 是虚数单位),则|z|=

_________ .

三.解答题(共 8 小题) 17.定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意实数 m,n,总有 f(m+n)=f(m)?f(n),且当 x>0 时,0<f(x) <1. (1)试求 f(0)的值; (2)判断 f(x)的单调性并证明你的结论; 2 (3)若对任意 x∈[1,4]时,不等式 f(x +2)<f(ax)都成立,求 a 的取值范围. 18.(2013?重庆)设 f(x)=a(x﹣5) +6lnx,其中 a∈R,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线与 y 轴相交于 点(0,6). (1)确定 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值.
2

19.(2009?天津)设函数

x(x∈R),其中 m>0.

(1)当 m=1 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线的斜率; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值; (3)已知函数 f(x)有三个互不相同的零点 0,x1,x2,且 x1<x2,若对任意的 x∈[x1,x2],f(x)>f(1)恒成 立,求 m 的取值范围.

20.(2009?福建)已知函数 f(x)= x +ax +bx,且 f′(﹣1)=0. (1)试用含 a 的代数式表示 b; (2)求 f(x)的单调区间; (3)令 a=﹣1,设函数 f(x)在 x1、x2(x1<x2)处取得极值,记点 M(x1,f(x1) ),N(x2,f(x2) ).证明: 线段 MN 与曲线 f(x)存在异于 M,N 的公共点. 21.(2013?安徽)设函数 f(x)=ax﹣(1+a )x ,其中 a>0,区间 I={x|f (x)>0} (Ⅰ )求 I 的长度(注:区间(a,β)的长度定义为 β﹣α); (Ⅱ )给定常数 k∈(0,1),当 1﹣k≤a≤1+k 时,求 I 长度的最小值.
2 2

3

2

22.(2013?四川)已知函数 为该函数图象上的两点,且 x1<x2.

,其中 a 是实数.设 A(x1,f(x1) ),B(x2,f(x2) )

(Ⅰ )指出函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ )若函数 f(x)的图象在点 A,B 处的切线互相垂直,且 x2<0,证明:x2﹣x1≥1; (Ⅲ )若函数 f(x)的图象在点 A,B 处的切线重合,求 a 的取值范围. 23.(2012?北京)设 A 是如下形式的 2 行 3 列的数表, a b d e

c f

满足性质 P:a,b,c,d,e,f∈[﹣1,1],且 a+b+c+d+e+f=0. 记 ri(A)为 A 的第 i 行各数之和(i=1,2),Cj(A)为 A 的第 j 列各数之和(j=1,2,3);记 k(A)为|r1(A) |,|r2(A)|,|c1(A)|,|c2(A)|,|c3(A)|中的最小值. (1)对如下数表 A,求 k(A)的值 1 1 ﹣0.8 0.1 ﹣0.3 ﹣1 (2)设数表 A 形如 1 1 ﹣1﹣2d d d ﹣1 其中﹣1≤d≤0.求 k(A)的最大值; (Ⅲ )对所有满足性质 P 的 2 行 3 列的数表 A,求 k(A)的最大值. 24. (2013?昌平区一模) 已知每项均是正整数的数列 a1,a2,a3,…a100,其中等于 i 的项有 ki 个 (i=1,2,3…) , 设 bj=k1+k2+…+kj(j=1,2,3…),g(m)=b1+b2+…+bm﹣100m(m=1,2,3…). (Ⅰ )设数列 k1=40,k2=30,k3=20,k4=10,k5=…=k100=0, ① g(1),g(2),g(3),g(4); 求 ② a1+a2+a3+…+a100 的值; 求 (Ⅱ )若 a1,a2,a3,…a100 中最大的项为 50,比较 g(m),g(m+1)的大小.

2013 年 7 月顾源的高中数学组卷 2
参考答案与试题解析
一.选择题(共 5 小题) 1.(2010?江西)等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数 f(x)=x(x﹣a1) (x﹣a2)…(x﹣a8),则 f′(0)=( 6 9 12 15 A 2 B 2 C 2 D 2 . 考点: . 导数的运算; 等比数列的性 质. 计算题. 对函数进行求 导发现 f′ 0) ( 在 含有 x 项均取 0,再利用等比 数列的性质求 解即可. 解:考虑到求 导中 f′ 0) ( ,含 有 x 项均取 0, 得:f′(0) =a1a2a3…a8= 4 12 (a1a8) =2 . 故选 C 本题考查多项 式函数的导数 公式,重点考 查学生创新意 识,综合与灵 活地应用所学 的数学知识、 思想和方法.
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专题: 分析:

解答:

点评:

2.(2012?九江一模)已知 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意的 x∈(0,+∞),都有 f[f(x)﹣ 3 x ]=2,则方程 f(x)﹣f′(x)=2 的解所在的区间是( ) A (0,1) B (1,2) C (2,3) D (3,4) . . . . 考点: 导数的加法与 减法法则;函 数零点的判定 定理. 计算题. 由题意,可知 f
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专题: 分析:

解答:

点评:

(x)﹣x 是定 值令 t=f(x)﹣ 3 x ,得出 f(x) 3 =x +t,再由 f 3 (t)=t +t=2 求 出 t 的值即可得 出 f(x)的表达 式,求出函数 的导数,即可 求出 f(x)﹣f′ (x)=2 的解所 在的区间选出 正确选项 解:由题意, 3 可知 f(x)﹣x 是定值,不妨 3 令 t=f (x) , ﹣x 3 则 f(x)=x +t 又 f(t) 3 =t +t=2,整理 得(t﹣1) 2 (t +t+2)=0, 解得 t=1 所以有 f(x) 3 =x +1 所以 f(x)﹣f′ 3 (x)=x +1﹣ 2 3x =2,令 F (x) 3 2 =x ﹣3x ﹣1 可得 F(3)=﹣ 1<0,F(4)=8 >0,即 F(x) 3 2 =x ﹣3x ﹣1 零 点在区间(3, 4)内 所以 f(x)﹣f′ (x)=2 的解所 在的区间是 (3,4) 故选 D 本题考查导数 运算法则,函 数的零点,解 题的关键是判 3 断出 f(x)﹣x 是定值,本题 考查了转化的 思想,将方程

3

的根转化为函 数的零点来进 行研究,降低 了解题的难度

3.(2012?德阳三模)已知

,将函数

的图象按向量

平移后,所得图象恰好为函数 y=﹣f′(x) (f′(x)为 f(x)的导函数)的图象,则 c 的值 可以为( A . 考点: ) B π . 简单复合函数 的导数;数量 积的坐标表达 式;函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象变换. 计算题. 先根据辅助角 公式进行化 简,f(x)
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C .

D .

专题: 分析:

=

cos ) ,按向

(x+ 量

平移后得到 y= c+ cos(x﹣ )

的图象.由题 意可得 ﹣c+ = sin ) ,从而 ) cos x (

(x+

解答:

得到 c 的值. 解:∵ f(x) = =cosx﹣ sinx= cos (x+ ),

把函数

的图象按向量

平移后, 所得图象对应 的函数为 y= c+ cos(x﹣ ).

而﹣f′(x) = sin ) ,平移

(x+

后,所得图象 恰好为函数 y= ﹣f′(x), 故 c+ (x+ 让 c= cos(x﹣ )= sin

) ,故可 ,

点评:

故选 D. 本题主要考查 三角函数按照 向量进行平 移.其关键是 要把向量的平 移转化为一般 的平移,然后 根据三角函数 的平移原则为 左加右减上加 下进行平移.
x k

4.(2013?浙江)已知 e 为自然对数的底数,设函数 f(x)=(e ﹣1) (x﹣1) (k=1,2),则( A 当 k=1 时,f B 当 k=1 时,f (x) (x) . 在 x=1 处取得极. 在 x=1 处取得极 小值 大值 C 当 k=2 时,f D 当 k=2 时,f (x) (x) . 在 x=1 处取得极. 在 x=1 处取得极 小值 大值 考点: 函数在某点取 得极值的条



专题: 分析:

解答:

件. 导数的综合应 用. 通过对函数 f (x)求导,根 据选项知函数 在 x=1 处有极 值,验证 f'(1) =0,再验证 f (x)在 x=1 处 取得极小值还 是极大值即可 得结论. 解:当 k=2 时, x 函数 f (x) =(e 2 ﹣1) (x﹣1) . 求导函数可得 f' x (x) (x﹣1) =e 2 x +2(e ﹣1) (x ﹣1)=(x﹣1) x x (xe +e ﹣2) , ∴ x=1,f' x) 当 ( =0,且当 x>1 时,f' (x) >0,
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当 <x<1 时, f'(x)<0,故 函数 f(x)在 (1,+∞)上是 增函数; 在( ,1)上是 减函数,从而 函数 (x) x=1 f 在 取得极小 值.对照选 项. 故选 C.

点评:

本题考查了函 数的极值问 题,考查学生 的计算能力, 正确理解极值 是关键.
2 2

5.用反证法证明命题“设 a,b∈R,|a|+|b|<1,a ﹣4b≥0 那么 x +ax+b=0 的两根的绝对值都小于 1”时,应假设 ( ) A 方程 x2+ax+b=0 . 的两根的绝对 值存在一个小 于1 B 方程 x2+ax+b=0 . 的两根的绝对 值至少有一个 大于等于 1 C 方程 x2+ax+b=0 . 没有实数根 D 方程 x2+ax+b=0 . 的两根的绝对 值都不小于 1 考点: 专题: 分析: 反证法. 阅读型. 结合反证法的 步骤,从命题 的反面出发假 设出结论,然 后进行判断即 可. 解:由于“都小 于 1”的反面是 “至少有一个大 于等于 1”,
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解答:

点评:

所以用反证法 证明“设 a, b∈R,|a|+|b|< 2 1,a ﹣4b≥0 那 2 么 x +ax+b=0 的 两根的绝对值 都小于 1”时, 应先假设方程 2 x +ax+b=0 的两 根的绝对值至 少有一个大于 等于 1. 故选 B. 本题主要考查 反证法,解此 题关键要了解 反证法的意义 及步骤. 反证法的步骤 是: (1)假设结论 不成立; (2)从假设出 发推出矛盾; (3)假设不成 立,则结论成 立.在假设结 论不成立时要 注意考虑结论 的反面所有可 能的情况,如 果只有一种, 那么否定一种 就可以了,如 果有多种情 况,则必须一 一否定.

二.填空题(共 11 小题) x 6.已知函数 f(x)=(x+2)e ,则 f′(0)= 3 . 考点: 专题: 分析: 简单复合函数 的导数. 计算题. 根据 (uv)′=u′v+uv′ x x 和(e )′=e , 求出函数的导
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解答:

点评:

函数,把 x 等于 0 代入到导函数 中即可求出 f′ (0)的值. 解:f′(x)= ( (x+2) x x ?e ) + ′=e (x+2) x e, ∴ f′(0) =1+2=3. 故答案为:3. 此题考查学生 灵活运用求导 法则求函数的 导函数,是一 道基础题.
6 3

7.设函数 f(x)=(2x+5) ,则导函数 f′(x)中的 x 的系数是 24000 . 考点: 简单复合函数 的导数;二项 式定理. 常规题型. 先求导函数, 再结合二项式 定理,表示出 3 含有 x 的项, 3 从而求出 x 的 系数 ′ 解:f (x)=6 5 (2x+5) × 2=12 5 (2x+5) 由二项式定理 3 知,含有 x 的 项为:
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专题: 分析:

解答:

故答案为: 24000 点评: 本题考察复合 函数求导和二 项式定理的相 关知识.注意 复合函数求导 时,要先求构 成原函数的两 个简单函数的 导数,再相乘

即可.属中档 题

8.已知函数 f(x)=2sin3x+9x,则

= 6cos3+9 .

考点: 专题: 分析:

解答:

简单复合函数 的导数. 计算题. 根据导数的定 义,原式等于 f′ (1),求出 f′ (x)后令 x=1 计算. 解:f′(x)= (2sin3x+9x)′ =6cos3x+9.
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点评:

=f′ (1) =6cos3+9 故答案为: 6cos3+9. 本题考查导数 的定义,函数 的导函数求 解,属于基础 题.

9.函数 y=ln

的导数为



考点: 专题: 分析:

解答:

简单复合函数 的导数. 计算题. 按照复合函数 的求导公式求 导即可. 解:
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y′=



)′=

?



)′=

?

.

= ?

=

故答案为:

点评:

本题考查简单 复合函数导 数,求解本题 的关键是熟练 掌握复合函数 的求导公式及 乘积的求导公 式,导数由于 其应用广泛性 在高考中越来 越受到重视, 对求导公式一

定要熟练掌 握,记忆准 确.

10.(2013?四川)已知函数

在 x=3 时取得最小值,则 a= 36 .

考点:

专题:

分析:

函数在某点取 得极值的条 件. 导数的概念及 应用;不等式 的解法及应 用. 由题设函数
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解答:

在 x=3 时取得最 小值,可得 f′ (3)=0,解此 方程即可得出 a 的值. 解:由题设函 数

在 x=3 时取得最 小值, ∵ (0,+∞) x∈ , ∴ x=3 必定是 得 函数

的极值点, ∴ f′(3)=0, 即 4﹣ =0,

点评:

解得 a=36. 故答案为: 36. 本题考查利用 导数求函数的 最值及利用导 数求函数的极 值,解题的关 键是理解“函数 在 x=3 时取得最 小值”,将其转

化为 x=3 处的导 数为 0 等量关 系.

11.(2012?浙江)设 a∈R,若 x>0 时均有[(a﹣1)x﹣1](x ﹣ax﹣1)≥0,则 a=

2



考点:

专题: 分析:

解答:

利用导数求闭 区间上函数的 最值. 综合题. 分类讨论,(1) a=1; (2) a≠1, 在 x>0 的整个 区间上,我们 可以将其分成 两个区间,在 各自的区间内 恒正或恒负, 即可得到结 论. 解:(1)a=1 时,代入题中 不等式明显不 成立. (2)a≠1,构造 函数 y1= (a﹣1) 2 x﹣1,y2=x ﹣ ax﹣1,它们都 过定点 P (0,﹣ 1). 考查函数 y1= (a ﹣1)x﹣1:令 y=0,得 M
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,0),

∴ a>1; 2 考查函数 y2=x ﹣ax﹣1,显然 过点 M ( ,0),

代入得:



解之得:a= , 或 a=0 舍去) ( . 故答案为: 点评: 本题考查不等 式恒成立问 题,解题的关 键是构造函 数,利用函数 的性质求解.

12.(2010?江苏)将边长为 1m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记 ,则 S 的最小值是 .

考点:

专题: 分析:

解答:

利用导数求闭 区间上函数的 最值. 综合题. 先设剪成的小 正三角形的边 长为 x 表示出 S 的解析式,然 后求 S 的最小 值, 方法一:对函 数 S 进行求导, 令导函数等于 0 求出 x 的值,根 据导函数的正 负判断函数的 单调性进而确 定最小值; 方法二:令 3﹣ x=t,代入整理 根据一元二次 函数的性质得 到最小值. 解:设剪成的 小正三角形的 边长为 x,则:
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(方法一)利用

导数求函数最 小 值.



=

, 当

时,S′ (x) <0, 递减;当

时,S′ (x) >0, 递增; 故当 时,S

的最小值是 . (方法二)利用 函数的方法求 最小值. 令

, 则:

故当

时,S 的最小值

是 点评:



考查函数中的 建模应用,等 价转化思 想.一题多 解.
3 2

13.(2011?广东)函数 f(x)=x ﹣3x +1 在 x= 2 处取得极小值. 考点: 专题: 分析: 利用导数研究 函数的极值. 计算题. 首先求导可得 f′ 2 (x)=3x ﹣ 2 6x,解 3x ﹣ 6x=0 可得其 根,再判断导 函数的符号即 可. 2 解:f′(x)=3x ﹣6x 2 令 f′(x)=3x ﹣6x=0 得 x1=0,x2=2 且 x∈ (﹣∞,0) 时,f′ (x) >0; x∈(0,2)时, f′(x)<0;x∈ (2,+∞) 时,f′ (x)>0 故 f(x)在 x=2 出取得极小 值. 故答案为 2. 本题考查函数 的极值问题, 属基础知识的 考查.
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解答:

点评:

14.(2013?泉州模拟)对于 30 个互异的实数,可以排成 m 行 n 列的矩形数阵,右图所示的 5 行 6 列的矩形数阵就 是其中之一. 将 30 个互异的实数排成 m 行 n 列的矩形数阵后,把每行中最大的数选出,记为 a1,a2,…am,并设其中最小的数 为 a;把每列中最小的数选出,记为 b1,b2,…bn,并设其中最大的数为 b. 两位同学通过各自的探究,分别得出两个结论如下: ① 和 b 必相等; a ② 和 b 可能相等; a ③ 可能大于 b; a ④ 可能大于 a. b 以上四个结论中,正确结论的序号是 ② ③ (请写出所有正确结论的序号).

考点: 专题: 分析:

解答:

点评:

分析法和综合 法. 不等式的解法 及应用. 不妨如右图所 示的 5 行 6 列的 矩形数阵,则 由题意可得 a 的 最小值为 6,最 大为 30;而 b 的最小值为 6, 最大为 26,且 在同一个 5 行 6 列的矩形数阵 中,一定有 a≥b,由此可得 结论. 解:不妨假设 m 行 n 列的矩形 数阵,为右图 所示的 5 行 6 列 的矩形数阵, 则由题意可得 a 的最小值为 6, 最大为 30; 而 b 的最小值为 6,最大为 26, 且在同一个 5 行 6 列的矩形数阵 中,一定有 a≥b, 故② 正确,而 ③ ① 不正确, ④ 故答案为 ② . ③ 本题主要考查 分析法与综合 法,判断 ab 的 范围,是解题 的关键,属于 中档题.
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15.(2013?上海) 在 xOy 平面上,将两个半圆弧(x﹣1) +y =1(x≥1)和(x﹣3) +y =1(x≥3),两条直线 y=1 和 y=﹣1 围成的封闭图形记为 D,如图中阴影部分,记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为 Ω.过(0,y) (|y|≤1) 作 Ω 的水平截面,所得截面积为 4π 值为 2π +16π .
2

2

2

2

2

+8π.试利用祖恒原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出 Ω 的体积

考点: 专题: 分析:

解答:

进行简单的合 情推理. 计算题;阅读 型. 由题目给出的 Ω 的水平截面 的面积,可猜 想水平放置的 圆柱和长方体 的量,然后直 接求出圆柱的 体积与长方体 的体积作和即 可. 解:因为几何 体为 Ω 的水平 截面的截面积 为
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4

+8

π,该截面的截 面积由两部分 组成, 一部分为定值 8π,看作是截 一个底面积为 8π,高为 2 的长 方体得到的, 对于 4 ,

看作是把一个 半径为 1, 高为 2π 的圆柱

平放得到的, 如图所示,

点评:

这两个几何体 与 Ω 放在一 起,根据祖恒 原理,每个平 行水平面的截 面积相等,故 它们的体积相 等, 即 Ω 的体积为 2 π?1 ?2π+2?8π=2 2 π +16π. 故答案为 2 2π +16π. 本题考查了简 单的合情推 理,解答的关 键是由几何体 Ω 的水平截面 面积想到水平 放置的圆柱和 长方体的有关 量,是中档 题.

16.(2013?重庆)已知复数 z=

(i 是虚数单位),则|z|=



考点: 专题: 分析:

解答:

复数求模. 计算题. 通过复数的分 子与分母同时 求模即可得到 结果. 解:
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|z|= = .

=

故答案为: .

点评:

本题考查复数 的模的求法, 考查计算能 力.

三.解答题(共 8 小题) 17.定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意实数 m,n,总有 f(m+n)=f(m)?f(n),且当 x>0 时,0<f(x) <1. (1)试求 f(0)的值; (2)判断 f(x)的单调性并证明你的结论; 2 (3)若对任意 x∈[1,4]时,不等式 f(x +2)<f(ax)都成立,求 a 的取值范围. 考点: 函数恒成立问 题;函数单调 性的判断与证 明;函数的 值;基本不等 式. 综合题. (1)令 m=1, n=0,得出 f 1) ( =f 1) (0 ) ( ?f , 再结合当 x>0 时,0<f x) ( < 1.得出 f(0) =1
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专题: 分析:

(2)设 x1> x2,由已知得 出 (x1﹣x2+x2) f =f(x1﹣x2 )?f (x2),且能得 出 0<f 1﹣x2) (x <1,确定出 f (x1)<f(x2) 后即可判断出 函数 f(x)在 R 上单调递减. (3) (2) 由 , 不等式化为 2 x +2>ax,利 用分离参数的 方法得出即 对 x∈[1,4]恒成 立,

求出 在[1,4]上的最 小值后便可求 出 a 的取值范 围. 解:(1)令 m=1,n=0 则 f (1)=f(1)?f (0) 0<f 1) 又 ( <1∴ f(0)=1 (2)设 x<0 则 ﹣x>0∴ 0<f (﹣x)<1 而

解答:

∴ f(x)>1 即 对任意 x∈R 有 f (x)>0 设 x1>x2 则 x1﹣x2>0,∴ 0 <f(x1﹣x2)< 1 于是,

∴(x1) (x2) f <f 所以,函数 f (x)在 R 上单 调递减. (3)∵ f(x)在 R 上单调递减 2 ∴ f(x +2)<f 2 (ax)?x +2> ax 则不等式 x ﹣ ax+2>0 对 x∈[1,4]恒成立 即 对
2

x∈[1,4]恒成立 ∴





[1,4]上的最小

值为 所以, 点评: . 本题考查抽象 函数求函数 值、单调性的 判定、及单调 性的应用,考 查转化、分离 参数的思想方 法.牢牢把握 所给的关系 式,对式子中 的字母准确灵 活的赋值,变 形构造是解决 抽象函数问题 常用的思路.
2

18.(2013?重庆)设 f(x)=a(x﹣5) +6lnx,其中 a∈R,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线与 y 轴相交于 点(0,6). (1)确定 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值. 考点: 利用导数研究 函数的单调 性;函数在某 点取得极值的 条件;利用导 数研究曲线上 某点切线方 程. 导数的综合应 用. (1)先由所给 函数的表达 式,求导数 fˊ (x),再根据 导数的几何意 义求出切线的 斜率,最后由 曲线 y=f(x)在 点(1,f(1) ) 处的切线与 y 轴 相交于点(0, 6) 列出方程求 a 的值即可; (2)由(1)求
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专题: 分析:

解答:

出的原函数及 其导函数,求 出导函数的零 点,把函数的 定义域分段, 判断导函数在 各段内的符 号,从而得到 原函数的单调 区间,根据在 各区间内的单 调性求出极值 点,把极值点 的横坐标代入 函数解析式求 得函数的极 值. 解:(1)因 f (x)=a(x﹣5) 2 +6lnx,故 f′ (x) (x﹣5) =2a + , (x>0) , 令 x=1,得 (1) f =16a,f° (1) =6 ﹣8a,∴ 曲线 y=f(x)在点 (1,f(1) )处 的切线方程为 y ﹣16a=(6﹣8a) (x﹣1), 由切线与 y 轴相 交于点(0, 6). ∴ 6﹣16a=8a﹣ 6, ∴ . a=

(2)由(I)得 f x) (x﹣5) ( =
2

+6lnx,(x> 0), f′(x)=(x﹣5) + =

,令 f′ x) ( =0, 得 x=2 或 x=3, 当 0<x<2 或 x >3 时,f′(x) >0,故 f(x) 在(0,2), (3,+∞)上为 增函数, 当 2<x<3 时, f′(x)<0,故 f (x)在(2,3) 上为减函数, 故 f(x)在 x=2 时取得极大值 f (2) +6ln2, = 在 x=3 时取得极 小值 f(3) =2+6ln3. 本小题主要考 查利用导数研 究曲线上某点 切线方程、利 用导数研究函 数的单调性、 函数的极值及 其几何意义等 基础知识,考 查运算求解能 力,考查分类 讨论思想、化 归与转化思 想.属于中档 题.

点评:

19.(2009?天津)设函数

x(x∈R),其中 m>0.

(1)当 m=1 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线的斜率; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值; (3)已知函数 f(x)有三个互不相同的零点 0,x1,x2,且 x1<x2,若对任意的 x∈[x1,x2],f(x)>f(1)恒成 立,求 m 的取值范围. 考点: 导数的几何意 义;利用导数 研究函数的单 调性;利用导

专题: 分析:

数研究函数的 极值;利用导 数求闭区间上 函数的最值. 计算题. (1)

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解答:

,易得函数在 所求点的斜 率. (2)当 f′(x) ≥0,函数单 增,f′(x)≤0 时单减,令 f′ (x)=0 的点为 极值点. (3)由题意属 于区间[x1,x2] 的点的函数值 均大于 f(1), 由此计算 m 的 范围. 解:(1)当

, 故 f'(1)=﹣ 1+2=1,所以曲 线 y=f(x)在点 (1,f(1) )处 的切线的斜率 为 1.(2 分) (2)f'(x)=﹣ 2 2 x +2x+m ﹣1, 令 f' x) ( =0,解 得 x=1﹣m 或 x=1+m. ∵ m>0,所以 1+m>1﹣m, 当 x 变化时,f' (x),f(x)的 变化情况如下 表:

∴ (x)(﹣∞, f 在 1﹣m), (1+m,+∞) 内 是减函数,在 (1﹣m,1+m) 内是增函数. 函数 (x) x=1 f 在 ﹣m 处取得极 小值 (1﹣m) f , 且 f(1﹣m) =

, 函数 f(x)在 x=1+m 处取得 极大值 f (1+m),且 f (1+m) = .(6 分) (3)由题设,

, ∴ 方程

有两个相异的 实根 x1,x2, 故

,∵ m>0 解得 m ,

(8 分) ∵ 1<x2,所以 x

2x2>x1+x2=3, 故 x2> . (10 分) ∵ 对任意的 x∈[x1,x2],x ﹣x1≥0,x﹣ x2≤0, 则

,又 (x1) f =0, 所以 f(x)在 [x1,x2]上的最 小值为 0, 于是对任意的 x∈[x1,x2],f (x)>f(1)恒 成立的充要条 2 件是 f(1)=m ﹣ <0, 解得

, ∵ 由上 m ,

综上,m 的取 值范围是( , ).(14 分) 点评: 本题较为复 杂,主要考查 了直线的点斜 式,函数的单 调性及函数的 极值问题,注 意掌握知识点 间的关系.

20.(2009?福建)已知函数 f(x)= x +ax +bx,且 f′(﹣1)=0. (1)试用含 a 的代数式表示 b; (2)求 f(x)的单调区间; (3)令 a=﹣1,设函数 f(x)在 x1、x2(x1<x2)处取得极值,记点 M(x1,f(x1) ),N(x2,f(x2) ).证明: 线段 MN 与曲线 f(x)存在异于 M,N 的公共点.

3

2

考点:

专题: 分析:

解答:

导数的几何意 义;利用导数 研究函数的单 调性;函数在 某点取得极值 的条件. 计算题;证明 题. (1)据求导法 则求出导函 数,代入已知 条件得关系. (2) 令导数为 0 得两个根,分 类讨论两个根 大小判断根左 右两边导数的 符号,得函数 单调性. (3)由(2)求 出极值点,由 两点式求出直 线方程,与曲 线方程联立判 断有无其他公 共点. 解:解法一: (1)依题意, 得 f′(x) 2 =x +2ax+b. 由 f′(﹣1)=1 ﹣2a+b=0 得 b=2a﹣1. (2)由(1)得 3 2 f(x)=x +ax + (2a﹣1)x,故 f′(x) 2 =x +2ax+2a﹣ 1=(x+1) (x+2a ﹣1). 令 f′(x)=0, 则 x=﹣1 或 x=1 ﹣2a. ① a>1 时,1 当 ﹣2a<﹣1. 当 x 变化时,f′
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(x)与 f(x) 的变化情况如 下表:

由此得,函数 f (x)的单调增 区间为 (﹣∞,1 ﹣2a) (﹣1, 和 +∞) ,单调减区 间为(1﹣2a, ﹣1). ② a=1 时,1 当 ﹣2a=﹣1.此 时,f′(x)≥0 恒成立,且仅 在 x=﹣1 处 f′ (x)=0,故函 数 f(x)的单调 增区间为 R. ③ a<1 时,1 当 ﹣2a>﹣1,同 理可得函数 f (x)的单调增 区间为(﹣∞, ﹣1)和(1﹣ 2a,+∞) ,单调 减区间为(﹣ 1,1﹣2a). 综上所述:当 a >1 时,函数 f (x)的单调增 区间为 (﹣∞,1 ﹣2a) (﹣1, 和 +∞) ,单调减区 间为(1﹣2a, ﹣1); 当 a=1 时,函数 f(x)的单调增 区间为 R; 当 a<1 时,函 数 f(x)的单调 增区间为(﹣ ∞,﹣1)和(1 ﹣2a,+∞) ,单 调减区间为(﹣ 1,1﹣2a).

(3)当 a=﹣1 时,得 f(x) = x ﹣x ﹣ 3x. 2 由 f′(x)=x ﹣ 2x﹣3=0,得 x1=﹣1, x2=3. 由(2)得 f(x) 的单调增区间 为(﹣∞,﹣1) 和(3,+∞), 单调减区间为 (﹣1,3), 所以函数 f(x) 在 x1=﹣1, x2=3 处取得极 值.故 M(﹣ 1, ) (3, ,N ﹣9). 所以直线 MN 的方程为 y=﹣ x﹣1. 由
3 2

得 x ﹣3x ﹣ x+3=0. 3 令 F(x)=x ﹣ 2 3x ﹣x+3. 易得 F(0)=3 >0,F(2)=﹣ 3<0,而 F(x) 的图象在(0, 2)内是一条连 续不断的曲 线, 故F (x) (0, 在 2)内存在零点 x0,这表明线 段 MN 与曲线 f (x)有异于 M,N 的公共

3

2

点. 解法二:(1) 同解法一. (2)同解法 一. (3)当 a=﹣1 时,得 f(x) = x ﹣x ﹣ 3x. 2 由 f′(x)=x ﹣ 2x﹣3=0,得 x1=﹣1, x2=3. 由(2)得 f(x) 的单调增区间 为(﹣∞,﹣1) 和(3,+∞), 单调减区间为 (﹣1,3),所 以函数 f(x)在 x1=﹣1,x2=3 处取得极值, 故 M(﹣1, ),N(3,﹣ 9). 所以直线 MN 的方程为 y=﹣ x﹣1. 由 x ﹣3x ﹣ x+3=0. 解得 x1=﹣1, x2=1,x3=3.
3 2 3 2







所以线段 MN 与曲线 F (x) 有

异于 M,N 的 公共点(1,﹣ ). 点评: 本小题主要考 查函数、导数 等基础知识, 考查推理论证 能力、运算求 解能力,考查 函数与方程思 想、数形结合 思想、化归与 转化思想、分 类与整合思 想.
2 2

21.(2013?安徽)设函数 f(x)=ax﹣(1+a )x ,其中 a>0,区间 I={x|f (x)>0} (Ⅰ )求 I 的长度(注:区间(a,β)的长度定义为 β﹣α); (Ⅱ )给定常数 k∈(0,1),当 1﹣k≤a≤1+k 时,求 I 长度的最小值. 考点: 导数的运算; 一元二次不等 式的解法. 函数的性质及 应用. (Ⅰ )解不等式 f(x)>0 可得 区间 I,由区间 长度定义可得 I 的长度; (Ⅱ )由(Ⅰ ) 构造函数 d(a)
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专题: 分析:

=

,利用

解答:

导数可判断 d (a)的单调 性,由单调性 可判断 d(a)的 最小值必定在 a=1﹣k 或 a=1+k 处取得,通过 作商比较可得 答案. 解:(Ⅰ )因为 方程 ax﹣ 2 2 (1+a ) =0 x (a >0)有两个实

根 x1=0, > 0, 故 f(x)>0 的 解集为{x|x1<x <x2}, 因此区间 I= (0, 区间长度为 ; (Ⅱ )设 d(a) = (a) = , 令 d′(a)=0, 得 a=1,由于 0 <k<1, 故当 1﹣k≤a<1 时,d′ (a) >0, d(a)单调递 增;当 1< a≤1+k 时,d′ (a) <0,d(a)单 调递减, 因此当 1﹣ k≤a≤1+k 时,d (a)的最小值 必定在 a=1﹣k 或 a=1+k 处取 得, 而 ,则 d′ ) ,

= <1,故 d(1﹣ k) (1+k) <d ,

因此当 a=1﹣k 时,d(a)在区 间[1﹣k,1+k] 上取得最小值 , 即 I 长度的最小 值为 . 点评: 本题考查二次 不等式的求 解,以及导数 的计算和应用 等基础知识和 基本技能,考 查分类讨论思 想和综合运用 数学知识解决 问题的能力.

22.(2013?四川)已知函数

,其中 a 是实数.设 A(x1,f(x1) ),B(x2,f(x2) )

为该函数图象上的两点,且 x1<x2. (Ⅰ )指出函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ )若函数 f(x)的图象在点 A,B 处的切线互相垂直,且 x2<0,证明:x2﹣x1≥1; (Ⅲ )若函数 f(x)的图象在点 A,B 处的切线重合,求 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究 函数的单调 性;利用导数 研究曲线上某 点切线方程. 导数的综合应 用. (I) 根据分段函 数中两段解析 式,结合二次 函数及对数函 数的性质,即 可得出函数 f (x)的单调区 间; (II)由导数的 几何意义知,
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专题: 分析:

点 A 处的切线 的斜率为 f′ (x1),点 B 处 的切线的斜率 为 f′(x2),再 利用 f(x)的图 象在点 A,B 处 的切线互相垂 直时,斜率之 积等于﹣1,得 出(2x1+2) (2x2+2)=﹣ 1,最后利用基 本不等式即可 证得 x2﹣ x1≥1; (III)先根据导 数的几何意义 写出函数 f(x) 在点 A、B 处的 切线方程,再 利用两直线重 合的充要条件 列出关系式, 从而得出 a=lnx2+ ( )
2

解答:

﹣1,最后利用 导数研究它的 单调性和最 值,即可得出 a 的取值范围. 解:(I)函数 f (x)的单调减 区间(﹣∞,﹣ 1),函数 f(x) 的单调增区间 [﹣1,0)(0, , +∞); (II)由导数的 几何意义知, 点 A 处的切线 的斜率为 f′ (x1),点 B 处 的切线的斜率 为 f′(x2), 函数 f(x)的图

象在点 A,B 处 的切线互相垂 直时,有 f′ 1) (x f′(x2)=﹣1, 当 x<0 时, (2x1+2) (2x2+2)=﹣ 1,∵ 1<x2< x 0,∴ 1+2< 2x 0,2x2+2>0, ∴ 2﹣x1= [﹣ x (2x1+2)+ (2x2+2)]≥

=1, ∴ 若函数 f(x) 的图象在点 A, B 处的切线互相 垂直,有 x2﹣ x1≥1; (III)当 x1<x2 <0,或 0<x1 <x2 时,f′(x1) ≠f′(x2),故 x1 <0<x2, 当 x1<0 时,函 数 f(x)在点 A (x1,f(x1) ) 处的切线方程 为 y﹣ (x +2x1+a

)=(2x1+2) (x ﹣x1); 当 x2>0 时,函 数 f(x)在点 B (x2,f(x2) ) 处的切线方程 为 y﹣lnx2= (x﹣x2); 两直线重合的 充要条件是

, 由① x1<0< 及 x2 得 0< 2,由① 得 ② a=lnx2+ ( ﹣1=﹣ln ( 1, 令 t= ,则 0 ) + )﹣
2 2



<t<2,且 a= t ﹣t﹣lnt, 设 h(t)= t ﹣ t﹣lnt,(0<t <2) 则 h′ t) t﹣1 ( = ﹣ =
2 2

点评:

,∴(t) (0, h 在 2)为减函数, 则h (t) (2) >h =﹣ln2﹣1,∴ a >﹣ln2﹣1, ∴ 若函数 f(x) 的图象在点 A, B 处的切线重 合,a 的取值范 围(﹣ln2﹣1, +∞). 本题以函数为 载体,考查分 段函数的解析

式,考查函数 的单调性,考 查直线的位置 关系的处理, 注意利用导数 求函数的最 值. 23.(2012?北京)设 A 是如下形式的 2 行 3 列的数表, a b d e

c f

满足性质 P:a,b,c,d,e,f∈[﹣1,1],且 a+b+c+d+e+f=0. 记 ri(A)为 A 的第 i 行各数之和(i=1,2),Cj(A)为 A 的第 j 列各数之和(j=1,2,3);记 k(A)为|r1(A) |,|r2(A)|,|c1(A)|,|c2(A)|,|c3(A)|中的最小值. (1)对如下数表 A,求 k(A)的值 1 1 ﹣0.8 0.1 ﹣0.3 ﹣1 (2)设数表 A 形如 1 1 ﹣1﹣2d d d ﹣1 其中﹣1≤d≤0.求 k(A)的最大值; (Ⅲ )对所有满足性质 P 的 2 行 3 列的数表 A,求 k(A)的最大值. 考点: 专题: 分析: 进行简单的演 绎推理. 计算题. (1) 根据 r(A) i 为 A 的第 i 行各 数之和(i=1, 2),Cj(A)为 A 的第 j 列各数 之和(j=1,2, 3);记 k(A) 为|r1(A)|,|r2 (A)|,|c1(A) |,|c2(A)|,|c3 (A)|中的最小 值可求出所 求; (2)k(A)的 定义可求出 k (A)=1+d,然 后根据 d 的取值 范围可求出所 求; (III)任意改变 A 三维行次序或 列次序,或把 A
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解答:

中的每个数换 成它的相反 数,所得数表 * A 仍满足性质 P,并且 k(A) * =k(A ) 因此,不防设 r1 (A) ≥0,c(A) 1 ≥0,c2 A) ( ≥0, 然后利用不等 式的性质可知 3k(A)≤r1(A) +c1(A)+c2 (A),从而求 出 k(A)的最 大值. 解:(1)因为 r1(A)=1.2,r2 (A)=﹣1.2, c1(A)=1.1,c2 (A)=0.7,c3 (A)=﹣1.8, 所以 k (A) =0.7 (2)r1(A)=1 ﹣2d,r2(A)= ﹣1+2d,c1 (A) =c2(A)=1+d, c3(A)=﹣2﹣ 2d 因为﹣1≤d≤0, 所以|r1 (A) 2 |=|r (A) |≥1+d≥0, |c3(A)|≥1+d≥0 所以 k(A) =1+d≤1 当 d=0 时,k (A)取得最大 值1 (III)任给满足 性质 P 的数表 A (如下所示) f a b c

e d

任意改变 A 三 维行次序或列 次序,或把 A 中的每个数换 成它的相反 数,所得数表 * A 仍满足性质 P,并且 k(A) * =k(A ) 因此,不防设 r1 (A) ≥0,c(A) 1 ≥0,c(A) ≥0, 2 由 k(A)的定 义知,k (A) 1 ≤r (A),k(A) ≤c1 A) (A) ( ,k ≤c2(A), 从而 3k(A)≤r1 (A)+c1(A) +c2(A)= (a+b+c)+ (a+d)+(b+e) = (a+b+c+d+e+f )+(a+b﹣f) =a+b﹣f≤3 所以 k(A)≤1 由(2)可知, 存在满足性质 P 的数表 A 使 k (A)=1,故 k (A)的最大值 为 1. 本题主要考查 了进行简单的 演绎推理,同 时分析问题的 能力以及不等 式性质的应 用,同时考查 了转化的思 想,属于中档 题.

点评:

24. (2013?昌平区一模) 已知每项均是正整数的数列 a1,a2,a3,…a100,其中等于 i 的项有 ki 个 (i=1,2,3…) , 设 bj=k1+k2+…+kj(j=1,2,3…),g(m)=b1+b2+…+bm﹣100m(m=1,2,3…). (Ⅰ )设数列 k1=40,k2=30,k3=20,k4=10,k5=…=k100=0, ① g(1),g(2),g(3),g(4); 求

② a1+a2+a3+…+a100 的值; 求 (Ⅱ )若 a1,a2,a3,…a100 中最大的项为 50,比较 g(m),g(m+1)的大小. 考点: 专题: 分析法和综合 法. 点列、递归数 列与数学归纳 法. (I) 因为数列 ① k1,k2,k3,k4 的值已知,所 以 b1,b2,b3, b4 由公式 bj=k1+k2+…kj (j=1,2,3…) 求得,所以 g (1) (2) ,g , g(3),g(4) 由公式 g(m) =b1+b2+…bm﹣ 100m(m=1, 2,3…)求得; ② 1+a2+a3+…+ a a100=40× 1+30× 2 +20× 3+10× 4=20
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分析:

0; (II) 由题意,g (m) =b1+b2+…bm﹣ 100m,g (m+1) =b1+b2+…bm+b m+1﹣100 (m+1),作差 比较,得 g (m+1) (m) ﹣g =bm+1﹣100, 由 bj 的含义, 知 bm+1≤100, 故得 g (m+1) , g (m) 的大小, 又 a1,a2, a3,…,a100 中 最大的项为 50,知当 m≥50 时 bm=100,所 以,当 1<m< 49 时,有 g m) ( >g (m+1) ;当

解答:

m≥49 时,有 g (m)=g (m+1); 解:(I)① 因为 数列 k1=40, k2=30, k3=20, k4=10,所以 b1=40, b2=70, b3=90, b4=100, 所以:g(1)= ﹣60,g(2)= ﹣90,g(3)= ﹣100,g(4)= ﹣100; ② 1+a2+a3+…+ a a100=40× 1+30× 2 +20× 3+10× 4=20 0; (II) 一方面,g (m+1) (m) ﹣g =bm+1﹣100, 根据 bj 的含 义,知 bm+1≤100, 故 g(m+1)﹣g (m)≤0,即 g (m)≥g (m+1), 当且仅当 bm+1=100 时取 等号. 因为 a1,a2, a3,…,a100 中 最大的项为 50,所以当 m≥50 时必有 bm=100, 所以 g(1)>g (2)>…>g (49)=g(50) =g(51)=… 即当 1<m<49 时,有 g(m) >g(m+1); 当 m≥49 时,有

点评:

g(m)=g (m+1). 本题考查了数 列知识的综合 应用,解题时 要认真审题, 弄清题目中所 给的条件是什 么,细心解 答,这样才不 会出现错误.


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2013年7月顾源的高中数学组卷2 - 2013年7月顾源的高中数学组卷2 一.

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世界地理顾源组卷练习1_数学_高中教育_教育专区。1.(韶关 2013 模拟)根

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